Elektrotechnika_i, Cz Iii

Obwody rozgałęzione prądu stałego prof. dr hab. inż. Tadeusz NIEDZIELA

Kartkówka Nazwisko, imię (nr. grupy) 1. Napisz wzory na zamianę układu rezystorów z gwiazdy w trójkąt. 2. Napisz wzory na zamianę układu rezystorów z trójkąta na gwiazdę . 3. Napisz wzory na dzielnik prądu.

Metody rozwiązywania obwodów rozgałęzionych prądu stałego:  

- metoda klasyczna (zad. 5.3)   - metoda przekształcenia sieci (zad. 5.1)   - metoda superpozycji (zad. 5.2)   -metoda potencjałów węzłowych (zad. 5.6, 5.7, 5.9)   -metoda superpozycji [z metodą oczkową (5.10a, c)] [z metodą węzłową (5.10b, c)]   - metoda z zastosowaniem twierdzenia Thevenina (zad. 5.12, 5.14)   - metoda z zastosowaniem twierdzenie Thevenina i z metodą węzłową (zad. 5.11)   - metoda z zastosowaniem twierdzenia Nortona

(zad. 5.13)

METODA KLASYCZNA   Zadanie 1  Oblicz wartości prądów gałęziowych (I1, I2, I3) w danym obwodzie stosując metodą klasyczną (równań prądowych wg. I prawa Kirchhoffa oraz równań prądowych wg. II prawa Kirchhoffa).  Dane: R1 = 6 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, E = 36V  

Dla obwodu zawierającego v węzłów można napisać, zgodnie z I prawem Kirchhoffa v-1 równań niezależnych => 2-1 = 1 Dla obwodu zawierającego b gałęzi można napisać, zgodnie z II prawem Kirchhoffa b-(v-1) równań niezależnych => 3-1 = 2

 I1 − I 2 − I 3 = 0   R2 I 2 + I1R1 − E = 0 R I + I R − E = 0  11 3 3

 I1 − I 2 − I 3 = 0   R1I1 + R2 I 2 + 0 ⋅ I 3 = E R I + 0 ⋅ I + R I = E 2 3 3   1 1

1 R  1  R1

−1 −1 R2 0   0 R3 

1 −1 −1 6 2 0    6 0 3 

·

·

0  I1  E I   2 =    E   I 3   I1  0 I  36  2 =      I 3  36 

1 −1 −1 6 2 0    6 0 3   0 −1 −1 W1 = 36 2 0    36 0 3 

I1 =

W1 180 = = 5A W 36

2 0 0 3  

6 0  6 3  

36 0 36 3  

6 2  =1 +1  6 0 W =1·6+1·18-1·(-12)=6+18+12=36 =  

36 2 36 0  

=1

-1

-1 =108-1·(-72)

1 0 −1 6 36 0    6 36 3 

I2 =

6 36 6 36  

W2 =

6 36 6 36  

W3 =

=1

-1

=108-1·(0) = 10

+1

=2·36 = 72

W2 108 = = 3A W 36 1 −1 0  6 2 36    6 0 36 

I3 =

36 0 36 3  

W3 72 = = 2A W 36

 2 36  0 36  

=1

METODA PRZEKSZTALCENIA SIECI Zadanie 2

 Oblicz wartość prądów gałęziowych (I , I , I , I , I , I ) w 1

2

3

4

5

6

danym obwodzie posługując się metodą przekształcania sieci (z zamianą źródeł). Dane: R1 = 3 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 3 Ω, R5 = 3 Ω, R6 = 3 Ω, E1 = 12V, E2 = 6V

1

II

II II

I II

I III

Ia

Ic

Ib Id I

I

Ie I f

Dla węzła 3 z I prawa Kirchoffa

I’ + I’’ - IŹR1 = 0, IŹR1 = 4A I’’ = - I’+4 = 4 −

10 A 3

Dla węzła 2 z I prawa Kirchoffa

2 12 2 10 = − = A 3 3 3 3 I’’ =

- I’ + I’’’ - IŹR2 = 0, IŹR2 = 2A

2 6 2 8 2 − = + = A I’’’ = 2+I’ = 3 3 3 3

Przy zamianie λ na ∆ mają zastosowanie następujące ogólne wzory „rezystancyjne”: R12 = R1 + R2 +

R1 R2 9 = 3 + 3 + = 9Ω R3 3

R23 = R2 + R3 +

R2 R3 9 = 3 + 3 + = 9Ω R1 3

R31 = R3 + R1 +

R3 R1 9 = 3 + 3 + = 9Ω R2 3

1 1 1 1 1 3+ 1 4 = + = + = = R113 R1 R13 3 9 9 9

R113 =

1 1 1 1 1 4 = + = + = R122 R12 R2 9 3 9 1 1 1 1 1 4 = + = + = R236 R23 R6 9 3 9

9 = 2, 25Ω 4

R122 =

9 = 2, 25Ω 4

R236 =

9 = 2, 25Ω 4

=>

=>

=>

RZ = R113 + R112 + R236 = 2,25 + 2,25 + 2,25 = 6,75 Ω

I ŹR1 = I ŹR 2 =

E1 = 4A R1 E2 6 = = 2A R2 3

UŹR1 = IŹR1 ·R113 = 4·2,25 = 9V UŹR2 = IŹR2 ·R122 = 2·2,25 = 4,5V

UŹR = UŹR1 -UŹR2 = 9 – 4,5 = 4,5V

Korzystamy z r-ń na dzielnik prądu

R1 3 10 10 5  II I = ⋅ I = ⋅ = = A  b R +R 3 + 9 3 12 6  1 13   I = R13 ⋅ I II = 9 ⋅ 10 = 15 = 2,5 A  a R1 + R13 3+9 3 6 R12 9 8 6  III I = ⋅ I = ⋅ = = 2A  c R +R 9 + 3 3 3  12 2   I = R2 ⋅ I III = 3 ⋅ 8 = 2 A  d R12 + R2 9+3 3 3

Ie =

R23 9 2 3 ⋅II = ⋅ = = 0,5 A R23 + R6 9 +3 3 6

If =

R6 3 2 1 ⋅ II = ⋅ = A R23 + R6 3 +9 3 6

Zakładamy zwroty prądów I3, I5, I1 I4, I2, I6

5 2 9 I 3 = I b + I d = + = = 1,5A 6 3 6 (Przez rezystor R3 płynie prąd Ib oraz Id) I5 = I d − I f =

2 1 3 1 − = = = 0,5A 3 6 6 2

(Przez rezystor R5 płynie prąd Id oraz If)

I1 = I ŹR1 − Ia = 4 − 2,5 =1,5 A

5 1 I 4 = I b + I f = + = 1A 6 6 (Przez rezystor R4 płynie prąd Ib oraz If) I2 = Ic – Iźr2 = 2-2 = 0 I6 = Ie = 0,5A

Rozwiązanie zadania

METODA SUPERPOZYCJI Zadanie 3 Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8) w danym obwodzie stosując metodę superpozycji. Dane: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 5 Ω, R6 = 6 Ω, E7 = 18V, E8 = 36V, IŹR = 12A

I rozwiązanie - rozwieramy źródło prądowe IŹR - zwieramy źródło napięciowe E8 - obliczamy wszystkie prądy gałęziowe

I’ – Prąd w gałęziach dla I rozwiązania

E7 18 I =I = = =3A R1 + R5 6 ' 1

' 5

1 1 1 1 ∞ 1 + ( R2 + R4 ) ∞ = + = + = R24 R2 + R4 1 R2 + R4 1 R2 + R 4 ∞ R2 + R4 R2 + R4 ∞ R24 = = =0 1 + ( R2 + R4 ) ∞ 1 + R + R 2 4 ∞ − I 3' =

E7 18 = =2A R3 + R6 3 + 6

=>

I’3 = -2A

Gałąź 8 nie stanowi żadnego oporu, stąd prąd I’8 = I’3 = -2A, ponieważ w gałęzi 8 płynie cały prąd I’3 stąd w gałęzi drugiej i czwartej nie płynie żaden prąd. I’2 = 0 A , I’4 = 0 A I’7 + I’3 - I’1 = 0 I’7 = I’1 - I’3 = 3 – (-2) = 5A I’6 = - I’3 = -(-2) = 2A

W związku z powyższym prądy w gałęziach 1-8 dla I rozwiązania wynoszą odpowiednio: I’1 = 3A, I’2 = 0, I’3 = -2A, I’4 = 0, I’5 = 3A, I’6 = 2A, I’7 = 5A, I’8 = -2A

II rozwiązanie Rozwieramy źródło prądowe IŹR , zwieramy źródło napięciowe E7

I 4'' = − I 2'' =

E8 36 = =6A R2 + R4 6

=>

I’’2 = -6A

E8 36 I = = =4A R3 + R6 9 '' 3

I’’6 = -I’’3 = -4A, I7’’ = -I3’’ = -4A, I’’1 = I’’5 = 0 I’’8 + I’’2 = I’’3

I’’8 = I’’3 - I’’2 = 4-(-6)=10A

Stąd prądy w gałęziach dla II rozwiązania wynoszą odpowiednio: I’’1 = 0, I’’2 = -6A, I’’3 = 4A, I’’4 = 6A, I’’5 = 0, I’’6 = -4A, I’’7 = -4A, I’’8 = 10A

III rozwiązanie Zwieramy źródła napięciowe E7 i E8 Korzystamy z wzorów na dzielnik prądu

R5 5  ''' I = ⋅ I =  1 R + R ŹR 1 + 5 ⋅ 12 = 10 A  1 5   I ''' = − R1 ⋅ I = −1 ⋅ 12 = − 12 = −2 A  5 R1 + R5 ŹR 1 + 5 6

R4 4  ''' I = ⋅ I =  2 R + R ŹR 4 + 2 ⋅ 12 = 8 A  4 2   I ''' = R2 ⋅ I = 2 ⋅ 12 = 4 A  4 R4 + R2 ŹR 4 + 2

I 3''' =

I 6''' =

R6 6 ⋅ I ŹR = ⋅12 = 8 A R3 + R6 3 +6

R3 3 ⋅ IŹR = ⋅12 = 4 A R3 + R6 3 +6

I’’’7 = I’’’5 + I’’’6 = -2 + 4 = 2A I’’’4 - I’’’6 - I’’’8 = 0 I’’’8 = I’’’4 - I’’’6 = 4 – 4 = 0 Stąd prądy gałęziowe dla 3 rozwiązania I’’’1 = 10A, I’’’2 = 8A, I’’’3 = 8A, I’’’4 = 4A, I’’’5 = -2A, I’’’6 = 4A, I’’’7 = 2A, I’’’8 = 0

Wyniki końcowe ( superpozycja rozwiązań) I1 = I’1 + I’’1 + I’’’1 = 3 + 0 + 10 = 13A, I2 = I’2 + I’’2 + I’’’2 = 0 - 6 + 8 = 2A, I3 = I’3 + I’’3 + I’’’3 = -2 + 4 + 8 = 10A, I4 = I’4 + I’’4 + I’’’4 = 0 + 6 + 4 = 10A, I5 = I’5 + I’’5 + I’’’5 = 3 + 0 - 2 = 1A, I6 = I’6 + I’’6 + I’’’6 = 2 – 4 + 4 = 2A, I7 = I’7 + I’’7 + I’’’7 = 5 – 5 + 2 = 3A, I8 = I’8 + I’’8 + I’’’8 = -2 + 10 + 0 = 8A

METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH Równanie macierzowe obliczania prądów oczkowych R·I=E R – macierz rezystancji własnych i wzajemnych, I – macierz prądów oczkowych, E – macierz napięć źródłowych oczkowych.

 R11 R  21  .   .  .   Rn1

R12 R22 . . . Rn 2

. . . . . .

. . . . . .

. R1n   I01   E11  . R2 n   I02   E22       . .   .   .  •   =   . .   .   .  . .   .   .       . Rnn   I0 n   Enn 

gdzie: n- liczba oczek liniowo niezależnych I01 – prąd oczka 1-szego

EKK – napięcie źródłowe k-tego oczka jest równa sumie napięć źródłowych należących do tego oczka. RKK – rezystancja własna k-tego oczka jest równa sumie rezystancji wszystkich gałęzi należących do tego oczka. Rezystancje własne oczek przyjmujemy zawsze ze znakiem (+). RKL – rezystancja wzajemna oczka k-tego z oczkiem l-tym jest równa rezystancji gałęzi wspólnej oczka k-tego i l-tego. Znak rezystancji wzajemnej zależy od zwrotów prądów oczkowych w gałęzi wspólnej. Jeżeli zwroty prądów oczkowych są jednakowe to przyjmujemy znak (+) rezystancji wzajemnej. Natomiast jeżeli zwroty prądów oczkowych są przeciwne to znak rezystancji wzajemnej przyjmujemy (-).

Zadanie 4 Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8) w danym obwodzie stosując metodę oczkową. Dane: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 5 Ω, R6 = 6 Ω, E7 = 18V, E8 = 36V, IŹR = 12A

1. etap – „Przenieść” występujące w obwodzie „samoistne” źródła prądowe, a następnie sprowadzić wszystkie gałęzie do postaci napięciowej. 2. etap – Obliczyć prądy oczkowe a następnie prądy gałęziowe.

UŹR5 = R5·IŹR = 5·12 = 60V, UŹR6 = R6·IŹR = 6·12 = 72V, UŹR4 = R4·IŹR = 4·12 = 48V.

R11 = R1+R5 = 1+5 = 6, R22 = R4+R2 = 4+2 = 6, R33 = R3+R2+R4+R6+R5+R1= 3+2+4+6+5+1 = 21 R12 = R21 = 0, R31 = R13 = -(R1+R5) = -(1+5) = -6, R23 = R32 = -(R4+R2) = -(4+2) = -6, E11 = E7+UŹ5 = 18+60 = 78V, E22 = UŹ4 – E8 = 48-36 = 12V, E33 = - (UŹ4 + UŹ6 + UŹ5 ) = - (48+72+60) = -180

R·I0 = E  6 0 −6   I 01   78   0 6 −6  •  I  =  12     02     −6 −6 21  I 03   −180 6 0 W =0 6   −6 −6 6 ⋅ ( 6 ⋅ 21 − 6 ⋅ 6 )

−6   6 −6   0 6 −6  = 6  − 6   −6 6  =  − 6 21     21 − 216 = 6 ⋅ 90 − 216 = 540 − 216 = 324 = 108 ⋅ 3

W = 108·3

0 −6   78 6  6 −6   12 W1 =  12 6 −6  = 78  − 6  −180 −6  = 78 ⋅( 6 ⋅21 −36) −6 ⋅( −12 ⋅6 +6 ⋅180) =   −6 21      −180 −6 21  = 78 ⋅ 90 − 6 ⋅ ( −72 + 1080) = 7020 − 6 ⋅ (1080) = 7020 − 6048 = 972 =108 ⋅9

W1 = 108·9

I 01 =

W1 108 ⋅ 9 = = 3A W 108 ⋅ 3

78 −6  6 −6  12   12  0 −6  0 W2 =  0 12 −6  = 6  − 78  − 6   =   − 180 21 − 6 21 − 6 − 180        −6 −180 21 6 ⋅ ( 12 ⋅ 21 − 6 ⋅ 180 ) + 78 ⋅ (36) − 6 ⋅ (6 ⋅12) = −4968 + 2808 − 432 = 2592 = −108 ⋅ 24

I 02 =

W2 108 ⋅ 24 =− = − 8A W 108 ⋅ 3

 6 0 −78  12  6 0 6  W3 =  0 6 12  = 6  + 78  −6 −6  = 6 ⋅( −6 ⋅180 +6 ⋅12) +78( 36) =   −6 −180      −6 −6 −180  = 6( −1008 + 72) + 2808 = −6048 + 2808 = −108 ⋅30

I 03 =

W3 108 ⋅ 30 =− = − 10 A W 108 ⋅ 3

Prądy gałęziowe wyrażamy przez prądy oczkowe I1 = I01 – I03 = 3-(-10) = 13A, I2 = -(I03 – I02 )= -[-10-(-8)]) = 2A, I3 = -I03 =-(-10) = 10A, I4 + I2 = Iżr I1 – I5 – Iżr = 0

=> =>

I4 = 12 – I2 = 12 – 2 = 10A,

I5 = I1 – 12 = 13 – 12 = 1A,

I’4 = - I2 = -2A, I’6 = I03 = -10A, I’5 = I01 – I03 = 3 – (-10) = 3 + 10 = 13A, I’6 = - I03 = -10A,

I7 + I3 = I1,

Z I prawa Kirchhoffa

I7 = I1 - I3 = 13 - 10 = 3A, I8 = I3 - I2 = 10 - 2 = 8, I4 - I6 - I8 = 0, I6 = I4 – I8 = 10 – 8 = 2A

Z I prawa Kirchhoffa

Zadanie 5 Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6) w danym obwodzie stosując metodę oczkową. Dane: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 3 Ω, E1 = 12V, E2 = 6V,

R·I0 = E R11 = R1+R3 + R4= 3 + 3 + 3 = 9 Ω, R22 = R2+R5 + R3= 3 + 3 + 3 = 9 Ω, R33 = R4+R5 + R6= 3 + 3 + 3 = 9 Ω R12 = R21 = -R3 = - 3 Ω, R13 = R31 = -R4 = - 3 Ω, R23 = R32 = -R5 = - 3 Ω E11 = E1 = 12V, E22 = -E2 = -6V, E33 = 0

 R11 R  21  R31

R12 R22 R32

R13   I 01   E11  R23  •  I 02  =  E 22       R33   I 03   E 33 

 9 −3 −3  I 01  12   −3 9 −3 •  I  =  −6     02     −3 −3 9   I 03   0  9 W =  −3   −3 9 ⋅ ( 81 − 9 )

−3 −3   9 −3   9 −3  −3 9  9 −3 = 9  + 3 − 3  −3 9   −3 −3 =  −3 9       −3 9  + 3 ⋅ (−27 − 9) − 3 ⋅ (9 + 27) = 9 ⋅ 72 − 108 − 108 = 648 − 216 = 27 ⋅ 16

12 −3 −3  9 −3   −6 −3  −6 9  W1 =  −6 9 −3 = 12  + 3 − 3 0 9  0 −3 =   −3 9        0 −3 9  12 ⋅ ( 81 − 9 ) + 3 ⋅ (−54) − 3 ⋅ (18) = 864 − 162 − 54 = 864 − 216 = 648 = 27 ⋅ 24

I 01 =

W1 27 ⋅ 24 = = 1,5A W 27 ⋅16

 9 12 −3  −6 −3  −3 −3  −3 −6  W2 =  −3 −6 −3 = 9  − 12 − 3  − 3 9  − 3 0  =   0 9        −3 0 9  9 ⋅ ( −54 ) − 12 ⋅ ( −27 − 9) − 3 ⋅ ( −18) = −486 + 432 + 54 = 0

W2 0 I 02 = = = 0A W 27 ⋅16  9 −3 12   9 −6   − 3 −6   −3 9  W3 =  −3 9 −6  = 9  + 3 + 12 =         −3 0   −3 0   −3 −3  −3 −3 0  9 ⋅ ( −18 ) + 3 ⋅ (−18) + 12 ⋅ (9 + 27) = −162 − 54 + 432 = 216 = 27 ⋅ 8

I 03 =

W3 27 ⋅ 8 =− = 0,5A W 27 ⋅16

Prądy gałęziowe wyrażamy przez prądy oczkowe I1 = I01 = 1,5A, I2 = I02 = 0A, I3 = I01 – I02 = 1,5 - 0 = 1,5A, I4 = I02 – I03 = 0 – 0,5 = -0,5A, I5 = I01 – I03 = 1,5 – 0,5 = 1,0A, I6 = I03 = 0,5A

METODA POTENCJALÓW WĘZLOWYCH (metoda węzłowa) Równanie macierzowe obliczania potencjałów węzłowych Y · V = IŹR Y – macierz admitancji własnych i wzajemnych, V – macierz potencjałów węzłowych, IŹR – macierz prądów źródłowych.

Y11 Y12 Y Y  21 22  . .  .  .  . .  Yn1 Yn 2

. Y1 n   V01   I ŹR1       I . Y2 n V   02   ŹR 2  . .   .   .   •  =  .  . .   .    . .   .   .       . . . Ynn  V0 n   I ŹRn  . . . . .

. . . . .

Y – macierz admitancji własnych i wzajemnych jest macierzą kwadratową symetryczną, na głównej przekątnej występują admitancje własne węzłów ze znakiem (+), poza główną przekątną admitancje wzajemne węzłów ze znakiem (-). YKK – admitancja własna k-tego węzła jest równa sumie admitancji gałęzi zbiegającej się w k-tym węźle. Admitancje własne przyjmujemy ze znakiem (+). YKL – admitancja k-tego węzła z węzłem l-tym jest równa sumie admitancji wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio węzeł l-ty z l-tym. Admitancje wzajemne przyjmujemy ze znakiem (-). V – macierz potencjałów węzłowych jest macierzą kolumnową o liczbie wierszy n, równej liczbie węzłów liniowo niezależnych. IŹR – macierz prądów źródłowych wypadkowych jest macierzą kolumnową o liczbie wierszy n, równej liczbie węzłów liniowo niezależnych. IŹR – prąd źródłowy wypadkowy dla k-tego węzła jest równy sumie iloczynów Yα Eα admitancji gałęzi i napięć źródłowych gałęzi należących do k-tego węzła ∑ α

Zadanie 6 Oblicz wartość prądów gałęziowych (I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8) w danym obwodzie stosując metodę potencjałów węzłowych. Dane:

R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 5 Ω, R6 = 6 Ω, E7 = 18V, E8 =36V, IŹR = 12A.

1 etap – „Przenieść” źródła napięciowe występujące w gałęziach bezrezystancyjnych. 2 etap – „Sprowadzić” wszystkie gałęzie do postaci prądowej. 3 etap – Rozwiązać przekształcony obwód tzn. obliczyć prądy gałęziowe.

G·V = IŹR G – macierz konduktancji własnych i wzajemnych, V – macierz potencjałów węzłowych, IŹR – macierz prądów źródłowych.

1 1 1 1 5+ 1 6 G11 = + = + = = R1 R5 1 5 5 5 G22 =

1 1 1 1 1+ 2 3 + = + = = R4 R2 4 2 4 4

G12 = G21 = 0, G13 = G31 = 0, 1 1 3 1 1 − + = − + = − G23 = G32 =  R R   2 9  4  2 4 

G33 =  1 + 1 + 1 + 1  =  1 + 1 + 1 + 1  = 15 = 5    R3 R2 R4 R6   3 2 4 6  12 4

I ŹW 1 =

E7 18 − I ŹR = −12 = 6 A R1 1

I ŹW 2 = I ŹR +

I ŹW 3 = −

E8 E7 E8 36 18 36 + − =− + − = −12 +6 −18 = −24 A R3 R3 R2 3 3 2

 G11 G12 G G22  21 G31 G32 6 5  0   0 

E8 36 = 12 − = 12 +18 = 30 A R2 2

0 3 4 3 − 4

G13  V1   IŹW 1    G23  • V2  =  IŹW 2     G33  V3   IŹW 2   0   V1   6  3    − • V2 = 30   4       V −24  5   3   4 

6 5  W = 0   0 

W=

0 3 4 3 − 4

 0   3 − = 4 5  4 

6 3 5 3 3  ⋅ − ⋅ = 5 4 4 4 4

6  15 9  9 − =   5  16 16  5 ⋅ 4

9 5⋅4

   6 0 0    3 3 3 5 3 3  15 9  36 9 W1 =  30 −  = 6 ⋅ − ⋅  = 6 −  = =  4 4 4 4 4 4  16 16  16 4  3 5  −24 −   4 4 

V1 =

W1 9 ⋅ 5 ⋅ 4 = = 5V W 4⋅9

6  0 0 5  3     30 −   0 3 6 4 W2 =  0 30 −  =  − 6    5  4 5 −24 0      5  4   0 −24   4  6 78 9 ⋅13 ⋅ = 5 4 5 W V2 = 2 W 6 5  W3 =  0   0 

0 3 4 3 − 4

3 −  4 = 6 30 ⋅5− ⋅3 24=   5  5  4 4  4 

=

9 ⋅13 5 ⋅ 4 ⋅ = 52V 5 9

 6   6 3 3  6  72 90  3 ⋅ 9 30  =  − ⋅ 24 + 30 ⋅  =  − +  =  5 4 4 5 4 4  5  −24   W 3⋅9 5⋅ 4 V3 = 3 = ⋅ = 12V W 5 9

V2 – V3 = 52 – 12 = 40V

I 2' =

V2 − V3 40 = = 20 A R2 2

I2 = I2 – IŹR2 = 2

Gałąź 2

Prąd płynie od potencjału wyższego do niższego

I2 =

(V2 − E8 ) − V3 52 − 36 − 12 52 − 48 4 = = = =2 A R2 2 2 2

Gałąź 1

I1 =

E7 − V1 18 − 5 = =13 A R1 1 Gałąź 3

I3 =

(V3 + E8 ) − E7 (12 + 36) − 18 = =10 A R3 3

I7 + I3 – I1 = 0, I7 = I1 – I3 = 13 – 10 = 3A

I2 – I3 + I8 = 0, I8 = I3 – I2 = 10 – 2 = 8A

12 – I2 – I4 = 0, I4 = 12 – I2 = 12 – 2 = 10A

V1 − V0 5 − 0 I5 = = =1 A R5 5 I6 + I5 = I7 I6 = I7 – I5 = 3 – 1 = 2A

lub I 6 =

V3 − V0 12 − 0 = =2A R6 6