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Equazioni differenziali - Elettronica MZ 2006-2007 Alessandro Ruggeri - 702898

1

Equazioni differenziali elementari

1.1

Forma normale:

y (n) = g(x)

1.2

Formula risolutiva: ZZ y(x) = |

2

ZZ ... {z

n volte

g(x)dx }

Equazioni differenziali a variabili separabili

2.1

Forma normale:

y 0 = g(x)h(y)

2.2

Formula risolutiva:

• se y0 `e una radice di h(y) = 0 allora: y = y0 `e una soluzione. • se G(x) `e una primitiva di g(x) e J(y) `e una primitiva di 1/h(y) allora: le funzioni definite da J(y) = G(x) + c con (c ∈ R), sono soluzioni.

Equazioni differenziali lineari del 1◦ ordine

3 3.1

Forma normale:

y 0 = g(x)y + h(x)

3.2

Formula risolutiva:

se G(x) `e una primitiva di g(x), le funzioni G(x)

y=e

Z

h(x)e−G(x) dx

sono soluzioni.

4

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenee

4.1

Forma normale:

an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = 0

4.2

Formula risolutiva:

consideriamo il polinomio omogeneo associato p(λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 e l’equazione p(λ) = 0: • se λ `e una radice reale di p(λ) = 0, con molteplicit`a m, allora le m funzioni: eλx ; xeλx ; x2 eλx ; . . . ; xm−1 eλx . sono soluzioni dell’equazione differenziale. • se α + ıβ `e una coppia di radici complesse coniugate di molteplicit`a m, allora le 2m funzioni: eαx cos βx; xeαx cos βx; . . . ; xm−1 eαx cos βx. eαx sin βx; xeαx sin βx; . . . ; xm−1 eαx sin βx. sono soluzioni dell’equazione differenziale.

4.3

Caso particolare: equazioni di secondo ordine: 00

sia ay + by 0 + cy = 0 un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea di secondo ordine e p(λ) = λ2 + bλ + c = 0 il polinomio associato. allora: 1. se ∆ > 0 (2 radici reali e distinte λ1 e λ2 ): le soluzioni dell’equazione differenziale sono: y = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x 2. se ∆ = 0 (1 radice reale λ con m = 2): le soluzioni dell’equazione differenziale sono: y = c1 eλx + c2 xeλx 3. se ∆ < 0 (2 radici complesse coniugate): le soluzioni dell’equazione differenziale sono: y = c1 eαx cos βx + c2 eαx sin βx

4.4

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti non omogenee

4.5

Forma normale:

an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = g(x)

4.6

Integrale generale:

l’integrale generale di un’equazione differenziale lineare di ordine n `e la somma dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata e da una soluzione particolare dell’equazione completa. Il polinomio caratteristico `e p(λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 e l’equazione caratteristica p(λ) = 0. Da quest’ultima trovo n soluzioni, ciascuna con la sua molteplicit` a m.

4.7

Tabella per determinare le soluzioni particolari: Termine noto g(x) Pd (x) k sin βx k cos βx h cos βx + k sin βx keαx αx ke cos βx keαx sin βx αx e (h cos βx + k sin βx) Pd (x)eαx Pd (x) cos βx Pd (x) sin βx Pd (x)(h cos βx + k sin βx)

Valore critico di λ 0

Soluzione particolare y¯ xm (Ad xd + . . . + A1 x + A0 )

ıβ

xm (A cos βx + B sin βx)

α

xm Aeαx

α + ıβ

xm eαx (A cos βx + B sin βx)

α

xm (Ad xd + . . . + A1 x + A0 )eαx

ıβ

xm (Ad xd + . . . + A1 x + A0 )(A cos βx + B sin βx)