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Definición: Una relación X.

que es reflexiva, simétrica y transitiva, sobre un conjunto X, se conoce como una relación de equivalencia sobre

Ejemplos: Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea

={{1, 3, 5},{2, 6},{4}} una partición de X. La relación

definida por el teorema 1 es:

={(1 ,1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)} la cual, por la definición anterior es una relación de equivalencia. Si se representa por medio de digrafos tenemos que:

es reflexiva puesto que (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) es simétrica ya que siempre que si (x, y) también (y, x) es transitiva puesto que siempre que si (x, y) y (y, z) también (x, z) y como

es reflexiva, simétrica y transitiva, entonces

es una relación de equivalencia sobre X.

Ahora sea = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}, y sea X= {1, 2, 3, 4} .es reflexiva ya que (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) no es simétrica ya que (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 2) es transitiva puesto que siempre que si si (x, y) y (y, z) también (x, z) por lo que como

no es simétrica, por lo tanto no es una relación de equivalencia.

Which of these relations on {0, 1, 2, 3} are equivalence relations? Determine the properties of an equivalence relation that the others lack. a) {(0, 0),(1, 1),(2, 2),(3, 3)} This is an equivalence relation because it is reflexive, symmetric, and transitive. b) {(0, 0),(0, 2),(2, 0),(2, 2),(2, 3),(3, 2)(3, 3)} This is not an equivalence relation because it is neither reflexive nor transitive. Missing (1, 1) for reflexive and missing (0, 3) for the path (0, 2),(2, 3) for transitive. c) {(0, 0),(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 3)}

This is an equivalence relation because it is reflexive, symmetric, and transitive. d) {(0, 0),(1, 1),(1, 3),(2, 2),(2, 3),(3, 1),(3, 2),(3, 3)} This is not an equivalence relation because it is not transitive. Missing (1, 2) for the path (1, 3),(3, 2).