Eliel Correos.docx

Modelo Cadena de Correos Ahora, te proponemos lo siguiente para reafirmar tus conocimientos sobre la modelación matemática de la transmisión de un rumor, una enfermedad o el reenvío de mensajes de correo electrónico. Actualmente hay en el mundo un total de 7 323 557 942 millones de personas, y una cantidad equivalente son usuarios de Internet; para conocer la cifra exacta te invitamos a revisar la siguiente dirección, ya que con estos datos trabajaremos el modelo de expansión de un correo electrónico. Para llevar a cabo esta actividad, desarrolla los siguientes puntos: 1. Asumiendo los siguientes valores: r

4

a1

8

¿En qué reenvío se conseguirá que todos los usuarios de la red reciban la cadena? Solución: 𝑆𝑛 =

𝑎1 (𝑟 𝑛 − 1) 𝑟−1

Sustituyendo los datos en el modelo anterior tenemos: 7323557942 = Despejando a n tenemos:

(7323557942)(8) 4

8(4𝑛 −1) 4−1

= (4𝑛 − 1)

14647115884 = 4𝑛 − 1 14647115884 + 1 = 4𝑛 14647115884 = 4𝑛

Por una de las propiedades de los logaritmos en el lado derecho de la igualdad: log (14647115884) = 𝑛

𝑛 = 10.1657 Conclusión: Con 10 reenvíos no se cubrirían los 7323557942 correos, 2. Muchas cadenas te dicen que debes reenviar el mensaje dentro de un periodo de tiempo; por ejemplo, una hora. Asumiendo que quienes reciben la cadena hacen caso a dicha petición, ¿en cuánto tiempo, como máximo, todos los usuarios habrán recibido el mensaje? f(t) = P0art Sustituyendo en el modelo f(t) = P0art tenemos: 7 323 557 942 = 8(4) 10t 7 323 557 942 = 410𝑡 8 Log(915444742.75) = 𝑙𝑜𝑔410𝑡 8.9616 = 8𝑡 t = 1.12.

3. ¿En cuánto tiempo, como máximo, si la cadena exige que el reenvío se haga en no más de quince minutos? 𝟏𝟓𝐦𝐢𝐧 =

𝟏 = 𝟏𝒉 𝟏

𝟏𝟎 𝒓𝒆𝒆𝒏𝒗𝒊𝒐𝒔 = 𝟏𝟎𝒓𝒆𝒆𝒏𝒗𝒊𝒐𝒔/𝒉𝒐𝒓𝒂 𝟏𝒉 Aplicamos nuevamente el modelo exponencial 7 323 557 942 = 8(4)10t

f(t)=P0art

7 323 557 942 = 410𝑡 8 Log(915444742.75) = 𝑙𝑜𝑔410𝑡

8.9616 = 10𝑡 t = 0.8961 hrs.

4. Ya que hayas resuelto la primera propuesta, resuélvela de nuevo para los siguientes valores establecidos: r a1 𝑺𝒏 =

11 13 𝒂𝟏 (𝒓𝒏 − 𝟏) 𝒓−𝟏

𝟏𝟑(𝟏𝟏𝒏 − 𝟏) 7 323 557 942 = 𝟏𝟏 − 𝟏

(7 323 557 942 )(𝟏𝟏) = (𝟏𝟏𝒏 − 𝟏) 𝟏𝟑

𝟔𝟏𝟗𝟔𝟖𝟓𝟔𝟕𝟐𝟎. 𝟏 = 𝟏𝟏𝒏 − 𝟏

𝟔𝟏𝟗𝟔𝟖𝟓𝟔𝟕𝟐𝟎. 𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟏𝒏 𝟔𝟏𝟗𝟔𝟖𝟓𝟔𝟕𝟐𝟎. 𝟏 = 𝟏𝟏𝒏 𝒍𝒐𝒈(𝟔𝟏𝟗𝟔𝟖𝟓𝟔𝟕𝟐𝟎. 𝟏) = 𝒏 𝒏 = 𝟗. 𝟕𝟗𝟐𝟏

Lo anterior se debe a que muchas de las cadenas piden que el reenvío se realice a ese número de contactos.

5. Determina qué cantidad de usuarios recibirán el mensaje solamente en este reenvío. 𝒏 = 𝟗. 𝟕𝟗𝟐𝟏