Engrane Recto

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA DISEÑO MECATRÓNICO

Nombre: Cristhian Camilo Polanco González. Código: 285453. Fecha: 30 de octubre de 2009. CONDICIONES INICIALES: Según los ejercicio 11.13 y 11.14, el engranaje está compuesto por un engrane recto de 57 dientes Ng y un piñón de 23 dientes Np acoplados entre sí.  Pd = 6.  φ=25º.  mp = 1.49.  Debido a que el engranaje transmite una potencia de 125 HP a una velocidad de 1000 rpm en el piñón, el par de torsión en cada árbol es:  Tp = 7878 lb-in.  Tg = 19524 lb-in. EJERCICIO 11.16 Condiciones a Cumplir:       

Factor de Seguridad a Flexión ≥ 2. Par de Torsión Uniforme. Dientes de Profundidad Total. Factor de Ancho de Cara = 8. Qv = 9. Piñón de Acero 4140 AISI. Engrane de Hierro Fundido de Clase 40. PIÑÓN

Con el fin de iniciar el proceso de diseño se deben tener en cuenta: el esfuerzo a flexión del piñón, la resistencia a la fatiga y el factor de seguridad requerido. 𝜎𝑏𝑝 = 𝑆𝑓𝑏𝑝 =

𝑊𝑡 𝑝𝑑 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠 𝐾𝐵 𝐾𝐼 (𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛) 𝐹𝐽 𝐾𝑣

𝐾𝐿 ′ 𝑆 (𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 − 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎) 𝐾𝑇 𝐾𝑅 𝑓𝑏

Para asegurar un diseño de óptimas condiciones, el factor de ancho de cara debe tener un valor entre 8 y 16, de donde se tiene que el ancho de cara F depende de este factor y de Pd, por lo tanto 8 16 ≤𝐹≤ 𝑝𝑑 𝑝𝑑 Así pues, el diseño se basará en el valor del paso diametral Pd

 DETERMINAR EL FACTOR GEOMÉTRICO J De acuerdo a la tabla 11.13 del libro Diseño de Máquinas de Robert Norton, se halla el factor J según la razón de contacto.

Debido a que la razón de contacto establecida no se encuentra en la tabla se procede a realizar la interpolación lineal teniendo en cuenta los datos de Np y Ng. Np/Ng 55 57

21 0.41 0.41025

135

23

26

0.42225

0.44 0.44025

0.42

0.45

De donde se tiene que J = 0.42225.

 FACTOR DE CARGA DINÁMICA KV 𝐾𝑣 =

𝐴

𝐵

𝐴 + 𝑉𝑡

Para determinar el valor Kv es necesario tener en cuenta la calidad del engrane Qv y la velocidad de la línea de paso Vt teniendo como unidades ft/min: 𝐴 = 50 + 56(1 − 𝐵) 2 2 12 − 𝑄𝑣 3 12 − 9 3 𝐵= = ≈ 0.52 4 4 𝐴 = 50 + 56 1 − 0.520021 = 76.8788 𝑁𝑝 23 𝑑𝑝 𝜔𝑝 𝑝𝑑 𝜔𝑝 𝑝𝑑 2000𝜋 6021.38592 𝑉𝑡 = = = = 24 24 24 𝑝𝑑 De esta expresión es posible determinar que el factor de carga dinámica dependerá del paso diametral Pd así: 0.520021

𝑘𝑣 =

76.8788 76.8788 +

6021.38592 𝑝𝑑

 En el estudio de la resistencia a la fatiga corregida se tiene en cuenta:   

Se trabaja a Temperatura Ambiente, 𝑘𝑇 = 1. Confiabilidad de 99%, 𝑘𝑅 = 1. La pieza diseñada deberá tener un factor de vida de 107 ciclos de donde 𝑘𝐿 = 1. El factor es determinado de acuerdo a la dureza del material y la figura mostrada a continuación.

Por medio de los valores encontrados hasta ahora (p.e. factores de ciclo de vida), y gracias a la tabla de selección de materiales del libro de Robert Norton, es posible determinar un diseño óptimo. 

Para el acero AISI 4140 se tiene:

Con los valores de la tabla es necesario tomar el promedio de la resistencia a la fatiga por flexión, así: (34 + 45) × 103 = 39.5 × 103 𝑝𝑠𝑖. 2 𝐾𝐿 ′ 𝑆𝑓𝑏𝑝 = 𝑆 = 39500 𝑝𝑠𝑖 𝐾𝑇 𝐾𝑅 𝑓𝑏

′ 𝑆𝑓𝑏 =

 ESFUERZO A FLEXIÓN DEL PIÑÓN 𝜎𝑏𝑝 =

𝑊𝑡 𝑝𝑑 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠 𝐾𝐵 𝐾𝐼 𝐹𝐽 𝐾𝑣



El Factor de Aplicación Ka es igual a 1 debido a que se trata de una máquina impulsada en forma uniforme.



𝑊𝑡 =

2𝑝 𝑑 𝑇𝑝 𝑁𝑝

=

2×7878×𝑝 𝑑 23

= 685.0434783𝑝𝑑



Km es el Factor de Distribución de Carga, de tal forma que para una primera iteración se toma F < 2 in y Km = 1.6. (Tabla presentada a continuación).

0.520021 76.8788



𝑘𝑣 =

   

J = 0.42225. KS = 1 asumiendo el caso de factor de tamaño igual a 1. KB = 1 tomando un ancho de aro de 1 KI = 1 ya que no existe un factor de engrane loco.

76.8788+

.

6021 .38592 𝑝𝑑

De esta forma: 𝜎𝑏𝑝 =

685.0434783𝑝𝑑2 0.42225𝐹

1.6 0.520021

76.8788

0.520021

76.8788

𝐹

6021.38592 𝑝𝑑

76.8788 +

2595.783458𝑝𝑑2

=

76.8788 +

 Se tiene que el factor de seguridad N es: 𝑁 =

𝑆𝑓𝑏𝑝 𝜎 𝑏𝑝

6021.38592 𝑝𝑑

= 2.

De esta forma, es necesario despejar un ancho de cara F dependiendo del paso diametral Pd, quedando la ecuación: 39500 2595.783458𝑝2𝑑

=2 0.520021

76.8788

𝐹

76.8788 +

39500𝐹

6021.38592 𝑝𝑑

0.520021

76.8788 76.8788 +

6021.38592 𝑝𝑑

=2

2595.783458𝑝2𝑑

𝐹=

0.1314320738 𝑝2𝑑 0.520021

76.8788 76.8788 +

6021.38592 𝑝𝑑

Debido a que se trata de un paso diametral grueso se itera entorno a los valores de la tabla 11.2.

Si Pd = 4

F = 2,60072989

2 < 2,600729894 < 4.

ENGRANE  DETERMINAR EL FACTOR GEOMÉTRICO J Es necesario utilizar la tabla 11.13 y hallar el factor según la razón de contacto. Np/Ng 55 57 135

21 0.49 0.491 0.53

23 0.491

26 0.49 0.491 0.53

Donde J = 0.491.  FACTOR DE CARGA DINÁMICA KV 𝐾𝑣 =

𝐴

𝐵

𝐴 + 𝑉𝑡

Se tienen en cuenta valores del mismo modo que el ejercicio anterior. 𝐴 = 50 + 56(1 − 𝐵) 2 2 12 − 𝑄𝑣 3 12 − 9 3 𝐵= = ≈ 0.52 4 4 𝐴 = 50 + 56 1 − 0.520021 = 76.8788 23𝜔𝑝 𝜔𝑔 = = 403.508 57 𝑁𝑔 57 𝑑𝑔 𝜔𝑔 𝑝𝑑 𝜔𝑔 𝑝𝑑 403.508𝜋 6021.38592 𝑉𝑡 = = = = 2 2 2 𝑝𝑑 Por lo tanto el Factor de Carga Dinámica depende del paso diametral Pd así:

0.520021

76.8788

𝒌𝒗 =

76.8788 +

6021.38592 𝑝𝑑

 En el estudio de la resistencia a la fatiga corregida se tiene en cuenta:   

Se trabaja a Temperatura Ambiente, 𝑘𝑇 = 1. Confiabilidad de 99%, 𝑘𝑅 = 1. La pieza diseñada deberá tener un factor de vida de 107 ciclos de donde 𝑘𝐿 = 1. El factor es determinado de acuerdo a la dureza del material y la figura mostrada a continuación.

Por medio de los valores encontrados hasta ahora (p.e. factores de ciclo de vida), y gracias a la tabla de selección de materiales del libro de Robert Norton, es posible determinar un diseño óptimo. 

Para un hierro fundido de clase 40 se tiene según tabla:

De esta manera se adopta la resistencia a la fatiga por flexión encontrada en tabla, así:

𝑆𝑓𝑏𝑔

′ 𝑆𝑓𝑏 = 13 × 103 𝑝𝑠𝑖. 𝐾𝐿 ′ = 𝑆 = 13000 𝑝𝑠𝑖 𝐾𝑇 𝐾𝑅 𝑓𝑏

 ESFUERZO A FLEXIÓN DEL ENGRANE 𝜎𝑏𝑔 =

𝑊𝑡 𝑝𝑑 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠 𝐾𝐵 𝐾𝐼 𝐹𝐽 𝐾𝑣



El Factor de Aplicación Ka es igual a 1 debido a que se trata de una máquina impulsada en forma uniforme.



𝑊𝑡 =



Km es el Factor de Distribución de Carga, de tal forma que para una primera iteración se toma F < 2 in y Km = 1.6. (Tabla presentada a continuación).

2𝑝 𝑑 𝑇𝑝 𝑁𝑝

=

2×7878×𝑝 𝑑 23

= 685.0434783𝑝𝑑

0.520021 76.8788



𝑘𝑣 =

   

J = 0.491. KS = 1 asumiendo el caso de factor de tamaño igual a 1. KB = 1 tomando un ancho de aro de 1 KI = 1 ya que no existe un factor de engrane loco.

76.8788+

.

6021 .38592 𝑝𝑑

Por lo tanto, 𝜎𝑏𝑝 =

685.0434783𝑝𝑑2 0.491𝐹

1.6 0.520021

76.8788

0.520021

76.8788

𝐹

6021.38592 𝑝𝑑

76.8788 +

2232.320906𝑝𝑑2

=

76.8788 +

 Se tiene que el factor de seguridad es igual a F.S. =

𝑆𝑓𝑏𝑝 𝜎 𝑏𝑝

6021.38592 𝑝𝑑

= 2.

De esta forma, es necesario despejar un ancho de cara F dependiendo del paso diametral Pd, quedando la ecuación: 13000 2232.320906𝑝2𝑑

=2 0.520021

76.8788

𝐹

76.8788 +

13000𝐹

6021.38592 𝑝𝑑

0.520021

76.8788 76.8788 +

6021.38592 𝑝𝑑

=2

2232.320906𝑝2𝑑

𝐹=

0.3434339855 𝑝2𝑑 0.520021

76.8788 76.8788 +

6021.38592 𝑝𝑑

Debido a que se trata de un paso diametral grueso se itera entorno a los valores de la tabla 11.2. - Si Pd = 3 anteriormente.

F = 3,924498167. Esta condición satisface la desigualdad nombrada

NOTA: 

Debido a que F debe ser el mismo se aumenta el factor de seguridad en el piñón buscando que Pd coincida.

Reemplazando el valor de F en la fórmula de F.S. del piñón, se tiene un factor de seguridad en el piñón, igual a 5,292182374. Por lo tanto, Pd = 3 F = 3,92449817. Y satisface de nuevo las inecuaciones de F. Con estos valores finales, se cumple el mismo paso diametral con un mismo ancho de cara tanto para el engrane como para el piñón. El factor de ancho de cara se determina de la siguiente manera: 𝐹=

𝐹𝑎𝑐 = 3,924498167. ⇒ 𝐹𝑎𝑐 = 11,7734945 𝑃𝑑

Este valor satisface las condiciones de diseño. Corrigiendo Km = 1.65 ya que el paso diametral es mayor que dos. F= 3.924498167*(1.65/1.6) = 4.04713873 Finalmente

𝐹𝑎𝑐 = 4.04713873. ⇒ 𝐹𝑎𝑐 = 12,1414162 𝑃𝑑 Aproximando a un valor de fácil manufactura 𝐹=

F=4.05. Y con este ancho de cara, el factor de seguridad en el piñón será: 5.39.