Elm2010_teoria_cap6.pdf

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

45

Capítulo VI

EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE Veja no quadro abaixo uma comparação de 2 procedimentos usados para a determinação da capacitância de um capacitor. Os passos do primeiro são baseados nos conceitos teóricos dos capítulos 2 até 5, os quais dependem inicialmente do conhecimento da distribuição de carga, grandeza esta de difícil obtenção prática. Por outro lado, o segundo procedimento apresenta uma situação mais realística, a qual requer primeiramente a obtenção do potencial através das equações de Poisson ou Laplace. Estas equações e este novo procedimento são abordados neste capítulo.

Passo ou Etapa (i) (ii)

(iii)

Quadro - Procedimentos para cálculo da Capacitância de um Capacitor Procedimento I – Antigo Procedimento II – Novo Considera-se conhecida a (expressão da) densidade Considera-se conhecida a expressão que fornece o potencial V em todos os pontos do capacitor, superficial de carga ρS de um dos condutores do capacitor (Nota: Se a carga deste condutor não for incluindo a diferença de potencial V0 entre os 2 positiva, trabalhar com o módulo de ρS). condutores.
Calcula-se a carga do condutor: Calcula-se o vetor E no dielétrico:

Q = ∫S ρ S dS
Calcula-se o vetor D no dielétrico:

∫S D • dS = Q (Gauss)
Calcula-se o vetor E no dielétrico:

E = D/ε

V0 entre os condutores: A

V0 = VAB = − ∫ E • dL

Calcula-se a ddp (iv)



E = −∇ V
Calcula-se o vetor D no dielétrico:

D = εE Calcula-se a densidade ρS em um condutor (de preferência o condutor positivo):


ρS = D N = D

na superfície condutora

Calcula-se a carga total no condutor escolhido:

Q = ∫S ρ S dS

B

Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor:

Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor:

Q C= V0

(v)

C=

Q V0

ou ∇ 2 V = −

ρv ε

6.1.1 – Equação de Poisson

∇ • D = ρv 

 D = εE 

 E = −∇ V 

[(

)]

[ ( )]





⇒ ∇ • ε − ∇V = ρ v ⇒ ∇ • ε ∇V = −ρ v

Se a permissividade ε for constante, obtemos: ∇.∇ V = −

ρv ε

Poisson

6.1.2 – Equação de Laplace Se ainda a densidade volumétrica ρv for nula (dielétrico perfeito), obtemos: ∇ 2 V = 0 Nota: ∇ 2 = ∇.∇ = divergência do gradiente = (div.)(grad.) = Laplaciano ou “nabla 2”

Laplace

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

46

6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE “Se uma resposta do potencial satisfaz a equação de Laplace ou a equação de Poisson e também satisfaz as condições de contorno, então esta é a única solução possível.” 6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE A seguir serão mostrados vários exemplos de solução da Equação de Laplace para problemas unidimensionais, isto é, onde V é função somente de uma única variável. Os tipos de exemplos possíveis são: 1. V = f(x), sendo x coordenada cartesiana (válido também para V = f(y) e V = f(z)) 2. V = f(ρ), sendo ρ coordenada cilíndrica 3. V = f(φ), sendo φ coordenada cilíndrica (válido também se φ é coordenada esférica) 4. V = f(r), sendo r coordenada esférica 5. V = f(θ), sendo θ coordenada esférica

Ex.1: Cálculo de V = f(x), sendo x coordenada cartesiana ∇ 2V = 0 ⇒

∂ 2V

=0 ⇒

d 2V

∂x 2 dx 2 dV =A Integrando 1a vez: dx Integrando 2a vez: V = Ax + B

=0

onde A e B são as constantes de integração que são determinadas a partir de condições de contorno (ou de fronteira) estabelecidas para a região em análise. Condições de contorno: x = constante ⇒ superfície plana  V = V1 em x = x 1 Sejam:  V = V2 em x = x 2 Substituindo acima, obtemos A e B como: V − V1 A= 2 x 2 − x1 e V x − V2 x1 B= 1 2 x 2 − x1 Logo: V =

V2 − V1 V x − V2 x1 x+ 1 2 x 2 − x1 x 2 − x1

Suponha agora que as condições de contorno sejam estabelecidas da seguinte maneira: em x = x1 = 0 V = V1 = 0  V = V2 = Vo em x = x 2 = d Assim, temos: A =

Vo d

e B=0 ⇒ V=

Vo x d

(0 ≤ x ≤ d)

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

47

Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor de placas // formado:

V
E = −∇ V = − o a x (i) d

εV
(ii) D = εE = − o a x d


εV (iii) ρ s = D n = D = D = o x =0 x =d d εV (iv) Q = ∫S ρ s dS = ρ s S = o S d εS Q εVo S / d = (v) C = ⇒ C= (Mesmo resultado obtido na seção 5.8) d Vo Vo Ex.2: Cálculo de V = f(ρ), sendo ρ coordenada cilíndrica ∇ 2V = 0 ⇒

1 d  dV  ρ =0 ρ dρ  dρ 

Integrando 1a vez: ρ

(ρ ≠ 0)

dV =A dρ

Re-arrajando e integrando 2a vez: V = A ln ρ + B Condições de contorno: ρ = constante ⇒ superfície cilíndrica V = 0 em ρ = b (refer.) (b > a)  V = Vo em ρ = a Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: V = Vo

ln (b / ρ) ln (b / a )

(a < ρ < b)

Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor coaxial formado: − Vo a ρ − b / ρ 2 Vo 1 ∂V (i) E = −∇ V = − aρ = = aρ ∂ρ ln(b / a ) b / ρ ln(b / a ) ρ εVo 1 (ii) D = εE = aρ ln(b / a ) ρ εVo (iii) ρ s = D n ρ= a = (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q) a ln(b / a ) εVo (iv) Q = ∫s ρ s dS = ρ s S = 2πa L a ln(b / a ) Q 2πεL C= = (v) (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 2) Vo ln(b / a )

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

Ex. 3: Cálculo de V = f(φ), sendo φ coordenada cilíndrica ∇ 2V = 0 ⇒

1 d 2V ρ 2 dφ2

Fazendo ρ ≠ 0 ⇒

Integrando 1a vez:

=0

d 2V dφ 2

(ρ ≠ 0)

=0

dV =A dφ

Re-arrajando e integrando 2a vez: V = A φ + B Condições de contorno: φ = constante ⇒ superfície semi-plana radial nascendo em z V = 0 em φ = 0  V = Vo em φ = α Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: V V= oφ α

Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois planos finitos definidos por: φ = 0, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = 0) φ = α, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = Vo) εh b ln ) Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta: C = α a

Ex. 4: Cálculo de V = f(r), sendo r coordenada esférica ∇ 2V = 0 ⇒

1 d  2 dV  r  = 0 (r ≠ 0) r 2 dr  dr 

Integrando 1a vez: r 2

dV =A dr

Re-arranjando e integrando 2a vez: A V=− +B r Condições de contorno: r = constante ⇒ superfície esférica V = 0 em r = b (refer.) (b > a)  V = Vo em r = a

48

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

49

Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 1 1 − V = Vo r b 1 1 − a b

Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor esférico formado: − Vo  1  ∂V (i) E = −∇ V = − ar =  − a 1 1  r2  r ∂r − a b εVo 1 (ii) D = εE = a 1 1 r2 r − a b εVo 1 ρs = D n ( r = a ) = (iii) (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q) 1 1 a2 − a b εVo 1 (iv) Q = ∫s ρ s ds = 4πa 2 1 1 a2 − a b Q 4πε = C= (v) (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 3) Vo 1 1 − a b Ex. 5: Cálculo de V = f(θ), sendo θ coordenada esférica ∇ 2V = 0 ⇒

1

d  dV   sen θ =0 dθ  r sen θ dθ  2

(r ≠ 0, θ ≠ 0, θ ≠ π)

Fazendo r ≠ 0, θ ≠ 0 e θ ≠ π: d  dV   sen θ =0 dθ  dθ  Integrando 1a vez: sen θ

dV =A dθ

Re-arrajando e integrando 2a vez: V = A ln[tg(θ 2)] + B Condições de contorno: θ = constante ⇒ superfície cônica V = 0 em θ = π 2 (α < π/2)  V = Vo em θ = α Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: V=

Vo ln[tg (θ / 2 )] ln[tg (α / 2 )]

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

50

Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois cones finitos definidos por: θ = π/2, 0 < r < r1, 0 < φ < 2π (Adotar V = 0) θ = α, 0 < r < r1, 0 < φ < 2π (Adotar V = Vo) − 2πε r1 Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta: C = ) ln[tg (α 2 )] 6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON Exemplo: A região entre dois cilindros condutores coaxiais com raios a e b, conforme mostrado na figura abaixo, contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρV . Se o campo elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno, determinar a expressão matemática que fornece o potencial V na região, entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual à do vácuo. Solução: 2

Equação de Poisson: ∇ V =

1

∂ ρ ∂ρ ⋅

ρ  ∂V   ρ  = − v εo  ∂ρ 

Integrando pela 1a vez:

ρ

ρ ρ2 ∂V =− v ⋅ +A⇒ ∂ρ εo 2

ρ ∂V A = − v ⋅ρ + ∂ρ ρ 2ε o

Porém, sabe-se que: E = −∇V ⇒ E = −

∂V ∂V ∂V aρ ⇒ E = E = − ⇒ = −E ∂ρ ∂ρ ∂ρ

(01) (02)

Substituindo (02) em (01), temos:

ρ ∂V A = −E = − v ⋅ ρ + ρ ∂ρ 2ε o 1a Condição de Contorno (Obtenção de A):

(03)

E = 0 para ρ = a.

(04)

Substituindo (04) em (03), temos:

0=

ρv ρ A ⋅ a − ⇒ A = v ⋅ a2 2ε o a 2ε o

(05)

Substituindo (05) em (01), temos:

ρv a2 ρv ∂V =− ⋅ρ+ ⋅ ∂ρ 2ε o 2ε o ρ

(06)

Integrando pela 2a vez:

ρv ρ 2 ρv V=− ⋅ + ⋅ a 2 ln ρ + B 2ε o 2 2ε o

(07)

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

2a Condição de Contorno (Obtenção de B):

V = 0 para ρ = a.

51

(08)

Substituindo (08) em (07), temos:

ρv a2 ρv ρ ρ 0=− ⋅ + ⋅ a 2 ln a + B ⇒ B = v ⋅ a 2 − v ⋅ a 2 ln a 2ε o 2 2ε o 4ε o 2ε o

(09)

Substituindo (09) em (07), temos:

V=−

V=

ρv ρ ρ ρ ⋅ ρ 2 + v ⋅ a 2 ln ρ + v ⋅ a 2 − v ⋅ a 2 ln a 4ε o 2ε o 4ε o 2ε o

(

)

ρv ρ ρ ⋅ a 2 − ρ 2 + v ⋅ a 2 ln  4ε o 2ε o a

[V]

(10)

6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE

Suponha o potencial seja função das variáveis x e y de acordo com a seguinte expressão: V = f ( x )f ( y) = XY

onde

X = f ( x ) e Y = f ( y)

Aplicando a equação de Laplace, obtemos: ∂ 2V ∂ 2V 2 ∇ V=0 ⇒ + =0 ∂x 2 ∂y 2 (01) → (02): ∂ 2X ∂ 2Y Y 2 +X 2 =0 ∂x ∂y

(01)

(02)

(03)

Dividindo (03) por XY: 1 ∂ 2X 1 ∂ 2Y + =0 X ∂x 2 Y ∂y 2 Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y, escrevemos: 1 d 2X 1 d 2Y = − (04) X dx 2 Y dy 2 Como X = f ( x ) e Y = f ( y) , então para que a equação (04) seja verdadeira, cada um dos membros de (04) deve resultar em uma mesma constante. Chamando esta constante de α2, temos: 1 d 2X = α2 2 X dx 1 d 2Y = −α 2 2 Y dy

(05) (06)

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

52

Re-escrevendo (05) e (06) temos: d 2X 2

dx d 2Y

dy

2

= α2X

(07)

= −α 2 Y

(08)

Solução da equação (07) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta: “Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma constante positiva?” Solução 1: Função trigonométrica hiperbólica em seno ou co-seno. Assim: X = A cos hαx + B sen hαx

(09)

Solução 2: Função exponencial. Assim:

X = A' e αx + B' e −αx

(10)

Solução da equação (08) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta: “Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma constante negativa?” Solução 1: Função trigonométrica em seno ou co-seno. Assim: Y = C cos αy + D sen αy

(11)

Solução 2: Função exponencial complexa. Assim:

Y = C' e jαy + D' e − jαy

(12)

Nota: Veja no Anexo I a solução da equação diferencial (07) por série infinita de potências.

Solução final da equação (01): Substituindo (09) e (11) em (01), obtemos finalmente:

V = XY = (A cos hαx + B sen hαx )(C cos αy + D sen αy )

(13)

sendo que as constantes A, B, C e D são determinadas pelas condições de contorno do problema. Exemplo: Calcule o potencial na região interna da calha retangular da figura. São conhecidos todos os potenciais nos contornos metálicos da calha. Observe que temos, neste caso, V = f(x) f(y). Partir da expressão (13) obtida acima. Solução:

Pela figura temos as condições de contorno: (i) V = 0 em x = 0, (ii) V = 0 em y = 0, (iii) V = 0 em y = d, 0 < x < c (iv) V = Vo em x = c, 0 < y < d

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

53

Aplicando as condições (i) e (ii) em (13) obtemos A = C = 0 e chamando BD = V1, chegamos a: V = XY = BD sen hαx sen αy = V1 sen hαx sen αy (14) e aplicando a condição (iii), V = 0 em y = d, temos: nπ 0 = V1 sen hαx senαd ⇒ α = (n = 0,1,2,…) d Substituindo α de (15) em (14): nπx nπy sen V = V1 sen h d d

(15)

(16)

Para a condição (iv) é impossível escolher um n ou V1 de modo que V = Vo em x = c, para cada 0 < y < d. Portanto, deve-se combinar um número infinito de campos de potenciais com valores diferentes de n e valores correspondentes de V1, isto é, V1n. Assim, genericamente devemos ter: ∞

V = ∑ V1n sen h n =0

nπx nπy sen d d

0
(17)

Aplicando agora a última condição de contorno (iv), V = Vo em x = c, 0 < y < d, obtemos: ∞

Vo = ∑ V1n sen h n =0

nπc nπy sen d d

0
(18)

0
(19)

ou ∞

Vo = ∑ b n sen n =0

nπy d

onde, b n = V1n sen h

nπc d

(20)

A equação (19) pode representar uma série de Fourier em seno para f(y) = V(y) = Vo em 0 < y < d (região de interesse) e f(y) = V(y) = –Vo em d < y < 2d, repetindo a cada período T = 2d. O gráfico desta função é mostrado na figura abaixo. Sendo a função ímpar, o coeficiente bn é dado por: bn =

2 T nπy dy ∫ f ( y) sen T y =0 d

bn =

1 d nπy 1 2d nπy V sen dy + dy ∫ o ∫ (− Vo ) sen d y =0 d d y =d d

n=0,1,2,3,...

ou

Resolvendo as integrais, obtemos: 4Vo bn = para n ímpar nπ e b n = 0 para n par

(21)

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

54

Substituindo bn de (21) em (20) e isolando V1n chegamos a: 4Vo V1n = nπc nπ sen h d

(22)

Finalmente, substituindo (22) em (17) obtemos a expressão para o potencial como: ∞

4Vo

n =1 ímpar

nπc nπ sen h d

V= ∑

sen h

nπx nπy sen d d

0 < x < c, 0 < y < d

(23)

0 < x < c, 0 < y < d

(24)

ou,

V=

4Vo ∑ π n =1 ∞

ímpar

nπx nπy sen d d nπc n sen h d

sen h

6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

6.1) Num meio uniforme de permissividade ε existe uma distribuição de cargas com densidade volumétrica ρv(r) = k, ocupando uma região esférica oca definida, em coordenadas esféricas, por a ≤ r ≤ b. Assumindo que o potencial seja zero em r = a, determinar pela equação de
Laplace/Poisson, o campo elétrico E(r ) e o potencial V(r) dentro das regiões: a) 0 ≤ r ≤ a; b) a ≤ r ≤ b; c) r ≥ b.
Nota: Pode-se usar a Lei de Gauss para obter a segunda condição de contorno para E .
Respostas: a) E(r ) = 0 e V(r) = 0;
k  a 3  − k  r 2 a 3 3a 2  b) E(r ) = ⋅ r− a r e V(r ) = ⋅ + − ; 2    ε 3ε  3 2 r 2 r   
k  b 3 − a 3  k  b 3 − a 3 3b 2 3a 2 c) E(r ) = ⋅ a r e V(r ) = ⋅  − + 3ε  r 2  3ε  r 2 2

 .  

6.2) Na região interna entre os planos z = 0 e z = 2a foi colocada uma carga uniformemente distribuída com densidade volumétrica ρv. Na região externa aos planos, o meio é somente o vácuo. Determinar a distribuição de potenciais para: a) A região interna entre os planos definida por 0 ≤ z ≤ 2a ; Nota: A primeira condição de contorno é obtida fixando a referência de potencial zero em z = 0. A segunda condição de contorno é obtida verificando onde o campo elétrico é nulo, baseando-se na simetria da configuração de cargas. b) A região externa entre os planos definida por z ≥ 2a . Nota: As condições de contorno devem ser obtidas partindo dos resultados do item anterior. − zρ v  z − aρ v  Respostas: a) V = ⋅  − a  ; b) V = ⋅ (z − 2a ) εo εo 2 

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

6.3)

55

(

)

Dados os campos de potencial V′ = 3x − y [V] e V′′ = 5 2r 2 − 7 cos θ [V] , pede-se: a) Verificar se estes campos de potencial satisfazem a Equação de Laplace; b) Determinar, para cada campo de potencial acima, a densidade volumétrica de carga no ponto P(0,5 ; 1,5 ; 1,0) no espaço livre. Respostas: a) V′ satisfaz (dielétrico perfeito) e V′′ não satisfaz a Equação de Laplace; b) ρv = 0 (dielétrico perfeito) para V′ e ρv = –283,97 [pC/m3] para V′′ .

6.4) Seja V = Aln[tg (θ 2 )] + B a expressão algébrica para o cálculo do potencial elétrico no dielétrico entre dois cones condutores coaxiais, sendo θ o ângulo medido a partir do eixo dos cones e A e B duas constantes. Sejam estes cones condutores definidos por θ = 60o e θ = 120o, separados por um espaço infinitesimal na origem. O potencial em P(r=1, θ =
o o o o 60 , φ= 90 ) é 50 V e o campo elétrico em Q(r=2, θ = 90 , φ= 120 ) é 50aθ [V/m]. Determinar: a) O valor do potencial V no ponto Q; b) A diferença de potencial Vo entre os dois cones; c) O ângulo θ no qual o potencial elétrico é nulo. Respostas: a) VQ = – 4,93 [V]; b) Vo = 109,86 [V]; c) θ = 87,18o. 6.5) Suponha que o espaço livre seja preenchido com uma carga distribuída com densidade volumétrica de carga ρV = kεox [C/m3]. Sejam os valores do quadro abaixo e k = 6 ⋅ 106 . Pede-se: x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m] 0 0 a) Determinar as expressões matemáticas de 5 V(x) e E(x); 10 – 1200 b) Completar os valores de V(x) e E(x) no 15 quadro. Respostas: a) V( x ) = b)

− kx 3 kx 2 + 1500 x e E ( x ) = − 1500 ; 6 2

x [mm] 0 5 10 15

V(x) [V] 0 7,375 14,0 13,125

E(x) [V/m] –1500 –1425 –1200 –825

6.6) A figura mostra um capacitor de placas paralelas, com dois dielétricos (regiões) de permissividades relativas εR1 e εR2. Pede-se: a) Os valores das diferenças de potenciais V10 e V20, nas 2 regiões, em função da tensão da bateria Vo; b) As expressões matemáticas de V1(x) e V2(x) nas 2 regiões, determinadas a partir da equação de Laplace e condições de contorno apropriadas. Respostas: a) V10 =

Vo 2Vo V V e V20 = ; b) V1(x) = o x e V2 (x) = o (2 x − d) 3 3 3d 3d

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

56

6.7) Um capacitor é constituído de duas placas planas condutoras situadas em φ = 0 e φ = α. As placas são limitadas pelos cilindros ρ = a e ρ = b e pelos planos z = 0 e z = h. Se a diferença de potencial entre as placas condutoras for Vo, pede-se: a) Determinar a expressão matemática do potencial V na região, partindo da equaçao de Laplace; b) Determinar a expressão matemática da capacitância; c) Dizer se é possível obter a mesma expressão da capacitância do item anterior, partindo da Lei de Gauss empregando uma superfície gaussiana. Justificar sua resposta; d) Determinar a separação que conduz a mesma capacitância do item (b) quando as placas são colocadas numa posição paralela, com o mesmo dielétrico entre elas. Nota: Assumir a permissividade do dielétrico como sendo a do vácuo. V ε h b Respostas: a) V = o φ ; b) C = o ⋅ ln ; α α a c) Não é possível obter uma superfície gaussiana para a solução pela Lei de Gauss, pois em qualquer plano radial (φ = cte), D não é constante (D = f (ρ)), apesar de ser normal à estes planos; d) d = (b − a )α [ln(b a )] 6.8) Num dispositivo o potencial elétrico é função somente da variável z, possuindo uma região com densidade volumétrica de carga ρv = ρo(z/z1) e condições de fronteira dadas por E = 0 em z = 0 e V = 0 em z = z1. Determinar para qualquer ponto nesta região: a) O potencial elétrico V,
b) O campo elétrico E . Respostas: a) V =

(

)

− ρo 3 z − z13 ; 6ε z1

b) E =

ρo 2 z az 2ε z1

6.9) a) Desenvolver as equações de Poisson e Laplace para um meio linear, homogêneo e isotrópico. b) Sendo v = campo vetorial qualquer e f = campo escalar qualquer, demostrar a seguinte identidade vetorial: ∇ • (f v ) = (∇ f ) • v + (∇ • v ) f Sugestão: Usar o sistema de coordenadas cartesianas para facilitar sua demonstração. c) De que maneira deve a permissividade elétrica (ε) variar em um meio não-homogêneo sem carga, de modo que a equação de Laplace continue válida? Sugestão: Iniciar pelo desenvolvimento do item (a), supondo ε variando espacialmente (com a distância). Usar também a identidade vetorial do item (b). Respostas: a) Equação de Poisson: ∇ 2 V = −ρ v / ε , Equação de Laplace (ρv = 0): ∇ 2 V = 0 ; b) Demonstração; c) Fazendo na identidade vetorial acima f = ε e v = ∇ V e tomando ∇ 2 V = 0 (Laplace), obtém-se (∇ ε ) • E = 0 , logo ∇ ε ⊥ E e a permissividade elétrica (ε) deve variar somente numa direção perpendicular ao campo elétrico (E ) .

6.10) a) Demonstrar, partindo da equação de Laplace, que a capacitância C de um capacitor esférico formado por 2 superfícies condutoras esféricas de raios a e b (b > a), separadas 4πε por um dielétrico de permissividade elétrica ε, é dada por: C = 1 1 − a b

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

57

b) Determinar a capacitância, CESFERA, de um capacitor esférico isolado formado por uma esfera de cobre de raio 9 cm, no vácuo. c) Se uma camada de um dielétrico uniforme (com εR = 3) de espessura d é colocada envolvendo a esfera de raio 9 cm do item (b), determinar d tal que a nova capacitância total equivalente seja 2 × CESFERA. Atenção: Note que a configuração final é de 2 capacitores esféricos dispostos em série. Respostas: a) Demonstração; b) CESFERA = 4πεoa = 10 pF (b → ∞); c) d = 27 cm. 6.11) Dada a equação diferencial de segunda ordem X" + 2 xX' − X = 0 , considere uma solução na forma de série infinita de potências, e calcule os valores numéricos dos coeficientes a2 até a6 desta série, sendo a0 = 1 e a1 = –2. ∞

Atenção: Como X é função somente de x, fazer X = ∑ a n x n . n =0

Respostas: a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = –1/8, a5 = –1/12, a6 = 7/240. 6.12) Sabendo-se que uma solução produto para a Equação de Laplace em duas dimensões é dada por V1 = X1Y1 , onde X1 e Y1 são funções somente de x e y, respectivamente, verificar se cada uma das 5 funções dadas a seguir satisfaz ou não à equação de Laplace, justificando sua resposta. a) Va = X1 − Y1 ; b) Vb = Y1 ; c) Vc = X1Y1 + y ; d) Vd = 2X1Y1 ; e) Ve = X1Y1 + x 2 − y 2 Respostas: (a) e (b) não satisfazem a Equação de Laplace. Observe que ∇ 2X1 e ∇ 2 Y1 não são solucionáveis, já que não se sabe suas expressões matemáticas. Assim, não se pode afirmar que ∇ 2 (X1 − Y1 ) = 0 para (a), e nem que ∇ 2 Y1 = 0 para (b); (c), (d) e (e) satisfazem a Equação de Laplace, já que ∇ 2 (X1Y1 ) = 0 (dado) e

(

)

também ∇ 2 (y ) = 0 e ∇ 2 x 2 − y 2 = 2 − 2 = 0 .

CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO

Capítulo VI: EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

Anotações do Capítulo VI

58