Eletronica - Livro - Teoria Dos Circuitos Eletricos

Teoria de Circuitos El´ etricos Vers˜ ao 0.2 ˜ ENGENHARIA DE COMPUTAC ¸ AO

DRAFT

Prof. Paulo S´ergio da Motta Pires

Laborat´orio de Engenharia de Computa¸c˜ao e Automa¸c˜ao Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN, Setembro de 2000

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

i

Resumo Apresentamos uma vers˜ ao preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no curso de ELE431 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de gradua¸c˜ao em Engenharia de Computa¸c˜ao.

A vers˜ ao mais recente deste documento est´ a dispon´ıvel, no formato pdf, em http:\\www. leca.ufrn.br\~pmotta. Coment´ arios e sugest˜ oes podem ser enviados para pmotta@leca. ufrn.br

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 Trabalho totalmente desenvolvido usando Open Source Software : • XEmacs - 20.4 “Emerald” XEmacs Lucid • Xfig - Xfig 3.2 patchlevel 3c (Protocol 3.2) • epstopdf - EPSTOPDF 2.5, 1999/05/06 • pdflatex - pdftex Version 3.14159-13d (Web2C 7.3.1) • Scilab - Vers˜ ao 2.5 em ambiente Linux Slackware 7.11

Pode ser copiada e distribu´ıda livremente, mantidos os cr´ editos.

Evolu¸ c˜ ao : 1. Setembro de 2000 - in´ıcio, com a Vers˜ ao 0.1 1

http://www.slackware.com

ii

Sum´ ario 1

2

3

Conceitos 1.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fun¸ c˜ oes Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Fun¸ c˜ ao Degrau Unit´ ario . . . . . . . . . . . 1.3.2 Fun¸ c˜ ao Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Fun¸ c˜ ao Rampa Unit´ aria . . . . . . . . . . . 1.3.4 Fun¸ c˜ ao Impulso Unit´ ario . . . . . . . . . . 1.3.5 Propriedades da Fun¸ c˜ ao δ(t) . . . . . . . . 1.4 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace 1.5 Transformada de Laplace de Fun¸ c˜ oes Peri´ odicas . 1.6 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . 1.7 Expans˜ ao em Fra¸ c˜ oes Parciais . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Ra´ızes Reais Distintas . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Ra´ızes M´ ultiplas . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Ra´ızes Complexas Simples . . . . . . . . . 1.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Diagrama de Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 3 5 6 6 6 7 8 11 11 12 12 13 15 16 16 16

M´ etodos para An´ alise de Circuitos 2.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Componentes de Circuitos El´ etricos 2.3 M´ etodo das Malhas . . . . . . . . . . 2.4 M´ etodo dos N´ os . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

19 19 19 20 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . da Frequ encia ¨ˆ

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

34 34 34 36 38 38

An´ alise de Circuitos Transformados 3.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Circuitos de Primeira Ordem . . . 3.3 Circuitos em Regime Permanente 3.4 Circuitos Transformados . . . . . . 3.5 Elementos de Circuito no Dom´ınio

iii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 4

. . . . . .

43 43 43 44 45 46 46

. . . . . . .

47 47 49 50 51 52 54 56

6

S´ erie de Fourier em An´ alise de Circuitos 6.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 A S´ erie Trigonom´ etrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transla¸ c˜ ao de Gr´ aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 58 61

7

Quadripolos 7.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Parˆ ametros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Parˆ ametros Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 64 64 66

5

Fun¸ c˜ ao de Transferˆ encia 4.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . 4.2 A Fun¸ c˜ ao H(s) . . . . . 4.3 Resposta ao Impulso . 4.4 Resposta ao Degrau . . 4.5 Resposta ` a Rampa . . . 4.6 Integral de Convolu¸ c˜ ao

iv

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Resposta em Frequ encia ¨ˆ 5.1 Introdu¸ c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Curvas de Bode . . . . . . . . . . . 5.2.1 H(s) com termo constante . 5.2.2 H(s) com termo s . . . . . . 5.2.3 H(s) com termo 1 + τ s . . . 5.2.4 H(s) com termo s2 + as + b . 5.2.5 Frequ encia de Ressonˆ ancia ¨ˆ

A Transformadas de Laplace - Resumo

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

67

Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14

Representa¸ c˜ ao de um circuito el´ etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caracter´ısticas de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A fun¸ c˜ ao degrau unit´ ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A fun¸ c˜ ao degrau unit´ ario deslocada de a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . Escalonamento da fun¸ c˜ ao degrau e da fun¸ c˜ ao degrau deslocada . . . . A fun¸ c˜ ao pulso quadrado constru´ıda a partir da combina¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A fun¸ c˜ ao sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A fun¸ c˜ ao rampa unit´ aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A fun¸ c˜ ao rampa unit´ aria deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A fun¸ c˜ ao delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo para deslocamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 5 6 6 7 11 17 18

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13

Componentes de circuitos el´ etricos . . . . . . . . . . . Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Um circuito el´ etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obten¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes de malha . . . . . . . . . . . . Obten¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes de malha . . . . . . . . . . . . Obten¸ c˜ ao das correntes de malha . . . . . . . . . . . . Obten¸ c˜ ao da corrente sobre o resistor de 10Ω . . . . . An´ alise pelo m´ etodo dos n´ os . . . . . . . . . . . . . . . An´ alise pelo m´ etodo dos n´ os . . . . . . . . . . . . . . . Obten¸ c˜ ao do valor da corrente i . . . . . . . . . . . . . Obten¸ c˜ ao dos valores das tens˜ oes v1 , v2 e v3 . . . . . . Obten¸ c˜ ao dos valores das tens˜ oes - fonte controlada

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

19 20 20 21 23 24 25 26 28 29 30 30 32

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respostas no dom´ınio do tempo . . . . . . . . Regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . Capacitor em aberto e indutor em curto . . . Circuito ap´ os a chave ter sido aberta . . . . . An´ alise de circuitos no dom´ınio da frequ encia ¨ˆ

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

34 35 36 37 37 38 38

v

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

1 2 3 3 4

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

vi

3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

Representa¸ c˜ ao do resistor no dom´ınio da frequ encia . ¨ˆ Representa¸ c˜ oes do indutor no dom´ınio da frequ encia . ¨ˆ Representa¸ c˜ oes do capacitor no dom´ınio da frequ encia ¨ˆ Tens˜ ao v(t) sobre o indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrente i(t) sobre o capacitor . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

39 40 41 41 42

4.1 4.2 4.3 4.4

Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia Resposta ao impulso . . Resposta ao degrau . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

43 44 45 45

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Sistema linear invariante no tempo . . . . . . Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta em frequ encia para H(jω) = k . . . ¨ˆ Resposta em frequ encia para H(jω) = jω . . ¨ˆ 1 Resposta em frequ ˆ . . . ¨ encia para H(jω) = jω Resposta em frequ encia para H(jω) = 1 + jωτ ¨ˆ 1 Resposta em frequ encia para H(jω) = 1+jωτ . ¨ˆ Resposta em frequ encia para H(jω) = . . . . ¨ˆ Resposta em frequ encia para H(jω) = . . . . ¨ˆ

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

47 49 50 51 52 53 54 55 55

6.1 6.2 6.3 6.4

Decomposi¸ c˜ ao de um sinal por Fourier . . . Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onda quadrada deslocada em rela¸ c˜ ao ` a onda Obter a tens˜ ao v0 (t) . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . do . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplo anterior . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

58 60 61 62

7.1 7.2 7.3

Quadripolo com grandezas associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadripolo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadripolo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 65 66

H(s) H(s) . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Cap´ıtulo 1

Conceitos 1.1

Introdu¸ ca ˜o

Apresentamos algumas defini¸ c˜ oes e a fundamenta¸ c˜ ao matem´ atica necess´ aria para analisar circuitos el´ etricos no dom´ınio da frequ encia. ¨ˆ Neste cap´ıtulo, os circuitos el´ etricos s˜ ao tratados pelo termo mais abrangente de sistemas e s˜ ao representados sem a preocupa¸ c˜ ao de caracterizar seus componentes. Na Figura 1.1, ´ e mostrado, ent˜ ao, um circuito el´ etrico.

SISTEMA

e(t) E(s)

(Circuito Elétrico)

r(t) R(s)

Figura 1.1: Representa¸c˜ao de um circuito el´etrico A excita¸ c˜ ao, ou entrada, de um circuito pode ser feita atrav´ es de uma fonte de corrente ou de uma fonte de tens˜ ao e a resposta, ou sa´ıda, pode ser apresentada em termos do comportamento da corrente ou da tens˜ ao em um ou mais elementos do circuito. No dom´ınio do tempo, a excita¸ c˜ ao e a resposta s˜ ao representados, respectivamente, por e(t) e r(t). No dom´ınio da frequ encia, a excita¸ c˜ ao ´ e representada ¨ˆ por E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um dom´ınio para outro ´ e poss´ıvel atrav´ es da utiliza¸ c˜ ao da transformada de Laplace. Por conven¸ c˜ ao, iremos adotar letras min´ usculas para denotar grandezas no dom´ınio do tempo e letras mai´ usculas para denotar grandezas no dom´ınio da frequ encia. ¨ˆ Em an´ alise de circuitos, s˜ ao conhecidas a excita¸ c˜ ao e o circuito. O objetivo ´ e encontrar a resposta. Em s´ıntese de circuitos, s˜ ao conhecidas a excita¸ c˜ ao e a resposta. O objetivo, neste caso, ´ e obter o circuito.

1

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

1.2

2

Sistemas

Algumas defini¸ c˜ oes para sistemas : • Sistemas Lineares - S˜ ao sistemas para os quais vale o princ´ıpio da superposi¸ c˜ ao. Segundo este princ´ıpio, se e1 (t), r1 (t) e e2 (t), r2 (t) s˜ ao dois pares diferentes de excita¸ c˜ ao/resposta para um determinado sistema, a excita¸ c˜ ao deste sistema por e(t) = e1 (t) + e2 (t) deve dar como resposta r(t) = r1 (t) + r2 (t), como mostrado na Figura 1.2. Para estes sistemas, vale, tamb´ em, o princ´ıpio da proporcionalidade. Neste caso, se C1 e(t) for a excita¸ c˜ ao, com C1 constante, a resposta ser´ a C1 r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de proporcionalidade. Outra caracter´ıstica dos sistemas lineares : a excita¸ c˜ ao e a correspondente resposta est˜ ao relacionadas por uma equa¸ c˜ ao diferencial linear. C e (t) 1 1

C e (t) 2 2

C e (t) + C e (t) 1 1 2 2

SISTEMA

SISTEMA

SISTEMA

C r (t) 1 1

C r (t) 2 2

C r (t) + C r (t) 1 1 2 2

Figura 1.2: Caracter´ısticas de sistemas lineares • Sistemas Passivos - S˜ ao sistemas compostos por elementos que n˜ ao introduzem energia. • Sistemas Rec´ıprocos - S˜ ao sistemas para os quais o relacionamento entre a excita¸ c˜ ao e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida s˜ ao trocados. • Sistemas Causais - S˜ ao sistemas para os quais a resposta ´ e n˜ ao-antecipat´ oria, isto ´ e, s˜ ao sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T ent˜ ao r(t) = 0 para t < T . S´ o existir´ a resposta se uma excita¸ c˜ ao for aplicada. • Sistemas Invariantes no Tempo - S˜ ao sistemas para os quais se a excita¸ c˜ ao e(t) d´ a como resposta r(t), uma excita¸ c˜ ao deslocada, e(t ± T ) dar´ a uma resposta deslocada r(t ± T ).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

1.3

3

Fun¸ co ˜es Singulares

Fun¸ c˜ oes singulares s˜ ao fun¸ c˜ oes que apresentam algum tipo de descontinuidade. Iremos analisar as fun¸ c˜ oes singulares de maior interesse para a ´ area de circuitos el´ etricos.

1.3.1

Fun¸ca ˜o Degrau Unit´ ario

A fun¸ c˜ ao degrau unit´ ario, u(t), ´ e definida atrav´ es da rela¸ c˜ ao :  1, se t ≥ 0 u(t) = 0, se t < 0 O gr´ afico ´ e mostrado na Figura 1.3 u(t)

1

t

Figura 1.3: A fun¸c˜ao degrau unit´ ario A fun¸ c˜ ao degrau unit´ ario deslocada ´ e mostrada na Figura 1.4. u(t − a)

1

t

a

Figura 1.4: A fun¸c˜ao degrau unit´ ario deslocada de a > 0 Observar que : u(t − a) =



1, se t ≥ a 0, se t < 0

A altura da fun¸ c˜ ao degrau unit´ ario pode ser modificada multiplicando-se a fun¸ c˜ ao por uma constante. Na Figura 1.5 mostramos o resultado da multiplica¸ c˜ ao (escalonamento) dos dois gr´ aficos anteriores por uma constante A > 0.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

f(t) = A u(t)

4

f(t) = A u(t − a)

A

A

t

a

t

Figura 1.5: Escalonamento da fun¸c˜ao degrau e da fun¸c˜ao degrau deslocada Utilizando as propriedades de deslocamento e escalonamento mostradas anteriormente, podemos construir outras formas de onda. Exemplo - a fun¸ c˜ ao pulso quadrado pode ser constru´ıda usando uma combina¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes degrau. Assim, considerando a fun¸ c˜ ao f (t), f (t) = 4u(t − 1) − 4u(t − 2) temos os gr´ aficos mostrados na Figura 1.6

4 u (t − 1) 4 2 t

1 −4 −4 u(t − 2)

f(t) = 4 u(t − 1) − 4 u(t − 2) 4

1

t

2

Figura 1.6: A fun¸c˜ao pulso quadrado constru´ıda a partir da combina¸c˜ao de fun¸c˜oes degrau Exemplo - na Figura 1.7, apresentamos a fun¸ c˜ ao f (t) = u(sent)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

5

f(t) = sen t 1 ... t −1

u(sen t)

1 ... t

Figura 1.7: Onda quadrada

1.3.2

Fun¸ca ˜o Sinal

Alguns autores definem a fun¸ c˜ ao sinal, sgn(t), atrav´ es da express˜ ao :  se t > 0  1, 0, se t = 0 sgn(t) =  −1, se t < 0 enquanto outros autores representam a fun¸ c˜ ao sinal atrav´ es da express˜ ao :  1, se t > 0 sgn(t) = −1, se t < 0 Usando a segunda representa¸ c˜ ao, podemos escrever sgn(t) = 2 u(t) − 1. O gr´ afico da fun¸ c˜ ao sinal ´ e mostrado na Figura 1.8 sgn(t) 1

t

−1

Figura 1.8: A fun¸c˜ao sinal

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

1.3.3

6

Fun¸ca ˜o Rampa Unit´ aria

A fun¸ c˜ ao rampa unit´ aria, ρ(t), ´ e definida atrav´ es da rela¸ c˜ ao : ρ(t) = t u(t) O gr´ afico da fun¸ c˜ ao rampa unit´ aria ´ e mostrado na Figura 1.9 ρ (t) 1

1

t

Figura 1.9: A fun¸c˜ao rampa unit´ aria Na Figura 1.10, mostramos a fun¸ c˜ ao rampa unit´ aria deslocada. ρ (t − a)

1

a

a+1

t

Figura 1.10: A fun¸c˜ao rampa unit´ aria deslocada No caso da fun¸ c˜ ao rampa, o escalonamento mudar´ a a tangente do ˆ angulo formado com o eixo t.

1.3.4

Fun¸ca ˜o Impulso Unit´ ario

A fun¸ c˜ ao impulso unit´ ario, ou fun¸ c˜ ao delta, ´ e definida atrav´ es das express˜ oes : R∞ −∞ δ(t)dt = 1 se t 6= 0

δ(t) = 0

1.3.5

Propriedades da Fun¸ca ˜o δ(t) Z

∞

−∞

δ(t)dt =

Z

0+

0−

δ(t)dt = 1

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

7

Decorre, da propriedade acima, que : 0−

Z

δ(t)dt =

Z

∞

δ(t)dt = 0

0+

−∞

Uma outra propriedade importante, Z ∞ f (t)δ(t)dt = f (0) −∞

e, por extens˜ ao, Z

∞

f (t)δ(t − T )dt = f (T )

−∞

´ conveniente ressaltar que δ(t) = u0 (t). O gr´ E afico da fun¸ c˜ ao δ(t) ´ e mostrado na Figura 1.11 δ

t

Figura 1.11: A fun¸c˜ao delta

1.4

Transformadas de Laplace

A transformada de Laplace permite passar do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da frequ encia. Ela ´ e definida atrav´ es da equa¸ c˜ ao : ¨ˆ Z ∞ L [f (t)] = F (s) = f (t)e−st dt 0−

√ onde s ´ e a vari´ avel do dom´ınio complexo, s = σ + jω, e j = −1. Exemplo - podemos utilizar a defini¸ c˜ ao para obter a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t) = u(t). Temos,

L [u(t)] =

Z

∞

− Z0 ∞

u(t)e−st dt

e−st dt 0 e−st ∞ = − s 0 1 = s =

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

8

Tamb´ em usando a defini¸ c˜ ao, podemos obter a transformada de Laplace de f (t) = Temos, Z ∞ L [eat u(t)] = eat u(t)e−st dt − Z0 ∞ = eat e−st dt 0 e−(s−a)t ∞ = − s − a 0 1 = s−a

eat u(t).

Geralmente, as integrais que precisam ser calculadas para se obter a transformada de Laplace n˜ ao s˜ ao t˜ ao simples quanto as apresentadas anteriormente ou podem levar um tempo muito grande para serem obtidas. Estas complica¸ c˜ oes s˜ ao evitadas, na maioria dos casos, atrav´ es da utiliza¸ c˜ ao de propriedades das transformadas de Laplace.

1.4.1

Propriedades da Transformada de Laplace

Proporcionalidade A transformada de Laplace de uma constante (independente do tempo) vezes uma fun¸ c˜ ao, ´ e a constante vezes a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao. Assim, considerando k uma constante,independente de t, L [kf (t)] = kL [f (t)] Linearidade A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Laplace de uma soma de fun¸ c˜ oes ´ e a soma das transformadas de Laplace de cada uma das fun¸ c˜ oes. Ent˜ ao, X X L[ fi (t)] = L [fi (t)] i

i

Podemos usar esta propriedada para obter a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t) = senωt. Utilizando a identidade de Euler, ejωt = cosωt + jsenωt temos, f (t) = senωt =

 1  jωt e − e−jωt 2j

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

9

Da´ı, como o uso da propriedade da linearidade, L [f (t)] = L [senωt]  1  = L [ejωt ] − L [e−jωt ] 2j   1 1 1 = − 2j s − jω s + jω ω = 2 s + ω2

Diferencia¸ c˜ ao Se F (s) ´ e a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t), L [f (t)] = F (s), ent˜ ao   df (t) L = sF (s) − f (0− ) dt onde f (0− ) ´ e o valor de f (t) em t = 0− . Por extens˜ ao,   n d f (t) 0 = sn F (s) − sn−1 f (0− ) − sn−2 f (0− ) − ... − f n−1 (0− ) L dtn onde os superescritos em f (t) indicam derivada em rela¸ c˜ ao a t. Exemplo - utilizar a propriedade da diferencia¸ c˜ ao para obter a transformada 0 de Laplace da fun¸ c˜ ao δ(t). Sabendo que δ(t) = u (t), temos : L [δ(t)] = L = s



du(t) dt



1 s

= 1 j´ a que u(0− ) = 0. Integra¸ c˜ ao Se F (s) ´ e a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t), L [f (t)] = F (s), ent˜ ao Z τ  F (s) L f (t)dt = s 0− Exemplo - utilizar a propriedade da integra¸ c˜ ao para obter a transformada de 0 Laplace da fun¸ c˜ ao ρ(t). Sabendo que ρ(t) = u (t), temos : L [ρ(t)] = L = =

Z

11 ss 1 s2

t

0−

u(t)dt



Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

10

Multiplica¸ c˜ ao por t A propriedade da diferencia¸ c˜ ao no dom´ınio s ´ e definida atrav´ es da equa¸ c˜ ao : L [tf (t)] = −

dF (s) ds

ou, generalizando, L [tn f (t)] = (−1)n

dn F (s) dsn

Exemplo - obter a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t) = te−at . Temos,

−at

L [te

  d 1 ] = − ds s + a 1 = (s + a)2

Por extens˜ ao, temos : L [tn e−at ] =

n! (s + a)n+1

e L [tn ] =

n! sn+1

onde n ´ e inteiro positivo. Deslocamento Complexo Se F (s) ´ e a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t), L [f (t)] = F (s), ent˜ ao L [eat f (t)] = F (s − a) Exemplo - obter a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t) = e−at sen(ωt). Como L [sen(ωt)] = temos, L [e−at sen(ωt)] =

s2

ω + ω2

ω (s + a)2 + ω 2

Considerando f (t) = e−at cos(ωt), temos L [e−at cos(ωt)] =

s+a (s + a)2 + ω 2

j´ a que

s + ω2 Devemos salientar que, neste caso, a utiliza¸ c˜ ao de uma propriedade eliminou a necessidade da obten¸ c˜ ao da transformada de Laplace atrav´ es da resolu¸ c˜ ao de integra¸ c˜ oes complicadas ou trabalhosas. L [cos(ωt)] =

s2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

11

Deslocamento Real Se F (s) ´ e a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t), L [f (t)] = F (s), ent˜ ao L [f (t − a)u(t − a)] = e−as F (s − a) Exemplo - obter a transformada de Laplace para a fun¸ c˜ ao mostrada na Figura 1.12 f(t)

2

t

a

Figura 1.12: Exemplo para deslocamento real Podemos observar que a fun¸ c˜ ao f (t) pode ser escrita como a combina¸ c˜ ao de duas fun¸ c˜ oes degrau. Temos, portanto, f (t) = 2u(t) − 2u(t − a) Da´ı, L [f (t)] = 2L [u(t)] − 2L [u(t − a)] Ent˜ ao, F (s) =

1.5

2 2e−as − s s

Transformada de Laplace de Fun¸ co ˜es Peri´ odicas

Se f (t) ´ e uma fun¸ c˜ ao peri´ odica de per´ıodo T , isto ´ e, f (t) = f (t ± T )

T´ e o per´ıodo

a transformada de Laplace de f (t) pode ser obtida utilizando a equa¸ c˜ ao : 1 L [f (t)] = 1 − e−sT

1.6

Z

T

f (t)e−st dt

0−

Transformada Inversa de Laplace

Se F (s) ´ e a transformada de Laplace da fun¸ c˜ ao f (t), define-se a transformada inversa de Laplace atrav´ es da expres˜ ao : L −1 [F (s)] = f (t)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

12

Assim, se F (s) =

1 s

a transformada inversa ser´ a 1 L −1 [F (s)] = L −1 [ ] s = u(t)

1.7

Expans˜ ao em Fra¸ co ˜es Parciais

Uma fun¸ c˜ ao no dom´ınio da frequ encia, F (s), pode sempre ser escrita na forma : ¨ˆ F (s) =

N (s) D(s)

onde N (s) representa seu numerador e D(s) representa o seu denominador. As t´ ecnicas de expans˜ ao em fra¸ c˜ oes parciais auxiliam na obten¸ c˜ ao das transformadas inversas de Laplace. Vamos considerar casos em que o denominador da fun¸ c˜ ao F (s) apresente ra´ızes reais distintas, ra´ızes m´ ultiplas e ra´ızes complexas simples.

1.7.1

Ra´ızes Reais Distintas

Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) =

N (s) (s − s0 )(s − s1 )(s − s2 )

onde s0 , s1 e s2 s˜ ao ra´ızes reais e distintas e o grau do numerador, N (s), ´ e menor do que 3. Expandindo F (s), temos : F (s) =

k1 k2 k0 + + s − s0 s − s1 s − s2

Para obter a constante k0 , fazemos : (s − s0 )F (s) = k0 +

k1 (s − s0 ) k2 (s − s0 ) + s − s1 s − s2

Considerando s = s0 , temos : k0 = (s − s0 )F (s)

s=s0

Esta nota¸ c˜ ao indica que, para obter o valor de k0 , elimina-se do denominador da fun¸ c˜ ao F (s) o termo que depende de s0 , (s − s0 ), substituindo-se o valor de s, nos termos restantes, pelo valor de s0 . De modo semelhante, temos k1 = (s − s1 )F (s) s=s1

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

13

Generalizado, temos ki = (s − si )F (s)

s=si

Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a fun¸ c˜ ao F (s) =

s2 + 2s − 2 s(s + 2)(s − 3)

Observar que o denominador j´ a encontra-se fatorado. Temos, F (s) =

s2 + 2s − 2 k0 k1 k2 = + + s(s + 2)(s − 3) s s+2 s−3

Da´ı, s2 + 2s − 2 1 = =3 (s + 2)(s − 3) s=0 s=0 2 1 s + 2s − 2 =− k1 = (s + 2)F (s) = s(s − 3) s=−2 5 s=−2 s2 + 2s − 2 13 k2 = (s − 3)F (s) = = s(s + 2) s=3 15 s=3 k0 = sF (s)

Temos, ent˜ ao,

F (s) =

1 3

s

−

1 5

s+2

+

13 15

s−3

Da´ı, L −1 [F (s)] = f (t) = L −1

" # 1 3

s

− L −1

"

1 5

s+2

#

+ L −1

"

13 15

s−3

#

Assim, 1 1 13 f (t) = u(t) − e−2t u(t) + e3t u(t) 3 5 15

1.7.2

Ra´ızes M´ ultiplas

Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) =

N (s) (s − s0 )n D1 (s)

Observamos que F (s) possui polos m´ ultiplos em s0 . Expandindo F (s), temos : F (s) =

k0 k1 k2 kn−1 N1 (s) + + + ... + + n n−1 n−2 (s − s0 ) (s − s1 ) (s − s2 ) s − s0 D1 (s)

Seja F1 (s) = (s − s0 )n F (s)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

14

Pela express˜ ao anterior, estamos eliminando da fun¸ c˜ ao F (s) o fator (s − s0 )n . Assim, F1 (s) = k0 + k1 (s − s0 ) + k2 (s − s2 ) + ... + kn−1 (s − s0 )n−1 + R(s)(s − s0 )n Da´ı, k0 = F1 (s)

s=s0

Derivando F1 (s) em rela¸ c˜ ao a s, temos :

dF1 (s) = k1 + 2k2 (s − s0 ) + .. + kn−1 (n − 1)(s − s0 )n−2 + ... ds ent˜ ao,

Derivando novamente, temos :

dF1 (s) k1 = ds s=s0

k2 = Generalizando, km

1 dF1 (s) 2 ds s=s0

1 dm F1 (s) = m! dsm s=s0

m = 0, 1, 2, ..., n-1

Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a fun¸ c˜ ao : F (s) =

s−2 s(s + 1)3

Observar que o denominador possui polos reais simples, devido ao fator s, e polos reais m´ ultiplos, devido ao fator (s + 1)3 . Cada fator deve ser tratado de maneira diferente. Expandindo F (s), temos F (s) =

A k0 k1 k2 + + + s (s + 1)3 (s + 1)2 s + 1

O coeficiente A ´ e obtida pelo m´ etodo das ra´ızes reais distintas enquanto que os coeficientes k0 , k1 e k2 s˜ ao obtidos pelo m´ etodo das ra´ızes m´ ultiplas. Ent˜ ao : s − 2 A = sF (s) = = −2 (s + 1)3 s=0 s=0 Para o caso das ra´ızes m´ ultiplas,

F1 (s) = (s + 1)3 F (s) = e, ent˜ ao,

s−2 s

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

Ent˜ ao,

15

1 d0 s − 2 k0 = = 3 0! ds0 s s=−1 1 d s − 2 k1 = = 2 1! ds s s=−1 1 d2 s − 2 k2 = = 2 2! ds2 s s=−1 2 3 2 2 F (s) = − + + + s (s + 1)3 (s + 1)2 s + 1

A transformada inversa ´ e obtida atrav´ es de :         2 3 2 2 −1 −1 L −1 [F (s)] = L −1 − + L −1 + L + L s (s + 1)3 (s + 1)2 s+1 Assim, 3 f (t) = L −1 [F (s)] = t2 e−t u(t) + te−t u(t) + 2e−t u(t) 2

1.7.3

Ra´ızes Complexas Simples

Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) =

N (s) (s − α − jβ)(s − α + jβ)D1 (s)

Pode-se mostrar que a transformada inversa de Laplace, devido ` a presen¸ ca dos termos complexos, (s − α − jβ) e (s − α + jβ) ´ e dada por f1 (t) = M eαt sen(βt + φ) onde M e φ s˜ ao obtidos atrav´ es da express˜ ao jφ

Me

N (s) = βD1 (s) s=α+jβ

Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace da fun¸ c˜ ao : F (s) =

s2 + 3 (s + 2)(s2 + 2s + 5)

O denominador possui um termo n˜ ao fatorado. Realizando a fatora¸ c˜ ao, obtemos : s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 − j2) Assim, F (s) pode ser reescrita na forma : F (s) =

s2 + 3 (s + 2)(s + 1 + j2)(s + 1 − j2)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

16

Observamos que o demoninador de F (s) possui um polo real simples, representado pelo termo s + 2, e polos complexos simples, representados pelos termos s + 1 + j2 e s + 1 + j2. Os dois casos devem ser tratados de maneira diferente. Para a raiz real simples, 2+3 s 7 k0 = (s + 2)F (s) = 2 = s + 2s + 5 5 s=−2 s=−2 A transformada inversa referente a apenas este termo ´ e " # 7 7 −1 5 L = e−2t s+2 5

Para as ra´ızes complexas, temos α = −1 e β = 2. Os valores de M e φ s˜ ao calculados, ent˜ ao, usando : s2 + 3 2 −1 1 jφ Me = = √ e−jtg 2 +π 2(s + 2) s=−1+j2 5 Logo, M =

√2 5

e φ = tg −1 12 + π e, ent˜ ao,

2 1 f1 (t) = √ e−t sen(2t + tg −1 + π) 2 5 e, assim, 7 2 1 f (t) = e−2t + √ e−t sen(2t + tg −1 + π) 5 2 5

1.8

Teorema do Valor Inicial

O teorema do valor inicial estabelece que : f (0+ ) = lim = lim sF (s) s→∞

t→0+

1.9

Teorema do Valor Final

O teorema do valor final estabelece que : f (∞) = lim = lim sF (s) t→∞

1.10

s→0

Diagrama de Polos e Zeros

Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) =

N (s) D(s)

Define-se os polos de F (s) como sendo as ra´ızes do seu denominador e os zeros de F (s) como sendo as ra´ızes do seu numerador. O diagrama de polos e zeros ´ e

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

17

uma maneira de representar graficamente, no plano complexo, os polos e os zeros de uma fun¸ c˜ ao F (s). Exemplo - obter o diagrama de polos e zeros para a fun¸ c˜ ao : F (s) =

s(s − 1 + j1)(s − 1 − j1) (s + 1)2 (s + j2)(s − j2)

Temos,   s = −1 (duplo) s = −j2 polos =  s = j2

e

  s=0 s = 1 − j1 zeros =  s = 1 + j1

Seu diagrama de polos e zeros ´ e apresentado na Figura 1.13 jω Plano s

j2 1 σ −1 −j2

Figura 1.13: Diagrama de polos e zeros Exemplo - Obter o diagrama de polos e zeros para a fun¸ c˜ ao : F (s) = teremos

e

2(s − 1)2 s2 (s + 1 + j2)2 (s + 1 − j2)2 (s + 1)2

  s = −1 − j2 (duplo) s = −1 + j2 (duplo) polos =  s = −1 (duplo) zeros =



s = 0 (duplo) s = 1 (duplo)

O diagrama de polos e zeros ´ e mostrado na Figura 1.14. Observar que a constante ´ e explicitada no diagrama atrav´ es de K = 2.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

jω

18

Plano s

j2

K=2

σ −1

1

−j2

Figura 1.14: Diagrama de polos e zeros

Cap´ıtulo 2

M´ etodos para An´ alise de Circuitos 2.1

Introdu¸ ca ˜o

Em an´ alise de circuitos, a excita¸ c˜ ao e o circuito s˜ ao conhecidos. A resposta ´ ea tens˜ ao ou a corrente em um ou em v´ arios elementos do circuito. Apresentaremos algumas t´ ecnicas que possibilitam a an´ alise de circuitos el´ etricos.

2.2

Componentes de Circuitos El´ etricos

Neste curso, consideraremos circuitos el´ etricos compostos por resistores, indutores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tens˜ ao. Estas fontes podem ser fontes independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos est˜ ao mostrados na Figura 2.1.

R Resistor

+

+

v

+ v(t)

v(t)

−

C

Fonte de Tensão (constante)

Fonte de Tensão (variável)

Fonte de Tensão Controlada

Capacitor

L Indutor

i(t)

i Fonte de Corrente (constante)

Fonte de Corrente (variável)

Figura 2.1: Componentes de circuitos el´etricos

19

i(t)

Fonte de Corrente Controlada

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

20

Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2.2. A corrente el´ etrica entra no dispositivo (R, L, ou C) em seu polo positivo e sai de uma fonte pelo seu polo positivo. i

+ elemento

+ Fonte

Figura 2.2: Polaridades

2.3

M´ etodo das Malhas

Vamos considerar o circuito el´ etrico mostrado na Figura 2.3. Este circuito ´ e composto por trˆ es resistores, R1 , R2 e R3 e ´ e alimentado por duas fontes de tens˜ ao, v1 e v2 . Fazendo um paralelo entre esta representa¸ c˜ ao e a representa¸ c˜ ao utilizada no cap´ıtulo 1, v1 e v2 s˜ ao a excita¸ c˜ ao, ou a entrada, do circuito, R1 , R2 e R3 s˜ ao os elementos dentro da caixa denominada sistema e a resposta, ou sa´ıda, pode ser a tens˜ ao ou a corrente em qualquer parte do circuito. Por exemplo, a resposta pode ser a tens˜ ao1 , ou a corrente, sobre o resistor R1 ou sobre o resistor R2 ou sobre o resistor R3 R1

R2

+

v

1 −

+

R3

−

v

2

Figura 2.3: Um circuito el´etrico Este circuito possui duas malhas. Para cada malha, estabelecemos uma corrente cujo sentido, arbitrado, ´ e o sentido hor´ ario, conforme mostrado na Figura 2.4 1

Lembrar que a tens˜ ao, em Volts (s´ımbolo V), entre os terminais de um resistor de resistˆencia R, em Ohms (s´ımbolo Ω), ´e dada pela equa¸ca ˜o v = Ri onde i ´e a corrente sobre o resistor, em Amperes (s´ımbolo A).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 R1

21

R2

+

v

+

i1

1 −

R3

i2

v

−

MALHA 1

2

MALHA 2

Figura 2.4: Correntes de malha Para cada malha, h´ a uma equa¸ c˜ ao de malha correspondente. As equa¸ c˜ oes de malha s˜ ao obtidas usando-se os seguintes procedimentos : • Com rela¸ c˜ ao ` a primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, i1 , ´ e a soma dos valores das resistˆ encias que pertencem ` a sua malha. Ent˜ ao, a corrente i1 ser´ a multiplicada por (R1 + R3 ) j´ a que s˜ ao estes os valores das resistˆ encias que pertencem ` a sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha ´ e o negativo da soma dos valores das resistˆ encias comuns ` a primeira e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, i2 , ser´ a multiplicada por −R3 pois R3 ´ e o valor da resistˆ encia comum ` as duas malhas. O lado direito da equa¸ c˜ ao ´ e formado pela soma alg´ ebrica das fontes de tens˜ ao que pertencem ` a malha. Desta forma, para esta malha, temos a equa¸ c˜ ao : (R1 + R3 )i1 − R3 i2 = v1 • Com rela¸ c˜ ao ` a segunda malha : O coeficiente da segunda corrente, i2 , ´ e a soma dos valores das resistˆ encias que pertencem ` a sua malha. Ent˜ ao, a corrente i2 ser´ a multiplicada por (R2 + R3 ) j´ a que s˜ ao estes os valores das resistˆ encias que pertencem ` a sua malha.O coeficiente das correntes de qualquer outra malha ´ e o negativo da soma dos valores das resistˆ encias comuns ` a segunda e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, i1 , ser´ a multiplicada por −R3 pois R3 ´ e o valor da resistˆ encia comum ` as duas malhas. O lado direito da equa¸ c˜ ao ´ e formado pela soma alg´ ebrica das fontes de tens˜ ao que pertencem ` a malha. Assim, para esta malha, temos a equa¸ c˜ ao : −R3 i1 + (R2 + R3 )i2 = −v2 Caso existam outras malhas e, consequentemente, outras correntes de malha, repete-se estes procedimentos para cada uma delas. Para o circuito apresentado, o sistema de equa¸ c˜ oes ´ e, ent˜ ao : (R1 + R3 )i1 − R3 i2 = v1 −R3 i1 + (R2 + R3 )i2 = −v2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

22

ou, na forma matricial,      R1 + R3 −R3 i1 v = 1 −R3 R2 + R3 i2 v2 Exemplo - Utilizando as equa¸ c˜ oes de malha obtidas para o circuito mostrado na Figura 2.4, e considerando R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, R3 = 4Ω, v1 = 2V e v2 = 6V , calcular os valores de i1 e i2 . (2 + 4)i1 − 4i2 = 2 −4i1 + (1 + 4)i2 = −6 ou



6 −4 −4 5

    i1 2 = i2 −6

Da´ı, obtemos :     i1 −1 = i2 −2 Apesar de ser simples, o sistema acima pode ser resolvido atrav´ es da fun¸ c˜ ao linsolve do Scilab. Esta fun¸ c˜ ao considera que o sistema linear esta escrito na forma: Ax + b = 0 onde A ´ e a matriz dos coeficientes, b ´ e o vetor dos termos independentes e x ´ e o vetor das inc´ ognitas. O vetor x, no nosso caso, ´ e o vetor das correntes.   i x= 1 i2 Temos, ent˜ ao, os seguintes procedimentos : =========== S c i l a b ===========

scilab-2.5 Copyright (C) 1989-99 INRIA

Startup execution: loading initial environment -->// Entrada da matriz A : -->A = [ 6 -4; -4 5] A =

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 ! 6. ! - 4.

23

- 4. ! 5. !

--> // Entrada do vetor b (observar a troca dos sinais) : -->b = [ - 2; 6] b = ! - 2. ! ! 6. ! -->// Chamada da funcao linsolve : -->[x] = linsolve(A, b) x = ! - 1. ! ! - 2. ! --> Exemplo - Obter as equa¸ c˜ oes de malha para o circuito mostrado na Figura 2.5 R

1

R

i

1

−

R

R

v2

5 i

3

3

Figura 2.5: Obten¸c˜ao das equa¸c˜oes de malha Temos,

(R1 + R2 + R3 )i1 − R2 i2 − R3 i3 = v1 −R2 i1 + (R2 + R4 + R5 )i2 − R5 i3 = −v2 −R3 i1 − R5 i2 + (R3 + R5 + R6 )i3 = v2 ou, na forma matricial,

4

2 +

+

1

i

−

v

R 2

R 6

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

24

     R1 + R2 + R3 −R2 −R3 i1 v1   i2  = −v2  −R2 R2 + R4 + R5 −R5 −R3 −R5 R3 + R4 + R6 i3 v2 Exemplo - Obter, usando as equa¸ c˜ oes de malha, as correntes i1 e i2 mostradas no circuito da Figura 2.6

R

R

1 i1

v

2 i

+

+

1 −

−

v

2

2

Figura 2.6: Obten¸c˜ao das equa¸c˜oes de malha Temos,

(R1 + R2 )i1 − R2 i2 = v1 − v2 −R2 i1 + (R2 + R3 )i2 = −v2      R1 + R2 −R2 i1 v1 − v2 = −R2 R2 + R3 i2 −v2 Ent˜ ao, 

    7 −6 i1 −5 = −6 8 i2 −10

Obtemos, resolvendo a equa¸ c˜ ao anterior,     i1 = −5 − 5 i2 Usando o Scilab, temos :

-->A = [ 7 -6; -6 8] A = !

7.

- 6. !

R

3

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 ! - 6.

25

8. !

-->b = [ 5; 10] b = ! !

5. ! 10. !

-->[x] = linsolve(A, b) x = ! - 5. ! ! - 5. ! --> Exemplo - Obter, usando as equa¸ c˜ oes de malha, as correntes i1 e i2 mostradas no circuito da Figura 2.7

+

R

−

1 i

3

i2

1

+

−

v1

R

v2

v R2

−

3

+

Figura 2.7: Obten¸c˜ao das correntes de malha Temos as sequintes equa¸ c˜ oes de malha : (R1 + R2 )i1 − R2 i2 = −v1 − v2 −R2 i1 + (R2 + R3 )i2 = v2 − v3 Da´ı, considerando R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, v1 = 6V , v2 = 4V e v3 = 3V , temos :      R1 + R2 −R2 i1 −v1 − v2 = −R2 R2 + R3 i2 v2 − v3 Ent˜ ao, 

    6 −4 i1 −10 = −4 10 i2 1

Resolvendo pelo Scilab,

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

26

-->A = [6 -4; -4 10] A = ! 6. ! - 4.

- 4. ! 10. !

-->b = [10; -1] b = ! 10. ! ! - 1. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! - 2.1818182 ! ! - 0.7727273 ! --> Exemplo - Obter, usando as equa¸ c˜ oes de malha, o valor da corrente que passa no resistor de 10Ω mostrado no circuito da Figura 2.8 10 Ω

8 Ω

+

15 V −

i1

i3

5 Ω

3Ω

i2

2 Ω

Figura 2.8: Obten¸c˜ao da corrente sobre o resistor de 10Ω Obtemos as sequintes equa¸ c˜ oes de malha :

(8 + 3)i1 − 3i2 − 8i3 = 15 −3i1 + (5 + 2 + 3)i2 − 5i3 = 0 −8i1 − 5i2 + (8 + 10 + 5)i3 = 0

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

27

ou 11i1 − 3i2 − 8i3 = 15 −3i1 + 10i2 − 5i3 = 0 −8i1 − 5i2 + 23i3 = 0 Usando o Scilab, obtemos :

-->A = [11 -3 -8; -3 10 -5; -8 -5 23] A = ! 11. ! - 3. ! - 8.

- 3. 10. - 5.

- 8. ! - 5. ! 23. !

-->b = [-15; 0; 0] b = ! - 15. ! ! 0. ! ! 0. !

-->[x] = linsolve(A, b) x = ! ! !

2.6327055 ! 1.3998288 ! 1.2200342 !

-->

Portanto, a corrente sobre o resistor de 10Ω ´ e i3 = 1.2200342A.

2.4

M´ etodo dos N´ os

Um n´ o, por defini¸ c˜ ao, ´ e um ponto de interconex˜ ao de elementos. Assim, o circuito mostrado na Figura 2.9 possui trˆ es n´ os, como indicado.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 Nó 1

28

Nó 2 R2

i

R1 1

R3

i

2

Nó de referência

Figura 2.9: An´ alise pelo m´etodo dos n´ os O procedimento para an´ alise de circuitos pelo m´ etodo dos n´ os : 1. Determinar o n´ umero de n´ os do circuito. O n´ umero de equa¸ c˜ oes ser´ a igual ao n´ umero de n´ os menos um. No caso, temos trˆ es n´ os e, portanto, duas equa¸ c˜ oes. 2. Eleger um n´ o como o n´ o de referˆ encia. Geralmente, este n´ o ´ e o que possui o maior n´ umero de elementos conectados. No circuito mostrado, o n´ o de referˆ encia est´ a destacado. Ao n´ o de referˆ encia ´ e atribu´ıdo sinal negativo e aos outros, sinal positivo. 3. As equa¸ c˜ oes de n´ os s˜ ao escritas considerando condutˆ ancias2 . No caso, temos trˆ es condutˆ ancias: G1 = 1/R1 , G2 = 1/R2 eG3 = 1/R3 4. Cada n´ o tem uma tens˜ ao em rela¸ c˜ ao ao n´ o de referˆ encia. Da´ı, a tens˜ ao no n´ o 1´ e v1 e a tens˜ ao no n´ o2´ e v2 . A lei dos n´ os estabelece o seguinte procedimento : o coeficiente da tens˜ ao no n´ o 1, v1 , ´ e a soma das condutˆ ancias conectadas ` a ele. Os coeficientes das outras tens˜ oes de n´ o s˜ ao o negativo das somas das condutˆ ancias entre esses n´ os e o n´ o 1. O lado direito da equa¸ c˜ ao ´ e a soma alg´ ebrica das correntes qure entram no n´ o 1 devido a presen¸ ca das fontes de corrente. Para os outros n´ os, o procedimento ´ e semelhante. Exemplo - Obter, para o circuito da Figura 2.9, as equa¸ c˜ oes dos n´ os. Temos,

(1/R1 + 1/R2 )v1 − 1/R2 v2 = i1 −1/R2 v1 + (1/R2 + 1/R3 )v2 = −i2 2

A unidade de condutˆ ancia ´e Siemens, s´ımbolo S

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

29

ou (G1 + G2 )v1 − G2 i2 = i1 −G2 v1 + (G2 + G3 )v2 = −i2 Estas equa¸ c˜ oes podem ser escritas na forma matricial :      G1 + G2 −G2 v1 i1 = −G2 G2 + G3 v2 −i2 Exemplo - Utilizando a lei dos n´ os, obter os valores de v1 , v2 e i para o circuito mostrado na Figura 2.10. 7A

i

v1

v 8Ω 4Ω

4A

2

12 Ω

Nó de Referência

Figura 2.10: An´ alise pelo m´etodo dos n´ os Temos,

(1/4 + 1/8)v1 − 1/8i2 = 4 − 7 −1/8v1 + (1/12 + 1/8)v2 = 7 ou : 

    −24 3 −1 v1 = −3 5 v2 168

Usando o Scilab, temos : -->A = [3 -1; -3 5] A = ! 3. ! - 3.

- 1. ! 5. !

-->b = [24; -168]

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 b

30

=

! 24. ! ! - 168. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! !

4. ! 36. !

--> Entao, v1 = 4V e v2 = 36V . Utilizando o diagrama mostrado na Figura 2.11, obtemos i = 4A

7A

i v1

3A

Figura 2.11: Obten¸c˜ao do valor da corrente i Exemplo - Utilizando a lei dos n´ os, obter os valores de v1 , v2 e v3 para o circuito mostrado na Figura 2.12. 5A

v1

v2 1S

7A

3S

v3 2S

4S

1S

4S

Nó de Referência

Figura 2.12: Obten¸c˜ao dos valores das tens˜ oes v1 , v2 e v3 Temos :

17 A

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

31

(3 + 1)v1 − v2 + 0v3 = 7 − 5 −v1 + (3 + 1 + 2)v2 − 3v3 = 5 −0v1 − 2v2 + (2 + 1 + 4)v3 = 17 ou, na forma matricial, 

    4 −1 0 2 v1 −1 6 −3 v2  =  5  v3 0 −2 7 17 Usando o Scilab, temos :

-->A = [4 -1 0; -1 6 -3; 0 -2 7] A = ! 4. ! - 1. ! 0.

- 1. 6. - 2.

0. ! - 3. ! 7. !

-->b = [-2 ; -5; - 17] b = ! - 2. ! ! - 5. ! ! - 17. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! ! !

1.1532847 ! 2.6131387 ! 3.1751825 !

--> Ent˜ ao, v1 = 1.1532847V , v2 = 2.6131387V e v3 = 3.1751825V . Exemplo - Utilizando a lei dos n´ os, obter os valores de v1 e v2 para o circuito mostrado na Figura 2.13. Observar que este circuito possui uma fonte controlada de corrente.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

32

5i

v1

+ v −

v2

1/2 Ω 5A

i

1Ω

1Ω

2Ω

2v

Figura 2.13: Obten¸c˜ao dos valores das tens˜ oes - fonte controlada Neste caso, usamos os seguintes procedimentos : 1. Obter as equa¸ c˜ oes de n´ os como se as fontes fossem independentes. Temos :

(1 + 1 + 2)v1 − 2v2 = 5 − 5i −2v1 + (1/2 + 2)v2 = 5i + 2v 2. Expressar as vari´ aveis controladoras, i e v, em termos das tens˜ oes dos n´ os. Temos :

i = v1 v = v1 − v2 Portanto, 

9 −2 −9 −4.5

e

-->A = [9 -2; -9 4.5] A = ! 9. ! - 9.

- 2. ! 4.5 !

-->b = [-5 ; 0]

    v1 5 = v2 0

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 b

=

! - 5. ! ! 0. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! !

1. ! 2. !

--> Assim, v1 = 1V e v2 = 2V .

33

Cap´ıtulo 3

An´ alise de Circuitos Transformados 3.1

Introdu¸ ca ˜o

Circuitos el´ etricos podem ser analisados no dom´ınio do tempo ou no dom´ınio da frequ encia. Como veremos, a an´ alise no dom´ınio do tempo resulta em uma ¨ˆ equa¸ c˜ ao diferencial que deve ser resolvida. No dom´ınio da frequ c˜ ao a ¨ encia, a equa¸ ser resolvida ´ e uma equa¸ c˜ ao polinomial. Utilizaremos a teoria apresentada nos dois cap´ıtulos anteriores para analisar circuitos el´ etricos. Inicialmente, mostraremos a an´ alise no dom´ınio do tempo. Depois, no dom´ınio da frequ encia. ¨ˆ

3.2

Circuitos de Primeira Ordem

Vamos considerar o circuito RC mostrado na Figura 3.1, formado por um capacitor e um resitor. A equa¸ c˜ ao para a corrente no capacitor ´ e dada por :

i(t)

+ v(t)

C

R

Figura 3.1: Circuito RC dv dt onde C ´ e a capacitˆ ancia do capacitor. A corrente no resitor ´ e dada por : i(t) = C

i(t) =

34

v R

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

35

onde R ´ e a resistˆ encia do resistor. Em ambas as equa¸ c˜ oes, a tens˜ ao v ´ e uma fun¸ c˜ ao do tempo, v = v(t) Usando a lei dos n´ os, podemos escrever : dv v + =0 dt R A equa¸ c˜ ao resultante ´ e, portanto, uma equa¸ c˜ ao diferencial de primeira ordem. Da´ı o nome dado a esse tipo de circuito. Esta equa¸ c˜ ao diferencial pode ser resolvida por separa¸ c˜ ao de vari´ aveis. Temos, C

dv 1 =− dt v RC Ent˜ ao, Z

dv 1 =− v RC

Z

dt

Temos, t +k RC onde k ´ e a constante de integra¸ c˜ ao. Considerando v(0) = V0 , temos : lnv = −

t

v(t) = V0 e− RC Para fixar conceitos, vamos considerar o circuito LC da Figura 3.2. Este circuito ´ e formado por um indutor e um resistor. A equa¸ ca ˜o para a tens˜ ao no indutor ´ e dada por : i(t)

L

R

Figura 3.2: Circuito RL di dt onde L ´ e a indutˆ ancia do indutor. A tens˜ ao no resitor ´ e dada por : v(t) = L

v(t) = Ri(t)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

36

onde R ´ e a resistˆ encia do resistor. Em ambas as equa¸ c˜ oes, a corrente i ´ e uma fun¸ c˜ ao do tempo, i = i(t) Utilizando a lei das malhas, obtemos di + Ri = 0 dt que, tamb´ em, pode ser resolvida por separa¸ c˜ ao de vari´ aveis. Temos, ent˜ ao, L

R

i(t) = I0 e− L t Na Figura 3.7, mostramos os gr´ aficos dessas respostas. v(t) V0 V0/e

τ = RC

t

i(t) I 0 I0 /e

τ = L/R

t

Figura 3.3: Respostas no dom´ınio do tempo ´ o tempo Na Figura 3.7, o parˆ ametro τ ´ e a constante de tempo do circuito. E 1 necess´ ario para que a resposta caia por um fator 1/e .

3.3

Circuitos em Regime Permanente

Em regime permanente, todas as tens˜ oes e correntes stabilizam-se em valores constantes. Como a corrente no capacitor ´ e dada por : i(t) = C

dv dt

e, como v(t) = cte temos i(t) = 0. Da´ı, em regime permanente o capacitor comporta-se como um circuito aberto. No caso do indutor, temos di v(t) = L dt 1

e = 2.718281... ´e a base do logar´ıtmo neperiano

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

37

e, como i(t) = cte temos v(t) = 0. Ent˜ ao, em regime permanente o indutor comporta-se como um curto circuito. Exemplo - Para fixar os conceitos, vamos considerar o circuito mostrado na Figura 3.4. Vamos supor que o circuito est´ a em regime permanente imediatamente antes da abertura da chave, em t = 0. t=0

2H

2Ω

+

10 V

−

1/4 F

3Ω

Figura 3.4: Regime permanente Imediatamente antes da abertura da chave, e por estar em regime permanente, o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor funciona como curto circuito como mostrado na Figura 3.5. i 2Ω

+

10 V

−

1/4 F

+ v

3Ω

Figura 3.5: Capacitor em aberto e indutor em curto Nestas condi¸ c˜ oes, i(0− ) = 2A e v(0− ) = 6V Ap´ os a chave ser aberta, o circuito passa a ser o mostrado na Figura 3.6.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

38 2H

2Ω

i(0 − ) = 2A +

10 V

v(0 − ) = 6V

1/4 F

−

3Ω

Figura 3.6: Circuito ap´ os a chave ter sido aberta

3.4

Circuitos Transformados

Nem sempre as equa¸ c˜ oes diferenciais s˜ ao t˜ ao simples e podem ser resolvidas de maneira t˜ ao f´ acil como as mostradas nos par´ agrafos precedentes. Na maioria dos casos, a op¸ c˜ ao ´ e pelo m´ etodo das transformadas com os procedimentos apresentados na Figura ??. Inicialmente, o circuito dado no dom´ınio do tempo ´ e transformado em um circuito no dom´ınio da frequ encia.Utilizamos, neste processo, a transformada ¨ˆ de Laplace. Este circuito ´ e, ent˜ ao, analisado usando-se as leis das malhas ou dos n´ os apresentados no Cap´ıtulo 2. O resultado obtido pode ser levado para o dominio do tempo atrav´ es da transformada inversa de Laplace. Circuito no domínio do tempo

Laplace

Circuito no domínio da freqüência

Análise por Malhas ou Nós Inversa de Laplace r(t)

R(s)

Figura 3.7: An´ alise de circuitos no dom´ınio da freq¨ uˆencia Para transformar o circuito do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da frequ encia, ¨ˆ precisamos conhecer as transformadas de Laplace das tens˜ oes e correntes de seus elementos.

3.5

Elementos de Circuito no Dom´ınio da Frequ encia ¨ˆ

No dom´ınio do tempo, a rela¸ c˜ ao entre a tens˜ ao e a corrente em um resistor ´ e dada por :

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

39

v(t) = Ri(t) Aplicando a transformada de Laplace na equa¸ c˜ ao anterior, temos : V (s) = RI(s) No dom´ınio da frequ encia o resistor ´ e, ent˜ ao, representado pelo diagrama mostra¨ˆ do na Figura 3.8.

I(s)

+ R

V(s)

Figura 3.8: Representa¸c˜ao do resistor no dom´ınio da freq¨ uˆencia Para o indutor, as rela¸ c˜ oes entre a corrente e a tens˜ ao no dom´ınio do tempo podem ser representadas pelas equa¸ co ˜es v(t) = L

di dt

cuja transformada de Laplace ´ e: V (s) = sLI(s) − Li(0− ) ou 1 i(t) = L

Z

t

v(τ )dτ + i(0− )

0−

com transformada de Laplace dada por : 1 i(0− ) V (s) + sL s − − onde i(0 ) ´ e o valor da corrente em t = 0 . A primeira equa¸ c˜ ao transformada representa a tens˜ ao sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(a) enquanto que a segunda equa¸ c˜ ao transformada representa a corrente sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(b). I(s) =

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

40 I(s)

I(s)

+

+

sL

1 sL

V(s)

i(0 − )

V(s)

s L i(0 − ) +

(a)

(b)

Figura 3.9: Representa¸c˜oes do indutor no dom´ınio da freq¨ uˆencia Para o capacitor, as rela¸ c˜ oes entre a corrente e a tens˜ ao no dom´ınio do tempo podem ser representadas pelas equa¸ c˜ oes Z 1 t v(t) = i(τ )dτ + v(0− ) C 0− com transformada de Laplace dada por : I(s) =

1 i(0− ) V (s) + sL s

ou i(t) = C

dv dt

cuja transformada de Laplace ´ e: I(s) = sCV (s) − Cv(0− ) onde v(0− ) ´ e o valor da tens˜ ao em t = 0− . A primeira equa¸ c˜ ao transformada representa a tens˜ ao sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(a) enquanto que a segunda equa¸ c˜ ao transformada representa a corrente sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(b).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3 I(s)

41 I(s)

+

+

1 sC sC

V(s) +

Cv(0 − )

V(s)

v(0 − ) s

(a)

(b)

Figura 3.10: Representa¸c˜oes do capacitor no dom´ınio da freq¨ uˆencia Exemplo - Utilizando o m´ etodo das transformadas, obter a tens˜ ao v(t) mostrada no circuito da Figura 3.11.Considerar que, com a chave na posi¸ c˜ ao mostrada, o circuito est´ a em regime permanente.

i

2H v(t) t=0

+

−

3V

1V

2Ω

Figura 3.11: Tens˜ ao v(t) sobre o indutor Imediatamente antes da chave mudar de posi¸ c˜ ao em t = 0, temos o circuito mostrado na Figura ??(a). Nesta configura¸ c˜ ao, obtemos : 1 i(0− ) = − A 3 Ap´ os a chave mudar de posi¸ c˜ ao, o circuito transformado ´ e, ent˜ ao, o mostrado na Figura ??(b). Para este circuito, I(s) =

9 − 2s 3s(2s + 3)

e, como V (s) = sLI(s) − Li(0− )

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.3

42

temos, V (s) =

4 s+

3 2

e, ent˜ ao, 3

v(t) = L −1 [V (s)] = 4e− 2 t Exemplo - Utilizando o m´ etodo das transformadas, obter a corrente i(t) mostrada no circuito da Figura 3.12.Considerar que, com a chave na posi¸ c˜ ao mostrada, o circuito est´ a em regime permanente.

2F

i(t)

t=0 +

−

3V

1V

3Ω

Figura 3.12: Corrente i(t) sobre o capacitor Imediatamente antes da chave mudar de posi¸ c˜ ao em t = 0, temos o circuito mostrado na Figura ??(a). Nesta configura¸ c˜ ao, obtemos : v(0− ) = −1V Ap´ os a chave mudar de posi¸ c˜ ao, o circuito transformado ´ e, ent˜ ao, o mostrado na Figura ??(b). Para este circuito, I(s) = −

4 3(s + 16 )

e, ent˜ ao, 4 1 i(t) = L −1 [I(s)] = − e− 6 t 3

Cap´ıtulo 4

Fun¸c˜ ao de Transferˆ encia 4.1

Introdu¸ ca ˜o

Em um sistema linear, a excita¸ c˜ ao, e(t), e a resposta, r(t), est˜ ao relacionadas atrav´ es de uma equa¸ c˜ ao diferencial. Aplicando a transformada de Laplace, a rela¸ c˜ ao entre a excita¸ c˜ ao E(s) e a resposta R(s) passa a ser alg´ ebrica. Usaremos a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia para analisar a resposta em frequ ˆ e ncia de circuitos. ¨

4.2

A Fun¸ ca ˜o H(s)

Considerando condi¸ c˜ oes iniciais nulas, a rela¸ c˜ ao entre a excita¸ c˜ ao E(s) e a resposta R(s) no dom´ınio da frequ encia ´ e dada pela equa¸ c˜ ao ¨ˆ R(s) = H(s)E(s) onde H(s) ´ e chamada de fun¸ c˜ ao de transferˆ encia ou fun¸ c˜ ao de sistema. Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.1 + R

V(s)

I(s) 1 sC

sL

Figura 4.1: Fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) A entrada, ou excita¸ c˜ ao, do circuito ´ e E(s) = I(s). R(s) = V (s). Ent˜ ao, encontrando a rela¸ c˜ ao V (s) R(s) = I(s) E(s)

43

A sa´ıda, ou resposta, ´ e

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.4

44

encontraremos a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia H(s). Temos, ent˜ ao, usando a lei das malhas, # " 1 ( sC )sL V (s) = R + I(s) 1 sL + sC Ent˜ ao, H(s) =

( 1 )sL V (s) = R + sC 1 I(s) sL + sC

Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.2 sL

I 1

Io

1 sC

I i

R

Figura 4.2: Fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) Neste caso, a entrada, ou excita¸ c˜ ao, do circuito ´ e E(s) = Ii (s). A sa´ıda, ou resposta, ´ e R(s) = Io (s). Usando a lei dos n´ os, temos : Ii (s) = I1 (s) + Io (s) Da´ı, "

Ii (s) = 1 +

R + sL 1 sC

#

e, ent˜ ao, H(s) =

Io (s) R + sL =1+ 1 Ii (s) sC

Pelo exposto nos exemplos anteriores, podemos verificar que a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia depende apenas dos elementos de circuito (R, L, C) e ´ e obtida pela aplica¸ c˜ ao das leis das malhas ou dos n´ os.

4.3

Resposta ao Impulso

Analisando a rela¸ c˜ ao R(s) = H(s)E(s) ´ e´ obvio que podemos encontrar R(s) sendo conhecidos o circuito,caracterizado por H(s), e a excita¸ c˜ ao, E(s). Considerando que a entrada ´ e um impulso unit´ ario, E(s) = L [δ(t)] = 1 temos R(s) = H(s)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.4

45

e. desta rela¸ c˜ ao, r(t) = h(t) onde a fun¸ c˜ ao h(t) ´ e chamada de resposta ao impulso1 . Exemplo - Obter a resposta ao impulso para o circuito mostrado na Figura 4.3 1 sC

C

+

+

δ( t)

R

1

R

(a)

(b)

Figura 4.3: Resposta ao impulso O primeiro passo ´ e transformar o circuito para o dom´ınio da frequ encia, como ¨ˆ mostrado na Figura 4.3(b). Depois, encontramos a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia, # " 1 s 1 RC H(s) = = 1− 1 1 R R(s + RC ) s + RC A resposta ao impulso ser´ a, ent˜ ao, ht = L

4.4

−1

  1 1 − t RC δ(t) − e [H(s)] = R RC

Resposta ao Degrau

No caso da entrada degrau, temos E(s) = L [u(t)] =

1 s

A resposta no dom´ınio do tempo ser´ a, ent˜ ao,   −1 H(s) r(t) = α(t) = L s Exemplo - Obter a resposta ao degrau para o circuito mostrado na Figura 4.4 L

u(t)

sL

+ R

(a)

1 s

+ R

(b)

Figura 4.4: Resposta ao degrau 1´

˜ se define fun¸ca E importante observar que, no dom´ınio do tempo, NAO ˜o de transferˆencia

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.4

46

O primeiro passo ´ e transformar o circuito para o dom´ınio da frequ encia, como ¨ˆ mostrado na Figura 4.4(b). Depois, encontramos a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia, H(s) =

I(s) 1 = V (s) R + sL

Ent˜ ao, α(t) = L

−1

"

1 R

1 1 − s s+

R L

!#

da´ı, α(t) =

4.5

i R 1 h 1 − e−t L u(t) R

Resposta ` a Rampa

Para uma entrada rampa unit´ aria, E(s) = L [ρ(t)] = r(t) = γ(t) = L

4.6

−1



1 s2

H(s) s2



Integral de Convolu¸ ca ˜o

Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸ c˜ oes que s˜ ao iguais a zero para t < 0. Define-se a convolu¸ c˜ ao de f1 (t) com f2 (t) atrav´ es da express˜ ao : Z t f1 (t) ∗ f2 (t) = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ 0

Se f1 (t) ↔ F1 (s) f2 (t) ↔ F2 (s) ent˜ ao, L [f1 (t) ∗ f2 (t)] = F1 (s)F2 (s) Como R(s) = H(s)E(s) temos : r(t) = L −1 [R(s)] = L −1 [H(s)E(s)]

Cap´ıtulo 5

Resposta em Frequ encia ¨ˆ 5.1

Introdu¸ ca ˜o

Vamos considerar o sistema linear, invariante no tempo, mostrado na Figura 5.1

e(t)

H(s)

E(s)

r(t) R(s)

Figura 5.1: Sistema linear invariante no tempo Se a excita¸ c˜ ao deste sistema ´ e senoidal, e(t) = Asenωt temos, Aω + ω2 Como a resposta no dom´ınio da frequ encia ´ e dada por, ¨ˆ E(s) =

s2

R(s) = H(s)E(s) temos, AωH(s) s2 + ω 2 Expandindo R(s) em fra¸ c˜ oes parciais, temos : R(s) =

R(s) =

k1 k2 + OUTROS + | {zTERMOS} s − jω s + jω | {z } Fatores devido a H(s)

Fatores devido a E(s)

Os fatores originados devido a excita¸ c˜ ao E(s), ou termos com polos associados a E(s), originam a resposta for¸ cada, tamb´ em chamada de solu¸ c˜ ao particular ou solu¸ c˜ ao em regime permanente. Os outros fatores, associados aos polos da fun¸ c˜ ao 47

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

48

de transferˆ encia H(s),origiman a resposta livre tamb´ em chamada de solu¸ c˜ ao complementar ou solu¸ c˜ ao em regime transit´ orio. Iremos nos interessar apenas pela solu¸ c˜ ao em regime permanente. Neste caso, R(s) =

k1 k2 + s − jω s + jω

Como pode ser observado, R(s) possui termos com ra´ızes complexas simples. Como vimos no Cap´ıtulo 1, para estes tipos de fun¸ c˜ ao a transformada inversa de Laplace ´ e da forma f (t) = M eαt sen(βt + φ) com M e φ sendo obtidos atrav´ es da express˜ ao M ejφ =

N (s) |s=α+jβ βD1 (s)

No caso, temos α = 0 β = ω D1 (s) = 1 Assim, f (t) = r(t) = M sen(βt + φ) e M ejφ = AH(jω) ou M

= |AH(jω)|

φ = ∠H(jω) Podemos verificar, ent˜ ao, que um sistema linear, est´ avel, invariante no tempo, submetido ` a uma entrada senoidal possuir´ a, em regime permanente, uma sa´ıda tamb´ em senoidal com a mesma frequ encia da entrada. A amplitude e a fase da ¨ˆ sen´ oide de sa´ıda, em geral, ser˜ ao diferentes. Assim, para se obter a resposta em frequ encia de um circuito, basta substituir ¨ˆ s por jω na fun¸ c˜ ao de transferˆ encia. A resposta em frequ encia ´ e formada por dois ¨ˆ gr´ aficos: o gr´ afico da resposta em amplitude, |H(s)| em fun¸ c˜ ao de ω e o gr´ afico da resposta em fase, ∠H(s) em fun¸ c˜ ao de ω. Exemplo - Obter a resposta em frequ encia para o circuito mostrado na Figura ¨ˆ 5.2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

49

R

1 sC

E(s)

R(s)

Figura 5.2: Circuito RC Inicialmente, obtemos a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia deste circuito. Temos, H(s) =

1 1 + sRC

Depois, trocamos s por jω, H(jω) =

1 1 + jωRC

Da´ı, para a resposta em amplitude, 1

M (ω) = |H(jω)| = p

1 + (ωRC)2

e para a resposta em fase, φ(ω) = ∠H(jω) = −atan(ωRC) Utilizando o Scilab, obtemos as curvas mostradas na Figura ??.

5.2

Curvas de Bode

Em 1940, H. W. Bode desenvolveu um m´ etodo baseado em ass´ıntotas para representar a resposta em frequ encia. A resposta em frequ encia, como vimos, ¨ˆ ¨ˆ depende diretamente da fun¸ c˜ ao de transferˆ encia do circuito.Em geral, a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia ´ e escrita na forma : H(s) =

N (s) D(s)

Nesta fun¸ c˜ ao, s˜ ao poss´ıveis os seguintes termos : • Termo constante - Neste caso, a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia ´ e escrita na forma : H(s) = k • Termo s - O termo s pode estar no numerador ou no denominador de H(s), H(s) = s±1

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

50

• Termo (1+sτ ) - Neste caso, (1+sτ ) pode estar no numerador ou no denominador de H(s), H(s) = (1 + sτ )±1 • Termo quadr´ atico - H(s) pode ser escrito na forma : H(s) = (as2 + bs + c)±1 Vamos apresentar as ass´ıntotas de Bode para cada um dos itens apresentados.

5.2.1

H(s) com termo constante

Temos, substituindo s por jω : H(jω) = k ⇒



|H(jω)| = k ∠H(jω) = 0

Ent˜ ao, em dB, temos :   > 0; = 0; 20log|H(jω)| = 20logk =  < 0;

para para para

k>1 k=1 k<1

Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.3 20log|H(j ω)|, db

20logk

ω ,rad/s φ( jω)

ω ,rad/s

Figura 5.3: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) = k

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

5.2.2

51

H(s) com termo s

Vamos considerar, inicialmente, s no numerador de H(s). Temos, substituindo s por jω :  |H(jω)| = |jω| = ω H(jω) = jω ⇒ ∠H(jω) = 90o Em dB, temos : 20log|H(jω)| = 20logω Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.4 20log|H(j ω)|, db 20db/dec

20 0.1

0

10

ω ,rad/s

−20

φ( jω) 90

ω ,rad/s

Figura 5.4: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) = jω Podemos observar que a inclina¸ c˜ ao da reta no gr´ afico da resposta em amplitude ´ e de 20dB/dec. Isso significa que, ` a cada d´ ecada, a amplitude aumenta em 20 dB. O conceito de d´ ecada ´ e explicado a seguir. Vamos considerar que a rela¸ c˜ ao entre duas frequ ˆ e ncias, ω e ω , seja dada por : ¨ 1 2 ω1 = 10k ω2 O expoente k ´ e o n´ umero de d´ ecadas entre ω1 e ω2 . Se a rela¸ c˜ ao for dada por : ω1 = 2m , ω2 o expoente m ´ e o numero de oitavas entre ω1 e ω2 . Considerando s no denominador,

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

1 H(jω) = ⇒ jω



52

1 |H(jω)| = | jω |= ∠H(jω) = −90o

1 ω

Em dB, temos 20log|H(jω)| = −20logω Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.5 20log|H(j ω)|, db 20 10

0

ω ,rad/s

0.1 −20

−20dB/dec φ( jω)

ω ,rad/s

−90

Figura 5.5: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) =

5.2.3

1 jω

H(s) com termo 1 + τ s

Vamos considerar, inicialmente, 1 + τ s no numerador de H(s). Temos, substituindo s por jω : √  |H(jω)| = 1 + ω 2 τ 2 H(jω) = 1 + jωτ ⇒ ∠H(jω) = atanωτ Da´ı, em dB, temos

20log e

p

 para ω  τ1  0; 3; para ω = τ1 1 + ω2τ 2 =  20logω + 20logτ ; para  o  0 ; 45o ; atanωτ =  o 90 ;

para para para

ω  τ1 ω = τ1 ω  τ1

ω

1 τ

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

53

Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.6 20log|H(j ω)|, db

20 dB/dec 3 dB 1/ τ

ω,rad/s

φ( jω) 90 45 0

1/ τ

ω,rad/s

Figura 5.6: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) = 1 + jωτ Vamos considerar o termo 1 + τ s no denominador de H(s). Temos, substituindo s por jω : ( 1 |H(jω)| = √1+ω 1 2τ 2 H(jω) = ⇒ 1 + jωτ ∠H(jω) = −atanωτ Em dB, temos  para ω  τ1  0; 1 −3; para ω = τ1 20log √ = 1 + ω 2 τ 2  −20logω − 20logτ ; para e

 o  0 ; −45o ; −atanωτ =  −90o ;

para para para

ω

1 τ

ω  τ1 ω = τ1 ω  τ1

Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.7

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

54

20log|H(j ω)|, db 1/ τ ω ,rad/s

φ( jω)

1/ τ

ω ,rad/s

0 −45 −90

Figura 5.7: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) =

5.2.4

1 1+jωτ

H(s) com termo s2 + as + b

Considerando, inicialmente, o termo no numerador, a fun¸ c˜ ao H(s) pode ser escrita na forma : H(s) =

s2 + 2ξωn s + ωn2 2ξ 1 =1+ s + 2 s2 2 ωn ωn ωn

Fazendo s = jω, temos : H(jω) = 1 −

2ξω ω2 +j ωn2 ωn

O m´ odulo de H(jω) ´ e   1 ω2 4ξ 2 ω 2 2 |H(jω)| = 1− 2 + ωn ωn2 Ent˜ ao,    ω2 4ξ 2 ω 2 20log|H(jω)| = 10log 1 − 2 + dB ωn ωn2 e ∠H(jω) = atan

1

2ξω ωn 2 − ωω2 n

As ass´ıntotas s˜ ao, ent˜ ao, dadas por :  para ω  ωn  0; 20log2ξ; para ω = ωn 20log|H(jω)| =  40logω − 40logωn ; para

ω  ωn

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 e

 o  0 ; 90o ; ∠H(jω) =  180o ;

55

ω  ωn ω = ωn ω  ωn

para para para

Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.8 Figura 5.8: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) = Considerando,agora, o termo no denominador, a fun¸ c˜ ao H(s) pode ser escrita na forma : H(s) =

ωn2 = s2 + 2ξωn s + ωn2 1+

1 2ξ ωn s

+

1 2 2s ωn

Fazendo s = jω, temos : H(jω) =

1 1−

ω2 2 ωn

+ j 2ξω ωn

O m´ odulo de H(jω) ´ e |H(jω)| =  

1−

ω2 2 ωn

1 2

+

4ξ 2 ω 2 2 ωn

1 2

Ent˜ ao,    ω2 4ξ 2 ω 2 dB 20log|H(jω)| = −10log 1 − 2 + ωn ωn2 e ∠H(jω) = −atan

1

2ξω ωn 2 − ωω2 n

As ass´ıntotas s˜ ao, ent˜ ao, dadas por :  para ω  ωn  0; −20log2ξ; para ω = ωn 20log|H(jω)| =  −40logω + 40logωn ; para e

ω  ωn

 o para ω  ωn  0 ; −90o ; para ω = ωn ∠H(jω) =  −180o ; para ω  ωn

Os gr´ aficos de resposta em amplitude e resposta em fase s˜ ao mostrados na Figura 5.9 Figura 5.9: Resposta em freq¨ uˆencia para H(jω) =

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

5.2.5

56

Frequ encia de Ressonˆ ancia ¨ˆ

Pelos gr´ aficos apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, observamos que, pr´ oximo ` a frequ encia ω = ωn ocorre um pico. Este pico, chamado de pico de ressonˆ ancia, ¨ˆ depende do valor da constante de amortecimento, ξ. Para obter este valor de pico, vamos considerar, sem perda de generalidade, |H(jω)| = h

1  2 1 − ωω2 + n

4ξ 2 ω 2 2 ωn

i1 2

O valor m´ aximo de |H(jω) ocorre quando o seu denominador for m´ınimo. Ent˜ ao, considerando,  2 ω2 4ξ 2 ω 2 f (ω) = 1 − 2 + ωn ωn2 Para

df (ω) =0 dω

obtemos ω = ωr = ωn com

p

1 − 2ξ 2

1 0≤ξ≤ √ 2

A frequ encia ωr ´ e chamada de frequ encia de ressonˆ ancia. Fazendo ω = ωr na ¨ˆ ¨ˆ equa¸ c˜ ao para |H(jω)|, temos: Mr = M ax|H(jω)| = com

1 2ξ

p

Mr = M ax|H(jω)| = 2ξ

p

1 − ξ2

1 0≤ξ≤ √ 2

Para o termo quadr´ atico no numerador, 1 − ξ2

Cap´ıtulo 6

S´ erie de Fourier em An´ alise de Circuitos 6.1

Introdu¸ ca ˜o

A teoria de Fourier ´ e aplicada diversas ´ areas : - An´ alise de Sistemas Lineares - Teoria de Antenas ´ - Optica - difra¸ c˜ ao - Modelagem de Fenˆ omenos Aleat´ orios - Teoria da Probabilidade - F´ısica Quˆ antica - Problemas de Valor de Contorno O objetivo ´ e decompor uma fun¸ c˜ ao, ou sinal, em sen´ oides de frequ encias diferen¨ˆ tes. Algumas formas de onda n˜ ao-senoidais s˜ ao importantes na an´ alise de circuitos. Na Figura 6.1

57

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

H(s)

58

Σ

ENTRADA

SAÍDA

Decomposição por Fourier

Figura 6.1: Decomposi¸c˜ao de um sinal por Fourier

6.2

A S´ erie Trigonom´ etrica de Fourier

Um sinal f (t) ´ e peri´ odico se f (t) = f (t ± T ) para algum valor de T > 0 e para todo t. Na equa¸ c˜ ao anterior, T ´ e o per´ıodo de f (t). Define-se T0 , o per´ıodo fundamental de f (t), como o menor valor positivo real de T para o qual a equa¸ c˜ ao anterior ´ e v´ alida f0 =

1 T0

´ e a frequ encia fundamental em Hz, e ¨ˆ

ω0 = 2πf0 =

1 T0

´ e a frequ encia angular fundamental, em rad/s. ¨ˆ

Um sinal peri´ odico f (t) pode ser decomposto atrav´ es da equa¸ c˜ ao : ∞

f (t) =

a0 X + [an cos(nω0 t) + bn sen(nωt)] 2 n=1

onde an e bn s˜ ao coeficientes a serem determinados. A express˜ ao anterior ´ e a s´ erie trigonom´ etrica de Fourier. Fazendo : a0 2 1 = (a2n + b2n ) 2 bn = atan(− ) an

d0 = dn θn

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

59

podemos escrever a s´ erie trigonom´ etrica em uma forma mais compacta : f (t) = d0 +

∞ X

dn cos(nω0 t + θn )

n=1

onde : d0 - ´ e o valor m´ edio de f (t). Em teoria de circuitos, d0 representa a componente dc de f (t). d1 cos(ω0 t + θ1 ) - ´ e a componente fundamental ou primeira harmˆ onica de f (t) d2 cos(ω0 t + θ2 ) - ´ e a segunda harmˆ onica de f (t) e assim por diante. Usando a identidade de Euler, podemos escrever : cosx =

ejx + e−jx 2

senx =

ejx − e−jx 2j

e

Usando a express˜ ao para a s´ erie trigonom´ etrica, ∞

f (t) = =

a0 X + [an cos(nω0 t) + bn sen(nωt)] 2 n=1  ∞  a0 X ejnω0 t + e−jnω0 t ejnω0 t − e−jnω0 t + an + bn 2 2 2j n=1

=

∞ X

cn ejnω0 t

n=−∞

com

c−n

1 cn = (an − jbn ) 2 1 = (an + jbn ) = c∗n 2

e an = 2Re[cn ] bn = −2Im[bn ] onde os operadores Re[] e Im[] representam, respectivamente, “parte real de” e “parte imagin´ aria de”e d0 = c0 dn = 2|cn |; θn = ˆ angulo de cn

n = 1, 2, 3 . . .

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 A express˜ ao,

∞ X

f (t) =

60

cn ejnω0 t

n=−∞

com

t0 +T0

Z

1 cn = T0

f (t)e−jnω0 t dt

t0

define a s´ erie exponencial, ou s´ erie complexa, de Fourier. Exemplo - obter a s´ erie trigonom´ etrica de Fourier para a onda quadrada mostrada na Figura 6.2 f(t)

A ...

... −T

−T/4

T/4

t

T

Figura 6.2: Onda quadrada Usando a express˜ ao 1 cn = T0

t0 +T0

Z

t0

temos c0 = e cn =

1 T

Z

T 4 −T 4

f (t)e−jnω0 t dt A 2

Ae−jnω0 t dt;

n 6= 0

Ent˜ ao, cn =

T A 4 [e−jnω0 t ] −T −jnω0 T 4

Da´ı, A nπ sen( ) nπ 2 Como ´ e pedida a s´ erie trigonom´ etrica, temos cn =

an = Re[cn ] =

A nπ sen( ); nπ 2

bn = 0

e, ent˜ ao, f (t) =

A 2A 1 1 + [cos(ωo t) − cos(3ω0 t) + cos(5ω0 t) − . . . 2 π 3 5

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

6.3

61

Transla¸ ca ˜o de Gr´ aficos

A transla¸ c˜ ao de um gr´ afico ´ e um movimento horizontal e/ou vertical sem rota¸ c˜ ao. A transla¸ c˜ ao vertical causa modifica¸ c˜ oes no n´ıvel dc do sinal. Afeta, portanto, apenas os coeficientes a0 , d0 e c0 . A transla¸ c˜ ao horizontal causa um deslocamento no tempo. Este deslocamento modifica apenas os valores dos ˆ angulos θn Sejam cn os coeficientes da s´ erie exponencial de Fourier de uma fun¸ c˜ ao peri´ odica f (t) e sejam cˆn os coeficientes da s´ erie exponencial de Fourier para uma fun¸ c˜ ao peri´ odica g(t). Se g(t) for uma transla¸ c˜ ao de f (t) consitindo de um acr´ escimo k do n´ıvel dc e de um atraso td , podemnos escrever g(t) = f (t − td ) + k com cˆ0 = c0 + k e cˆn = cn ejnω0 td

n = ±1, ±2, ±3, . . .

para

Exemplo - obter a s´ erie trigonom´ etrica de Fourier para o sinal apresentado na Figura 6.3 f(t)

A/2 ...

... −T

T

t

−A/2

Figura 6.3: Onda quadrada deslocada em rela¸c˜ao `a onda do Exemplo anterior Por compara¸ c˜ ao, observamos que g(t) ´ e originada de uma transla¸ c˜ ao da fun¸ c˜ ao f (t) do Exemplo anterior. Especificamente, g(t) = f (t −

A T )− 4 2

Ent˜ ao, td =

T 4

k=

A 2

e

Desta forma, cˆ0 = 0 e

π

cˆn = cn e−jn 2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

62

Portanto,   2π π 1 3π 1 5π g(t) = cos(ω0 t − ) − cos(3ω0 t − ) + cos(5ω0 t − ) − ... A 2 3 2 5 2 ou

  2π 1 1 g(t) = sen(ω0 t) + sen(3ω0 t) + cos(5ω0 t) + . . . A 3 5

Exemplo - considere o circuito mostrado na Figura 6.4-a tendo como tens˜ ao de entrada, vi (t), o sinal mostrado na Figura 6.4-b. Obter a tens˜ ao de sa´ıda, v0 (t) sobre o capacitor, em regime permanente. Considerar E = 30π e T = 4s. 1Ω + v i(t)

1F

v o(t)

(a) v i(t) E ...

... −T

T

t

(b)

Figura 6.4: Obter a tens˜ ao v0 (t) Como temos um sinal peri´ odico n˜ ao-senoidal e desejamos obter a resposta em regime permanente (que pressup˜ oe uma entrada senoidal, como vimos anteriormente), devemos representar vi (t) atrav´ es da s´ erie trigonom´ etrica de Fourier. Se considerarmos o sinal representado no primeiro Exemplo deste Cap´ıtulo, vemos que vi (t) pode ser escrito como : g(t) = f (t −

T )+0 4

Ent˜ ao, td =

T 4

e k=0 Desta forma, cˆ0 = e

A E = 2 2 π

cˆn = cn e−jn 2 Portanto,

  1 3π 1 5π E 2π π vi (t) = + cos(ω0 t − ) − cos(3ω0 t − ) + cos(5ω0 t − ) − ... 2 A 2 3 2 5 2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 ou

63

  E 2π 1 1 vi (t) = + sen(ω0 t) + sen(3ω0 t) + cos(5ω0 t) + . . . 2 A 3 5

Substituindo os valores de E e T , temos : vi (t) = 15π + 60sen(ω0 t) + 20sen(3ω0 t) + 12sen(5ω0 t) + . . . Como a resposta em regime permanente para cada uma das parcelas senoidais de vi (t) ´ e dada por : r(t) = M sen(ω0 t + φ) com M = A|H(jω)| e φ = ∠H(jω) temos que obter H(s) e, depois, fazer s = jω. Para o circuito dado, temos : H(s) =

1 V0 (s) = Vi (s) s+1

e, ent˜ ao, |H(jω) = √

1 1 + ω2

e φ = −atanω Os c´ alculos s˜ ao mostrados na Tabela Frequ encia ω0 ¨ˆ 0 0.5 π 1.5 π 2.5 π

Amplitude Entrada 15 π 60 20 12

Fase Entrada 0 0 0 0

|H(jω)| 1 0.5370 0.2076 0.1263

Amplitude M 15 π 32.22 4.150 1.516

Fase φ 0 -57.52 -78.02 -82.74

Assim, v0 (t) = 15π + 32.22sen(ω0 t − 57.52) + 4.150sen(3ω0 t − 78.02) + 1.1516sen(5ω0 t − 82.74) + . . .

Cap´ıtulo 7

Quadripolos 7.1

Introdu¸ ca ˜o

Os quadripolos s˜ ao dispositivos com dois pares de terminais. Cada par de terminais definem uma porta. Na Figura 7.1, mostramos um quadripolo com suas grandezas associadas.

I1 V 1

I2 QUADRIPOLO

V2

Figura 7.1: Quadripolo com grandezas associadas Na Figura 7.1, V1 e I1 s˜ ao, respectivamente, a tens˜ ao e a corrente na porta de entrada do quadripolo enquanto V2 e I2 s˜ ao, respectivamente, a tens˜ ao e a corrente na porta de sa´ıda do quadripolo. Na an´ alise de circuitos atrav´ es de quadripolos, utilizamos relacionamentos entre as grandezas I1 , V1 , I2 e V2 . Estes relacionamentos s˜ ao chamados de parˆ ametros do quadripolo.

7.2

Parˆ ametros Z

Neste caso, o relacionamento entre as grandezas do quadripolo ´ e escrito na forma: V1 = Z11 I1 + Z12 I2 V2 = Z21 I1 + Z22 I2 ou, na forma matricial,   Z1,1 Z1,2 Z= Z2,1 Z2,2 64

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2

65

Os parˆ ametros Zij podem ser obtidos atrav´ es das equa¸ c˜ oes : V1 Z11 = I1 I2 =0 V2 Z21 = I1 I2 =0 V1 Z12 = I2 I1 =0 V2 Z22 = I2 I1 =0

O termo Z11 ´ e chamado de impedˆ ancia de entrada em circuito aberto, Z22 ´ e a impedˆ ancia de sa´ıda em circuito aberto e Z12 e Z21 s˜ ao as impedˆ ancias de transferˆ encia (trans-impedˆ ancias) em circuito aberto. Os parˆ ametros Z s˜ ao chamados de impedˆ ancia em circuito aberto. A obten¸ c˜ ao dos parˆ ametros Z pode ser feita utilizando-se as equa¸ c˜ oes anteriores, com as respectivas modifica¸ c˜ oes no circuito, ou diretamente atrav´ es da utiliza¸ c˜ ao das leis das malhas ou dos n´ os. Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.2. I1

4I 2

+

3Ω

I2 +

+

V 1

V 2

0.1 F

Figura 7.2: Quadripolo1 Utilizando a lei das malhas, e lembrando que a an´ alise ´ e feita no dom´ınio da frequ encia, temos ¨ˆ 10 (I1 + I2 ) s 10 = 3I2 + (I1 + I2 ) s

V1 = 4I2 + V2 ou V1 = V2 =

10 I1 + (4 + s 10 I1 + (3 + s

10 )I2 s 10 )I2 s

 10



Ent˜ ao, Z=

s 10 s

4+ 3+

10 s 10 s

Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.3.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Vers˜ ao 0.2 I1

66 I2

R2

+

+

V 1

R1

R3

V 2

Figura 7.3: Quadripolo2 Utilizando a lei das malhas, temos : V1 = R1 I1 − R1 I3 V2 = R3 I2 + R3 I3 0 = −R1 I1 + R3 I2 + (R1 + R2 + R3 )I3 Ent˜ ao,   1 R1 (R2 + R3 ) R1 R 3 Z= R1 R 3 R3 (R1 + R2 ) R 1 + R2 + R3

7.3

Parˆ ametros Y

O relacionamento entre as grandezas do quadripolo, neste caso, ´ e escrito na forma:

I1 = Y11 V1 + Y12 V2 I2 = Y21 V1 + Y22 V2 ou, na forma matricial,   Y1,1 Y1,2 Y = Y2,1 Y2,2 Os parˆ ametros Yij podem ser obtidos atrav´ es das equa¸ c˜ oes : I1 Y11 = V1 V2 =0 I2 Y21 = V1 V2 =0 I1 Y12 = V2 V1 =0 I2 Y22 = V2 V1 =0

O termo Y11 ´ e chamado de admitˆ ancia de entrada em curto-circuito, Y22 ´ e a admitˆ ancia de sa´ıda em curto-circuito e Y12 e Y21 s˜ ao as admitˆ ancias de transferˆ encia (trans-admitˆ ancias) em curto-circuito. Os parˆ ametros Y s˜ ao, portanto, chamados de admitˆ ancias em curto-circuito.

Apˆ endice A

Transformadas de Laplace - Resumo • Defini¸ c˜ ao L [f (t)] = F (s) =

Z

∞

f (t)e−st dt

0−

• Propriedades 1. Proporcionalidade L [kf (t)] = kL [f (t)] 2. Linearidade X X L[ fi (t)] = L [fi (t)] i

i

3. Diferencia¸ c˜ ao 

 df (t) L = sF (s) − f (0− ) dt  dn f (t) 0 L = sn F (s) − sn−1 f (0− ) − sn−2 f (0− ) − ... − f n−1 (0− ) n dt 

4. Integra¸ c˜ ao L

Z

τ

0−



f (t)dt =

F (s) s

5. Deslocamentos – Dom´ınio do tempo L [f (t − a)u(t − a)] = e−as F (s − a) – Dom´ınio da frequ encia ¨ˆ L [eat f (t)] = F (s − a) 6. Multiplica¸ c˜ ao por t dF (s) ds dn F (s) L [tn f (t)] = (−1)n dsn L [tf (t)] = −

67

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Vers˜ ao 0.2

68

• Transformadas – Fun¸ c˜ oes Singulares 1. Fun¸ c˜ ao degrau unit´ ario L [u(t)] =

1 s

L [ρ(t)] =

1 s2

2. Fun¸ c˜ ao rampa unit´ aria

3. Fun¸ c˜ ao impulso unit´ ario L [δ(t)] = 1 – Fun¸ c˜ oes Ordin´ arias f (t) ←→ F (s) 1 eat u(t) = s−a 1 te−at = (s+a) 2

f (t) ←→ F (s) ω senωt = s2 +ω 2 s cos(ωt) = s2 +ω2

Referˆ encias Bibliogr´ aficas [*]

LATEX

[1] Klaus Steding-Jessen, LATEX Demo : Exemplos com LATEX 2ε , 2000, dispon´ıvel em http://biquinho.furg.br/tex-br [2] H. Kopka, P.W. Daly, A Guide to LATEX - Document Preparation for Beginners and Advanced Users, Addison Wesley, 1993. [3] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison Wesley, 1994. [*]

Scilab

[4] Scilab Group, Introduction to Scilab - User’s Guide. Esta referˆ encia, e as outras escritas pelo Scilab Group, podem ser obtidas em http://www-rocq.inria.fr. [5] Paulo S. Motta Pires, Introdu¸ c˜ ao ao Scilab - Vers` ao 0.1, pode ser obtida em http://www.leca.ufrn.br/~pmotta [*]

Circuitos

[6] F. F. Kuo, Network Analysis and Synthesis, Second Edition, John Wiley, 1966 [7] Prof. Walmir Freire, Notas de Aula do Curso de Circuitos El´ etricos II, DEEUFRN [8] D. E. Johnson, J. L. Hilburn, J. R. Johnson, P. D. Scott, Basic Electric Circuit Analysis, 5th Ed., 1995, Prentice Hall [9] R. A. DeCarlo, P-M. Lin, Linear Circuit Analysis, 1995, Prentice Hall

69