Equazioni Goniometriche

Equazioni goniometriche

Giacomo Palazzi

28 Novembre 2008

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Identità goniometriche

Ricordiamo la de…nizione di identità goniometrica De…nizione 1. Una uguaglianza fra espressioni contenente funzioni goniometriche di uno o più angoli si dice "identità goniometrica" se risulta veri…cata per tutti i valori che è consentito attribuire alle misure degli angoli. sin Esempio. La relazione tan = cos è una identità goniometrica. Poichè dev’essere cos 6= 0 l’uguaglianza è valida per 6= 2 + k .

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Equazioni goniometriche

1. Equazioni goniometriche elementari; 2. Equazioni goniometriche lineari in seno e coseno; 3. Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado in seno e coseno; 4. Equazioni goniometriche riconducibili a omogenee di secondo grado in seno e coseno.

2.1

Equazioni goniometriche elementari

De…nizione 2. Si dice "equazione goniometrica" una equazione che contenga almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Le equazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo seguente. sin x = a, a 2 R cos x = b, b 2 R tan x = c, c 2 R L’equazione del tipo sin x = a è determinata se 1 a 1 ed in tal caso, se è una sua soluzione, allora le sue soluzioni sono x = +2k e x = ( )+2k (poichè la funzione seno ha periodicità 2 ). E’ invece impossibile se a < 1 oppure se a > 1. 1

L’equazione del tipo cos x = b è determinata se 1 b 1 ed in tal caso, se è una sua soluzione, allora le sue soluzioni sono x = + 2k e x = + 2k (poichè la funzione coseno ha periodicità 2 ). E’invece impossibile se b < 1 oppure se b > 1. L’equazione del tipo tan x = c è in generale sempre determinata e, se è una sua soluzione, allora le sue soluzioni sono x = + k (poichè la funzione tangente ha periodicità ).

2.2

Equazioni goniometriche lineari in seno e coseno

De…nizione 3. Una equazione goniometrica si dice "equazione goniometrica lineare in seno e coseno" se è possibile ricondurla nella forma a sin x+b cos x+c = 0, con a; b; c 2 R, a 6= 0, b 6= 0. Caso c = 0: a sin x + b cos x = 0. Dividiamo ambo i membri per cos x e otteniamo a tan x + b = 0, da cui tan x = ab che è un’equazione goniometrica elementare. p

3 Esempio. Risolviamo l’equazione sin x 3 cos x = 0. Dividendo ambo i membri per cos x 6= 0 (dunque le soluzioni dovranno essere x 6= 2 + k ) p p 3 3 otteniamo tan x 3 = 0 da cui tan x = 3 che è una equazione goniometrica elementare. La soluzione dell’equazione è pertanto x = 6 + k .

Caso c 6= 0: a sin x + b cos x + c = 0. In questo caso vi è un procedimento di soluzione in due passi: 1. Veri…care se x = è una soluzione dell’equazione. In tal caso tutte le soluzioni saranno del tipo x = + 2k ; 2. Se x = non è una soluzione dell’equazione, allora si utilizzano le formule 2 tan x 1 tan2 x parametriche sin x = 1+tan22 x e cos x = 1+tan2 x2 riscrivendo l’equazione come: 2 tan x a 1+tan22 x 2 = tan x2 ed

1 tan2 b 1+tan2

x 2 x 2

2

2

+ + c = 0. A questo punto si esegue la sostituzione t in tal modo si riscrive l’equazione goniometrica come un’equazione di secondo grado in t. t2 + t + = 0 da cui si ricavano, se esistono, le due soluzioni t1, t2 . Da ciò, ricordando la sostituzione e¤ettuata, si ottengono le due equazioni goniometriche elementari seguenti. tan x2 = t1 tan x2 = t2 da cui si ricavano le soluzioni dell’equazione.

Esempio. Risolviamo l’equazione sin x + cos x 1 = 0. Veri…chiamo se x = sia una soluzione dell’equazione. sin + cos 1 = 0 1 1 = 2 6= 0. Dunque x = non è una soluzione dell’equazione. Usando le formule parametriche e eseguendo la sostituzione t = tan x2 otteniamo l’equazione seguente. 2

1 t2 2t 1+tw + 1+t2 2 2t+1 t 1 t2 1+t2 2

1=0

=0 2t 2t = 0 2t(1 t) = 0 Da quest’ultima relazione si ottengono le due soluzioni: t1 = 0 t2 = 1 Otteniamo pertanto le due equazioni goniometriche elementari seguenti. tan x2 = 0 tan x2 = 1 Da queste si ha che le soluzioni dell’equazione goniometrica lineare in seno e coseno sin x + cos x 1 = 0 sono x = 2k e x = 2 + 2k .

2.3

Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado in seno e coseno

De…nizione 4. Una equazione goniometrica si dice "equazione goniometrica omogenea di secondo grado in seno e coseno" se è possibile ricondurla nella forma a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, con a; b; c 2 R, a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0. Anche in questo caso vi è un procedimento di soluzione in due passi: 1. Veri…care se x = 2 è una soluzione dell’equazione. In tal caso tutte le soluzioni saranno del tipo x = 2 + k ; 2. Se x = 2 non è una soluzione dell’equazione, allora si dividono ambo i membri per cos2 x. Si ottiene perciò un’equazione in tan x di secondo grado. A questo punto si esegue la sostituzione t = tan x e si ottiene l’equazione di secondo grado in t seguente. t2 + t + = 0 da cui si ricavano, se esistono, le due soluzioni t1, t2 . Da ciò, ricordando la sostituzione e¤ettuata, si ottengono le due equazioni goniometriche elementari seguenti. tan x = t1 tan x = t2 da cui si ricavano le soluzioni dell’equazione.

2.4

Equazioni goniometriche riconducibili a omogenee di secondo grado in seno e coseno

De…nizione 5. Una equazione goniometrica si dice "equazione goniometrica riconducibile a omogenea di secondo grado in seno e coseno" se è possibile ricondurla nella forma a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d, con a; b; c; d 2 R, a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0. Ricordando la "relazione fondamentale della goniometria" sin2 x+cos2 x = 1, l’equazione può essere riscritta nel modo seguente. 3

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d sin2 x + cos2 x Da questa si ottiene: (a d) sin2 x + b sin x cos x + (c d) cos2 x = 0 che è un’equazione goniometrica omogenea di secondo grado in seno e coseno che risolve come abbiamo visto sopra.

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