Elementos De Geometri2

ELEMENTOS DE GEOMETRIA Introducción: La geometría es una de las ramas de la matemática de más uso diario y en todo lo que nos rodea, tales como los objetos construidos por los hombres o elementos de la naturaleza que tienen formas geométricas. Por ejemplo si observamos las paredes y puertas de nuestra casa en su mayoría son de forma rectangular o cuadrada e incluso circular. También dentro del aula puede observar las formas geométricas de nuestros pupitres, de la pizarra, la forma cilíndrica del lapicero, también cuando toca recibir educación física utilizamos balones de forma esférica, etc. BREVE RESEÑA HISTORICA DE LA GEOMETRIA. La geometría ha sido utilizada por culturas como la Griega, China, Egipcia, Babilónica, Romana, y otros. En el libro de Reyes del Antiguo Testamento en la Biblia también se habla del número 3 como la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Por otra parte, se les atribuye a los Babilonios la invención de la rueda y su división en 360 partes iguales, tomando en cuenta que el año tiene 360 días aproximadamente. Los Egipcios usaron la geometría para dividir la tierra en parcelas por motivo de que cuando el río Nilo se crecía y se llevaba los límites de los terrenos y también construyendo las famosa pirámides. Pero es a los Griegos a quienes se les atribuye la responsabilidad de reunir y organizar los conceptos geométricos. De ahí que la palabra geometría se deriva de las raíces griegas “GE” o “GEOS”, que significa tierra y “METREI” o “METRIOM” que significa medida, por lo tanto muchas personas a través del tiempo han conceptualizado a la geometría como la medida de la tierra. Entre los matemáticos que dieron aportes valiosos a la geometría se encuentran, THALES DE MILETO (1600 años A.C.), PITAGORAS DE SAMOS (540 años A.C.) y EUCLIDES que culminó con la sistematización de los conocimientos geométricos hasta entonces conocidos, en su libro titulado “ ELEMENTOS ”. CONCEPTO DE PUNTO, RECTA Y PLANO Punto, recta y plano. En geometría estos elementos son términos primitivos o sea que no tienen definición, pero podemos darles una interpretación relacionándolos con situaciones reales. Los puntos se representan con un • y se denotan con letras mayúsculas del abecedario. Ej. : El punto A• o el punto X Las rectas se representan así: y se denota con una letra minúscula o con letras mayúsculas que representen dos puntos de la misma. Ej. : La recta l

o también

la recta A B

A

B

Los planos se denotan con letras del abecedario griego, tales como α (alfa), β (beta), δ (delta) y θ (sita). Ej. : El plano α α

SEGMENTO Se llama segmento de recta a una porción o subconjunto de puntos de la misma recta, y se denota con letras mayúsculas con una rayita encima. Ej. El segmento A B • • A B SEMIRRECTA Si tenemos una recta A B y se elige un punto cualquiera sobre esta recta, este punto determina dos semirrectas, una a cada lado del punto. Como una observación diremos que el punto que se elige no pertenece a las semirrectas. A O B O D es una semirrecta. NOTA: Las semirrectas son subconjuntos de la recta que las contiene. RAYO Es la unión de una semirrecta con su origen y se denota A B Ej. • El rayo A B • A

Ej.

B

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Es aquel punto que divide a un segmento en dos segmentos congruentes. A O B

O es el punto medio del A B o se dice que biseca al segmento. PUNTOS COLINEALES Dos o más puntos son colineales si pertenecen a la misma recta. RELACIONES IMPORTANTES QUE SE DAN ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS A B 1) Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta. 2) Si dos puntos de una recta pertenecen a un mismo plano, entonces toda la recta pertenece al plano.

A

3) Tres puntos no colineales determinan un plano. • •

•

ANGULOS Es a la unión de dos rayos con un origen en común. A B INTERIOR EXTERIOR C El ángulo ABC se representa: ABC o B Los rayos B A y B C se llaman lados del ángulo. Al punto B se le llama vértice del ángulo. MEDIDA DE ANGULOS El tamaño de un ángulo depende de la extensión del plano que barre uno de los lados del ángulo cuando se le hace girar alrededor del vértice hasta alcanzar la posición del otro lado. Por ejemplo, el transportador de la figura muestra que el ángulo BAC mide 60°.

B

A C Al utilizar un transportador, de cerciorarse de que el vértice del ángulo coincida con el centro del mismo y que uno de los lados coincida con el diámetro señalado por el transportador de la siguiente forma: 0° - 180°. El tamaño del ángulo no depende de la longitud de sus lados. Así al ángulo formado por las manecillas del reloj a las 3 a.m. es de 90° independientemente del tamaño del reloj. ÁNGULOS CONGRUENTES Son ángulos que tienen igual medida. CLASES DE ÁNGULOS Ángulo nulo A B Es el ángulo que mide 0°. Ángulo agudo Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°. α α Es un ángulo agudo. Ángulo recto Es aquel que mide 90° β βmide 90°

Ángulo obtuso Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°. δ δ Es un ángulo obtuso. Ángulo llano o extendido Es aquel que mide 180°.

λ

A B C λ Es un ángulo llano. Ángulo cóncavo Es aquel cuya medida es mayor que 180° pero menor de 360°. ϕ ϕ Es un ángulo cóncavo.

ϕ

Ángulo perigono o convexo Es aquel que mide 360°. Este ángulo se obtiene al rotar una raya alrededor de su origen dando una vuelta completa. γ γ Es un perigono. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es la recta que biseca a un ángulo en dos ángulos congruentes. (O sea de igual medida) A

B

F

B F es la bisectriz del ángulo

ABC

C RECTAS PARALELAS Dos o mas rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común o sea que siempre están a igual distancia y se denotan así. ( m  m1) m m1 NOTA: Dos rectas cuya intersección es el conjunto vació, son paralelas. m ∩ m1 = ∅ RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si se intersecan y forman un ángulo recto y se denotan de la siguiente manera. m ⊥ m1

PARES DE ÁNGULOS Ángulos adyacentes o contiguos. Son aquellos que tienen en común un vértice y un lado. B A

D

C Los ángulos B A D y D A C son adyacentes. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas da como resultado 90°. A

D α β

B

C

α y βson ángulos complementarios ya que α + β= 90° ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas da 180°. B δ A D δ y ϕ son suplementarios por lo tanto δ + ϕ = 180°.

ϕ C

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICES Son dos ángulos no adyacentes formados por dos rectas que se intersecan en un punto. α β Los ángulos α y βson opuestos por el vértice. PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UN TRANSVERSAL 1 3 5 7

4 6

8

2

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS Son dos ángulos que están entre las paralelas y en lados opuestos de la transversal. Hay dos pares de ángulos alternos internos y son congruentes.

3 6

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Son dos que están fuera de las paralelas y en lados opuestos de la transversal. Hay dos pares de ángulos alternos externos y son congruentes. 1

8 ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Son dos ángulos situados del mismo lado de la transversal, uno externo y otro externo, se puede decir que forman una F, son congruentes. 4 8 ÁNGULOS CONJUGADOS Son dos ángulos del mismo lado de la transversal, dos externos o dos internos, estos son suplementarios. 1 7 POLIGONOS El polígono es al unión de 3 o más puntos, no necesariamente colineales, o sea es una porción de un plano. Un polígono se denota con las letras de los puntos que los forman. Ejemplos: A B E B C A

D

D

Polígono ABCD

C

Polígono ABCDE A

M N O P

Q

B

C

Polígono MNOPQ Polígono ABC Los polígonos se clasifican según sus ángulos en polígonos cóncavos y convexos. POLÍGONO CONVEXO Un polígono es convexo, si al prologar uno de sus lados, éste no lo interseca. NOTA: Ninguna prolongación Corta el polígono.

POLIGONO CONCAVO Un polígono es cóncavo si al prolongar uno de sus lados éste lo corta.

Estudiaremos únicamente los polígonos convexos. Los polígonos convexos se clasifican de acuerdo al número de lados.