Entregable 2 Calculo.docx

ENTREGABLE 2: CALCULO INTEGRAL

Calculo integral Víctor Alfonso López Montes, Francisco Echeverri George Fundación Universitaria Católica del Norte

Nota del autor

Víctor Alfonso López Montes, Francisco Echeverri George

Facultad de ingeniería, UCN

Medellín - 2019

CALCULO INTEGRAL

2

Tabla de contenido Introducción ................................................................................................................... 3 Áreas entre curvas .......................................................................................................... 4 1.1

Calcule el área de la región limitada por: ...................................................... 4

Tabulación .............................................................................................................. 4 Volúmenes solidos de revolución................................................................................... 9 1.2

Calcule el volumen del solido obtenido al girar la región acotada por lar

curvas dadas alrededor de la recta especificada: .................................................................... 9 Integrales impropias ..................................................................................................... 11 1.3

Calcule las siguientes integrales impropias: ................................................ 11

Integrales impropias ..................................................................................................... 12 1.4

Calcule las siguientes integrales impropias: ................................................ 12

series ............................................................................................................................ 13 1.5

series: ........................................................................................................... 13

Conclusión ................................................................................................................... 17 Referencias ................................................................................................................... 18

CALCULO INTEGRAL

3 Introducción

En el trabajo que se muestra a continuación vamos a observar la realización de algunos ejercicios prácticos para resolver en base a los conocimientos adquiridos anteriormente. Los temas a tratar son áreas entre curvas, volumen solido de revolución, integrales impropias, series divergentes o convergentes; cada tema tiene varios ejercicios para ser resueltos. También para complementar más el trabajo se da una breve conclusión al final del trabajo presentado.

CALCULO INTEGRAL

4 Áreas entre curvas

1.1

Calcule el área de la región limitada por: i.

𝑦 = 12 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 2 − 6

Igualación de temimos 12 − 𝑥 2 = 𝑥 2 − 6 −𝑥 2 −𝑥 2 = −12 − 6 −2𝑥 2 = −18 𝑥2 =

−18 2

𝑥2 = 9 𝑥 = ±√9 𝑥1 = 3 𝑥2 = −3 Tabulación 𝑥 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑦 = 𝑥2 − 6 3 -2 -5 -6 -5 -2 3

𝑥 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑦 = 12 − 𝑥 2 3 8 11 12 11 12 3

CALCULO INTEGRAL

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 12 − 𝑥 2 − 𝑥 2 + 6 −2𝑥 2 + 18 3

3

∫ −2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 18 𝑑𝑥 −3

3 3

3 2

−2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 18𝑑𝑥 −3

−3

3 3 1 −2 ( 𝑥 3 ∫ ) + ∫ 18𝑑𝑥 3 −3 −3 3 𝑥3 3 −2 ( ∫ ) + 18𝑥 ∫ 3 −3 −3

33 (−3)3 −2 (( − )) + (18 ∗ 3 − 18 ∗ (−3)) 3 3 −2 (9 −

(−27) ) + (18 ∗ 3 − 18 ∗ (−3)) 3

−2(9 − (−9)) + (18 ∗ 3 − 18 ∗ (−3)) −2(9 + 9) + (18 ∗ 3 − 18 ∗ (−3)) −2 ∗ 18 + (18 ∗ 3 − 18 ∗ (−3)) −36 + 54 − (−54) −36 + 108

5

CALCULO INTEGRAL Á𝑟𝑒𝑎 = 72

6

CALCULO INTEGRAL i.

𝑦 = √𝑥 ; 𝑒𝑗𝑒 𝑦; 𝑦 =

𝑦 = √𝑥 ; 𝑦 = 1; 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑋 = 0 Igualación de temimos √𝑥 = 1 2

√𝑥 = 12 𝑥 2 = √1 𝑥 = ±√1 𝑥=1 𝑥 = −1 𝑥≥0 𝑥1 = 1 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐸𝑗𝑒 𝑦 (𝑥 = 0) 𝑥2 = 0 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 1

∫ 1 − √𝑥 0 1

1

∫ 1𝑑𝑥 − ∫ √𝑥 0 1

0 1

1

∫ 1𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 0

0 1

𝑥 2+1 ∫ 1𝑥 − ∫ 1 0 0 2+1 1

1

1

1

3

𝑥2 ∫ 1𝑥 − ∫ 3 0 0 2

7

CALCULO INTEGRAL

8

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

1

1

1

1

3

𝑥2 ∗ 2 ∫ 1𝑥 − ∫ 3 0 0 3

2𝑥 2 ∫ 1𝑥 − ∫ 3 0 0 3

3

2 ∗ 12 2 ∗ (0)2 1+0−( − ) 3 3 2 1 − ( − 0) 3 1−

2 3

𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 1 3 2 ∗ − 1 3 3 1∗3 2 − 3 3 3 2 − 3 3 3−2 1 = 3 3 Á𝑟𝑒𝑎 = 0. 333

𝑎 𝑎∗𝑐 = 𝑏 𝑏 𝑐

CALCULO INTEGRAL

9 Volúmenes solidos de revolución

1.2

Calcule el volumen del solido obtenido al girar la región acotada por lar curvas dadas alrededor de la recta especificada: a. 𝑦 = 1 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 0 𝐴𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

1 − 𝑥2 = 0 𝑥2 = 1 𝑥 = ±√1 𝑥1 = 1 𝑥2 = −1 1

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 −1

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 1 𝑉 = (−𝑥 2 + 1)(−𝑥 2 + 1) 𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐹𝑜𝑖𝑙 − 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑉 = −𝑥 2 (−𝑥 2 + 1) + 1(−𝑥 2 + 1) 𝑉 = −𝑥 2 (−𝑥 2 ) − 𝑥 2 ∗ 1 + 1(−𝑥 2 + 1) 𝑉 = −𝑥 2 (−𝑥 2 ) − 𝑥 2 ∗ 1 + (1(−𝑥 2 ) + 1 ∗ 1) 𝑉 = 𝑥4 − 𝑥2 − 𝑥2 + 1 𝑉 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ò𝑛 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 1

1

1

𝑉 = 𝜋 (∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥) −1

−1

−1

1 1 1 1 1 𝑉 = 𝜋 ( 𝑥 5 ∫ −2 ( 𝑥 3 ) ∫ + 𝑥 ∫ ) 5 3 −1 −1 −1 1 1 𝑥5 1 𝑥3 𝑉 = 𝜋 ( ∫ −2 ( ) ∫ + 𝑥 ∫ ) 5 −1 3 −1 −1

CALCULO INTEGRAL 1 1 𝑥5 𝑥3 𝑉 = 𝜋 ( + 𝑥 ∫ −2 ( ) ∫ ) 5 3 −1 −1

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 (−15 ) 15 13 (−13 ) 𝑉 = 𝜋 (( + 1) − ( − 1) − 2 ( − )) 5 5 3 3 1 1 5 −1 1 5 1 −1 𝑉 = 𝜋 (( + ∗ ) − ( − ∗ ) − 2( − )) 5 1 5 5 1 5 3 3 1 5 −1 −5 1 1 𝑉 = 𝜋 (( + ) − ( + ) − 2 ( + )) 5 5 5 5 3 3 6 −6 2 𝑉 = 𝜋( − − 2 ( )) 5 5 3 6 6 2 𝑉 = 𝜋 ( + − 2 ( )) 5 5 3 12 2 𝑉 = 𝜋 ( − 2 ( )) 5 3 12 −2 2 𝑉 = 𝜋( − ∗ ) 5 1 3 12 −4 𝑉 = 𝜋( + ) 5 3 12 4 𝑉 = 𝜋( − ) 5 3 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 12 3 4 5 𝑉 = 𝜋( ∗ )−( ∗ ) 5 3 3 5 36 20 𝑉 = 𝜋( − ) 15 15 16 𝑉 = 𝜋( ) 15 𝑉=

𝜋 16 ∗ 1 15

10

CALCULO INTEGRAL

11

16𝜋 3 𝑢 15

𝑉=

b. 𝑦 = ln 𝑥 ; 𝑦 = 1; 𝑦 = 2; 𝑥 = 0 𝐴𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦

Integrales impropias Calcule las siguientes integrales impropias:

1.3

+∞ −𝑥

a. ∫0 +∞

𝑒 3 𝑑𝑥

𝑥

∫ 𝑒 −3 𝑑𝑥 0 −

∞ 3

∫ −𝑒 𝑢 0 −

∞ 3

∫ −𝑒 𝑢 0 −

∞ 3

∫ −𝑒 𝑢 0 −

−1 𝑑𝑢 1 −3 1 𝑑𝑢 1 3 1 𝑑𝑢 1 3

∞ 3

∫ −𝑒 𝑢 (1 . 3) 𝑑𝑢 0 −

∞ 3

∫ −3𝑒 𝑢 𝑑𝑢 0 −

∞ 3

−3 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 0

∞ −3 −3 (𝑒 ] ) 0 𝑢

CALCULO INTEGRAL

12

∞

−3(𝑒 − 3 − 1) ∞

−3𝑒 − 3 + 3

0

b. ∫−∞ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 0

𝑥 2 𝑒 𝑥 ]0−∞ − ∫ 𝑒 𝑥 (2𝑥) 𝑑𝑥 −∞ 0

𝑥 2 𝑒 𝑥 ]0−∞

− ∫ 2𝑒 𝑥 𝑥𝑑𝑥 −∞ 0

𝑥 2 𝑒 𝑥 ]0−∞ − (2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑥𝑑𝑥) −∞ 0

𝑥 2 𝑒 𝑥 ]0−∞ − 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑥𝑑𝑥 −∞ 0

𝑥 2 𝑒 𝑥 ]0−∞

−

2(𝑥𝑒 𝑥 ]0−∞

− ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) −∞

𝑥 2 𝑒 𝑥 ]0−∞ − 2(𝑥𝑒 𝑥 ]0−∞ − (𝑒 𝑥 ]0−∞ )) − − ∞2 𝑒 −∞ − 2(∞𝑒 −∞ − (1 − 𝑒 −∞ )) − − ∞2 𝑒 −∞ − 2(∞𝑒 −∞ + 2 − 2𝑒 −∞ Integrales impropias Calcule las siguientes integrales impropias:

1.4

1

𝑒𝑥

a. ∫−1 𝑒 𝑥 −1 𝑑𝑥 𝑒−1

∫ 1 −1 𝑒

1 𝑑𝑢 𝑢

ln(|𝑢|)]𝑒−1 1 𝑒

−1

CALCULO INTEGRAL

13

1 ln(|𝑒 − 1|) − ln( | − 1|) 𝑒 −𝑒 2 + 𝑒 ) 1−𝑒

ln(

+∞

b. ∫0

ln 𝑥 𝑑𝑥

+∞

1 ln(𝑥)𝑥]∞ 0 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 0

+∞

ln(𝑥)𝑥]∞ 0 − ∫ 1 𝑑𝑥 0 ∞ ln(𝑥)𝑥]∞ 0 − (𝑥]0 )

ln(∞)∞) − ln(0)𝑥 − (𝑥]∞ 0 )

series 1.5

series: 3

2

a. determine si la serie convergente o divergente ∑∞ 𝑛=1 (5𝑛 + 𝑛) . 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑆𝑖 ∑ = 𝑎 ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 ∑ = 𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∞

∞ 3 2 3 2 ∑ 𝑛 + = ∫ 𝑥 + 𝑑𝑥 5 𝑛 𝑥 1 5

𝑛=1

𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∞

∫ 1

3 2 + 𝑑𝑥 5𝑥 𝑥

CALCULO INTEGRAL

3∫

14

1 1 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 5 𝑥

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒

1 1 = 𝑎 −𝑛 𝑦 𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∫ 𝑑𝑥 = ln(𝑥) 𝑛 𝑎 𝑥

3 ∫ 5−𝑥 𝑑𝑥 + 2ln(𝑥) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢 = −𝑥 3 ∫ −5𝑢 𝑑𝑢 + 2 ln (𝑥) 3 (− ∫ 5𝑢 𝑑𝑢) + 2 ln (𝑥) 𝑎𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ∫ 𝑎 𝑑𝑥 = ln(𝑥) 𝑥

−5𝑢 3( ) + 2 ln (𝑥) ln(5) 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢 = −𝑥 5−𝑥 3 (− ) + 2 ln (𝑥) ln(5) −3 ∗

5−𝑥 + 2 ln (𝑥) ln(5)

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑎 ∗ −

3 ∗ 5−𝑥 + 2ln(𝑥) ln(5)

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑥=1 −

3 ∗ 5−1 + 2ln(1) ln(5)

3 ∗ 5−1 + 2ln(1) ln(5)

𝑏 𝑎∗𝑏 = 𝑐 𝑐

CALCULO INTEGRAL

𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎−1 =

15 1 𝑎

1 3 5= 5 ln(5) ln(5) 3∗

𝑏 𝑏 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐 = 𝑎 𝑐∗𝑎 3 +0 5 ∗ ln(5) −

3 5 ∗ ln(5)

𝑥=∞ 3 ∗ 5−𝑥 + 2ln(∞) ln(5) 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑥 = 𝑒 x∗ln(𝑎) 5−𝑥 = 𝑒 −𝑥𝑙𝑛(5) 3 ∗ 𝑒 −∞ ln(5) + 2 ln(∞) ln(5) −0 + ∞ = ∞ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 − 𝑐 + ∞ = ∞ −

3 + ∞ = ∞ 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 5 ∗ ln(5)

b. hallar la serie de potencias de la función 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑙𝑎𝑢𝑟𝑖𝑛 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 0 𝐹(𝑥) = sin(𝑥) 𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∫ = 1 𝑥=0

CALCULO INTEGRAL

𝑓´´(𝑥) = −sin 𝑥 ∫ = 0 𝑥=0

𝑓´´´(𝑥) = − cos 𝑥 ∫ = −1 𝑥=0

𝑓´´´´(𝑥) = sen 𝑥 ∫ = 0 𝑥=0

𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 0 +

1 (0) 2 (−1) 3 (0) 4 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 1! 2! 3! 4!

𝑓(𝑥) = 0 +

1 (−1) 3 𝑥+0+ 𝑥 +0 1! 3!

𝑓(𝑥) =

(−1) 3 1 5 (−1) 7 1 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 1! 3! 5! 7! ∞

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛+1 𝑓 (𝑥) = ∑ (2𝑛 + 1)! 𝑛=0

16

CALCULO INTEGRAL

17 Conclusión

Con el trabajo anterior podemos ver la utilización de conocimientos previos en el área para la realización de los ejercicios seleccionados y enviados para ser realizados; los temas tratados fueron integrales impropias con cuatro ejercicios prácticos, series de convergente o divergente, volúmenes solidos de revolución con dos ejercicios y el tema de áreas entre curvas. De igual manera observamos la utilización de gráficos que nos permiten tener más claro los conocimientos aprendidos y también aprendimos a utilizarlo como una herramienta de estudio.

CALCULO INTEGRAL

18 Referencias

felipe, a. (28 de 5 de 2016). series infinitas. Obtenido de http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/NotasCD1/Series/Series_Infinitas_B%C3%A1sicas.htm francisco. (21 de 4 de 2016). integrales impropias. Obtenido de https://www.profesor10demates.com/2014/10/integrales-impropias-ejercicios.html sebastian. (18 de 2 de 2018). volumen de un cuerdo de revolucion . Obtenido de https://ekuatio.com/volumen-de-un-cuerpo-de-revolucion-ejercicios-resueltos-paso-apaso/