Equivalencias De Las Proposiciones

EQUIVALENCIAS DE LAS PROPOSICIONES: Por: Carlos Andrés Medina Los siguientes son ejemplos de Tautologías, son las equivalencias (que tienen forma Bicondicional) más importantes de lógica Formal, algunas son conocidas como las leyes de Morgan y otras, las leyes del algebra de Boole. Comprobemos que son Tautologías: Sean A y C Proposiciones de cualquier tipo (Atómicas, moleculares). E1: (A→ C) ↔ ¬ A ∨ C

Condicional como disyunción

E2: ¬( A→ C) ↔ A ∧ ¬ C

Negación (de un condicional) como conjunción

E3: ¬( A∨ C) ↔ ¬A ∧¬C

Negación (de una Disyunción) como conjunción

E4: ¬( A∧C) ↔ ¬A ∨ ¬C

Negación (de una Conjunción) como Disyunción

E5: ¬( A ↔C) ↔ (A ∧ ¬ C) ∨ ( C ∧ ¬ A)

Negación (de una equivalencia)

como Disyunción Condicional como condicional (contra recíproco)

E6: (A→ C) ↔ (¬C→¬A)

Prueba: a) Equivalencia 1 ( E1): (A→ C) ↔ ¬ A ∨ C Consideramos todas las proposiciones Atómicas y todas las moleculares que estén presentes en la fórmula Proposicional que queremos probar como Tautología: A

C ¬A

V V F

V F F F V V

¬A∨ C

A→ C

V F V

V F V

(A→ C) ↔ ¬ A ∨ C V V V

F

F

V

V

V

V

Por lo tanto, E1: (A→ C) ↔ ¬ A ∨ C es una Tautología. Luego, A→ C es equivalente con ¬ A ∨ C y hemos probado que se puede escribir una Proposición condicional como una Disyunción y viceversa.

b) Equivalencia 2 ( E2): ¬( A→ C) ↔ A ∧ ¬ C Realizamos nuevamente su tabla de Certeza y comprobamos si es una tautología: A

C ¬C

V V F F

V F F V VF F V

A ∧ ¬ C A→ C ¬( A→ C) F V F F

V F V V

F V F F

¬( A→ C) ↔ A ∧ ¬ C V V V V

Por lo tanto, E2: ¬(A→ C) ↔ A ∧ ¬ C es una Tautología. Luego, A ∧ ¬ C es equivalente con ¬(A→ C) y hemos probado que se puede escribir una Proposición conjunción como una Negación (de un condicional) y viceversa.

Se deja de Tarea a los estudiantes: Comprobar que las Equivalencias 3, 4, 5 y 6 son Tautologías.