Equation

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت و اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬ ‫*‪ -‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت أو ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت ﺗﺆول ﻓﻲ ﺣﻠﻬﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت أو ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ‪ 1‬أو ‪2‬‬ ‫ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ‪.‬‬ ‫*‪ -‬ﺗﺮﻳﻴﺾ وﺿﻌﻴﺎت ﺗﺘﻀﻤﻦ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮة ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﺗﻌﺎﺑﻴﺮ أو ﻣﻌﺎدﻻت أو ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت‪.‬‬ ‫‪ ( I‬ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬ ‫أﻧﺸﻄﺔ‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ‬ ‫‪5x − 7 ≤ x + 4‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈‪x‬‬

‫‪2 x + 4 = 5x −‬‬

‫‪K‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈‪x‬‬

‫‪2x + 4 = 5x −‬‬

‫∈‪x‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪1‬‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﺣﻠﻮل ﻣﻌﺎدﻟﺔ )أو ﻣﺘﺮاﺟﺤﺔ( ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )أو اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ(‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪ S‬أو ' ‪ S‬او‪........‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪2‬‬ ‫ﻧﻘﻮل ان ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ )أو ﻣﺘﺮاﺟﺤﻴﻦ( ﻣﺘﻜﺎﻓﺌﺘﺎن إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ )أو ﻟﻠﻤﺘﺮاﺟﺤﺘﻴﻦ( ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻠﻮل‪.‬‬ ‫‪ ( II‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﻔﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﺎﻟﻔﻴﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻳﻤﻜﻦ آﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ax + b = 0‬‬ ‫∈ ‪ x‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﺎﻟﻔﻴﺔ‪.‬‬ ‫و ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ إذا آﺎن ‪a ≠ 0‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﺎﻟﻔﻴﺔ‬

‫∈‪x‬‬ ‫ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ax + b = 0‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ a = b = 0‬ﻓﺎن = ‪S‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ a = 0‬و ‪ b ≠ 0‬ﻓﺎن ∅ = ‪S‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪ −b ‬‬ ‫أي أن ‪S =  ‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ a ≠ 0‬ﻓﺎن ‪ ax + b = 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪x = −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫∈ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪ a ≠ 0‬و ‪c ≠ 0‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪( ax + b )( cx + d ) = 0‬‬

‫‪ ( ax + b )( cx + d ) = 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ ax + b = 0‬أو ‪cx + d = 0‬‬

‫إذن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪( ax + b )( cx + d ) = 0‬‬

‫∈‪x‬‬ ‫∈ ‪ x‬و ‪cx + d = 0‬‬ ‫‪ax + b = 0‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ :‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪( 2 x + 1)( −3x − 5) = 0‬‬

‫∈‪x‬‬

‫‪ ( III‬اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﺘﺎﻟﻔﻴﺔ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﻞ ﻣﺘﺮاﺟﺤﺔ ﻳﻤﻜﻦ آﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ax + b ≺ 0‬‬

‫‪ax + b ≥ 0‬‬

‫∈ ‪ x‬أو ‪0‬‬

‫‪ax + b‬‬

‫∈ ‪ x‬ﺣﻴﺚ‬

‫∈ ‪ x‬هﻲ اﺗﺤﺎد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪2‬‬

‫∈‪x‬‬

‫أو ‪ax + b ≤ 0‬‬

‫∈ ‪ x‬أو‬

‫∈ ) ‪ ، ( a, b‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺮاﺟﺤﺔ ﺗﺎﻟﻔﻴﺔ‪.‬‬

‫و ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺮاﺟﺤﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ إذا آﺎن ‪a ≠ 0‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ ﻣﺘﺮاﺟﺤﺔ ﺗﺎﻟﻔﻴﺔ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫أ‪ -‬إﺷﺎرة اﻟﺤﺪاﻧﻴﺔ ‪ax + b‬‬ ‫*‪ -‬إذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺎن إﺷﺎرة ‪ ax + b‬هﻲ إﺷﺎرة ‪b‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‪ -‬إذا آﺎن ‪ a ≠ 0‬ﻓﺎن ‪ ax + b = a  x + ‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ إﺷﺎرة ‪ ax + b‬ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑﺈﺷﺎرة ‪ a‬و‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ x +‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪x −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ x + ≺ 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪x ≺ −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻧﻠﺨﺺ هﺬﻩ اﻟﺪراﺳﺔ ﻓﻲ ﺟﺪول ﻳﺴﻤﻰ ﺟﺪول إﺷﺎرة ‪ax + b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة ‪a‬‬ ‫إﺷﺎرة ‪a‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺘﻴﻦ‪2 x + 3 ≺ 0 :‬‬

‫∈‪x‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ ‪( ax + b )( cx + d ) ≤ 0‬‬

‫;‬ ‫‪−3 x + 4 ≤ 0‬‬ ‫∈ ‪ x‬أو ﻣﻦ ﻧﻮع ‪0‬‬

‫ﺣﻞ هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ دراﺳﺔ إﺷﺎرة‬ ‫ﻣﻦ‬

‫) ‪ ( ax + b‬و ) ‪( cx + d‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺘﻴﻦ‪( 2 x + 1)( −3x + 1) ≺ 0 :‬‬

‫∈‪x‬‬

‫‪x+‬‬

‫∈ ‪ x‬ﺑﻄﺮﻳﻘﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‪.‬‬

‫) ‪( ax + b )( cx + d‬‬ ‫) ‪ ( ax + b )( cx + d‬ﺑﺘﻮﻇﻴﻒ إﺷﺎرة آﻞ‬

‫∈‪x‬‬

‫‪( −2 x − 1)( −5 x + 1) ≥ 0‬‬

‫;‬

‫∈‪x‬‬

‫‪ ( IV‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺴﻤﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ ax + bx + c = 0‬ﺣﻴﺚ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪c‬‬ ‫أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ و ‪ a‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم‪.‬‬ ‫‪ -2‬أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ ﻓﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪، 2x + 1 = 0 ، x − 5 = 0 ، 3x − 3x = 0‬‬ ‫‪ -3‬ﺻﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (a‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ax + bx + c = 0‬‬ ‫∈ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b  b − 4ac ‬‬ ‫‪ax 2 + bx + c = a  x +‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪2a ‬‬ ‫‪4a 2 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x 2 − 6x − 7 = 0‬‬

‫‪،‬‬

‫‪x 2 − 2x + 3 = 0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b  b 2 − 4ac ‬‬ ‫‪ a  x +  −‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ﻟﺜﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود ‪ax 2 + bx + c‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ‪‬‬ ‫‪2a ‬‬ ‫‪4a 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﻨﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b  b − 4ac‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ax 2 + bx + c = 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪= 0‬‬ ‫‪x +‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼل هﺬا ﻳﺘﺒﻴﻦ أن ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻳﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ إﺷﺎرة اﻟﻌﺪد ‪ b − 4ac‬اﻟﺬي ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻤﻴﺰ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ∆ ﻧﻜﺘﺐ ‪∆ = b 2 − 4ac‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ax 2 + bx + c = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫∆‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬ﻓﺎن ‪ x +  − 2 0‬‬ ‫‪2a  4a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x =−‬‬ ‫* اذا آﺎن ‪ ∆ = 0‬ﻓﺎن ‪= 0‬‬ ‫‪ x +‬أي‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ‬

‫‪2‬‬

‫* اذا آﺎن ‪0‬‬

‫∆ ﻓﺎن‬

‫∆‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ax + bx + c = 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ x +  − 2 = 0‬‬ ‫‪2a  4a‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪b + ∆ ‬‬ ‫‪b− ∆‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ x +‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∆ ‪−b −‬‬ ‫∆ ‪−b +‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫= ‪ x‬أو‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ax + bx + c = 0‬ﺣﻴﺚ ‪ a ≠ 0‬و ‪ S‬ﻣﺠﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻟﻬﺎ ﻓﻲ ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ b 2 − 4ac‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ أو ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود ‪ ax 2 + bx + c‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ∆‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬ﻓﺎن ∅ = ‪S‬‬ ‫‪ b ‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ = 0‬ﻓﺎن ‪S = − ‬‬ ‫‪ 2a ‬‬ ‫‪ −b + ∆ −b − ∆ ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ 0‬ﻓﺎن ‪‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﺻﻄﻼح‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ −‬ﺣﻞ ﻣﺰدوج ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪ x = −‬ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻘﻮل إن‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ = 0‬ﻓﺎن‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ a‬و ‪ c‬ﻟﻬﻤﺎ إﺷﺎرﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺣﻠﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺣﻞ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪5x2 − 4 x + 2 = 0‬‬ ‫‪x2 − 1 + 3 x + 1 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4 x 2 + 3x − 1 = 0‬‬

‫‪2 =0‬‬

‫) (‬ ‫‪− (1 + 2 ) x +‬‬

‫‪x2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪ AB = 9‬و ‪ AC = 4‬ﺣﺪد ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ E‬و ‪D‬‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻟـ ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ AD = BE‬و ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ ADE‬ﺗﺴﺎوي ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪BCDE‬‬

‫اﺧﺘﻴﺎر اﻟﻤﺠﻬﻮل ﻧﻀﻊ ‪AD = BE = x‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ ADE‬هﻲ‬

‫) ‪x (9 − x‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪4 × 9 x (9 − x‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ BCDE‬هﻲ‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪4 × 9 x (9 − x ) x (9 − x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪.......18 − 9x + x 2 = 0‬‬ ‫‪ (b‬ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ‪ ax + 2b ' x + c = 0‬و ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ ∆ = 4(b '2 − ac‬ﻧﻀﻊ ‪∆ ' = b '2 − ac‬‬ ‫اﺷﺎرة ∆ هﻲ اﺷﺎرة ' ∆‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ' ≺ 0‬ﻓﺎن ∅ = ‪S‬‬ ‫‪ b '‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ' = 0‬ﻓﺎن ‪S = − ‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪ −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ' 0‬ﻓﺎن ‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ' ∆ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻤﻴﺰ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫∈‪x‬‬ ‫ﺣﻞ ‪6x − 2 3x − 1 = 0‬‬ ‫‪ -4‬ﺗﻌﻤﻴﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود ‪a ≠ 0 / T ( x ) = ax + bx + c‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ∆ ﻣﻤﻴﺰهﺎ‬ ‫* إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬ﻓﺎن‬

‫) ‪ T ( x‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺟﺪرا و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ) ‪ T ( x‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﻴﻠﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫‪2‬‬

‫‪b ‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪T ( x ) = a  x + ‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ ∆ = 0‬ﻓﺎن ) ‪ T ( x‬ﻟﻬﺎ ﺟﺪر وﺣﻴﺪ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ ∆ 0‬ﻓﺎن ) ‪ T ( x‬ﻟﻬﺎ ﺧﺪرﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ‪ x 1‬و ‪x 2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ) ‪T ( x ) = a ( x − x 1 )( x − x 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪3‬‬ ‫‪P ( x ) = 3x 2 − 4x − 4‬‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -5‬ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﺆول ﻓﻲ ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫∈‪x‬‬ ‫‪x 4 − 7x 2 + 12 = 0‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ 1‬ﺣﻞ‬

‫)‬

‫(‬

‫‪Q (x ) = x 2 − 1 + 3 x + 1+‬‬

‫∈‪x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ 2‬ﺣﻞ ‪2x − 7 x − 4 = 0‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪ 3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪P ( x ) = 2x 3 − 3x 2 − x + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أﺣﺴﺐ ‪P  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪P ( x ) = 0‬‬ ‫‪ -6‬ﻣﺠﻤﻮع و ﺟﺪاء ﺟﺪري ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ax 2 + bx + c = 0‬‬ ‫∈ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ ∆ 0‬و أن ﺟﺬرﻳﻬﺎ هﻤﺎ ‪ x 1‬و ‪x 2‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ax + bx + c = a ( x − x 1 )( x − x 2‬‬ ‫‪= ax 2 − a ( x 1 + x 2 ) x + ax 1 x 2‬‬

‫إذن‬

‫‪−b‬‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪; x1 + x 2‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪x 1x 2‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ax + bx + c = 0‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫= ‪; x1 + x 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫∈ ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪ a ≠ 0‬ﺣﻼن ‪ x 1‬و ‪ x 2‬ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﺤﻘﻘﺎن اﻟﻌﻼﻗﺘﻴﻦ‬

‫‪2‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪x 1x 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﺄآﺪ أن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ 4x 2 − 7x + 5 = 0‬ﺟﺪران ‪ x 1‬و ‪ x 2‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x1 x 2‬‬ ‫‪ -VI‬اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻤﺠﻬﻮل واﺣﺪ‬ ‫‪ -1‬اﺷﺎرة ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود ‪a ≠ 0 / T ( x ) = ax 2 + bx + c‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ∆ ﻣﻤﻴﺰهﺎ‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪∆ ‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ‪T ( x ) = a  x +  − 2 ‬‬ ‫‪2a  4a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬ﻓﺎن إﺷﺎرة ‪ ax + bx + c‬هﻲ إﺷﺎرة ‪a‬‬

‫دون ﺣﺴﺎب ‪ x 1‬و ‪x 2‬‬

‫‪−b‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ = 0‬ﻓﺎن ‪ ax 2 + bx + c‬ﻳﻜﻮن ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻣﻦ أﺟﻞ‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪ −b ‬‬ ‫‪− ‬‬ ‫‪ 2a ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬ﻓﺎن ) ‪ T ( x ) = a ( x − x 1 )( x − x 2‬ﺣﻴﺚ ‪ x 1‬و ‪ x 2‬ﺟﺪري ‪ax + bx + c‬‬

‫= ‪ x‬و إﺷﺎرﺗﻬﺎ إﺷﺎرة ‪ a‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫ﻧﻔﺘﺮض أن ‪x 1 ≺ x 2‬‬

‫ﺧﻼﺻﺔ‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬ﻓﺎن إﺷﺎرة ‪ ax + bx + c‬هﻲ إﺷﺎرة ‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ −b ‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ = 0‬ﻓﺎن إﺷﺎرة ‪ ax 2 + bx + c‬هﻲ إﺷﺎرة ‪ a‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪−  ‬‬ ‫‪ 2a ‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ∆ ≺ 0‬و ‪ x 1‬و ‪ x 2‬ﺟﺪري ‪ ax 2 + bx + c‬ﺣﻴﺚ ‪ x 1 ≺ x 2‬ﻓﺎن‬

‫‪ -2‬اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت‬ ‫أ‪ -‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 2 x + 5x − 3 ≤ 0‬‬

‫‪3x 2 − 2 x − 8 ≺ 0‬‬

‫‪4 x2 − 2 x + 1 0‬‬ ‫‪− 3x 2 + 3 x − 1 ≥ 0‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت ﺗﺆول ﻓﻲ ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺘﻴﻦ‬ ‫ﺣﻞ ﻓﻲ‬ ‫‪2x 4 − 9 x 2 + 4 0‬‬ ‫‪≥0‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪x 2 − 1+ 2 x + 2‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪2‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫‪x 2 −x −2‬‬ ‫‪p ( x ) = 6x 3 − 13x 2 + 4‬‬

‫‪ -1‬ﺗﺄآﺪ أن ‪ 2‬ﺟﺪر ﻟﻠﺤﺪودﻳﺔ ) ‪p ( x‬‬

‫‪ -2‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬ ‫‪ -3‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫‪p (x ) ≤ 0‬‬ ‫) ‪p ( x ) ≤ 3x 2 ( x − 2‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪p ( x ) = −x + ( 3 + a ) x − ( 2 + 3a ) x + 2a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪ a‬ﺟﺪر ﻟﻠﺤﺪودﻳﺔ ) ‪p ( x‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ﺣﺪودﻳﺔ ) ‪ Q ( x‬ﺣﻴﺚ ) ‪p ( x ) = ( x − a )Q ( x‬‬

‫‪ -3‬أ‪ -‬أدرس إﺷﺎرة ‪−x 2 + 3x − 2‬‬ ‫‪ -4‬ب‪ -‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬ ‫‪ p ( x ) 0‬ﺣﻴﺚ ‪0‬‬

‫) ‪Q (a‬‬