Ensayo Cantor

Más allá del Infinito (George Cantor) Por: Marcos Campos Nava (Maestría en Matemáticas y su Didáctica UAEH) Introducción Uno de los conceptos que más ha causado confusión al ser humano y paradojas en el campo de la Matemática es el concepto del infinito, vulgarmente entendido como algo muy grande o imposible de contar, los griegos del periodo clásico, en particular Platón y Pitágoras lo rechazaron porque consideraban que los números infinitos aniquilaban a los finitos, por ejemplo si “a “es cualquier número finito, a + ∞ = ∞ + a = ∞. El mismo Carl F. Gauss expresó su “respeto al infinito” de la siguiente forma: "Protesto contra el uso de la magnitud infinita como una cosa completa,

que jamás puede permitirse en Matemática. Infinito es simplemente una forma de hablar, y la verdadera significación es un límite al que ciertas razones se aproximan indefinidamente, mientras otras aumentan sin restricción". Aristóteles distinguió dos tipos de infinito; el infinito como un proceso de crecimiento sin final o de subdivisión sin final y el infinito como una totalidad completa. El primero es el infinito potencial y el segundo el infinito actual. Afortunadamente para la Matemática y desafortunadamente para Dios (pues se le quitó la propiedad de ser algo casi divino inherente sólo a Dios), existió George Cantor, quien desveló los misterios de este concepto, llegando a la conclusión de que existen distintos tipos de infinitos, además de infinito numerable y no numerable. Desarrollo Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, de origen Judío, nace en Marzo de 1845 en Sn. Petesburgo Rusia, su padre tenía el interés de que George estudiara Ingeniería sobre todo por aspectos económicos, pero pudo más su inclinación hacia la Matemática, Filosofía y Teología. Logra estudiar un semestre en la Universidad de Gotinga, durante ese tiempo estudia con profundidad la obra de Gauss Disquisitiones Arithmeticae, haciendo un trabajo que le fue aceptado como tesis doctoral sobre las soluciones enteras de una ecuación indeterminada. A finales del siglo XIX, Cantor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual. Todos los argumentos que se han dado en contra del infinito, dice Cantor, han sido insensatos, ya que han tratado la aritmética de los números infinitos como una extensión de la aritmética de los números finitos, (¡vaya contradicción!) y esto se debe a que intuitivamente se ha tratado de explicar el infinito por medio de nuestra experiencia del mundo finito, cayendo en paradojas y contradicciones. También rechazó la distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial, ya que todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual. George Cantor fue el creador de la teoría de conjuntos transfinitos, consideró que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar conjuntos infinitos. Si existe una biyección entre dos conjuntos, podemos decir que dichos conjuntos son equipolentes o tienen la misma potencia. El término de potencia de un conjunto dio paso al término de número cardinal

Cantor afirma que dos conjuntos tienen el mismo número cardinal cuando todos los objetos de los dos conjuntos pueden ser apareados uno a uno (correspondencia biunívoca). Después del apareamiento no existen objetos sueltos en ninguno de los dos conjuntos. Cantor demostró que el conjunto de todos los enteros racionales 1, 2, 3... contiene precisamente tantos que la intuición nos hace pensar, es decir que existen más racionales, por otra parte probó que el conjunto de los números reales no tiene la misma cardinalidad que los racionales, también los números trascendentes son un infinito más grande que el infinito numerable de los números naturales . Las siguientes definiciones dadas por Cantor en distintos tiempos, es un intento por ilustrar la diferencia entre conjunto finito e infinito y el hecho de que dos conjuntos infinitos puedan tener diferente cardinalidad: Cantor (1878): Un conjunto finito es uno cuya potencia es un entero positivo. Para tal conjunto todo subconjunto propio tiene una potencia menor, mientras que un conjunto infinito A tiene la misma potencia que algún subconjunto propio de A. (Implícitamente dio estas propiedades cuando demostró que R y Rn tenían la misma potencia). Cantor (1882): Por un conjunto finito entendemos un conjunto M, el cual surge a partir de un elemento original a través de la adición sucesiva de nuevos elementos de tal forma que el elemento original puede ser obtenido a partir de M eliminando sucesivamente los elementos añadidos en el orden reverso. Cantor (1883, Grundlagen): Mientras que un conjunto finito siempre retiene el mismo número ordinal, independientemente de la forma en que estén ordenados sus elementos, un conjunto infinito puede ser reordenado de tal forma que tenga más de un ordinal. Conclusión En definitiva el concepto de infinito sigue teniendo implicaciones de corte filosófico y matemáticamente sigue siendo un objeto difícil de entender, probablemente de los más abstractos con que tengamos que lidiar, como ya se mencionó, en parte por nuestra intuición de pensar en un sentido finito al querer explicar el infinito, además de querer utilizar la aritmética de los números infinitos a números que no lo son, seguimos cayendo en contradicciones inexistentes. Referencias: Bell E. T. Los Grandes Matemáticos (Edición electrónica) Ortiz J. R. El Concepto de Infinito (1994) Asociación Matemática Venezolana