Emma

Logika Matematika A. TABEL KEBENARAN 1. Ingkaran (Negasi) 2. 3. 4. 5.

Disjungsi Konjungsi Implikasi (Kondisional) Biimplikasi (Bikondisional)

B. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

C. NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK

D. PERNYATAAN BERKUANTOR DAN INGKARANNYA 1. Kuantor Universal (Umum) 2. Kuantor Eksistensial (Khusus)

E. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

F. PENARIKAN KESIMPULAN 1. Modus Ponens/ Kaidah Pengasingan 2. Modus Tollens/ Kaidah Penolakan Akibat 3. Silogisma

SEMESTA PEMBICARAAN • • •

Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Kebenaran suatu pernyataan berdasarkan realitas dikatakan kebenaran faktual. Nilai kebenaran adalah benar atau salahnya suatu pernyataan. Contoh: a. Rasa air laut asin b. 2 adalah bilangan prima c. Jakarta terletak di pulau Jawa dan ibu kota RI •

Pernyataan sederhana adalah pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal.

•

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan sederhana dengan menggunakan bermacam-macam kata hubung.

Contoh: Walaupun hari masih pagi tetapi udara terasa panas. (pernyataan majemuk) Pernyataan majemuk di atas jika dirubah ke dalam pernyataan tunggal menjadi: • • •

Pernyataan 1: hari masih pagi Pernyataan 2: udara terasa panas Lambang umum yang digunakan dalam logika;

a. Huruf p, q, r, ... untuk menyatakan suatu pernyataan. b. B, T, atau 1 untuk menyatakan nilai benar. S, F, atau 0 untuk menyatakan nilai salah.

LATIHAN 1

1. Tentukan kalimat berikut ini, manakah yang merupakan kalimat pernyataan dan bukan pernyataan! a. Bogor mendapat julukan kota hujan. b. c. d. e.

. Siapa namamu? 75 habis dibagi 3. Diagonal-diagonal sebuah belah ketupat saling tegak lurus.

2. Tentukan pernyataan-pernyataan tunggal dari pernyataan majemuk berikut ini! a. Baik kantor maupun sekolah libur pada hari Sabtu. b. Saya lulus ujian akhir hanya jika saya rajin belajar.

TABEL KEBENARAN 1. Ingkaran (Negasi) Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah yang bernilai benar jika bernilai salah, dan bernilai salah jika bernilai benar. Ingkaran atau negasi dapat dinotasikan sebagai atau . Ingkaran dari suatu pernyataan dapat dinyatakan dengan menambahkan kata tidak, bukan, atau tidaklah benar bahwa. Contoh: a.

: Indonesia tergabung dalam negara-negara non blok (B) : Indonesia tidak tergabung dalam negara-negara non blok (S)

b.

:

(S) :

c.

(B)

: 2 adalah bilangan ganjil (S)

: 2 adalah bukan bilangan ganjil (B) Tabel kebenaran ingkaran

B

S

S

B

LATIHAN 2

1. Tentukan ingkaran pernyataan-pernyataan berikut ini serta tentukan nilai kebenarannya! a. . b. termasuk bilangan irrasional. c. Segitiga lancip adalah segitiga yang salah satu sudutnya kurang dari atau sama dengan 90o. d. Tokyo ibukota Jepang. e. Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. f. 75 habis dibagi 4. g. 2 adalah bilangan prima genap. h. adalah persamaan kuadrat. i. Jumlah dua buah bilangan ganjilm adalah bilangan genap. j. 7 adalah faktor dari 63. 2. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini!

B S 2. Disjungsi Jika dua pernyataan digabung dengan kata “atau” maka pernyataan majemuk yang diperoleh disebut disjungsi. Disjungsi dinotasikan dengan “”. Kata “atau” mempunyai dua arti yang berbeda, yaitu: a. Inklusif : mencakup Definisi:

Disjungsi Inklusif dua pernyataan dan bernilai benar jika salah satu atau kedua dari pernyataan dan bernilai benar. Contoh: 1.

: Citra belajar Matematika. : Citra belajar Bahasa Indonesia. : Citra belajar Matematika atau Bahasa Indonesia. Jika pernyataan bernilai benar maka salah satu atau kedua komponennya bernilai benar.

2.

: 2 adalah bilangan prima. : 2 adalah bilangan genap. : 2 adalah bilangan prima atau bilangan genap. Jika pernyataan bernilai benar maka salah satu atau kedua komponennya bernilai benar.

b. Eksklusif : memisah Definisi: Disjungsi Eksklusif dua pernyataan dan bernilai benar hanya jika salah satu dari pernyataan dan bernilai benar. Contoh: : hari ini hujan. : hari ini cerah. : hari ini hujan atau cerah. Jika pernyataan bernilai benar maka salah satu dari pernyataan dan bernilai benar. Tabel kebenaran disjungsi inklusif

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Tabel kebenaran disjungsi eksklusif

B

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

S

LATIHAN 3

1. Buatlah disjungsi dari pernyataan-pernyataan berikut: a.

: Amir sedang membaca koran. : Amir sedang membaca buku pelajaran.

b.

: 25 habis dibagi 5.

: 25 habis dibagi 3. c. : Ayah bekerja di perusahaan swasta. : Ibu bekerja di perusahaan swasta. 2. Jika : Budi pemain basket : Ani seorang model Buatlah kalimat majemuk dari notasi berikut: a. b. c. d. 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. Gunung Tangkuban Perahu terletak di Jawa Barat atau di Jawa Tengah. b. Bangun ruang yang semua rusuk-rusuknya sama panjang adalah kubus atau prisma. c. Es mencair adalah peristiwa kimia atau fisika.

4. Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini!

B

B

B

S

S

B

S

S

3. Konjungsi Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan dan ditulis . Pernyataan disebut juga sebagai pernyataan konjungtif sedangkan pernyataan dari masing-masing dan disebut komponen (subpernyataan). Definisi: Konjungsi dua pernyataan dan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Tabel kebenaran konjungsi

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Contoh: a.

: Bung Hatta lahir di Sumatra Barat. : Bung Hatta meninggal di Jakarta.

(B) (B)

: Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan meninggal di Jakarta. (B) b.

: 3 bukan bilangan prima

(S)

: 3 bilangan ganjil

(B)

: 3 bukan bilangan prima dan ganjil

(S)

LATIHAN 4

1. Buatlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan berikut: : Besi merupakan penghantar listrik yang baik.

a.

: Tembaga merupakan penghantar listrik yang baik. b.

: Diagonal-diagonal persegi panjangnya sama.

: Diagonal-diagonal persegi saling tegak lurus. c. : : 2. Jika : Bunga mawar baunya harum. : Mawar berduri. Buatlah kalimat majemuk dari notasi berikut: a. b. c. d. 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. Sudut 60o dan 30o termasuk sudut lancip. b. Matematika dan Fisika termasuk ilmu pasti. c. Vektor merupakan suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. 4. Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini!

B

B

B

S

S

B

S

S

4. Implikasi (Kondisional) Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika maka ”. Notasi dari implikasi ditulis “”. Pernyataan disebut pernyataan implikatif. dibaca “jika maka ”; “ hanya jika ”; “ jika ”; “ berimplikasi ”; “ asal saja ” . Pernyataan disebut anteseden/ hipotesa/ sebab dan disebut konsekuen/ konklusi/ akibat. merupakan syarat perlu bagi dan merupakan syarat cukup bagi . Implikasi bermakna bahwa “tidak mungkin p terjadi, tetapi q tidak terjadi, atau jika p terjadi maka q terjadi”. Definisi: Implikasi dua pernyataan bernilai salah hanya jika bernilai benar disertai bernilai salah. Tabel kebenaran Implikasi

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Contoh: a.

: Ia seorang anggota POLRI. : Ia seorang ABRI.

(B)

(S)

: Jika ia seorang anggota POLRI maka ia seorang ABRI.

(S)

b.

: 2 anggota bilangan asli.

(B)

: 2 anggota bilangan bulat positif.

(B)

: Jika 2 anggota bilangan asli, maka 2 anggota bilangan bulat positif. (B)

LATIHAN 5

1. Buatlah implikasi dari pernyataan-pernyataan berikut: a.

: Ali rajin belajar. : Ali naik kelas.

b.

: Diagonal-diagonal persegi panjangnya sama.

: Diagonal-diagonal persegi saling tegak lurus. c.

: Arus listrik mengaliri lampu. : Lampu yang tidak terbakar akan menyala.

2. Jika : 7 adalah bilangan prima. : 7 bilangan ganjil. Buatlah kalimat majemuk dari notasi berikut, kemudian tentukan nilai kebenarannya: a. b. c. d. 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. Jika a dan b bilangan ganjil, maka jumlah kedua bilangan itu bilangan genap. b. Jika sebuah segitiga merupakan segitiga sama kaki, maka sudut-sudut alasnya sama besar.

c. Jika a, b, c merupakan sisi-sisi sebuah segitiga, maka a + b < c. 4. Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini!

B

B

B

S

S

B

S

S

5. Biimplikasi (Bikondisional) Dua pernyataan dan dilambangkan dengan disebut biimplikasi. Pernyataan dibaca “ jika dan hanya jika ”, yang bermakna bahwa benar dan juga benar. Definisi: Biimplikasi dua pernyataan dan yaitu bernilai benar jika dan mempunyai nilai kebenaran yang sama. Tabel kebenaran Biimplikasi

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Contoh: Jika : Segitiga ABC siku-siku di A. :. Maka i. ii. iii.

: Jika segitiga ABC siku-siku di A maka . : Jika dalam segitiga ABC berlaku maka segitiga ABC siku-siku di A. : Segitiga ABC siku-siku di A jika dan hanya jika .

LATIHAN 6

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a. jika dan hanya jika dan . b. jika dan hanya jika . c. 7 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 7 tidak dapat dibagi 2. d. IPB terletak di Bogor jika dan hanya jika 5 < 3. 2. Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini!

B

B

B

S

S

B

S

S

ULANGAN LOGIKA MATEMATIKA (TABEL KEBENARAN) PETUNJUK UMUM:

• •

Ulangan dan latihan 1 sampai 6 dikerjakan di lembar folio. Ulangan bersama latihan dikumpulkan tepat pada waktu yang telah ditentukan.

1. Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut serta tentukan nilai kebenarannya! a. adalah persamaan kuadrat. b. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah . c. Arus yang dikeluarkan dari AKI (akumulator) adalah arus searah. d. termasuk bilangan irrasional. 2. Buatlah disjungsi dari pernyataan berikut serta tentukan nilai kebenarannya! : Segitiga sama kaki kedua sudutnya sama besar. : Segitiga sama sisi kedua sudutnya sama besar. 3. Jika diketahui pernyataan: : Sudut lancip adalah sudut yang besarnya 90o. : Candi Borobudur terletak di Jawa Tengah. :. Buatlah kalimat majemuk dari notasi: a. b. 4. Buatlah konjungsi dari pernyataan berikut: : Hari ini hujan deras. : Hari ini berangin kencang. 5. Buatlah konjungsi dari pernyatan berikut serta tentukan nilai kebenarannya!

: Sudut 60o termasuk sudut lancip. : Sudut 30o termasuk sudut lancip. 6. Jika : Bunga mawar baunya harum. : Mawar berduri. Buatlah kalimat majemuk dari notasi; a. b. c. d. 7. Nyatakan kalimat berikut dalam dan ! a. Padi akan tumbuh subur jika tersedia cukup pupuk. b. Jika dua buah segitiga mempunyai besar sudut-sudut yang sama maka sisi yang bersesuaian sebanding.

8. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut: a.

: :.

: : b.

: , dimana :, dimana

: : 9. Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut: a. jika dan hanya jika . b. jika dan hanya jika dan . 10. Isilah tabel kebenaran di bawah ini!