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Notación Indical, Gradiente, Divergencia, Teoremas (De Green, Stokes Y Gauss) Y Principios De Conservación De Movimiento, Masa Y Energía. Ana Isabel Hernández Bucio 12 De Marzo De 2019 Fundamentos De La Mecánica De Los Medios Continuos IM. Andrés Colín Martínez Ingeniería Civil

« La théorie du continuum permettra à la prospection des phénomènes de A partir de certaines dimensions minimales, ces valeurs limites dépendront du matériau et de la phénomène en étude » (La Teoría del continuo permitirá la prospección de los fenómenos a partir de ciertas dimensiones mínimas, estos valores límite dependerán del material y del fenómeno en estudio)

Antes de comenzar a desglosar los temas de interés, hablaremos un poco de los conceptos principales de nuestra materia que es mecánica de los medios continuos, empezaremos por la palabra mecánica que es definido como el estudio del movimiento y el equilibrio de los cuerpos, y medio continuo simplemente es un conjunto infinito de partículas, para que un medio sea continuo necesita de continuidad, homogeneidad e isotropía.

Primeramente, comenzaremos a hablar de la notación Indical o notación de Einstein, que de manera resumida lo entendemos como una simplificación del concepto de sumatoria, donde se suprime el término sigma (Ʃ).

Su nombre a favor de Albert Einstein quien lo introdujo en el año de 1916. Dada una expresión lineal en Rn en la que escribiendo todos sus términos de forma explícita tenemos:

𝒖 = 𝑢1 𝑥1 + 𝑢2 𝑥2 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑥𝑛 se puede escribir de la forma: 𝑛

𝑢 = ∑ 𝑢𝑖 𝑥𝑖 𝑖=1

En notación de Einstein se obtiene una ecuación más simple eliminando el signo de la sumatoria y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica la suma sobre todos los posibles valores del mismo. (u=uixi)

Ahora abordaremos otro tema de igual interés denominado gradiente. En cálculo vectorial, el gradiente vectorial. El vector gradiente de ,

de un campo escalar

es un campo

evaluado en un punto genérico

del dominio de

( ), indica la dirección en la cual el campo

módulo representa el ritmo de variación de

varía más rápidamente y su

en la dirección de dicho vector

gradiente. Suele ser representado por el operador nabla ( También puede representarse mediante

) seguido de la función a trabajar.

, o usando la notación

.

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦, 𝑧), (tiempo, temperatura), etcétera. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca .

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Donde

es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

Si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. Un ejemplo claro este dado por las cargas eléctricas que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí,

es el área de la superficie apoyada en la curva

, que se reduce a un

punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a

y orientada según la regla

de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares, podemos abordar un ejemplo enunciando lo siguiente; En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en todas las partes del disco.

Teorema de Green. En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green tiene su nombre por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma: “Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en

el

plano

y

sea D la

región

limitada

por C.

Si L y M tienen derivadas

parciales continuas en una región abierta que contiene D”.

Se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Teorema de Stokes. El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición

sobre

la integración de formas

diferenciales que

generaliza

varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes. El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:

Teorema De Gauss fue enunciado por el matemático alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855). Dicho matemático determinó en esta ley una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior. El teorema de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga neta situada en su interior dividida por la constante dieléctrica del medio.

ΦE=∮SE→⋅dS→ = Qε Donde:



ΦE es el flujo neto de carga E→ es la intensidad de campo eléctrico dS→ es un diferencial del vector de superficie (trozo elemental de superficie)



Q es la carga contenida en la superficie



ε es la constante dieléctrica del medio.

 

Al observar analíticamente la ecuación anterior podemos decir que el flujo eléctrico no depende de la forma de la superficie cerrada, tan solo de la carga que posee en su interior y de la constante dieléctrica del medio.

El principio de conservación del movimiento nos enuncia si la fuerza resultante es nula, también será nula la variación el momento lineal, lo que equivale a decir que el momento lineal es constante: F⃗ =0⃗ ⇒△p⃗ =0⃗ ⇒p⃗ =cte→F→=0→⇒△p→=0→⇒p→=cte→ Si te fijas, la conservación de la cantidad de movimiento de un cuerpo equivale al Principio de inercia. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, su momento lineal o cantidad de movimiento es constante y si la masa del cuerpo es constante, su velocidad también lo es. Este razonamiento lo podemos expresar así: F⃗ =0⃗ ⇒△p⃗ =0⃗ ⇒mv⃗ =cte→

Llegó el momento de conocer a Antoine Laurent Lavoisier, un químico francés quien, con base en los estudios que realizó, propuso la ley de la conservación de la masa. “La masa no se crea ni se destruye, sólo se transforma”. En una reacción química la suma de la masa de los reactivos es igual a la suma de la masa de los productos. Lavoisier demostró que al efectuarse una reacción química la masa no se crea ni se destruye, sólo se transforma, es decir, las sustancias reaccionantes al interactuar entre sí forman nuevos productos con propiedades físicas y químicas diferentes a las de los reactivos, esto debido a que los átomos de las sustancias se ordenan de forma distinta.

El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y después de cada transformación.

En el caso de la energía mecánica se puede concluir que, en ausencia de rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la suma de las energías cinética y potencial permanece constante. Este fenómeno se conoce con el nombre de Principio de conservación de la energía mecánica