Electrotehnica - Capitolul 8.

8. CIRCUITE ELECTRICE Din punctul de vedere al electrocineticii, circuitul electric este un sistem fizic format dintr-unul sau mai multe "lanţuri" închise de corpuri conductoare (lanţuri numite şi ochiuri sau bucle), în care "acţionează" cel puţin un câmp electric imprimat şi/sau solenoidal. Din punctul de vedere al tehnicii, circuitul electric este alcătuit din surse şi din receptoare de energie electrică, conectate între ele în scopul transformării energiei dintr-o formă neelectrică (la surse) în alta (tot neelectrică, la receptoare) prin intermediul unor procese de câmp electromagnetic. După variaţia în timp a mărimilor electrice de circuit (t.e.m., intensitate a curentului, potenţiale ale diferitelor puncte ale circuitului etc.) există: circuite de curent continuu şi circuite de curent alternativ.

8.1. Elementele circuitelor electrice. Parametri de circuit Din punctul de vedere al proceselor de câmp, circuitele conţin ca elemente constitutive: rezistoare, bobine şi condensatoare, numite şi componente de circuit. Acestea pot fi active (în special rezistorul şi bobina), când sunt sediul unor tensiuni electromotoare, sau pasive. Dacă parametrii caracteristici ai acestor dispozitive (rezistenţă, inductanţă, capacitate) sunt independenţi de curentul electric sau de tensiunea aplicată la bornele lor, ele constituie elemente de circuit liniare. În conductoarele metalice, legea conducţiei electrice exprimată prin relaţiile E = ρ J sau u = Ri se realizează cu foarte mare precizie şi de aceea metalele sunt încadrate în categoria de conductoare numite liniare. În lichide, cu unele excepţii, deplasarea sarcinilor electrice se face de asemenea în concordanţă cu legea conducţiei. Curentul electric în gaze nu se supune însă nici măcar cu aproximaţie legii lui Ohm. Un astfel de mediu conductor în care curentul electric nu se supune legii conducţiei se numeşte neliniar. În afară de gaze, există numeroase corpuri conductoare neliniare: straturile de tranziţie dintre metale şi oxizii lor, anumite compoziţii ceramice, semiconducrorii etc. În cadrul elementelor de circuit electric sunt considerate neliniare arcul electric, dispozitivele semiconductoare, tuburile electronice sau ionice, bobinele cu miez de fier etc. Comportarea acestor componente în regim electrocinetic este descrisă de caracteristica tensiune curent u = f (i ) sau i = f (u ) , numită caracteristică volt - amper, care este neliniară. Elementele neliniare, într-o reţea, aduc uneori prejudicii funcţionării reţelei însă alteori, particularităţile lor sunt folosite la rezolvarea unor probleme importante de electrotehnică. De aceea, cunoaşterea efectelor neliniarităţii circuitelor şi a consecinţelor ei este o chestiune de mare importanţă practică.

8.1.1. Parametrii circuitelor electrice Parametrii de circuit sunt mărimi fizice care caracterizează comportarea elementelor de circuit aflate în câmp electromagnetic. Ei sunt rezistenţa, conductanţa, inductivitatea (inductanţa) proprie, inductivitatea (inductanţa) mutuală, capacitatea, elastanţa precum şi impedanţa, admitanţa, reactanţa, susceptanţa -pentru circuitele de curent alternativ sinusoidal. 429

Parametrii de circuit pot fi concentraţi, adică localizaţi în anumite elemente ale circuitului, sau distribuiţi (uniform sau după o anumită lege) şi depind de dimensiunile şi forma corpului, de natura materialului, de omogeneitatea şi izotropia sa etc. Ei sunt adesea sub influenţa unor factori de mediu cum sunt temperatura, umiditatea etc, înfluenţă care în unele aplicaţii poate fi neglijată. 8.1.2. Elemente de circuit

Elementele de circuit sunt constituite în scopul realizării unor anumite procese de câmp: rezistorul pentru a transforma energia electromagnetică în căldură, bobina pentru a produce câmp magnetic, condensatorul pentru a produce câmp electric. Comportarea lor este caracterizată prin parametri de circuit cum sunt: rezistenţa, conductanţa, inductanţa proprie şi/sau mutuală, capacitatea etc. Deşi construite pentru a prezenta un anumit parametru de circuit, orice elemente de circuit prezintă simultan mai mulţi parametri al căror efect este mai mult sau mai puţin semnificativ. În regimuri cvasistaţionare, nu şi la frecvenţe foarte ridicate, putem considera, fără erori pentru calculele practice, că rezistorul prezintă numai rezistenţă, bobina numai inductanţă iar condensatorul numai capacitate. În cele mai multe cazuri elementele de circuit nu au dimensiuni mari, iar acest lucru permite să neglijem distribuţia spaţială a parametrilor circuitului, pe care îi considerăm concentraţi. Rezistoare

Aceste elemente au rolul de a introduce în circuit o rezistenţă electrică, consecinţă a proprietăţii fizice pe care o au. După mărimea rezistivităţii, corpurile care prezintă rezistenţă electrică pot fi: - conductori electrici, propriu-zişi, având rezistivitatea până la circa 1 Ωcm; - semiconductori, a căror rezistivitate este cuprinsă între circa 1 Ωcm şi 1010 Ωcm; - izolanţi, cu rezistivitatea mai mare decât limita considerată maximă pentru rezistivitatea semiconductorilor. Limitele de mai sus sunt orientative şi nu riguroase: un corp cu rezistivitatea cuprinsă întro categorie poate prezenta proprietăţi specifice altei categorii. Prezenţa rezistenţei în circuitele electrice are următoarele efecte: - căderea de tensiune, efect definit prin diferenţa de potenţial la bornele rezistorului de rezistenţă R atunci când este sub curentul i: ∆u = Ri . Într-un circuit ca acela din figura 8.1, compus din sursa de t.e.m e , receptorul de energie R şi conductoarele de legătură cu rezistenţele R1 şi R2 rezultă: ri – căderea de tensiune pe rezistenţa internă a sursei, u0 = e − ri – tensiunea la bornele sursei, ∆ul = ∆u1 + ∆u2 = R1i + R2i – căderea de tensiune în conductoarele de legătură, u1 = u0 − ∆ul – tensiunea aplicată receptorului. În reţelele electrice industriale se admite o cădere de tensiune procentuală în conductoarele de legătură (în linie) de maximum 5 %, în vederea asigurării unei tensiuni normale de funcţionare la receptor; - pierderea de putere şi energie. În regim electrocinetic se produce o degajare de căldură. Viteza de transformare a energiei în căldură este egală cu puterea electrică absorbită de rezistor: p = ui = Ri 2 . Rezistoarele aparatelor electrice de încălzit sunt construite tocmai pentru realizarea acestui efect (efectul termic al electrocineticii). 430

Rezistenţa unui conductor metalic variază cu temperatura ca şi rezistivitatea, după modelul R = R0 (1 + α R ∆θ) . În calculele practice este admisă înlocuirea lui R0 cu R20, temperatura de referinţă fiind de 20 °C, iar ∆θ fiind luată în raport cu această temperatură. Diferenţa dintre coeficienţii de temperatură ai rezistenţei şi rezistivităţii se poate neglija practic, luându-se α R = α ρ , deoarece variaţia dimensiunilor materialului cu temperatura este nesemnificativă faţă de variaţia rezistivităţii. Fig. 8.1 În apropiere de zero absolut rezistivitatea majorităţii metalelor scade brusc. Fenomenul se numeşte supraconductivitate electrică (v. § 4.6.2). În zona de temperaturi cuprinsă între zero şi 100 °C rezistenţa conductoarelor variază liniar cu temperatura. Conductorii situaţi la limită între proprietăţile materialelor conductoare şi ale celor semiconductoare, cum sunt nichelina, constantanul, manganina, prezintă particularitatea unei rezistenţe practic constante între zero şi 200 °C. Ele servesc la confecţionarea reostatelor pentru pornirea motoarelor electrice şi la confecţionarea rezistenţelor pentru cuptoarele electrice. Caracteristicile u = f (i ) pentru cazurile menţionate mai sus sunt cele din figura 8.2. Rezistenţa conductoarelor metalice se mai modifică şi ca urmare a tratamentelor mecanice şi termice; prin ecruisare rezistivitatea creşte iar prin tratamentele de recoacere sau de revenire creşte conductivitatea. Din punctul de vedere constructiv rezistoarele se clasifică în rezistoare fixe şi rezistoare variabile, iar din punctul de vedere al realizării părţii rezistive există trei tipuri de rezistoare: - rezistoare bobinate - la care partea rezistivă este un conductor metalic de mare rezistivitate bobinat pe un suport izolant; - rezistoare peliculare - la care elementul rezistiv este Fig. 8.2 format dintr-o depunere peliculară, rezistivă, cu grosime mai mică decât 100 µm, pe un suport izolant; - rezistoare de volum - cu elementul rezistiv format dintr-un corp "masiv" de diferite forme (de obicei cilindrică). Rezistoarele de acest tip se numesc şi rezistoare chimice fiind realizate după o tehnologie de tip chimic. Rezistoarele fixe au simbolul grafic reprezentat în figura 8.3 şi sunt caracterizate prin: - rezistenţa nominală, Rn şi toleranţa acesteia exprimată în procente din Rn . Rezistoarele etalon au toleranţa de ± 1% sau ± 2,5%, rezistoarele de precizie au toleranţa de ± 2,5% şi ± 5%, iar cele de uz curent au toleranţe de la ± 5% până la ± 20%; - puterea de disipaţie nominală reprezintă puterea electrică maximă 2 Rn I n ce poate fi dezvoltată în rezistor fără ca temperatura acesteia să depăşeasca valoarea maximă admisă; Fig. 8.3 - tensiunea nominală, U n , definită ca fiind tensiunea maximă de durată ce poate fi aplicată la bornele rezistorului; - intervalul temperaturilor de lucru, în limitele căruia se asigură funcţionarea de durată a rezistorului.

431

Fig. 8.4

Rezistoarele variabile al căror simbol de schemă este prezentat în figura 8.4 sunt caracterizate în funcţie de tipul lor constructiv prin: - rezistenţă iniţială, r0 , definită ca rezistenţa în poziţia iniţială a contactului mobil; - rezistenţa saltului iniţial, rs definită ca variaţia minimă a rezistenţei la deplasarea contactului mobil din poziţia iniţială; - rezistenţa de contact, rk , adică rezistenţa dintre contactul mobil şi partea fixă (rezistivă); - rezoluţia sau precizia reglării exprimată prin variaţia minimă posibilă a rezistenţei la deplasarea contactului mobil; - modul de variaţie al rezistenţei, de exemplu, liniară, logaritmică etc, în funcţie de parametrul de poziţie al contactului

mobil; - puterea necesară acţionării contactului mobil, numit şi cursor. Contactul mobil se execută în diverse moduri ca: lamelă, perie sau plot din bronz fosforos, alamă sau oţel "apăsat" pe parte fixă cu ajutorul unui arc spiral sau lamelar. Din punct de vedere constructiv, rezistoarele variabile pot fi de formă rectilinie sau circulare. Cele circulare pot fi elicoidale (cu deplasare elicoidală a cursorului) sau cu unghi de rotaţie. În montaje, rezistoarele variabile se pot conecta în două moduri: reostatic (fig. 8.5) şi potenţiometric (fig. 8.6).

Fig. 8.6 Fig. 8.5

Alte modalităţi de legare a rezistoarelor variabile sunt prezentate în figura 8.7: reostat cu scurtcircuitare (a), reostat dublu (b), potenţiometru cu contact fix (c). Potenţiometrul cu contact median fix realizează un reglaj de la –U la +U al tensiunii de ieşire. Rezistoare neliniare. După alura caracteristicii volt – amper, deosebim elemente neliniare simetrice şi nesimetrice. Cele din prima categorie ( de exemplu: lampa cu filament metalic – figura 8.8a, lampa cu filament de cărbune - figura 8.8b, tubul baretor – cu filament de fier sau volfram şi umplut cu hidrogen sub presiune – figura 8.8c, termistorul –confecţionat din pulberi de oxizi de cupru, titan sau zinc, presate la temperaturi înalte – figura 8.8d, varistorul –confecţionat din carbură de siliciu – figura 8.8e) Fig. 8.7 au curba caracteristică simetrică în raport cu originea axelor de coordonate, ceea ce arată că rezistenţa lor depinde de curent în mod identic pentru ambele sensuri ale acestuia. La elementele nesimetrice (cum sunt dioda cu vid – figura 8.9a sau dioda semiconductoare – figura 8.9b) rezistenţa depinde şi de sensul curentului prin element. 432

Fig. 8.8

Fig. 8.10

Fig. 8.9

Caracterizarea rezistoarelor neliniare se face prin rezistenţa statică corespunzătoare punctului de funcţionare, M, şi prin rezistenţa dinamică. Prima, este definită prin: ∧

Rs = u M / im = tg α ,

(8.1)

∆u    du  ∧ =   = tgβ. Rd =  lim   ∆i →0 ∆i  M  di  M

(8.2)

(v. fig. 8.10), iar cealaltă prin:

Din cele de mai sus rezultă că rezistenţa statică are numai valori pozitive, rezistenţa dinamică putând fi negativă pe acele porţiuni ale caracteristicii pe care variaţiile tensiunii şi curentului au sensuri opuse. Rezistenţa dinamică ne indică modul cum variază rezistenţa rezistorului neliniar la creşterea tensiunii aplicată la bornele sale. Rezistoare neliniare comandate. Prin comanda rezistoarelor se înţelege procedeul prin care se modifică poziţia sau forma caracteristicilor acestuia în planul de reprezentare ( u , i ). O deosebită importanţă practică o prezintă comanda prin mărimi electrice a rezistoarelor electrice neliniare. Caracteristica rezistorului fiind descrisă de relaţia i = i (u ) în care considerăm curentul ca "semnal de răspuns", dependent neliniar de "semnalul de excitaţie principal" u , prin comandă se realizează o nouă caracteristică i = i (u, uc ) , cu ajutorul unui al doilea semnal de excitaţie, uc , numit "semnal de comandă". Pentru un rezistor comandat, caracteristica i = i (u )u

c = const .

se numeşte caracteristică de sarcină sau

caracteristică de lucru iar i = i (uc ) u =const . se numeşte caracteristică de comandă. Rezistoarele neliniare comandate cu cea mai largă utilizare în tehnică sunt trioda electronică şi trioda semiconductoare (tranzistorul) şi -pentru puteri mari- tiristorul. Rezistorul liniar variabil în timp (parametric). Rezistorul parametric are ecuaţia caracteristică u (t ) = R (t )i (t ) , în care R (t ) se numeşte rezistenţă parametrică. Rezistoarele eteroparametrice îşi

modifică rezistenţa sub acţiunea unor cauze exterioare. Ea poate varia continuu sau prin salt, instantaneu sau inerţial. 433

În tehnică, rezistoarele eteroparametrice au utilizări multiple şi se realizează într-o gamă largă de tipuri ca de exemplu: rezistoarele din particule de cărbune care îşi modifică rezistenţa sub acţiunea presiunii; rezistoarele filiforme care se alungesc în domeniul elastic, dacă sunt supuse la eforturi mecanice; termorezistenţele a căror rezistenţă se modifică sub acţiunea temperaturii etc. Rezistoarele autoparametrice sunt rezistoare neliniare neinerţiale, care îşi modifică rezistenţa dinamică sub acţiunea unor excitaţii periodice sau neperiodice, un exemplu tipic fiind dioda semiconductoare. Bobine electrice

Bobina electrică este elementul de circuit constituit dintr-o succesiune de spire în serie şi destinat producerii câmpului magnetic, atunci când spirele sunt "parcurse" de curent, sau destinat a fi sediul unei tensiuni electromotoare induse, când circuitul bobinei se află într-un câmp magnetic variabil în timp. De asemenea, bobina ca element de circuit poate fi destinată limitării vitezei de creştere a curentului în circuit ca urmare a fenomenului autoinducţiei. În acest caz se spune că bobina este destinată introducerii într-un anume loc din circuit a unei inductanţe (inductivităţi) sau a unei reactanţe. Bobinele destinate producerii câmpului magnetic (bobine de excitaţie) şi acelea destinate producerii prin inducţie electromagnetică a curenţilor, intră în componenţa maşinilor şi aparatelor electrice cum sunt maşinile rotative, aparatele de măsurat, releele, contactoarele etc. Bobinele destinate introducerii inductivităţii în circuite se pot constitui ca bobine autonome cum sunt bobinele de inductanţă, bobinele de reactanţă, bobinele etalon, bobinele de şoc etc. Din punctul de vedere al electrocineticii bobinele sunt caracterizate prin parametrul inductivitate (inductanţă) proprie L şi/sau inductivitate (inductanţă) mutuală M. Inductivitatea este parametrul de circuit care exprimă, aşa cum s-a arătat în capitolul 5, posibilitatea circuitelor, aflate în regim electrocinetic, de a produce flux magnetic prin anumite suprafeţe. Clasificarea constructivă a bobinelor se face după criterii exterm de variate, ce nu pot fi cuprinse în acest capitol. De aceea ne limităm la câteva criterii generale. Din punctul de vedere funcţional bobinele pot fi fixe – pentru care inductivitatea L este constantă în tot timpul funcţionării şi variabile – pentru care variaţia inductivităţii este funcţional necesară. Simbolurile lor de schemă sunt prezentate în figura 8.11a şi, respectiv, 8.11b. Bobinele cuplate, caracterizate prin inductivitate mutuală M, se reprezintă pe scheme aşa ca în figura 8.12. În figura 8.12a este prezentat simbolul pentru bobine cu cuplaj fix, iar în figura 8.12b, simbolul pentru bobine cu cuplaj variabil. Asteriscurile cu care sunt marcate una din cele două extremităţi ale bobinei arată în mod convenţional asocierea sensului de referinţă al curentului cu sensul de bobinare al spirelor. Astfel,

Fig 8.11

Fig 8.12

dacă în prima bobină sensul curentului este de la borna polarizată către cea nepolarizată, atunci în cea de a doua bobină se induce o tensiune electromotoare cu sensul de referinţă tot de la borna polarizată către cea nepolarizată. 434

Bobinele se realizează, de regulă, dintr-un conductor bobinat elicoidal, într-unul sau mai multe straturi, pe o carcasă din material izolant. Bobinele fără miez de fier sunt liniare în sensul că inductivităţile lor (L, M) sunt constante. Miezul de fier oferă posibilitatea obţinerii de inducţii magnetice mari cu ajutorul unor curenţi de intensitate relativ mică, pe seama permeabilităţii mari a materialului feromagnetic. Din cauza faptului că permeabilitatea magnetică a feromagneţilor depinde de intensitatea câmpului magnetic exterior, relaţia B = µH nu este liniară. Tot neliniară va fi şi dependenţa Φ = f (i ) reprezentând caracteristica magnetică a bobinei (fig. 8.13) şi, prin urmare, inductivitatea bobinei L = N Φ / i nu mai este constantă (cu N s-a notat numărul de spire). Bobina cu miez de fier este deci un element de circuit cu comportare neliniară. Carcasele bobinelor pot fi tubulare, cu secţiune pătrată, dreptunghiulară sau rotundă (după forma miezului) sau cu flanşe laterale sau intermediare. Materialul din care se execută se alege în funcţie de rezistenţa de izolaţie necesară în timpul funcţionării, de rezistenţa mecanică, de stabilitatea termică, de stabilitatea la umezeală etc. Bobinajul propriu-zis se execută din conductoare de cupru sau aluminiu cu secţiune rotundă sau dreptunghiulară, izolate cu Fig. 8.13 emailuri (lacuri pe bază de polivinilacetat, răşini poliuretanice, epoxidice, siliconice etc), fibre textile (bumbac, mătase), fibre anorganice (sticlă) şi izolaţii mixte (email-bumbac, email-mătase etc). Bobinele tehnice sunt caracterizate prin următoarele mărimi: - inductivitate nominală L ; - rezistenţă electrică a înfăşurării r ; - rezistenţă de pierderi (echivalentă pierderilor în fier, prin curenţi turbionari şi prin histerezis, la o anumită frecvenţă de lucru –v. subcap. 7.3); - inducţia magnetică maximă în miez; - tensiunea de lucru (nominală); - curentul de lucru (nominal). Bobina neliniară. Studiul bobinei cu miez de fier presupune rezolvarea sistemului neliniar :

u = Ri +

dΦ ; dt

(8.3)

Φ = Φ (i ) . (8.4) Parametrul principal al bobinei neliniare îl constituie inductanţa ei. În cazul în care caracteristica de magnetizare este reprezentată în planul ( B, H ) se defineşte ca parametru permeabilitatea. Inductivitatea statică şi permeabilitatea magnetică statică sunt proporţionale cu panta dreptei OM (fig. 8.14): Φ Lst = M = k L tgα (8.5) iM şi B µ st = M = k µ tgα . (8.6) HM unde k L = kΦ / ki şi kµ = k B / k H reprezintă coeficienţii de Fig. 8.14 scară ai inductivităţii şi respectiv permeabilităţii. 435

Inductivitatea dinamică şi permeabilitatea magnetică dinamică sunt proporţionale cu panta tangentei în M la curba de magnetizare:  dΦ  (8.7) Ld =   = k L tgβ  di  M şi  dB  µd =  (8.8)  = k µ tgβ .  dH  M În figura 8.15 s-au trasat curbele B (i ) , Lst (i ) şi Ld (i ) pentru întreg domeniul de variaţie al curentului. Se observă că ambele mărimi au numai valori pozitive.

Fig. 8.15

Fig. 8.16

Bobina neliniară comandată. Comanda bobinei neliniare se realizează prin aplicarea unui câmp magnetizant suplimentar, în mod obişnuit pe direcţia câmpului magnetic principal. Deosebit de importantă în practică este comanda în curent continuu, realizată cu o înfăşurare cu N c spire plasate pe acelaşi miez cu bobina propriu-zisă (înfăşurarea de sarcină) având N s spire (fig. 8.16). Limitarea curenţilor induşi de circuitul de sarcină în cel de comandă se face, fie prin înserierea unei bobine de inductanţă, L , în înfăşurarea de comandă (fig. 8.16), fie dispunând bobinele pe două miezuri ca în figura 8.17a. În majoritatea aplicaţiilor practice interesează caracteristicile de comandă U s = U s ( I s ) I =const . (valori eficace) – figura 8.17b şi I s = I s ( I c )U =const . – c

s

figura 7.17c. Bobina liniară variabilă în timp (parametrică) şi necuplată magnetic. Variaţia inductivităţii unei bobine poate fi realizată fie prin variaţia dimensiunilor geometrice, fie prin variaţia permeabilităţii. Bobina eteroparametrică este este prevăzută cu întrefier variabil (de exemplu maşinile cu poli aparenţi) sau cu posibilitatea introducerii în întrefier a unor lamele din material feromagnetic, în care se induc curenţi turbionari al căror câmp magnetic contribuie substanţial la Fig. 8.17 modificarea înductivităţii. Ea se poate realiza şi cu ajutorul unor cuplaje magnetice variabile în timp (de exemplu maşinile cu poli înecaţi). Traductoarele inductive de deplasare utilizează asemenea principii. Bobinele neliniare neinerţiale pot fi considerate autoparametrice deoarece inductanţa lor variază periodic în timp datorată variaţiei periodice a semnalului de excitaţie. 436

Condensatoare electrice

Elementul de circuit conceput să aibă ca parametru principal capacitatea este condensatorul electric, numit, uneori, capacitor. Utilizările condensatoarelor sunt multiple şi sunt bazate pe proprietatea pe care o au, de a restitui total sau parţial enrgia înmagazinată pentru stabilirea câmpului electric între armături. Din acest punct de vedere un rol deosebit îl joacă dielectricul, iar caracteristicile condensatoarelor depind de natura dielectricului folosit. Dacă dielectricul condensatorului nu este liniar, adică dacă permitivitatea depinde de intensitatea locală şi momentană a câmpului, atunci dependenţa q = q (u ) dintre sarcina şi tensiunea condensatorului nu mai este liniară. În acest caz se pot defini mai multe capacităţi care depind de punctul de funcţionare al condensatorului (fig. 8.18). Capacitatea statică, C s , într-un anumit punct de funcţionare (fig. 8.18a) este definită prin relaţia:

Fig. 8.18

q = tgα , u dependentă, după cum se vede, de tensiunea aplicată la bornele condensatorului. Capacitatea diferenţială C d , se defineşte prin relaţia (v. fig.8.18b ): Cs =

∧

(8.9)

∆u    du  ∧ Cd =  lim (8.10) =   = tgβ .   ∆u →0 ∆i  M  di  M Ea ne arată cum variază sarcina la variaţia tensiunii în jurul punctului de funcţionare şi este ,de asemenea, o funcţie de tensiunea aplicată. Capacitatea dinamică a unui condensator neliniar reprezintă raportul dintre amplitudinea ∆qa a variaţiei sarcinii şi amplitudinea corespunzătoare ∆u a a variaţiei tensiunii, la alimentarea cu o tensiune variabilă în timp, alternativă, dar care are o componentă continuă U 0 (ce corespunde punctului mediu de funcţionare) şi o componentă periodică sinusoidală: ∆q Cdin = a ⋅ (8.11) ∆u a Capacitatea dinamică depinde, la rândul ei, de punctul de funcţionare precum şi de amplitudinea componentei alternative şi de frecvenţa ei. Din punctul de vedere al dielectricului utilizat, condensatoarele se clasifică în: condesatoare cu dielectric gazos (cu aer, cu vid, cu azot sub presiune sau rarefiat etc), condesatoare cu dielectric lichid (ulei), condesatoare cu dielectric anorganic solid (hârtie, pelicule plastice etc) şi condensatoare cu dielectric mixt (cu dielectrici în combinaţii diverse). Condensatoarele cu vid sau condensatoarele cu gaz comprimat se folosesc la instalaţiile de înaltă tensiune şi de frecvenţe radio, deoarece au rigiditate dielectrică mare şi pierderi în dielectric foarte mici. 437

Prin rigiditate dielectrică înţelegem, după cum s-a arătat în capitolul 3, raportul dintre tensiunea U s la care apare străpungerea unui strat dielectric plasat între doi electrozi plani şi grosimea d a acestui strat: U E s = s , [kV/cm]. (8.12) d Rigiditatea dielectrică este, prin urmare, egală cu valoarea maximă a intensităţii câmpului la care poate fi străpuns dielectricul şi este o caracteristică a oricărui material izolant. Condensatoarele cu ulei, având capacitatea specifică mai mare şi tensiunea de străpungere mare se folosesc în instalaţiile electroenergetice, la 50 Hz şi la tensiuni de lucru până la 100 kV. Condensatoarele electrolitice se folosesc la montajele de filtraj ale redresoarelor cu tensiuni până la 1000 V (valoare de vârf). Condensatoarele cu hârtie sunt ieftine şi sunt folosite în circuitele de joasă frecvenţă, în special la aplicaţii de tip industrial (de exemplu, pentru compensarea puterii reactive a lămpilor fluorescente). Din punct de vedere constructiv, condensatoarele pot fi condensatoare fixe, a căror capacitate se stabileşte la fabricaţie şi rămâne constantă pe întreaga durată de funcţionare şi condensatoare variabile a căror capacitate se poate modifica –în limite stabilite– în timpul funcţionării sau pentru reglaj iniţial. Simbolizarea lor în scheme este făcută ca în figurile 8.19a, respectiv, 8.19b. Condensatoarele fixe au diverse forme constructive: plan, cilindric, bobinat. Pentru obţinerea unor performanţe superioare se realizează tipuri speciale de condensatoare plane cum sunt cele constituite dintr-o folie de mică argintată (pentru înlăturarea interstiţiei dielectric-armătură), condensatoarele ceramice cu strat de baraj (armătură-strat semiconductor-strat dielectric ceramic-strat semiconductor-armătură) care obţin capacităţi specifice foarte mari (permiţând miniaturizarea condensatoarelor) etc. Condensatoarele variabile se construiesc după două principii distincte: cu variaţia capacităţii prin variaţia suprafeţei armăturilor, distanţa dintre armături rămânând constantă sau, cu variaţia distanţei dintre armături, suprafaţa lor rămânând constantă. Condensatoarele din prima categorie sunt preferate deoarece prezintă o caracteristică Fig. 8.19 C = f ( A) liniară (fig. 8.20a). Condensatoarele variabile prin reglarea distanţei dintre armături au caracteristica C = f (d ) neliniară (fig. 8.20b) şi sunt utilizate acolo unde sunt necesare reglaje foarte fine pe porţiuni mici. Principalele caracteristici ale condensatoarelor sunt de natură electrică şi tehnologică. Caracteristicile electrice ale condensatoarelor sunt: - capacitatea electrică nominală Cn , la condensatoarele fixe şi limitele C0 ÷ Cn între care poate fi reglată capacitatea unui Fig. 8.20 condensator variabil; - toleranţa capacităţii la condensatoarele fixe (±2% pentru clasa 0, ±5% pentru clasa I, ±10% pentru clasa II şi ±20% pentru clasa III); - tensiunea de străpungere U s ; - pierderile de putere în regim periodic permanent. 438

Caracteristicile tehnologice ale condensatoarelor sunt: - tensiunea nominală (de lucru) continuă U c ; - coeficientul de siguranţă, dat de raportul U s / U c ; - tensiunea nominală de lucru alternativă U (valoare eficace); - temperatura maximă de lucru; - poziţia de funcţionare; - capacitatea specifică (µF/cm3). Condensatorul cu pierderi. Materialele izolante nu sunt în realitate dielectrici ideali deoarece în ei apar mici curenţi de conducţie (care produc pierderi în dielectric şi încălzirea acestuia) sau prezintă fenomenul de histerezis dielectric caracterizat printr-o dependenţă neliniară (fig. 8.21) dintre sarcina q de pe armături şi tensiunea u aplicată condensatorului (sarea Seignette, titanatul de bariu), aşa cum s-a arătat în capitolul 3. Fenomenul de histerezis dielectric constă de fapt în rămânerea în urmă a inducţiei în raport cu câmpul electric, dependenţa q(u) reprezentând la altă scară dependenţa D(E) aşa cum rezultă din legea fluxului electric şi din relaţia de definiţie a tensiunii:

∫ D ⋅ dA = q

(8.13)

∫ E ⋅ dl = u .

(8.14)

Σ

şi 1→2

Caracteristica q(u ) pune în evidenţă proprietăţi remanente ale substanţelor numite seignettoelectrice sau Fig. 8.21 feroelectrice. Ea reprezintă ciclul de încărcare al condensatorului, în timp ce relaţia D = D(E ) reprezintă ciclul de polarizare electrică. Forma ciclului dinamic de histerezis depinde şi de conductivitatea dielectricului. Dacă se notează cu G0 conductanţa dielectricului şi cu i0 intensitatea curentului de conducţie prin dielectric, expresia curentului absorbit de la sursă va fi dată de relaţia: dq dq i = i0 + = G0 u + ⋅ (8.15) dt dt Pierderile dielectrice se obţin înmulţind relaţia de mai sus cu tensiunea la bornele condensatorului: dq (8.16) ui = G0 u 2 + u dt şi sunt egale cu suma dintre pierderile prin conducţie: p J = G0 u 2 (8.17) şi pierderile prin histerezis dielectric: dq (8.18) ph = u ⋅ dt Se vede că pierderile prin histerezis dielectric sunt proporţionale cu aria ciclului respectiv. Condensatorul liniar variabil în timp (parametric). Condensatoarele eteroparametrice se construiesc cu distanţa între armături variabilă sau cu aria suprafeţei armăturilor variabilă şi prezintă interes în special pentru utilizarea lor ca traductoare. Condensatoarele neliniare sunt totodată condensatoare autoparametrice deoarece capacitatea lor dinamică variază periodic sub acţiunea semnalelor periodice. 439

Generatorul independent de tensiune

Generatorul ideal de tensiune este elementul activ de circuit a cărui tensiune la borne nu depinde de intensitatea curentului, generatorul fiind caracterizat de variaţia în timp a tensiunii electromotoare: (8.19) u = e(t ) . În planul ( u, i ) caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă la axa o − i (fig. 8.22). Deoarece intensităţii curentului îi corespunde univoc o valoare a tensiunii, generatorul ideal de tensiune poate fi considerat rezistor neliniar activ cu control de curent. Simbolul său grafic este acela din figura 8.23.

Fig. 8.22

Fig. 8.23

Generatorul este de tensiune continuă dacă tensiunea electromotoare este constantă în timp: e(t ) = E . Generatorul real de tensiune continuă este caracterizat de tensiunea electromotoare E şi de rezistenţa Rg (fig. 8.24), caracteristica de funcţionare fiind o dreaptă (fig. 8.25) de ecuaţie: E − U b = Rg I g .

(8.20)

Fig. 8.24

Fig. 8.25

Generatorul independent de curent

Generatorul ideal de curent este elementul activ de circuit având intensitatea curentului independentă de tensiune, ecuaţia caracteristică fiind: (8.21) i = ig (t ) . În planul ( u , i ) caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă la axa o − u (fig. 8.26). Deoarece tensiunii îi corespunde univoc o valoare a intensităţii curentului, generatorul ideal de curent poate fi considerat rezistor neliniar activ cu control de tensiune. Simbolul său grafic este acela din figura 8.27.

440

Fig. 8.26

Fig. 8.27

Dacă intensitatea curentului este constantă în timp, ig (t ) = I g , generatorul este de curent continuu. Generatorul real de tensiune continuă este caracterizat de injecţia de curent I g şi de conductanţa Gg (fig. 8.28), fiind:

caracteristica

de

I g − I = G gU g .

funcţionare (8.22) Fig. 8.28

8.2. Mărimi electrice de circuit Studiul circuitelor linire se face cu ajutorul mărimilor intensitate a curentului electric de conducţie, densitate a curentului electric de conducţie, tensiune electromotoare şi tensiune electrică, mărimi care sunt numite, în mod obişnuit, mărimi electrice de circuit.

8.2.1. Intensitatea curentului de conducţie i Asupra conductoarelor aflate în stare electrocinetică se exercită în câmpul magnetic forţe suplimentare în raport cu cele electrice, termomecanice şi cu cele magnetice determinate de deplasarea sarcinii odată cu conductorul sau de momentele magnetice ale corpurilor. O porţiune rectilinie de lungime ∆l (orientată în sensul deplasării sarcinii pozitive) este supusă în câmpul magnetic uniform forţei electromagnetice , ale cărei intensitate, direcţie şi sens satisfac regula efectuării produsului F = i ∆l×B . Factorul de proporţionalitate i este o mărime primitivă, globală (integrală), scalară, pozitivă, negativă sau nulă, dependentă numai de starea electrocinetică a conductorului, pe care în felul acesta o caracterizează. Macroscopic, această mărime, numită intensitate a curentului electric de conducţie, este definită ca raport dintre forţa maximă ce corespunde cazului ∆l ⊥ B şi produsul modulelor celor doi vectori:  F  . i= (8.23)  l . B ∆   ∆l ⊥ B Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric de conducţie, amperul [A], este definită ca fiind acea valoare a intensităţii curentului care stabileşte între două conductoare paralele, situate în vid la distanţa de 1m, o forţă electrodinamică de 2.10-7N/m (v. § 1.2.1). Unitatea de măsură este astfel aleasă încât, sub aspect microscopic, ea să corespundă unei viteze de deplasare a sarcinii prin secţiunea conductorului de un coulomb pe secundă [1C/s]. 441

8.2.2. Densitatea curentului electric de conducţie Caracterizarea locală a stării electrocinetice se face cu ajutorul mărimii numită densitate a curentului electric de conducţie. Ea este definită ca intensitate pe unitatea de arie perpendiculară pe direcţia deplasării sarcinilor, a unei suprafeţe ce se strânge în jurul punctului considerat (fig. ∆i di = 8.29): J = lim ∆A→0 [A/m2]. Atribuind densităţii curentului de conducţie direcţia şi sensul ∆A dA deplasării sarcinilor o definim ca fiind mărimea vectorială al cărei flux printr-o suprafaţă este egal cu intensitatea curentului prin acea suprafaţă (v. § 1.2.1): di = J .dA; (8.24) i = ∫ J .dA.

(8.25)

Σ

În calculele tehnice de dimensionare ale conductoarelor circuitelor electrice se admite ipoteza conductorului filiform, ori de câte ori dimensiunile secţiunii sunt mici în raport cu lungimea conductorului. Aceasta revine la a considera densitatea de curent uniform repartizată în secţiune iar Fig. 8.29 vectorul densitate de curent omoparalel cu tangenta la axa conductorului. Dacă secţiunea conductorului este constantă, relaţia (8.25) devine: (8.26) i = JA , adică: i J= ⋅ (8.27) A Relaţia (8.27) este folosită pentru a verifica dacă densitea de curent în conductor rămâne în limita admisă.

8.2.3. Tensiunea electromotoare Starea electrocinetică a conductoarelor este consecinţă a deplasării purtătorilor de sarcină în conductor atunci când nu mai este îndeplinită condiţia de echilibru electrostatic ( E + E i ≠ 0 ). Mărimea valoric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele electrice şi neelectrice pentru a deplasa sarcina pozitivă de un coulomb de-a lungul unui contur închis se numeşte tensiune electromotoare de contur. Ea este modelată de circulaţia câmpului electric rezultant de-a lungul conturului: (8.28)

(

D

)

ec = ∫ E + Ei ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ Ei ⋅ dl . Γ

Γ

Γ

Prima integrală din membrul al doilea exprimă tensiunea electrică de-a lungul conturului Γ , iar cealaltă, tensiunea electromotoare imprimată. T.e.m. imprimată caracterizează sursele cu câmp electric imprimat, exprimând capabilitatea forţelor neelectrice de a efectua lucru mecanic pentru transportul sarcinii (v. subcap 4.3). În cazul unui regim electrocinetic staţionar transportul sarcinilor se realizează numai pe contururi închise. În acest caz tensiunea electromotoare de contur provine numai din tensiunea electromotoare imprimată deoarece ∫ E ⋅ dl = 0 , conform teoremei potenţialului electric staţionar, Γ

regimul electrocinetic staţionar fiind întreţinut, aşa cum s-a arătat în capitolul 4, numai de cauze neelectrice. El se realizează pe seama consumului de energie neelectrică acumulate în câmpurile imprimate aşa cum se întâmplă, de exemplu, în sursele chimice, unde forţele neelectrice efectuează lucru mecanic pentru transportul sarcinilor pe seama consumului energiei unor reacţii chimice. 442

În regim electrocinetic nestaţionar intensitatea câmpului electric are o componentă potenţială – Ec , numită şi câmp electric coulombian şi una rotaţională – Es , produsă prin inducţie electromagnetică, numită şi câmp electric indus: E = Ec + Es . În acest caz, tensiunea electromotoare de contur va fi produsă de câmpul electric indus şi de câmpul electric imprimat, fiind egală cu suma dintre t.e.m. indusă şi t.e.m. imprimată: ec = ∫ Es ⋅ dl + ∫ Ei ⋅ dl . Γ

(8.29)

Γ

Prin tensiune electromotoare între două puncte ale unei curbe deschise se înţelege circulaţia sumei câmpului electric indus şi a câmpului electric imprimat, efectuată între cele două puncte: eab = ∫ E s + Ei ⋅ dl. (8.30)

(

)

a →b

Din cele expuse, rezultă că t.e.m. este o mărime scalară, cu valoare pozitivă sau negativă în funcţie de sensul ales pentru integrare. Sensul ales pentru integrare va fi sensul de referinţă pentru care valoarea rezultată prin integrare va fi pozitivă (v. şi §. 2.5). Evident, unitatea de măsură pentru t.e.m. este voltul [V].

8.2.4. Tensiunea electrică Tensiunea electrică exprimă capabilitatea forţelor câmpului electric rezultant de a efectua lucru mecanic pentru transportul sarcinii de-a lungul unei curbe, între două puncte ale acesteia, modelul său fiind: D

u12 =

∫ (E

c

)

+ E s ⋅ dl .

(8.31)

( c )1→ 2

Tensiunea la borne a unui dipol, ub , are ca model circulaţia câmpului electric rezultant pe o curbă deschisă, c , prin dielectricul ce separă bornele a şi b, iar tensiunea în lungul firului, u f , este definită de circulaţia câmpului electric coulombian pe curba deschisă Γ dusă prin conductor între cele două borne (fig. 8.30): D

u ab =

∫ (E

c

)

+ E s ⋅ dl = u b ,

(8.32)

Fig. 8.30

( c ) a →b

respectiv: D

u abf =

∫E

c

⋅ dl = u f .

(8.33)

( Γ ) a →b

În regim electrocinetic nestaţionar cele două tensiuni sunt diferite, ub ≠ u f . În schimb, în regimul electrocinetic staţionar ( E s = 0 ) rezultă:

∫E

( c ) a →b

c

⋅ dl =

∫E

c

⋅ dl ,

(8.34)

( Γ ) a →b

deoarece circulaţia vectorului Ec nu depinde de drum, aşa că ub = u f . Ca şi tensiunea electromotoare, prezentată în paragraful anterior, tensiunea electrică este o mărime scalară afectată de semnul plus sau minus dependente de sensul de integrare în raport cu sensul de referinţă. Sensul de referinţă este acela care dă o valoare pozitivă tensiunii şi care se indică printr-o săgeată sau un arc orientat unind cele două borne. 443

8.2.5. Asocierea sensurilor de referinţă Caracterul algebric al unor mărimi scalare de circuit, rezultat din definiţia lor în care intervin elemente geometrice (de arie şi de curbă) orientate, susceptibile de valori pozitive, nule sau negative impune alegerea unor sensuri de referinţă pentru calculul lor precum şi stabilirea unor convenţii de asociere a acestor sensuri de referinţă, pentru cazurile în care intervin, în aceeaşi relaţie, mai multe asemenea mărimi. În absenţa unor reguli unice de asociere a sensurilor de referimţă, evident, scrierea ecuaţiilor şi concluziile asupra soluţiilor sunt susceptibile de interpretări şi chiar de erori. Din acest motiv, pentru scrierea legilor electromagnetismului se stabilesc reguli care se transmit şi teoremelor deduse din aceste legi. Ele au fost expuse cu ocazia prezentării legilor teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic în subcapitolul 1.3. În cele ce urmează se reiau câteva din ele, cu referire la scrierea corectă a ecuaţiilor circuitelor electrice: i) în legile în care intervin fluxuri conservative prin secţiunile transversale S ale unor tuburi de linii de câmp şi circulaţii în lungul unor curbe C , în general deschise, sensul de referinţă al fluxului se ia acelaşi cu sensul de referinţă al circulaţiei - dA||dl (fig. 8.31). Această regulă este folosită şi la scrierea sub formă integrală a legii lui Ohm, unde sensul de referinţă al tensiunii de-a lungul firului, u f , respectiv al t.e.m., se asociază cu sensul de referinţă al curentului, i : (8.35)

∫ ( E + E ) ⋅ dl = R ∫ J ⋅ dA i

C

sau u f + e = Ri .

S

S-a considerat aria secţiunii aceeaşi în lungul tubului. Această regulă se va aplica, evident, şi la scrierea teoremei a II-a a lui Kirchhoff care este o consecinţă a legii Fig. 8.31 lui Ohm; ii) în legile în care intervin fluxuri prin suprafeţe închise Σ , se alege ca sens de referinţă sensul determinat de normalele exterioare ale suprafeţei. Astfel, la scrierea legii conservării sarcinii, asociind sensul de referinţă al curentului cu semnul pozitiv al sarcinii electrice qΣ din interiorul suprafeţei Σ (fig. 8.32), rezultă: dqΣ dqΣ (8.36) ∫Σ J ⋅ dA = − dt sau iΣ = − dt ⋅

Fig. 8.32

Fig. 8.33

Aplicând această regulă la scrierea teoremei I a lui Kirchhoff, consecinţă a legii conservării sarcinii, se stabileşte ca sens de referinţă al curentului sensul normalei exterioare la suprafaţa imaginară ce înconjoară nodul (fig. 8.33) ; 444

iii) În scrierea teoremelor ce intervin în calculul circuitelor se întâlneşte adesea tensiunea la borne, modelată printr-o integrală de linie referitoare la curbe deschise, situate între două borne, A şi B (fig. 8.34). La scrierea relaţiilor pentru circuite ca acela din figura 8.34 este necesară asocierea sensurilor pentru diferitele mărimi electrice în acelaşi mod în care s-a făcut această asociere la enunţarea legilor. Acolo unde sensurile de referinţă a două mărimi sunt independente între ele, trebuie să se prezinte în mod explicit convenţia folosită pentru scrierea relaţiilor dintre aceste mărimi. La scrierea legii lui Ohm, curentul şi tensiunea electromotoare s-au asociat cu acelaşi sens de referinţă iar curentul şi tensiunea de-a lungul firului s-au asociat de asemenea cu acelaşi sens de referinţă. Fig. 8.34 Tensiunea la borne nu depinde de drumul de integrare. Ea poate fi calculată între cele două borne ale circuitului pe oricare porţiuni de contururi cuprinse între bornele A şi B ce trec prin conductor sau prin exterior. Integrând pe conturul Γ ' în sensul curentului, adică de la borna B către borna A, rezultă: A

∫ E ⋅ dl = −∫ dV = VB − VA = u BA .

( Γ' ) B→ A

(8.37)

B

Integrând pe conturul Γ" , tot în sensul curentului, se obţine: B

∫ E ⋅ dl = − ∫ dV = V

( Γ" ) A→ B

A

− VB = u AB .

(8.38)

A

Aşa dar, sensul pozitiv al tensiunii la bornele A şi B ar depinde, în fond, de sensul în care integrăm pe un contur ce trece prin cele două borne, urmând să precizăm acest lucru, în mod explicit, printr-o săgeată. Pentru a se realiza însă o unitate în ceea ce priveşte modul de scriere a ecuaţiilor circuitului se adoptă următoarele convenţii de atribuire a sensului pozitiv pentru tensiunea la borne: - regula de generator (sursă): Tensiunea la bornele sursei este pozitivă în sensul de la A la B, dacă curentul prin sursă are sensul dinspre borna B către borna A; - regula de la receptor : Tensiunea la bornele receptorului este pozitivă în sensul de la A la B, atunci când curentul prin receptor are sensul tot de la borna A către borna B. Prin atribuirea sensului pozitiv al tensiunii la borne în circuitul din figura 8.34. după cele două reguli, ecuaţia legii lui Ohm pe ramura sursei se va scrie: − u AB + e = ri , (8.39) iar pe ramura receptorului: (8.40) u AB = Ri . Scriind acum ecuaţiile bilanţurilor de puteri: ei = Ri 2 + u AB i şi respectiv u AB i = Ri 2 se constată că regula de la receptor şi regula de la generator au urmărit atribuirea sensului pozitiv al tensiunii la borne, astfel încât puterea p = u AB i vehiculată prin borne să fie pozitivă atunci când este efectiv cedată la generator şi primită de receptor. Valoarea practică a regulilor de asociere a tensiunilor se poate aprecia integral în cazul circuitelor de curent alternativ, aşa cum se va vedea în subcapitolul 8.5. În figura 8.35 se exemplifică modul în care se aplică aceste reguli la scrierea ecuaţiilor unui dipol, de unde se poate vedea că pentru studiul dipolului regula adoptată este indiferentă, dar rezultatele calculelor trebuie înterpretate în raport cu sensurile de referinţă alese; 445

iu) în cazul condensatoarelor, regulile uzuale de asociere a sensurilor de referinţă sunt cele utilizate la formularea legii conservării sarcinii. În figurile 8.36 a şi b sunt indicate aceste sensuri de referinţă, iar ecuaţiile corespunzătoare sunt: 1 dq (8.41) u b = − ∫ idt cu i = − , C dt respectiv: 1 dq (8.42) ub = ∫ idt cu i = ; dt C

Fig. 8.35

Fig. 8.36

ui) în cazul bobinelor, regulile care asociază sensurile de referinţă pentru fluxuri şi curenţii care le produc rezultă din legea circuitului magnetic în care, sensului de referinţă al fluxului îi este asociat sensul de referinţă al curenţilor după regula burghiului drept, toate inductivităţile fiind pozitive. În teoremele lui Maxwell pentru inductivităţi: n

Φ j = ∑ L jk ik ,

(8.43)

k =1

inductivitatea mutuală L jk fiind pozitivă sau negativă, este însă necesar să se indice sensurile de referinţă pentru circuitele cuplate prin L jk (fig. 8.37) cu ajutorul asteriscurilor care indică bornele considerate de început ale bobinei (în sensul de bobinare). În funcţie de acestea, inductivitatea L jk se consideră pozitivă dacă ambii curenţi intră sau ies prin bornele marcate şi negativă dacă cei doi curenţi ies diferit în raport cu bornele respective. Potrivit celor de mai sus, fluxul mutual din circuitul j produs de curentul ik va fi Φ jk = L jk ik pentru circuitele a şi b, respectiv Φ jk = − L jk ik pentru circuitele c şi d. Figura 8.37e sugerează că bobinele au sensuri de bobinare diferite şi în raport cu sensurile asociate curenţilor se va lua L jk > 0 ; uii) mărimile care nu respectă regulile de asociere a sensurilor de referinţă se introduc în ecuaţii cu semn schimbat. Dacă din calcule rezultă valori negative, mărimile respective au sensul contrar celui de referinţă. Fig. 8.37

446

8.3. Circuite liniare de curent continuu Aceste circuitele se compun din surse de curent continuu şi din rezistoare, legate între ele prin conductoare a căror rezistenţă foarte mică se neglijează. Excepţie fac problemele transportului de energie în curent continuu unde, datorită lungimii relativ mari, rezistenţa conductoarelor de legătură trebuie luată în calculul căderilor de tensiune (v. § 8.3.2.). Studiul circuitelor de curent continuu se face pe baza legilor electrocineticii ale căror consecinţe sunt reflectate în teoremele care vor fi prezentate în cadrul metodelor de rezolvare ale acestor circuite. Rezolvarea constă în a se determina intensităţile curenţilor din laturi când se cunosc caracteristicile E, r ale surselor şi rezistenţele R ale receptoarelor.

8.3.1. Circuitul simplu de curent continuu Circuitul simplu (fig. 8.38) cuprinde o singură sursă de tensiune electromotoare E şi rezistenţă internă r , debitând pe un rezistor de rezistenţă R . Conductoarele de legătură se consideră filiforme şi de rezistenţă neglijabilă. Se reaminteşte că prin conductor filiform se înţelege conductorul a cărui secţiune are dimensiuni mici în raport cu lungimea, ceea ce permite să se aprecieze că densitatea curentului electric de conducţie este uniform repartizată în secţiune şi că vectorul densitate de curent este tangent la axa conductorului în oricare punct al secţiunii. Calculul intensităţii curentului

Fig. 8.38

Relaţia de calcul a intensităţii curentului este furnizată de legea conducţiei: U f + E = Ri . Tensiunea de-a lungul firului, datorată câmpului coulombian generat de acumularea pe electrozii sursei de curent a sarcinilor este nulă pentru conturul închis Γ , descris de circuit, aşa că vom avea: E E = (r + R )I şi deci I = , (8.44) R+r în care R + r este rezistenţa totală a circuitului. Produsele de forma RI sau rI se numesc căderi de tensiune. Din punctul de vedere practic, interesează valoarea intensităţii curentului prin receptorul de rezistenţă R sau prin conductoarele de legătură şi care este comod a fi exprimată în funcţie de tensiunea aplicată la bornele receptorului sau circuitului, potrivit formulării U = RI a legii conducţiei, cu atât mai mult cu cât, spre deosebire de tensiunea electromotoare, tensiunea se măsoară uşor cu voltmetrul. Tensiunea la bornele sursei, aici egală cu tensiunea aplicată la bornele receptorului, este o mărime care intervine în mod obişnuit în calculul circuitelor. La scrierea relaţiilor între mărimile de circuit, este necesară -după cum s-a arătat- asocierea sensurilor pentru diferitele mărimi electrice în acelaşi mod în care s-a făcut aceasta asociere la enunţarea legilor. Acolo unde sensurile de referinţă a două mărimi sunt independente între ele, trebuie să se prezinte în mod explicit convenţia folosită pentru scrierea relaţiilor dintre aceste mărimi. Prin atribuirea sensului de referinţă al tensiunii la borne pentru circuitul din figura 8.38, de la A la B, este satisfăcută atât regula de la generator cât şi regula de la receptor. Astfel, în funcţie de sensul de referinţă al curentului, pentru ramura sursei, cuprinsă între cele două borne, se va scrie: 447

(8.45) − U + E = rI , iar pentru ramura receptorului: U = RI . (8.46) Din prima ecuaţie se deduce: U = E − rI , (8.47) de unde se vede că tensiunea electromotoare a sursei este egală tensiunea la borne cu la mersul în gol ( I = 0 ) precum şi semnificaţia de „cădere de tensiune” a produsului rI . Bilanţul puterilor şi energiilor. Transferul maxim de putere

Ecuaţia de tensiune (8.47), înmulţită în ambii membri cu intensitatea curentului, devine ecuaţia bilanţului de puteri: (8.48) EI − rI 2 = UI , în care: EI este puterea produsă de sursă (puterea generată – Pg ), rI 2 este pierderea de putere în sursă, iar UI este puterea debitată – Pd . Dacă se neglijează rezistenţa conductoarelor de legătură, puterea debitată de sursa rezultă egală cu aceea consumată de receptor: Pc = RI 2 . (8.49) Randamentul circuitului simplu este, prin definiţie, η = Pc / Pg . Înlocuindu-se puterile cu expresiile lor, rezultă: E R RI 2 R (8.50) η= = R+r = ⋅ EI E R+r Randamentul va fi maxim atunci când puterea debitată va fi maximă şi se realizează cu condiţia dPd / dR = 0 , de unde rezultă: (8.51) R=r, adică rezistenţa circuitului exterior sursei sa fie egală cu rezistenţa ei internă. Valoarea maximă a randamentului transformării energiei chimice în energie electrică este, prin urmare, de 50%. În intervalul de timp de la 0 la t, ecuaţia de bilanţ energetic al circuitului simplu va fi: E I t − r I 2 t = U I t, (8.52) unde E I t este energia generată, r I 2 t – energia pierdută prin efect Joule în rezistenţa sursei, iar U I t este energia debitată, egală în cazul de faţă cu aceea consumată de receptor: RI 2 t .

8.3.2.Transportul energiei în curent continuu Atunci când energia este transportată de la sursă la receptor printr-o linie formată dintr-un conductor de ducere şi unul de întoarcere, având lungimea l (fig. 8.39) şi rezistenţa neneglijabilă, are loc o cădere de tensiune şi o pierdere de putere în linia de transmisie. Dacă tensiunea la capătul liniei este U 1 , curentul în linie are valoarea I = U 1 /( Rl + R) , unde Rl este rezistenţa liniei iar R , rezistenţa receptorului. Datorită căderii de tensiune pe linia de lungime l , exprimată prin relaţia: 2l (8.53) ∆U = R1 I = ρ I , s tensiunea la bornele receptorului va fi: U 2 = U 1 − ∆U . La o Fig. 8.39 448

valoare mare a căderii de tensiune pe linie, tensiunea U 2 la bornele receptorului poate fi insuficientă pentru funcţionarea normală. De aceea, secţiunea conductoarelor de legătura trebuie aleasă astfel încât căderea de tensiune pe linie să fie cel mult egală cu căderea de tensiune maximă admisă de receptor: ∆U ≤ ∆U max.ad . . Secţiunea necesară se va determina cu ajutorul relaţiei: 2l snec ≥ ρ (8.54) In , ∆U max.ad . unde I n este curentul nominal al receptorului înscris pe placa indicatoare sau calculat fie în funcţie de tensiunea nominală şi de rezistenţa receptorului, fie în funcţie de tensiunea şi puterea nominală: U P (8.55) I n = 2n = n ⋅ R U 2n Conductorul ales trebuie să corespundă şi din puncul de vedere al încălzirii maxime admise. La "trecerea" curentului prin conductor are loc încălzirea acestuia prin efect Joule, care corespunde unei pierderi de putere în linie: ∆P = Rl I 2 . Pentru ca temperatura conductorului să nu depăşească anumite limite, dincolo de care nu mai este garantată integritatea izolaţiei liniei, se verifică dacă intensitatea I a curentului pe linie nu este mai mare decât intensitatea maximă admisă în conductorul ales. Puterea transmisă de sursă fiind: U 12 P1 = U 1 I = = ( R1 + R) I 2 , (8.56) ( R1 + R ) rezultă că, datorită pierderilor de putere în linie, la receptor va ajunge puterea: UU (8.57) P2 = P1 − ∆P = RI 2 = U 2 I = 1 2 , R1 + R iar randamentul transmisiei (liniei) care primeşte la intrare puterea P1 şi cedează la ieşire puterea P2 va fi: RI P U U −U R η= 2 = 2 = = 1 = 1− l ⋅ (8.58) P1 U 1 Rl + R U1 U1 Randamentul unei linii trebuie să fie de circa 95%. Punând condiţia ∆Pad = 5% , rezultă un nou criteriu de dimensionare al acesteia, plecând de la relaţia pierderilor: ∆P 2l ∆P = ad % P1 = Rl I 2 = ρ I 2 , (8.59) 100 s de unde, ţinându-se seama că I = P1 /U 1 , rezultă că secţiunea necesară este: 2 P1l ⋅ snec = − 2 (8.60) 10 ∆Pad %U 12 Secţiunea conductorului ales pe acest criteriu se verifică la cădere de tensiune ca mai sus.

8.3.3. Calculul circuitelor de curent continuu Circuitele sau reţelele electrice de curent continuu, sunt circuite ramificate conţinând L laturi şi N noduri. Latura este porţiunea neramificată de circuit formată din rezistoare (latura pasivă), rezistoare şi surse (latura activă) sau numai surse de tensiune electromotoare. Nodul este punctul de ramificaţie în care se întâlnesc cel puţin trei laturi. Succesiunea de laturi care formează un contur închis se numeşte ochi de reţea. Se demonstrează ca o reţea având N noduri şi L laturi este constituită din L–N+1 ochiuri independente (al căror contur nu se obţine prin combinaţii ale contururilor altor ochiuri). 449

Analiza reţelelor de c.c. se bazează pe legea lui Ohm, legea conservării sarcinii electrice şi pe teoreme, consecinţe ale legilor, care vor fi expuse în continuare. Metoda reducerii

Metoda este aplicată reţelelor care grupează sursele separat de receptoare, ca în figura 8.40 şi reduce –practic– calculul circuitului electric la calculul circuitului simplu. Dacă se înlocuiesc receptoarele printr-unul echivalent, de rezistenţă Re , în conformitate cu teoremele rezistenţelor echivalente, iar sursele cu una echivalentă, având tensiunea electromotoare Ee şi rezistenţa internă re , se reduce circuitul la unul simplu, ca în figura 8.41.

Fig. 8.40

Fig. 8.41

Teoremele rezistenţelor echivalente arată că: - rezistenţa echivalentă a n rezistoare în serie este dată de relaţia: n

Res = ∑ Ri ;

(8.61)

i =1

- rezistenţa echivalentă a n rezistoare în paralel este dată de relaţia: n 1 1 =∑ ⋅ (8.62) Rep i =1 Ri Tensiunea electromotoare echivalentă şi rezistenţa echivalentă a surselor în serie rezultă din aplicarea legii lui Ohm porţiunii de circuit din figura 8.42. Se obţine relaţia: (8.63) − U + (E1 + E2 + .... + En ) = (r1 + r2 + .... + rn )I .

Fig. 8.42

Fig. 8.43

Înlocuindu-se cele n surse printr-una singură, se va scrie: (8.64) − U + Ee = re I şi prin identificarea relaţiilor (8.63) şi (8.64), membru cu membru, rezultă: n

(8.65)

Ees = ∑ Ek k =1

şi n

(8.66)

res = ∑ rk . k =1

450

Pentru sursele în paralel, care au aceeaşi tensiune la borne (fig. 8.43.), se scrie legea lui Ohm pentru fiecare latură: − U + E1 = r1 I1 , − U + E2 = r2 I 2 , ----------(8.67) − U + En = rn I n iar pentru sursa echivalentă se scrie, analog: − U + Ee = re I e , (8.68) unde: I = I1 + I 2 + ... + I n . (8.69) Explicitând curenţii din ecuaţiile (8.67) şi (8.68) şi înlocuindu-i în ecuaţia (8.69) se obţine, prin identificara membrului stâng cu membrul drept: n E E E1 E2 + + ... + n ∑ k r r2 rn r (8.70) Ee = 1 = k =n1 k 1 1 1 1 + + ... + ∑ r1 r2 rn k =1 rk şi n 1 1 1 1 1 (8.71) = + + ... + = ∑ ⋅ re r1 r2 rn k =1 rk Revenind la reţeaua din figura 8.40, se va obţine, succesiv: I1 = Ee (re + Re ) , U AB = Rep 2 ,3,...m I1 şi I 2 = U AB / R2 , ..., I m = U AB / Rm ,

U BC = Repn , p I1 şi I n = U BC / Rn , I p = I1 − I n , unde Rep 2,3,...m şi Repn , p sunt rezistenţele echivalente ale rezistoarelor în paralel, al căror indice urmează după "ep". În continuare, fiind cunoscută tensiunea la bornele sursei, U = Re I1 , se pot determina curenţii prin ramurile sale cu ajutorul relaţiilor (8.64) la (8.66). Metoda superpoziţiei

Aceasta metodă poate simplifica calculul reţelelor electrice în care lucrează mai multe surse de energie electrică. Ea se bazează pe principiul suprapunerii efectelor enunţat de Helmoltz, potrivit căruia, din suprapunerea mai multor stări de echilibru rezultă tot o stare de echilibru. Potrivit acestui principiu, curentul într-o latură oarecare a circuitului va rezulta ca sumă algebrică a curenţilor produşi în acea latură de fiecare tensiune electromotoare în parte. În consecinţă, se determină curenţii produşi de fiecare sursă în latura de circuit respectivă, presupunând că sursa lucrează singură în reţea, şi se însumează apoi curenţii parţiali, ţinându-se seama de sensul lor. Atunci când se calculează Fig. 8.44 curenţii, se au în vedere rezistenţele 451

interioare ale tuturor surselor de circuit. Cu alte cuvinte, se pasivizează laturile circuitului în afara de una singură. Pentru exemplificare, se aplică metoda superpozitiei pentru circuitul din figura 8.44a. Se presupune, mai întâi, că în circuit acţionează numai sursa E1 , ca în figura 8.44b. Notându-se rezistenţele laturilor 1 şi 2 cu R1' = R1 + r1 şi R2' = R2 + r2 , curenţii produşi în reţea de sursa E1 vor fi:

R2' E1 R ' , ' şi I 2' = I1' ⋅ I = I 1 ' ' RR2 R + R2 R + R2' ' R1 + R + R2' Se calculează, în continuare, curenţii produşi în reţea de sursa E2 când sursa E1 este pasivizată (fig. 8.44c): E2 R1' R ' , " ⋅ I 2" = şi I1" = I 2' I = I 2 ' ' RR1 R + R1' R + R1 ' R2 + R + R1' Curenţii reali prin laturi vor rezulta prin suprapunerea celor calculaţi mai sus, ţinându-se seama de sensurile curenţilor din cele trei scheme: I1 = I1' − I1'' , I 2 = I 2'' − I 2' şi I = I ' + I '' . I 1' =

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Metoda fiind cunoscută încă de la fizica de liceu, se va reaminti aici numai metodologia utilizării ei. Aplicarea teoremei I a lui Kirchhoff (consecinţă a legii conservării sarcinii electrice), cu referire la nodurile reţelei, conduce la N–1 ecuaţii independente, iar aplicarea teoremei a II-a, cu referire la conturul ochiurilor independente (consecinţă a legii conducţiei electrice), conduce la alte L–N+1 ecuaţii. Se obţine un sistem de L ecuaţii, necesar şi suficient pentru determinarea celor curenţi din laturi. Scrierea ecuaţiilor trebuie să se facă cu respectarea regulilor de asociere a sensurilor de referinţă şi comportaă următoarele etape: - se atribuie curentului din fiecare latură un sens arbitrar, notat cu o săgeată; - se scriu ecuaţiile teoremei I pentru N–1 noduri, considerând pozitivi curenţii care ies din nod şi negativi pe aceia care intră: n

∑I

(8.72)

k ( p)

= 0 , p = 1... N − 1;

k =1 ( p)

- se alege un sens arbitrar de parcurgere a fiecărui ochi independent, notat cu o săgeată rondă, şi se scrie ecuaţia teoremei a II-a pentru fiecare: n

(8.73)

∑E k =1 (m)

n

k (m)

=∑ Rk ( m ) I k ( m ) , m = 1... L − N + 1. k =1 (m)

În aceaste ecuaţii sunt pozitive tensiunile electromotoare orientate în sensul de parcurgere al ochiului şi căderile de tensiune corespunzătoare curenţilor care se asociază tot cu sensul de parcurgere; - soluţiile sistemului liniar format cu cele L ecuaţii (8.72) şi (8.73), sunt intensităţile curenţilor din laturi. Dacă unele rezultă cu valori negative, sensul curenţilor respectivi este invers faţă de acela presupus iniţial.

452

Metoda tensiunii între noduri

Dacă reţeaua are două noduri, ca în figura 8.45, curenţii din laturile sale pot fi determinaţi printr-o metodă mai simplă şi mai rapidă decât prin rezolvarea ecuaţiilor obţinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. Se adoptă ca sens de referinţă pentru curenţii şi pentru tensiunile electromotoare sensul de la nodul B către nodul A şi se notează potenţialele nodurilor cu VA şi VB . Tensiunea între cele două noduri este: U = V A − VB . Scriindu-se ecuaţia legii lui Ohm fiecare latură, se obţine expresia intensităţii curentului din latura respectivă sub forma: E −U Ik = k = ( E k − U )G k . (8.74) Rk Teorema I a lui Kirchhoff aplicată nodului A conduce la relaţia: n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

∑ I k =∑ (Ek − U )Gk =∑ Ek Gk − U ∑ Gk =0 , Fig. 8.45

de unde rezultă expresia tensiunii dintre noduri: n

U=

∑E k =1 n

k

Gk

∑ Gk

⋅

(8.75)

k =1

În rezistenta Rk a unei laturi se include şi rezistenţa rk a sursei respective, iar tensiunile electromotoare orientate de la nodul A către nodul B vor apare în relaţia (8.75) cu semnul minus. Cunoscându-se tensiunea între noduri calculată astfel, se poate calcula intensitatea fiecăruia dintre curenţi cu ajutorul relaţiilor (8.74). Dacă din calcule rezultă valori negative de curenţi, înseamnă că sensul lor real nu se asociază cu sensul de referinţă ales. Metoda circuitelor independente

Aceasta metodă, numită şi metoda buclelor sau metoda curenţilor de ochiuri a lui Maxwell, permite determinarea intensităţii curenţilor din reţelele electrice, cu ajutorul unui număr redus de ecuaţii faţă de acela ce rezultă din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. În metoda circuitelor independente se consideră reţeaua ca o suprapunere de circuite simple, separate, aşa cum s-a reprezentat punctat în figura 8.46. Se presupune că fiecare din aceste circuite sunt parcurse de curenţi proprii, notaţi cu J . Ei se numesc curenţi simpli, curenţi de buclă sau curenţi ciclici. Sensul curenţilor de buclă este ales arbitrar şi notat cu o săgeată rondă. Pentru fiecare buclă în parte se scrie teorema a II-a a lui Kirchhoff, ţinându-se cont de următoarele: - tensiunile electromotoare ale surselor care debitează în sens invers celui arbitrar ales pentru curentul din buclă, se iau cu semnul minus; Fig. 8.46 - în rezistenţele unei bucle, dau căderi de tensiune şi 453

curenţii ciclici din buclele adiacente. Aceste căderi de tensiune se iau cu semnul minus atunci când curenţii care le produc sunt de sens contrar celui în care se parcurge bucla la care se face referirea. Ţinându-se cont şi de rezistenţele surselor, care în figura 8.46 se consideră înglobate în rezistenţa totală a laturilor, se obţine un sistem de ecuaţii, în număr egal cu acela care rezultă din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff în reţea: R11 J 1 + R12 J 2 + .... + R1n J n = ∑ E , (1)

R21 J 1 + R22 J 2 + .... + R2 n J n = ∑ E , (2 )

(8.76)

M Rn1 J 1 + Rn 2 J 2 + .... + Rnn J n = ∑ E , (n )

în care R jj reprezintă suma rezistenţelor din bucla j , iar R jk = Rkj reprezintă rezistenţa laturii comune a circuitelor simple k şi j . Cu

R ∑ ( )

s-a notat suma tensiunilor electromotoare din

j

circuitul simplu j . Curenţii reali din laturile reţelei se obţin prin suprapunerea curenţilor J din circuitele simple care conţin latura respectivă. Sub formă matriceală, sistemul ecuaţiilor (8.76) se scrie: ∑ E1 R R . . . R J 11

∑ E2 .

(8.77)

=

. .

∑E

n

12

1n

1

R21 R22 . . . R2 n .

.

. .

. .

Rn1 Rn 2 . . . Rnn

J2 ⋅

. .

.

. Jn

Sistemele de ecuaţii de tipul (8.77) se rezolvă imediat cu ajutorul unui subprogram din biblioteca MATLAB. Metoda potenţialelor la noduri

Se consideră o reţea electrică şi o latură a acesteia, cuprinsă între nodurile j şi k (fig. 8.47). Ecuaţia legii lui Ohm, scrisă pentru fiecare asemenea latură, va conduce la ecuaţii de tipul: V j − Vk + E jk = R jk I jk , din care rezultă intesităţile curenţilor cu expresii: E + V j − Vk , I jk = jk R jk sau: (8.78)

I jk = (E jk + V j − Vk )G jk .

Curenţii din laturi vor fi astfel determinaţi dacă se vor cunoaşte potenţialele nodurilor reţelei. Dacă se consideră potenţialul nodului oarecare q drept potenţial de referintă ( Vq = 0 ) şi se vor scrie ecuaţiile teoremei I a lui Kirchhoff la toate nodurile, cu excepţia nodului q , folosind pentru curenţi expresiile (8.78) se obţin N–1 ecuaţii de forma: Fig. 8.47

454

V j ⋅ ∑ G jk − ∑ G jkVk = ∑ G jk E jk , k

k

în care: V j este potenţialul nodului j ; nodul j ;

∑G

∑G

(8.79)

k

este suma conductanţelor laturilor conectate în

jk

k

jk

Vk este suma produselor dintre conductanţele laturilor din nodul j şi potenţialele

k

nodurilorde la celălalt capăt al laturii; E jk sunt tensiunile electromotoare ale surselor din laturile ce converg în nodul j . Produsele E jk G jk sunt pozitive când tensiunea electromotoare din latură este orientată către nodul j. Notându-se ∑ G jk = G jj şi k

∑G k

jk

E jk = ∑ I scjk =I j , unde I scjk este curentul de scurtcircuit k

al laturii j − k , rezultă sistemul ecuaţiilor metodei sub forma: G11V1 + G12V2 + .... + G1nVn = I1 ,

G21V1 + G22V2 + .... + G2 nVn = I 2 , M

(8.80)

Gn1V1 + Gn 2V2 + .... + GnnVn = I n , unde conductantele Gii sunt pozitive iar Gij sunt negative. Sistemul ecuaţiilor (8.80), scris sub forma: G11 G12 . . . G1n

V1

I1

I2 G21 G22 . . . G2 n . V2 , ⋅ = M M M

(8.81)

In Gn1 Gn 2 . . . Gnn Vn se rezolvă rapid cu ajutorul subprogramelor aflate în biblioteca MATLAB. Metodele generatoarelor echivalente

Aceste metode sunt utile pentru simplificările care se pot obţine în calcule, atunci când interesează, de fapt, intensitatea curentului într-o singura latură a unei reţele. Metoda generatorului echivalent de tensiune (Thévenin-Helmholtz) presupune o reţea pentru care se cere numai intensitatea curentului prin latura ce conţine rezistorul R din figura 8.48 (restul reţelei este sugerat prin chenarul punctat). Pentru rezistorul R , restul reţelei este echivalent cu un generator ale cărui borne sunt A şi B. Tensiunea electromotoare a generatorului echivalent este egală cu tensiunea U AB 0 la bornele A, B când rezistorul R este deconectat, iar rezistenţa sa internă, RAB 0 , se calculează, considerând sursele pasivizate, cu ajutorul teoremelor rezistenţelor echivalente. Fiind cunoscute aceste mărimi se obţine: U AB 0 I= ⋅ (8.82) R AB 0 + R Ecuaţia (8.82) reprezintă teorema Thévenin-Helmholtz , conform căreia curentul I debitat de reţeaua liniară pe rezistorul R este egal cu raportul dintre tensiunea de mers în Fig. 8.48 gol la bornele A, B şi suma dintre rezistenţa exterioară R şi rezistenţa echivalentă a reţelei pasivizate, văzută prin aceleaşi borne (cu rezistorul R deconectat). 455

Metoda generatorului echivalent de curent (Norton), consideră aceeaşi reţea din figura 8.48 şi utilizează teorema Norton, conform căreia tensiunea U produsă în sarcină de reţeaua liniară activă care alimentează rezistenţa exterioară R este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al reţelei şi suma dintre conductanţa interioară a reţelei pasivizate şi conductanţa exterioară. Din ecuaţia (8.82) se obţine: U I sc I = AB 0 , (8.83) R R AB 0 1+ R AB 0 unde: U AB 0 (8.84) = I sc , R AB 0 este curentul de scurtcircuit al generatorului echivalent cu reţeaua . Introducându-se conductanţele şi ţinând cont de expresia (8.84), relaţia (8.83) devine: I sc I sc I sc G I= = sau U = (8.85) G G + G ABo 1 + ABO G + G ABO G şi exprimă teorema lui Norton. Curentul de scurtcircuit al sursei se calculează considerând nodurile A şi B ale reţelei din figura 8.48 ca fiind în contact galvanic (rezistenţa R deconectată iar bornele scurcircuitate cu un conductor de rezistenţă neglijabilă).

8.4. Circuite liniare în regim electrocinetic nestaţionar oarecare Regimul electrocinetic numit aici nestaţionar oarecare este regimul variabil în care intensităţile curenţilor, tensiunile, potenţialele electrice etc sunt funcţii oarecare de timp. El se supune legilor electrocineticii, prezentate în capitolul 4: legea conservării sarcinii, legea transformării energiei prin curentul electric de conducţie (Joule - Lenz), legea conducţiei electrice (Ohm), legi a căror valabilitate nu este restrânsă la nici un regim de variaţie în timp a fenomenelor.

8.4.1. Ecuaţiile circuitelor electrice în regim variabil Caracterizarea locală a regimului electrocinetic se face cu ajutorul legii lui Ohm E + E i = ρ J în care, intensitatea câmpului electric E poate avea o componentă de tip coulumbian - Ec şi una de tip rotaţional - E s produsă prin inducţie electromagnetică. Sub o formă mai desfăşurată, legea se scrie: E c + E s + E i = ρJ . (8.86) Sub forma globală, cu referire la o porţiune neramificată de conductor, legea are forma: (8.87) u f + e + ei = Ri , în care u f este tensiunea de-a lungul firului, e este t.e.m. indusă iar ei este tensiunea electromotoare provenită din câmpuri electrice imprimate. O porţiune neramificată de circuit poate conţine rezistoare, bobine, capacităţi. Diverşii parametrii, consideraţi concentraţi, se admit ca fiind sediul unei singure forme de transformare a energiei. Dacă asupra unui circuit electric exercită o acţiune electromagnetică alt circuit din exterior, atunci la parametrii concentraţi se adaugă şi inductivitatea mutuală M . 456

Exemplele următoare vor fi edificatoare pentru modul în care se scriu ecuaţiile circuitelor într-un asemenea regim în care, spre deosebire de cele din subcapitolul 8.3, câmpul electric nu mai este irotaţional: i) pentru circuitul simplu cu rezistor, căruia i se aplică la borne o tensiune variabilă în timp u (t ) (fig. 8.49), ecuaţia (8.87) va fi: u (t ) = Ri . (8.88) Fig. 8.49 de unde rezultă: u (t ) i= ⋅ (8.89) R Curentul are deci aceeaşi formă de variaţie în timp ca şi tensiunea aplicată la borne; ii) ecuaţia (8.87) pentru bobina ideală -cu rezistenţa neglijabilă- (fig. 8.50), alimentată cu tensiunea u (t ) se scrie: u (t ) + e = 0 , (8.90) unde e este t.e.m. autoindusă: dφ dLi di dL e=− =− = −L − i (8.91) dt dt dt dt şi prin urmare (considerându-se L =const. în timp) : di u (t ) − L = 0, Fig. 8.50 dt adică: di u (t ) = L (8.92) dt şi 1 i = ∫ u (t )dt ; (8.93) L iii) circuitul simplu cu condensator din figura 8.51 are ecuaţia: q , u (t ) = (8.94) C de unde: q = Cu (t ), (8.95) dq du (t ) dC i= =C + u (t ) (8.96) Fig. 8.51 dt dt dt şi (considerându-se C =const. în timp): 1 u (t ) = ∫ idt ; (8.97) C iu) ecuaţia porţiunii neramificate de circuit care conţine mai mulţi parametrii (fig. 8.52) va fi: u (t ) − uc + ei + e + em = Ri, (8.98) di unde ei este t.e.m. imprimată, e = − L este dt di t.e.m. autoindusă, iar e m = − M este t.e.m. de dt inducţie mutuală (considerându-se M constant în timp). Fig. 8.52 457

Ţinându-se seama de relaţia (8.97) ecuaţia (8.98) se scrie: di di 1 ei + u (t ) = Ri + L + M + ∫ idt ⋅ (8.99) dt dt C Pentru circuitul închis al unei bucle dintr-o reţea complexă ( u = 0 ) ecuaţia (8.99), exprimând teorema a II-a a lui Khirchhoff, va fi: di 1 (8.100) ∑ ek = ∑k Rk ik + ∑k Lk dtk + ∑k C ∫ ik dt , k unde ek este suma t.e.m. a surselor (inclusiv a t.e.m. produse prin inducţie mutuală). Tensiunea electromotoare de inducţie mutuală se va introduce în membrul I al ecuaţiei (8.100) cu semnul plus ( em = − Mdi / dt ) dacă curenţii i şi i ′ sunt ambii în sensul de parcurgere al buclei şi cu semnul minus ( − em = Mdi / dt ) dacă ambii sunt în sens invers faţă de acela în care se parcurge bucla. Dacă cei doi curenţi au sensuri diferite, semnul este minus atunci când curentul i este în sensul de parcurgere al buclei şi plus în caz contrar.

8.4.2. Energetica circuitelor electrice în regim variabil Se consideră circuitul din figura 8.53 a cărui ecuaţie este: di q u (t ) = Ri + L + ⋅ (8.101) dt C Înmulţindu-se ambii termeni ai ecuaţiei (8.101) cu dq = idt se obţine ecuaţia de bilanţ energetic pentru intervalul de timp dt : 1 uidt = Ri 2 dt + Lidi + qdq. (8.102) C În intervalul de timp de la 0 la t în care intensitatea curentului creşte de la 0 la i iar sarcina pe armăturile condensatorului de la 0 la Fig. 8.53 q , energia intrată în circuit se transformă o parte în căldură în rezistenţa circuitului, iar cealaltă parte se acumulează în câmpul magnetic al bobinei şi în câmpul electric al condensatorului: q t t L 1 2 ui d t = Ri d t + Li d i + (8.103) ∫0 ∫0 ∫0 ∫0 C qdq, adică: t t 1 2 1 q2 2 = + ⋅ ui d t Ri d t Li + (8.104) ∫0 ∫0 2 2 C Energiile înmagazinate în câmpul magnetic al bobinei şi în câmpul electric al condensatorului, reprezentate de ultimii doi termeni, se restituie circuitului în acele intervale de timp în care curentul este în scădere. Într-adevăr, în intervalul de timp de la 0 la t ′ în care intensitatea curentului scade de la i la 0, iar sarcina condensatorului de la q la 0 ecuaţia de bilanţ este: 0 0 t′ t′ 1 2 (8.105) ui d t = Ri d t = Li d i + ∫0 ∫0 ∫i ∫q C qdq,

adică: (8.106)

t′

t′

0

0

2 ∫ uidt = ∫ Ri dt −

458

1 2 1 q2 Li − , 2 2C

sau: t′

t′

1 2 1 q2 ui d t + Li + = ∫ Ri 2 dt ⋅ (8.107) ∫0 2 2C 0 Prin urmare, energia furnizată de sursă, energia înmagazinată în câmpul magnetic al bobinei şi aceea înmagazinată în câmpul electric al condensatorului se transformă, în acest interval de timp, în căldură în rezistenţa circuitului. Prin "înmagazinată în câmpul ..." se înţelege că energia aste rezidentă în materialul în care se produce câmpul (magnetic şi electric).

8.4.3. Metode operaţionale de rezolvare a circuitelor în regim variabil Metoda directă de studiu a regimului variabil este laborioasă şi practic ineficientă în cazul circuitelor cu structura complicată. Pentru acestea devin practice metodele care transformă ecuaţiile integro-diferenţiale ale circuitelor în ecuaţii algebrice cu ajutorul operatorilor liniari care asociază funcţiilor de timp o anumită imagine. Metoda transformatei Laplace

Calculul se sistematizează scriind direct ecuaţiile teoremelor lui Kirchhoff sub forma operaţională, care exprimă relaţiile dintre imaginile curenţilor şi tensiunilor. La forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff se ajunge cu ajutorul teoremelor cunoscute ale transformării Laplace (v. cap. 9):    L ∑ i k  = L [0]   k  . (8.108)  L  e  = L  u  + L  u  + L  u  ` k  ∑ Ck  ∑ Lk  ∑ Rk   ∑ k   k   k   k   Imaginile funcţiilor de timp din (8.108) sunt: L[i k ] = I K (s ), L[u Rk ] = Rk L[i k ] = Rk I k (s ),

 di  L[u Lk ] = Lk L  k  = sLk I k (s ) − ϕ k (0) ,  dt  q (0) 1 1 L[u Ck ] = L ∫ i k dt = I k (s ) + k , Ck sC k sC k unde: qk (0) este valoarea iniţială a sarcinii condensatorului şi Lk (0) este valoarea iniţială a fluxului bobinei din latura k . Mărimile: 1 Z R = Rk , Z C (s ) = şi Z L ( s ) = sLk , sCk se numesc impedanţe operaţionale proprii, Z km (s ) = sLkm se numeşte impedanţa operaţională mutuală dintre laturile k şi m , iar mărimea: q (0 ) Ek (s ) = ϕk (0 ) − k , sCk se numeşte t.e.m. operaţională corespunzătoare condiţiilor iniţiale. În cazul condiţiilor iniţiale nule Ek (s ) = 0 . Cu precizările făcute, teoremele lui Kirchhoff sub formă operaţională se vor scrie:

[

k

]

k

k

0

0

459

∑ L(i ) = 0 k

k

şi 

 ∑ [L(E ) + E (s )] = ∑  R k

k

k0

k



k

+ sLk +

1 sCk

   L i + ∑ sLkm L[im ] .  m≠ k 

[] k

Se notează: Z k (s ) = Rk + sLk + 1 , numită impedanţă proprie operaţională a laturii k şi sCk se scriu teoremele lui Kirchhoff sub forma: ∑ I k (s ) = 0  k (8.109)  ∑ E k (s ) + ∑ E k 0 (s ) = ∑ Z k (s )I k (s ) + ∑∑ Z km (s )I m (s ) k K k m≠ k  k Se observă analogia formală dintre ecuaţiile (8.109) şi ecuaţiile lui Kirchhoff pentru regimul staţionar. Aceasta are drept consecinţă extinderea formal neschimbată la studiul regimurilor variabile a tuturor metodelor de calcul ale circuitelor: metoda curenţilor ciclici, metoda potenţialelor la noduri, metoda impedanţelor echivalente etc. Exemplu: să se studieze variaţia în timp a curentului şi tensiunii la bornele condensatorului în circuitul din figura 8.54 după deschiderea la t = 0 a întrerupătorului K. T.e.m corespunzătoare condiţiior iniţiale este: q(0) E CE E E , E0 (s ) = Li (0) − =L − =L − sC R sC R s iar ecuaţia operaţională a circuitului rezultă: E E  1  L + =  R + sL +  I (s ) , R s  sC  de unde: EC R + sL ⋅ I (s ) = 2 Fig. 8.54 R LCs + RCs + 1 1 R , = δ şi Ω 2 = rezultând expresia operaţională a curentului: Se notează: LC − δ 2 2L E (s + 2δ ) , I (s ) = 2 R(s + δ ) + Ω 2 expresie care se descompune în fracţii simple:  δ Ω E s+δ . + I (s ) =  2 2 2 2  Ω (s + δ ) + Ω  R  (s + δ ) + Ω

Se utilizează acum teorema deplasării şi se obţine: E δ   i (t ) = e −δt  cos Ωt + sin Ωt  ⋅ R Ω   Forma operaţională a tensiunii la bornele condensatorului este: 1 E (R + Ls ) , U (s ) = I (s ) = 2 Cs Rs (LCs + RCs + 1) de unde, cu aceleaşi notaţii se obţine: E [s + 2δ − (1 / RC )] U (s ) = (s + δ)2 + Ω 2 şi 460

  s+δ 1 δ Ω Ω U (s ) = E  + − 2 2 2 2 2 2  RC (s + δ ) + Ω  Ω (s + δ ) + Ω  (s + δ ) + Ω care conduce la expresia:  . 1 R 1  u (t ) = Ee −δt cos Ωt +  −  sin Ωt  Ω  2 L RC   

,

Metoda răspunsului tranzitoriu

O mărime care evoluează în timp după o lege oarecare (fig.8.55) poate fi aproximată ca o succesiune de mărimi în treaptă, retardate unele faţă de altele cu ∆δ . Aproximaţia este cu atât mai bună cu cât intervalele de timp sunt mai mici şi cu cât numărul treptelor este mai mare. Se demonstrează că prima treaptă ui (0 + )1(t ) , unde 1(t ) este funcţia treaptă unitate, determină o mărime de ieşire ui (0 + ) f (t ) , f (t ) fiind răspunsul la funcţia treaptă unitate. Se demonstrează, în continuare, că treptele retardate determină câte o mărime de ieşire de forma:  dui  ,  f (t − τ )dτ = ui′(τ ) f (t − τ )dτ (8.110)  d t t =τ  stabilită în cazul în care intervalul de timp tinde către 0 şi numărul treptelor către infinit. Prin aplicarea principiului superpoziţiei Fig. 8.55 se poate scrie: t

u (t ) = ui (0 + ) f (t ) + ∫ ui′(τ ) f (t − τ )dτ .

(8.111)

0

Mărimea de ieşire este deci exprimată prin integrala Duhamel care se mai poate scrie sub oricare din formele: t

ue (t ) = ui (0 + ) f (t ) + ∫ ui′(t − τ) f (τ )dτ, 0 t

ue (t ) = ui (0 + ) f (t ) + ∫ ui (τ ) f ′(t − τ )dτ, 0

sau t

ue (t ) = ui (0 + ) f (t ) + ∫ ui (t − τ ) f ' (τ )dτ . 0

Metodologia de calcul va fi următoarea: - se determină răspunsul sistemului la o mărime de intrare treaptă unitară; - se determină mărimea de ieşire cu ajutorul integralei Duhamel. Exemplu: să se determine expresia curentului tranzitoriu al unui circuit RL serie supus tensiunii u = Ue − at . Expresia generală a curentului este: t

i (t ) = ui (0 + ) f (t ) + ∫ ui (τ ) f (t − τ )dτ , 0

unde: 461

ui (t ) = Ue − at , ui (0 + ) = U ,

ui (τ ) = Ue −aτ ,

ui′(τ ) = −aUe −aτ . Pentru circuitul RL serie răspunsul la tensiunea treaptă unitate (E=1V) este: R − t  1 f (t ) = 1 − e L  , R  şi f (t − τ ) =

R − (t − τ )  1 L 1 − e  . R 

Rezultă: i (t ) =

t −R R t  − (t − τ )  U 1  1 − e L  + ∫ (− aUe −ατ )⋅ ⋅ 1 − e L dτ. R R   0 

Efectuând calculele deducem: i (t ) =

R − t  U  −at  e − e L  ⋅ R − aL  

Metoda transformatei Fourier

Se numeşte transformata Fourier a funcţiei f (t ) , funcţia Φ (ω) definită de relaţia: ∞

Φ(ω) = Ff (t ) = ∫ e − jωt f (t )dt .

(8.112)

0

Transformarea inversă este definită de: ∞

(8.113) Notându-se

1 F Φ(ω) = f (t ) = e jωt Φ(ω)dω . ∫ 2 π −∞ −1

Φ(ω) = G ( jω) se scrie: 2π

∞

(8.114)

f (t ) = ∫ e jωt G ( jω)dω ⋅ −∞

G ( jω) se numeşte spectrul funcţiei f (t ) . Este uşor de văzut că transformata Fourier şi transformata Laplace ale unei funcţii de timp au expresii analoge, transformata Fourier obţinându-se din transformata Laplace prin simpla înlocuire a lui s cu jω . În consecinţă, metodologia de calcul a proceselor tranzitorii cu ajutorul transformării Fourier va fi analogă: - se determină spectrul mărimii de intrare U i ( jω) ; - se determină spectrele impedanţelor laturilor; - se determină spectrele curenţilor din laturi; - prin transformări inverse se determină expresiile valorilor instantanee ale curenţilor. Exemple: i) conectarea circuitului R, L pe o sursă de tensiune constantă E. ∞ E 1 1 ⋅ U ( j ω) = Ee − jωt dt = ∫ 2 π −∞ 2 π jω 462

Impedanţa spectrală a circuitului este: Z ( jω) = R + jLω , iar intensitatea curentului rezultă din ecuaţia: ∞ ∞ U ( j ω) j ω t E e jωt d( jω) ⋅ I (t ) = ∫ e dω = Z ( jω) 2πj −∫∞ jω(R + jωL ) −∞ Calculându-se integrala prin metoda reziduurilor se obţine: L − t  E i (t ) = 1 − e R ; R  ii) conectarea circuitului R, L pe o sursă de tensiune sinusoidală. Fie e(t ) = 2 E sin ωt .Conform identităţii lui Euler se poate scrie: E 2 jωt (e − e− jωt )⋅ 2j Deoarece mărimile din paranteză sunt complex conjugate se lucrează numai cu una din ele şi se ia dublul părţii reale a rezultatului: e(t ) =

G ( jΩ ) = i (t ) =

1 E 2 2π 2 j

1 E 2 2π 2

∞

∫e

−∞

− j( Ω − ω )t

dt =

1 E 2 1 , 2π 2 ω − Ω

∞

e jt 1 E 2 ∫−∞ (ω − Ω)(R + jLΩ ) = 2π 2

e j Ωt d ( j Ω ) ∫ [jω − ( jΩ )][R + ( jΩ )L] . −∞ ∞

Integrala se calculează prin metoda reziduurilor. Notându-se: LΩ , Z = R 2 + L2 Ω 2 şi tgϕ = se obţine: R R − t E 2 L ( ) i = 2 Re{Fi (t )} = sin ω t − ϕ − sin ϕ e  ⋅ Z  

R + j L Ω = Z e jϕ

cu

8.5. Circuite liniare în curent alternativ sinusoidal În acest subcapitol se studiază comportarea circuitelor liniare, filiforme şi cu parametri R,L,C localizaţi, în regim electrocinetic periodic sinusoidal, numit curent alternativ sinusoidal.

8.5.1. Mărimi sinusoidale Se ştie că o tensiune electromotoare sinusoidală, variabilă în timp, poate fi produsă -în principiu- prin rotirea unei spire sau a unei bobine într-un câmp magnetic fix (fig. 8.56). Potrivit legii inducţiei electromagnetice: dΦ f d d e = −N = − N (BA cos α ) = − N (BA cos ωt ) = NBAω sin ωt , sau: dt dt dt e = Emax sin ωt. (8.115) Dacă se alimentează cu aceasta tensiune electromotoare un circuit electric, prin circuit se stabileşte un curent care trece periodic, în raport cu timpul, prin valori pozitive şi valori negative. Acelaşi lucru se întâmplă şi cu celelalte mărimi electrice sau magnetice: potenţiale, diferenţe de potenţial, câmp, flux etc. Mărimile de acest gen se exprimă printr-o funcţie de timp a = f (t ) . Dacă mărimea variabilă în timp (sau în spatiu) se reproduce identic la intervale de timp egale (fig. 8.57) , ea este o mărime periodică. Mărimea periodică a cărei variaţie în timp este sinusoidală se numeşte numai sinusoidală. 463

Fig. 8.56

Fig. 8.57

Intervalul de timp minim, după trecerea căruia valoarea instantanee a mărimii periodice se repetă, în aceeaşi succesiune, de un număr infinit de ori, se numeşte perioadă şi se notează cu T . Rezultă, prin definiţie, proprietatea: (8.116) a = f (t ) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = ... = f (t + nT ) . Perioada se măsoară în secunde. Raportul dintre un număr întreg de perioade şi timpul necesar producerii acestora se numeste frecvenţă : n 1 f = = ⋅ (8.117) nT T Unitatea de măsură a frecvenţei se numeşte hertz , cu simbolul Hz. Valoarea pe care o ia funcţia la un moment dat se numeşte valoare instantanee şi se notează de obicei cu literă mică. Valoarea maximă, pozitivă sau negativă, pe care o poate lua valoarea instantanee pentru o anumită valoare a variabilei, se numeşte amplitudine. Valoarea medie a unei mărimi periodice, definită în intervalul de timp t2 − t1 ,este dată de relaţia: 1 t Amed = f (t )dt , (8.118) ∫ t t2 − t1 iar valoarea medie pătratică sau eficace, în acelasi interval de timp, se calculează cu relaţia: 1 t 2 Aef = f (t )dt ⋅ (8.119) t 2 − t1 ∫t 2

1

2

1

Dacă valoarea medie pe o perioadă a mărimii periodice este nulă, Amed =

1 T f (t )dt = 0 , T ∫0

mărimea periodică este şi alternativă (fig. 8.58). Mărimile sinusoidale variabile în timp sunt mărimi periodice alternative. Ele au forma a = Am sin(ω t − ψ ) sau a = Am cos(ω t − ψ ) în care ω intervine ca un factor constant numit pulsaţie, iar Ψ este un unghi care depinde de alegerea axelor de coordonate şi se numeşte faza iniţială. Unghiul ωt , caracterizând starea funcţiei la momentul t , se numeşte fază la timpul t . Reprezentarea mărimilor sinusoidale se face luând pe abscisă fie unghiul (fig. 8.59a), fie timpul (fig. 8.59b). Fig. 8.58

464

În prima reprezentare, faza la timpul T este evident 2π şi deci, pentru o mărime sinusoidală, perioada este:

Fig. 8.59

T=

2π ω

,

(8.120)

iar frecvenţa: f =

ω , 1 = T 2π

(8.121)

de unde rezultă:

ω = 2πf . (8.122) Mărimea sinusoidală se anulează pentru unghiul ωt = Ψ ± kπ în prima reprezentare şi respectiv, pentru timpul t = Ψ / ω ± 2kT / 4 în cea de a doua reprezentare. În reţelele de curent alternativ, curentul, tensiunea şi celelalte mărimi electrice variază după curbe asemănătoare aceleia din figura 8.58. În fapt, reţelele de curent alternativ sunt reţele de curent periodic. În marea majoritate a cazurilor însă, variaţia acestor mărimi poate fi presupusă sinusoidală, ipoteză în care se studiază în acest subcapitol curentul alternativ. Frecvenţa reţelelor industriale este standardizată la 50Hz în Europa şi 60Hz în S.U.A. Pentru utilizări speciale se mai întâlnesc: frecvenţe de 25Hz şi 162/3Hz în tracţiunea electrică, 200Hz în industria lemnului şi în industria minieră, 400Hz pe avioane şi submarine etc. În tehnica radioului şi televiziunii se utilizeaza frecvenţe de milioane sau miliarde de Hz. Frecvenţei de 50 Hz îi corespund perioada T=0,02s şi pulsaţia ω = 314s −1 . Defazajul mărimilor periodice alternative sinusoidale

Tensiunea electromotoare sinusoidală având expresia (8.115) se anulează, evoluând în sens crescător, în momentele t0 date de relaţia ωt0 = ±2kπ, unde k = 0,1,2,... (fig. 8.60a). Trecând prin zero în sens crescător în momentul t = 0 , corespunzător originii scării unghiului (sau a timpului în reprezentarea în funcţie de timp) se spune că mărimea este în fază cu originea. Tensiunea electromotoare e = Emax sin(ω t − ψ) , trecând prin zero în sens crescător la timpul ψ π ψ t0 dat de relaţia ω t0 = ψ ± 2kπ (fig. 8.60b), adică la t0 = ± 2k = ± kT , este defazată în ω ω ω urma originii . Unghiul ψ 0 = ωt0 = ψ ± 2kπ poartă numele de fază sau defazaj faţă de origine al mărimii respective. Dacă reprezentarea se face în funcţie de timp, atunci timpul t0 = ψ 0 / ω = ψ / ω + kT este numit defazaj faţă de origine. 465

Defazajul faţă de origine poate fi şi negativ. În acest caz se spune că marimea e = Emax sin(ω t + ψ) este defazată înaintea originii (fig. 8.60c).

Fig. 8.60

Mărimile: e1 = E1max sin (ω t − ψ1 ) şi

e2 = E2 max sin (ω t − ψ 2 ) sunt defazate una faţă de cealaltă cu un unghi ψ d = ψ 2 − ψ1 > 0 dacă tensiunea electromotoare e2 este defazată în urma tensiunii electromotoare e1 , respectiv ψ d = ψ 2 − ψ1 < 0 dacă e2 este defazată înaintea tensiunii electromotoare e1 . Defazajul exprimat în timp este t d = ψ d / ω . Dacă cele două tensiuni electromotoare trec simultan prin zero şi prin maxim ( ψ d = 0,td = 0 ) se spune ca ele sunt în fază (fig. 8.61a). Dacă în timp ce o una din ele este maximă iar cea de a doua este minimă, ambele anulându-se simultan dar în sensuri diferite, ( ψ d = π,td = T / 2 ), mărimile sunt în opoziţie (fig. 8.61b). În fine, dacă în timp ce o mărime se anulează, cealaltă trece prin maxim sau minim, ( ψ d = π / 2,td = T / 4 ), cele două mărimi sunt în cuadratură (fig. 8.61c).

Fig. 8.61

În general, în electrotehnică nu intereseaza faza faţă de o origine oarecare, deoarece aceasta depinde de alegerea originii scării timpului. De aceea, mărimile alternative sinusoidale se definesc prin amplitudinile lor şi prin defazajul dintre ele, considerându-se -în mod arbitrar- că una din mărimi, denumită origine de fază are faza faţă de origine egală cu zero. Astfel, considerând în 466

exemplul de mai sus tensiunea electromotoare e1 ca origine de fază, cele două tensiuni electromotoare se vor scrie: e1 = E1max sin ω t şi e2 = E2 max sin (ω t − ψ d ) . Decalajul marimilor periodice alternative sinusoidale

În electrotehnică se întâlnesc mărimi a căror variaţie sinusoidală nu se produce în timp ci în spaţiu, variabila de care depinde mărimea sinusoidală fiind spaţiul. Unghiul în raport cu originea scării spaţiului, al funcţiei, se numeşte decalaj faţă de origine. Decalajul între două funcţii periodice alternative sinusoidale spaţiale corespunde unghiului ψ d , egal cu diferenţa decalajelor faţă de origine, ale celor două funcţii. Toate definiţiile cu privire la defazaje se aplică şi decalajelor. Mărimile care diferă între ele atât în timp cât şi în spaţiu, se numesc defazate în timp şi decalate în spaţiu.

8.5.2. Efectele curentului alternativ sinusoidal După cum s-a arătat, regimul electrocinetic este însoţit de efecte chimice, termice, magnetice etc., care constituie puncte de plecare pentru un mare număr de aplicaţii practice. Din acest punct de vedere, curentul alternativ sinusoidal prezintă aspectele prezentate în cele ce urmează. Efectul chimic. Valoarea medie a curentului şi tensiunii electrice.

Conform legii electrolizei efectele chimice produse de curentul electric, depind proporţional de cantitatea de sarcină electrică transportată. Pentru un curent variabil, această cantitate de electricitate într-o perioadă a curentului alternativ este dată de relaţia: T q = ∫ i dt ⋅ 0 Un curent continuu, constant, care produce acelaşi efect chimic, ar trebui să aibă valoarea: T q 1 I med = = ∫ i dt , (8.123) T T 0 numită valoare medie a curentului. În mod analog se ajunge la noţiunea de valoare medie a tensiunii: 1T (8.124) U = ∫ u dt ⋅ med T 0 Curentul alternativ are prin definiţie valoarea medie (pe o perioadă) nulă şi nu va produce efecte chimice. Cu atât mai mult nu va produce efecte chimice curentul alternativ sinusoidal. Pentru a obţine efecte chimice folosind surse de curent alternativ sinusoidal trebuie să procedăm la redresarea acestuia. Prin baia de electroliză, datorită prezenţei redresoarelor S, curentul va avea numai sensul săgeţilor de pe figura 8.62. În decursul fiecărei semiperioade a curentului alternativ, baia de electroliză este străbătută de curenţii: i1 = I m sin ωt şi i2 = − I m sin ωt. Valoarea medie a curentului prin baie într-o perioadă va fi: T 2 2 2T 2 1 T 2 i dt = I . I = ( ∫ i dt + ∫ i dt ) = (8.125) ∫ 1 1 2 m med T T π 0 0 0

467

Efectul termic. Valoarea eficace a curentului şi tensiunii.

Dacă un rezistor de rezistenţă R este alimentat la o tensiune sinusoidală u , curentul în rezistor va avea intensitatea i , tot sinusoidală, iar valoarea instantanee a puterii absorbită Fig. 8.62 de rezistorva fi p = ui . În decursul unei perioade, circuitul absoarbe energia: T

W = ∫ ui dt 0

În mod practic, puterea este evaluată ca o putere medie P , egală cu raportul dintre energia W absorbită de circuit în intervalul de timp considerat şi acel interval: T W 1 P= = ∫ ui dt ⋅ T T 0 Ţinându-se seama de legea lui Ohm, se mai poate scrie: T T 1 1 u2 P = ∫ Ri 2 dt = ∫ dt ⋅ (8.126) T 0 T 0 R Curentul

i , fiind alternativ sinusoidal, cu perioada T şi având forma: i=I

max

cos(ωt − ϕ),

relaţia (8.126) devine: RI 2 T RI 2 T RI 2 (8.127) P = max ∫ cos 2 (ωt − ϕ) dt = max ∫ 1 + cos 2 (2ωt − 2ϕ) dt = max ⋅ 2T 0 2 T 0 Un curent constant, de intensitate I , care să producă în rezistorul R aceeaşi cantitate de căldură pe care o produce curentul sinusoidal i , trebuie să satisfacă relaţia: 2 RI max = RI 2 , 2 adică să aibă valoarea: I I = max , (8.128) 2 numită valoare eficace (numită şi efectivă) a curentului alternativ. În mod analog se găseşte valoarea efectivă a tensiunii sinusoidale: U (8.129) U = max = 0,707 U max ⋅ 2 Punând în evidenţă valorile eficace ale tensiunii şi curentului, valorile instantanee ale acestora se vor scrie:

[

(8.130)

]

i = 2 I cos(ωt − ϕ)

şi (8.131)

u = 2 U cos(ωt − ϕ) ⋅

Valorile eficace sunt utilizate deoarece ele sunt acelea care pot fi măsurate cu aparatele de măsură obişnuite. Pentru a le pune în evidenţă, mărimile curent, tensiune, tensiune electromotoare 468

se vor scrie în funcţie de valoarea eficace şi nu de amplitudine, aşa cum s-a procedat la scrierea expresiilor (8.130) şi (8.131). Efectul magnetic

În capitolul 5 s-a arătat că expresia intensităţii câmpului magnetic H produs de solenoidul aproximat ca infinit lung are expresia (5.185'): H = ni , în care n reprezintă numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului. Evident, dacă intensitatea curentului variază în timp după o lege sinusoidală, atunci intensitatea câmpului magnetic va avea de asemenea o variaţie sinusoidală în timp: H = n 2 I sin ωt = H max sin ωt . (8.132) Tot după o lege sinusoidală vor evolua în timp inducţia magnetică B = µH , fluxul fascicular Φ = NBA etc. Forţele electromagnetice

Un conductor de lungime l , aflat în regim electrocinetic de intensitate i şi aşezat perpendicular pe liniile unui câmp magnetic uniform de inducţie B , este supus unei forţe f = Bli , perpendiculară pe conductor şi pe direcţia câmpului, având sensul dat de regula efectuării produsului vectorial F = il × B . Un exemplu de aplicaţie îl constituie aparatul magnetoelectric al cărui echipaj mobil este supus cuplului de forţe: m = km f = km Bli. Dacă curentul i este alternativ sinusoidal şi B este constant în timp, cuplul mediu la care va fi supus echipajul mobil: T T 1 1 M med = ∫ m dt = k m Bl ∫ midt = k m BlI med T 0 T 0 este nul, deoarece I med = 0 . De aceea, în curent alternativ aparatul magnetoelectric nu dă nici o indicaţie. Un al doilea caz, reductibil la cel de mai sus este acela al forţei electromagnetice exercitată asupra unui conductor "parcurs" de un curent constant, de intensitate I , într-un câmp de inducţie magnetică periodică B = Bmax cos(ωt − ϕ) : T

T

1 1 f dt = li ∫ B dt = liBmed = 0. ∫ T 0 T 0 Dacă însă atât curentul cât şi inducţia sunt alternativ sinusoidale: i = 2 I cos(ωt − ϕ1 ) Fmed =

B = Bmax cos(ωt − ϕ2)

rezultă: 2 Bmax I [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + cos(2ωt − ϕ1 − ϕ 2 )] , 2 iar valoarea medie pe o perioadă a forţei electromagnetice va fi: 2 Fmed = Bmax I cos(ϕ1 − ϕ2 ) ⋅ (8.133) 2 Asemenea forţe pot dezvolta un cuplu proporţional cu valoarea lor medie aşa cum se întâmplă la maşinile asincrone. f = BI 2 cos(ωt − ϕ1 ) cos(ωt − ϕ 2 ) =

469

Forţele electrodinamice

Între două conductoare paralele, având curenţii i1 şi i2 se exercită forţa electrodinamică (5.195): F=

µ 2i1i2 l⋅ 4π d

Dacă cei doi curenţi sunt sinusoidali: I1 = 2 I1 cos(ωt − ϕ1 ) şi

I 2 = 2 I 2 cos(ωt − ϕ2 ),

forţa medie are expresia: Fmed =

1 T

T

∫ 0

T

f dt =

2µl 1 i1i2 dt , 4πd T ∫0

care conduce la: 2µl I 1 I 2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ). 4πd Dacă cei doi curenţi sunt egali, i1 = i2 = i , forţa medie de atracţie este proporţională cu pătratul valorii eficace a curentului. Pe acest principiu se construiesc aparatele de măsurat electrodinamice. Ele au două bobine, una fixă şi alta mobilă alimentate în serie sau independente. În primul caz, echipajul mobil este supus unui cuplu proporţional cu valorile eficace ale curentului sau tensiunii aplicate. Aparatul măsoară ca ampermetrul sau ca voltmetrul. În cel de-al doilea caz, alimentându-se o bobină cu o tensiune alternativă u , cealaltă bobină fiind "parcursă" de curentul i , produs de această tensiune într-un circuit, echipajul mobil va fi supus unui cuplu proporţional cu valorile efective ale tensiunii şi curentului şi deci, va avea o deviaţie proporţională cu puterea absorbită de circuitul considerat - aparatul va fi etalonat ca watmetru.

(8.134)

Fmed =

Forţa portantă a unui electromagnet

Forţa portantă a unui electromagnet de secţiune A şi cu inducţia B, are expresia (5.192): B2 F= A⋅ 2µ 0 În curent alternativ, ea variază periodic cu inducţia, dar rămâne tot timpul pozitivă. Inducţia magnetică fiind de forma B = Bmax sin ωt , valoarea medie a forţei portante va fi: T

T

A 1 B 2 max 1 B2 2 (8.135) Fmed = ∫ Adt = B t A. d = T 0 2µ 0 2µ 0 T ∫0 4µ 0 Aparatele electromagnetice de măsurat se bazează pe atracţia unei piese de fier moale într-un câmp magnetic cu inducţia B , câmpul fiind produs de curentul din bobina fixă a aparatului. Echipajul lor mobil va avea astfel o deviaţie proporţională cu pătratul valorii eficace a curentului: A 1 T 2 A 1 T 2 (8.136) Fmed = B dt = ki dt = KI 2 . ∫ 2µ 0 T 0 2µ 0 T ∫0

470

8.5.3. Calculul circuitelor în regim sinusoidal Ca şi în cazul circuitelor de curent continuu, calculul circuitelor de curent alternativ are ca obiectiv determinarea curenţilor în funcţie de caracteristicile surselor şi ale receptoarelor, curenţii sinusoidali trebuind să fie determinaţi prin valorile eficace şi prin defazajele lor în raport cu o origine comună a fazelor. Se utilizează ecuaţiile (8.88) la (8.100), stabilite pentru regimul variabil oarecare, a căror aplicare prezintă însă particularităţi specifice regimului sinusoidal. Parametrii unui circuit electric de curent alternativ

Dacă se aplică armăturilor unui condensator o tensiune electrică, alternativă, variabilă în timp, între aceste armături apare un câmp electric, de asemenea variabil în timp. El va produce polarizarea dielectricului, sarcinile dipolare fiind într-o deplasare permanentă, corespunzătoare variaţiei câmpului respectiv. În dielectric apare un curent electric alternativ, care este un curent de deplasare (v. § 4.2.1). În consecinţă, în circuitele electrice de curent alternativ pot fi inserate condensatoare ale căror armături sunt separate prin dielectrici. Curentul de deplasare apare însă chiar în mediul care înconjoară elementele de circuit, întrucât între două elemente există întotdeauna o diferenţă de potenţial alternativă care produce un câmp electric variabil. Prin analogie cu ceea ce se petrece într-un condensator, este evident că toate elementele de circuit au capacitate electrică. Este de asemenea evident, că orice element de circuit are inductivitate proprie sau mutuală deoarece orice porţiune de circuit este înlănţuită de un flux magnetic atunci când circuitul este în regim electrocinetic. În curent alternativ, acest flux magnetic este variabil în timp şi deci fiecare porţiune de circuit este sediul unor tensiuni electromotoare de inducţie proprie şi mutuală. În ceea ce priveşte rezistenţa electrică, repartizarea ei pe întregul circuit este dovedită prin degajarea de căldură care se produce chiar şi în dielectricul condensatoarelor. În practică nu se consideră însă aceste fenomene fizice în toată complexitatea lor. În circuitele obişnuite se poate admite, după cum s-a mai arătat, că parametrii circuitelor sunt concentraţi în anumite puncte. Astfel, în cazul unui rezistor care are o capacitate proprie precum şi o inductivitate oarecare, se poate considera, atunci când curenţii de deplasare sau tensiunea electromotoare de inducţie sunt nesemnificative în raport cu curentul de conducţie, că este o rezistenţă pură. La frecvenţe joase, inductivitatea proprie a condensatorului şi curentul de conducţie prin condensator sunt de neglijat faţă de curenţii de deplasare. În fine, în cazul unei inductanţe, realizată în general sub forma unei bobine, curenţii de deplasare ce apar între spire sunt cu totul nesemnificativi faţă de cei de inducţie. De asemenea se poate neglija căderea de tensiune dată de curentul de conducţie, în raport cu tensiunea electromotoare de inducţie ce apare în bobină. Aceste aproximaţii pot fi făcute în toate circuitele electrice de frecvenţă joasă (industrială) cu excepţia liniilor lungi de transmitere a energiei electrice sau a celor de telecomunicaţii. Ele au o mare importanţă practică deoarece dau posibilitatea simplificării calculelor ca urmare a neglijării fenomenelor datorate câmpurilor electromagnetice variabile, luându-se în considerare numai variaţia câmpului electric din condensatoare şi a câmpului electric din bobine.

471

Tensiunea la bornele parametrilor concentraţi

Un circuit electric de curent alternativ conţine rezistoare, bobine şi condensatoare legate într-un mod oarecare între ele. Diverşii parametri consideraţi concentraţi se admit ca fiind sediul unei singure forme de transformare a energiei electromagnetice: transformarea în căldură se face numai în rezistenţă, câmpul magnetic se produce numai în inductivitate, iar câmp electric numai în porţiunea unde se află capacitatea. Dacă asupra unui circuit, exercită o acţiune electromagnetică un altul din exterior, atunci la parametri concentraţi ai acestor circuite mai trebuie adăugată şi inductivitatea mutuală M . În cazul în care parametrii circuitului sunt invariabili în raport cu curentul care îi străbate sau cu tensiunea aplicată la borne, ei sunt parametri liniari. La parametri neliniari, variaţia în raport cu tensiunea sau curentul nu poate fi neglijată. La bornele elementelor liniare "străbătute" de curenţii electrici apar căderi de tensiune specifice parametrului acestora (figura 8.63). Astfel, la bornele unui element rezistiv de rezistenţă R se produce o cădere de tensiune dată de legea lui Ohm: (8.137) u R = Ri, de asemenea variabilă în timp. Întrucât s-au neglijat tensiunile electromotoare induse de câmpul de inducţie magnetică variabilă în porţiunea de Fig. 8.63 circuit corespunzătoare rezistorului, câmpul electric de-a lungul acestei porţiuni, a cărui integrală de linie este ur , este un câmp potenţial, astfel că: u r = ∫ E ⋅ dl . a →b

Drumul de integrare poate fi luat oricare, cu condiţia să nu treacă prin câmpul magnetic al inductanţei. Elementul capacitiv de capacitate C are tensiunea la borne: q 1 uc = = ∫ idt. (8.138) C C Şi în această porţiune de circuit, câmpul electric este un câmp potenţial deoarece s-au neglijat tensiunile electromotoare de inducţie şi deci: d

u c = ∫ E ⋅ dl . c

Drumul de integrare poate oricare, cu condiţia să nu treacă prin câmpul magnetic al bobinei. În porţiunea “bc” a circuitului, în care a fost concentrată inductanţa, curentul variabil produce un flux variabil Φ L = Li care, la rândul său, va produce o tensiune electromotoare de inducţie: dΦ L di eL = − = −L ⋅ dt dt Întrucât a fost neglijată rezistenţa bobinei, tensiunea la bornele acestui element trebuie să fie egală şi de semn contrar cu tensiunea electromotoare indusă:

472

u L = − eL = L

di ⋅ dt

(8.139)

Şi în acest caz există relaţia: uL =

∫ E ⋅ dl ,

b→c

cu condiţia ca drumul de integrare să nu treacă prin câmpul magnetic al bobinei. Asocierea sensurilor de referinţă în circuitele electrice de curent alternativ

Pentru studiul circuitelor electrice în curent alternativ este util, ca şi în curent continuu, să se atribuie un sens de referinţă curenţilor din circuit şi corespunzător, un sens tensiunilor electromotoare şi tensiunilor. Dacă însă, în cazul curentului staţionar atribuirea sensului curenţilor poate corespunde deplasării sarcinilor sub acţiunea câmpului electric dezvoltat de surse, în cazul curentului alternativ această atribuire de sens are caracter pur convenţional. Prin convenţie, se atribuie ca sens pentru curentul alternativ sensul transferului energiei de la sursă către receptor. Sensul tensiunilor electromotoare va fi, de asemenea, atribuit sensului transmiterii energiei de la generator către receptor. Rezultă că sensul tensiunilor şi căderilor de tensiune se atribuie prin aceleaşi convenţii care s-au făcut şi în curent continuu. Parametri complecşi ai circuitelor de curent alternativ. Extinderea legii lui Ohm în complex

Alimentându-se un rezistor de rezistenţă R cu tensiunea alternativă sinusoidală, u R = 2U R sin ω , considerată în fază cu originea, curentul în circuit, conform ecuaţiei (8.89), va fi: u U iR = R = 2 R sin ωt = 2 I R sin ωt. (8.140) R R Curentul în rezistor este în fază cu tensiunea aplicată la borne iar legea lui Ohm rămâne valabilă şi între valorile eficace ale curentului şi tensiunii: U IR = R , (8.141) R U R = RI R . (8.142) Fazorii tensiunii şi curentului sunt coliniari (fig. 8.64). Prin aplicarea tensiunii u L = 2U L sin ωt la bornele bobinei ideale (având rezistenţa neglijabilă), curentul calculat cu relaţia (8.93) are expresia : Fig. 8.64 1 2U L π π   I L = ∫ u L dt = sin  ωt −  = 2 I L sin  ωt − . (8.143) L 2 2 ωL    Curentul are valoarea eficace: U U IL = L = L , (8.144) ωL X L unde cu X L = ωL s-a notat reactanţa inductivă şi este defazat cu π 2 în urma tensiunii aplicată la borne. Diagrama fazorială este aceea din figura 8.65a. Dacă se ia curentul drept origine a fazelor, diagrama se construieşte ca în figura 8.65b. Condensatorul ideal (fără pierderi), alimentat cu o tensiune alternativă sinusoidală uC = 2U C sin ωt , va stabili curentul conform ecuaţiei (8.96): 473

duC π π   = Cω 2U C sin  ωt +  = 2 I C sin  ωt + . dt 2 2   El este defazat cu π 2 înaintea tensiunii aplicată la borne şi are valoarea eficace: U (8.146) I C = C ωU C = C ⋅ XC

(8.145)

iC = C

Cu X C = 1 / Cω s-a notat reactanţa capacitivă. Fazorii de curent şi de tensiune sunt reprezentaţi în figurile 8.66a şi 8.66b.

Fig. 8.65

Fig. 8.66

Se poate remarca o formă comună pentru relaţiile (8.141), (8.144) şi (8.146), asemănătoare legii lui Ohm: U IR = R ; R UL ; IL = XL UC ⋅ XC Se presupun acum cele trei elemente legate în serie şi aflate sub acelaşi curent i . Tensiunile la bornele lor, potrivit ecuaţiilor (8.88), (8.92) şi (8.97), au expresiile: u R = Ri, di uL = L , dt şi 1 uC = ∫ idt , C iar ecuaţia circuitului este: di 1 u = u R + u L + uC = Ri + L + ∫ idt. (8.147) dt C Ecuaţia integro-diferenţială (8.147) poate fi transformată într-o relaţie liniară între fazorii asociaţi mărimilor instantanee. Pentru scrierea relaţiei între fazori trebuie să ţinem seama de regulile de asociere, de reprezentarea prin mărimi complexe a fazorilor şi de regulile de calcul cu fazori, expuse în § 9.1.3, şi anume: i) curentul i = 2 I sin (ωt + ϕ) este reprezentat prin fazorul I de modul I şi argument ϕ faţă de axa de origine a timpului. Acest fazor poate fi la rândul său reprezentat algebric sub forma numărului complex: (8.148) I = a + jb = I (cos ϕ + j sin ϕ) , sau analitic sub forma: (8.149) I = Ie jϕ ; IC =

474

ii) produsul unui fazor cu un scalar este tot un fazor. Dacă se efectuează un produs de forma R I se obţine fazorul: R I = RI (cos ϕ + j sin ϕ) = RIe jϕ , acesta fiind tocmai fazorul ce reprezintă tensiunea la bornele elementului rezistiv: U R = U R (cos ϕ + j sin ϕ) = U R e jϕ , (8.150) deoarece, prin identificare cu expresia generală a fazorului, rezultă valoarea eficace U R = RI şi defazajul ϕ R = ϕ; iii) derivarea unui fazor, conduce tot la un fazor al cărui modul este de ω ori mai mare decât al fazorului iniţial şi este rotit faţă de acesta cu π 2 înainte (în sens trigonometric). Produsul L d I dt conduce la fazorul: 

π

j  ϕ+    π  π  U L = LωI cos ϕ +  + j sin  ϕ +  = LωIe  2  = jLωI . (8.151) 2 2     Prin identificare, rezultă că fazorul U L , având modulul U L = LωI şi argumentul ϕ L = ϕ + π 2 , este tocmai acela care reprezintă tensiunea la bornele inductanţei;

iu) efectuând asupra fazorului I operaţia (1 / C ) I dt , se obţine fazorul: ∫ 

π

j ϕ −  1 1 π 1 π   I cos ϕ −  + j sin  ϕ −  = Ie  2  = − j . (8.152) Cω Cω 2 2  Cω   Modulul acestui fazor fiind U C = 1 / Cω , iar argumentul ϕC = ϕ − π / 2 rezultă că el este fazorul tensiunii de la bornele capacităţii. Din cele de mai sus se constată că, pentru a trece de la ecuaţia integro-diferenţială (8.147) operând cu diverse funcţii sinusoidale, la ecuaţia algebrică operând cu cantităţile complexe ce le reprezintă, trebuie să înlocuim valorile instantanee cu cantităţile complexe asociate, efectuând asupra acestora din urmă toate operaţiile de derivare şi integrare indicate de ecuaţie. Se obţine: dI 1 U = U R + U L + U C = RI + L + I dt , (8.153) dt C ∫ de unde rezultă: 1 1   (8.154) U = R I + jω L I − j I = R I + j ωL − I ω Cω C  Introducându-se reactanţele capacitivă şi inductivă, se aduce ecuaţia (8.154) la forma: U = R I + jX L I − jX C I = R I + j( X L − X C )I . (8.155) Cu ajutorul relaţiilor de mai sus definim următoarele mărimi de circuit: - reactanţa circuitului: D 1 X = X L − X C = Lω − ; (8.156) Cω - reactanţa complexă: D 1 1 = jLω + jX = jX L − jX C = jLω − ; (8.157) jCω Cω - reactanţa inductivă complexă şi reactanţa capacitivă complexă :

UC =

D

şi

jX L = jLω D

− jX C = − j

1 1 = ; Cω jCω

475

(8.158) (8.159)

- impedanţa complexă: D 1   Z = R + j ωL −  = R + j( X L − X C ) = R + jX , ωC   al cărei modul este impedanţa circuitului:

(8.160)

2

1   2 2 2 2 (8.161) Z = R +  Lω −  = R + (X L − X C ) = R + X . Cω   Argumentul impedanţei complexe, dat de relaţia: 1 Lω − ωC = X L − X C = X , tgϕ = (8.162) R R R reprezintă, dar cu semn schimbat, defazajul curentului în raport cu tensiunea la bornele circuitului serie; - admitanţa complexă este mărimea inversă impedanţei complexe: D R X 1 1 (8.163) Y= = = 2 −j 2 = G − jB. 2 Z R + jX R + X R + X2 Mărimea: 2

D

(8.164) G = R /( R 2 + X 2 ) se numeşte conductanţă echivalentă, iar mărimea: D

(8.165) B = X /( R 2 + X 2 ) se numeşte susceptanţă echivalentă . Modulul admitanţei complexe: (8.166) Y = G2 + B2 , se numeşte admitanţă ; - mărimile inverse reactanţelor inductivă şi capacitivă se numesc susceptanţă inductivă, şi respectiv, susceptanţă capacitivă: D 1 1 (8.167) BL = = X L Lω şi D 1 (8.168) BC = = Cω. XC Cu notaţiile făcute până aici, ecuaţia (8.155) ajunge la forma: (8.169) U = Z I, numită , prin analogie, legea lui Ohm în circuitele de curent alternativ, cunoscută şi sub numele de teorema lui Joubert. Din ecuaţia (8.155) mai rezultă că legea lui Ohm se aplică întocmai ca şi în curentul continuu dacă se asociază tensiunii de la bornele circuitului şi curentului fazori sub forma complexă şi se înlocuiesc totodată în schema circuitului inductanţa L cu reactanţa complexă jLω , iar capacitatea C cu reactanţa complexă − 1 / jCω Impedanţa totală complexă a circuitului fiind: 1 1   = R + j  Lω − Z = R + jL ω − j  = R + jX Cω Cω   fazorul curentului este dat de relaţia: U I= , (8.170) Z 476

de unde, efectuându-se împărţirea cantităţilor complexe se deduc valoarea eficace şi defazajului curentului faţă de tensiunea de la borne: U (8.171) I= Z şi

ϕ = arg U − arg Z = − arg Z , deoarece tensiunea este origine de fază şi arg U = 0 , sau:  Im(I )  ϕ = arctg  .  Re(I ) 

(8.172)

(8.173)

Teoremele lui Kirchhoff în curent alternativ sinusoidal

Teoremele lui Kirchhoff în valorile instantanee se scriu: n

∑i

k

(8.174)

= 0,

k =1

n   di 1  Rk ik + Lk k + = e ik dt . ∑ ∑ k ∫  dt C k k =1 k =1   Transcriind relaţiile (8.174) şi (8.175) cu ajutorul cantităţilor complexe, se obţine: n

n

∑I

k

=0 ,

(8.175)

(8.176)

k =1

n

n



∑ E = ∑  R I k

k

k

+ jωLk I k +

 Cea de a doua ecuaţie poate fi scrisă în continuare: k =1

k =1



 1 I k . jC k ω 

(8.177)

n  1  (8.178)  L k = ∑ Z k I k . + j Lk ω − Ck ω  k =1 k =1  k =1  Relaţiile (8.176) şi (8.178) arată că rezolvarea circuitelor de curent alternativ simple sau complexe se face aplicând aceleaşi relaţii şi metode stabilite în curent continuu, cu deosebirea că aceste relaţii se transpun în scrierea complexă şi se respectă regulile de calcul în complex. Regula semnelor pentru scrierea ecuaţiilor cu mărimi complexe rămâne valabilă aşa cum a fost stabilită la studiul reţelelor de curent continuu. Cu toate că în curent alternativ sensul curentului se schimbă la fiecare semiperioadă, alegerea unui sens sau al altuia în cadrul reprezentării fazoriale le influenţează defazajul, rotind faza mărimii respective cu π. După cum se vede în diagrama din figura 8.67, în cazul în care într-o latură a unui circuit există o tensiune electromotoare E şi, pentru un sens ales al curentului, fazorul corespunzător este I , dacă se consideră pozitiv sensul contrar, curentul va fi reprezentat prin fazorul I ' egal ca modul dar opus lui I . Defazajul curentului faţă de tensiunea electromotoare E este α în primul caz şi π − α în cel de-al doilea. În cazul existenţei unor cuplaje inductive, între elementele de circuit sau între circuite, trebuie să se ţină seama şi de tensiunile electromotoare induse prin Fig. 8.67 inducţie mutuală, aşa cum s-a precizat în § 8.4.1. n

n

∑ E = ∑  R k

k

477

Fig. 8.68

Fig. 8.69

Dacă inductanţa mutuală între laturile k şi l (fig. 8.68) ale reţelei este M kl , în latura k se va induce tensiunea electromotoare: di (8.179) ekl = − M kl l , dt a cărei expresie complexă este: E kl = − jωM kl I l = − jX m I l = − Z m I l . (8.180) kl

kl

Mărimea: (8.181) X m = ωM se numeşte reactanţă mutuală iar mărimea: (8.182) Z m = j X m = jω M se numeşte impedanţă mutuală a laturilor. Tensiunea electromotoare de inducţie mutuală se introduce în primul membru al relaţiei (8.178) cu semne care ţin seama de sensurile curenţiilor I k şi I l şi de sensul de parcurgere al buclei (v. § 8.4.1) Circuite în serie fără cuplaje inductive

Circuitul din figura 8.69 este constituit din impedanţele: Z 1 = R1 + jX 1 , Z 2 = R2 + jX 2 , ...................... Z n = Rn + jX n , legate în serie şi alimentate cu tensiunea U . Se notează cu I fazorul intensităţii curentului din circuit şi se scrie ecuaţia legii lui Ohm în complex obţinându-se: U = Z 1 I + Z 2 I + ... + Z n I = (Z 1 + ... + Z n )I , sau U = Z I, în care: (8.183) Z = Z 1 + ... + Z n este impedanţa echivalentă a circuitului în serie. Sub forma dezvoltată, relaţia (8.183) se scrie: (8.184)

n

n

k =1

k =1

Z = R1 + jX 1 + ... + Rn + jX n = ∑ Rk + j∑ X k . 478

Punându-se impedanţa echivalentă complexă sub forma Z = R + jX rezultă, prin identificare, rezistenţa echivalentă şi reactanţa echivalentă a circuitului serie: n

R = ∑ Rk

(8.185)

k =1

şi n

X = ∑ Xk.

(8.186)

k =1

Modulul impedanţei echivalente se calculează cu ajutorul relaţiei: 2

2

 n   n  (8.187) Z = R + X =  ∑ Rk  +  ∑ X k  .  k =1   k =1  Modulul fazorului curent, care este egal cu valoarea eficace a curentului, se obţine ca raport al modulelor fazorului tensiune şi impedanţei complexe echivalente: U U (8.188) I= = , 2 Z R + X2 iar argumentul va fi: (8.189) arg I = arg U − arg Z . Tensiunea aplicată la bornele circuitului serie se poate lua ca origine a fazelor, aşa că arg U = 0 , rezultând arg I = − arg Z . Curentul în circuit este defazat în urma tensiunii cu unghiul: X (8.190) ϕ = arg Z = arctg . R Unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent nu depinde de argumentul tensiunii ci numai de parametrii circuitului. Dacă în componenţa reactanţei echivalente X predomină elementul capacitiv, aceasta şi defazajul curent-tensiune vor fi negative, curentul fiind defazat înaintea tensiunii la borne cu unghiul ϕ . Dacă expresia valorii instantanee a tensiunii este: 2

2

u = 2U cos(ωt − α ), atunci expresia valoarii instantanee a curentului va fi: i = 2 I cos(ωt − α − ϕ).

Circuit cu impedanţe în serie cuplate inductive

În circuitul din figura 8.70, format din impedanţele Z 1 = R1 + jX 1 şi Z 2 = R2 + jX 2 , cele două bobine de inductanţe L1 şi L2 sunt cuplate prin inductanţa mutuală M . Acestei inductanţe mutuale îi corespunde impedanţa mutuală Z m = jωM . Notându-se cu U 1 şi U 2 căderile de tensiune în cele două impedanţe, ecuaţia circuitului este: (8.191) U =U1 +U 2 . Fig. 8.70 Căderea de tensiune în prima impedanţă este căderea de tensiune produsă de curentul I în rezistenţa R1 şi inductanţa L1 şi prin inducţie mutuală între L1 şi L2 : U 1 = Z 1 I + Z m I = I (Z 1 + Z m ). (8.192) 479

Analog: (8.193) U 2 = Z 2 I + Z m I = I (Z 2 + Z m ) şi din ecuaţia (8.181) rezultă: (8.194) U = (Z 1 + Z m )I + (Z 2 + Z m )I = I (Z 1 + Z 2 + 2 Z m ), de unde: U U (8.195) = ⋅ I= Z 1 + Z 2 + 2Z m Z Cu Z = Z 1 + Z 2 + 2Z m s-a notat impedanţa complexă echivalentă a circuitului. În cazul cuplajului diferenţial se schimbă semnul din faţa impedanţei Z m . Reţea cu circuite derivaţie, necuplate inductive

O astfel de reţea este compusă din independenţele Z 1 ,Z 2 ,..,Z n legate în paralel la o sursă de tensiune U (fig. 8.71). Curenţii prin impedanţele în paralel vor fi: U U U I1 = , I2 = , ..., I n = , Z1 Z2 Zn iar curentul debitat de sursă se va obţine prin

Fig. 8.71

însumarea acestora:

 1 1 1  U = ⋅ I = I 1 + I 2 + ... + I n = U  + + ... + Z n  Z  Z1 Z 2 Rezultă că impedanţa complexă echivalentă a reţelei are expresia: 1 1 1 1 (8.197) = + + ... + ⋅ Z Z1 Z 2 Zn În funcţie de admitanţe relaţia (8.196) capătă forma: (8.198) I = U (Y 1 + Y 2 + ... + Y n = U Y , admitanţa echivalentă complexă fiind: (8.199) Y = Y 1 + Y 2 + ... + Y n . Sub formă dezvoltată, relaţia (8.199) se va scrie: (8.200) Y = G1 − jB1 + G2 − jB2 + ... + Gn − jBn = G − jB, unde conductanţa echivalentă G şi susceptanţa echivalentă B sunt: (8.196)

(8.201)

n

G = ∑ Gk k =1

şi (8.202)

n

B = ∑ Bk . k =1

Admitanţa echivalentă va avea expresia: 2

2

 n   n  Y = G 2 + B 2 =  ∑ Gk  +  ∑ Bk  ⋅  k =1   k =1  Cunoscându-se impedanţele Z k şi tensiunea U la bornele circuitului se determină mai întâi curenţii prin valorile lor eficace I k = U k / Z k şi defazajele corespunzătoare tgϕk = X k / Rk după

(8.203)

480

care, procedând corespunzător, se determină valoarea eficace şi defazajul curentului I : I = U / Z şi tgϕ = X / R . Reţea cu impedanţe în derivaţie, cuplate inductive

Reţeaua din figura 8.72 are două circuite în paralel între care există un cuplaj inductiv. La scrierea legii lui Ohm pe fiecare din ramurile circuitului, se ţine seama de toate căderile de tensiune prin elementele celor două ramuri, după cum urmează: U R = R1 I 1 , 1

produsă în primul circuit de curentul I 1 prin rezistenţa R1 ; U L′ = jX 1 I 1 , 1

produsă în primul circuit de curentul I 1 prin reactanţa X1 ; U 12 = jX m I 2 = Z m I 2 , produsă în primul circuit de curentul I 2 prin efectul inducţiei mutuale. În ceea ce priveşte circuitul al doilea, căderile de tensiune ′ U R = R2 I 2 , U L = jX 2 I 2 şi U 21 = jX m I 1 = Z m I 2 au Fig. 8.72 semnificaţii asemănătoare. Cu aceste precizări, ecuaţiile circuitului sunt: U = I 1 Z 1 + I 2 Z m ,  U = I 2 Z 2 + I 1 Z m , I = I + I . 1 2  Cei trei curenţi se obţin prin rezolvarea sistemului (8.204), rezultând: Z1 − Z m I1 = U , 2 Z1Z 2 − Z m Z1 − Z m I2 =U 2 Z1Z 2 − Z m şi Z + Z 2 − 2Z m I = I1 + I 2 = U 1 ⋅ 2 Z1Z 2 − Z m Din ultima relaţie, rezultă impedanţa echivalentă a reţelei: Z1Z 2 − Z 2 m U Z= = ⋅ I Z 1 + Z 2 − 2Z m La cuplaj diferenţial, se schimbă semnul din faţa lui Z m . 2

2

(8.204)

Circuite cuplate pur inductiv

Circuitele cuplate pur inductiv sunt complet lipsite de cuplaje galvanice, cuplajele realizându-se exclusiv prin inducţie mutuală (fig. 8.73). Teoremele lui Kirchoff aplicate celor două circuite conduc la ecuaţiile: U = R1 I 1 + jX 1′ I 1 + jX 1′′I 1 + jX m I 2 , şi 481

U = R2 I 2 + jX 2′ I 2 + jX 2′′I 2 + jX m I 1 , ecuaţii care se scriu concentat sub forma: U 1 = Z 1 I 1 + Z m I 2 (8.205)  U 2 = Z 2 I 2 + Z m I 1 S-au utilizat notaţiile:

Z 1 = R1 + j( X 1′ + X 2′′) = R1 + jX 1 , Z 2 = R2 + j( X 2′ + X 2′′) = R2 + jX 2 ,

şi Z m = jX m . Transformatoarele electrice funcţionează după schema din figura 8.73, în care R1 şi R2 reprezintă rezistenţelor înfăşurărilor primară şi secundară, X 1′ şi X 2' reactanţele de scăpări ale acestora iar X 1" şi X 2′′ , reactanţele utile corespunzătoare fluxului comun. În acest caz, U 2 este o cădere de tensiune în impedanţa care constituie sarcina transforma-

Fig. 8.73

torului, adică în impedanţa receptorului: Z r = Rr + jX r . Ecuaţiile (8.205) devin: I1Z1 + I 2 Z m =U1 şi I 1 Z m + I 2 (Z 2 + Z r ) = 0, cu soluţiile: Z2 − Zr I1 = U1 2 Z 1 (Z 2 + Z r ) − Z m şi Zm I 2 = −U 1 ⋅ 2 Z 1 (Z 2 + Z r ) − Z m Puterea şi energia în circuite de curent alternativ sinusoidal

În regim sinusoidal, tensiunea la borne şi curentul dintr-un circuit având formele: u = 2U cos ωt şi

i = 2 I cos(ωt − ϕ), puterea instantanee absorbită de circuit va fi: p = ui = 2UI cos ωt cos(ωt − ϕ) = UI [cos ϕ + cos(2ωt − ϕ)]. Dezvoltându-se şi ultimul termen din membrul al doilea se obţine pentru puterea instantanee expresia: (8.206) p = UI cos ϕ(1 + cos 2ωt ) + UI sin ϕ sin 2ωt. Din ecuaţia (8.206) rezultă că puterea instantanee este o mărime periodică de pulsaţie dublă faţă de aceea a tensiunii şi curentului. 482

Diagrama din figura 8.74 ne arată că în intervalele de timp în care sensurile instantanee ale tensiunii şi si curentului au semne contrarii, circuitul debitează energie, iar în celelalte intervale absoarbe energie. Energia debitată se explică prin aceea că în intervalele respective de timp sunt cedate energiile înmagazinate în câmpurile condensatoarelor şi bobinelor. Energia absorbită este aceea transformată ireversibil în căldură în elementele rezistive ale circuitului. Primul termen din partea dreaptă a ecuaţiei (8.206) reprezintă puterea absorbită în elementele rezistive ale circuitului. Cel de-al doilea, reprezintă puterea instantanee înmagazinată şi restituită integral de câmpurile electrice şi magnetice ale elementelor reactive ale circuitului, în decursul unei perioade a puterii Fig. 8.74 instantanee. Într-adevăr, dacă se presupune circuitul pur rezistiv ( ϕ = 0 ), se obţine: p = UI (1 + cos 2ωt ), iar pentru circuitul pur reactiv( ϕ = ± π / 2 ): p = UI sin 2ωt. Revenind la ecuaţia (8.206), constatăm că valoarea medie a puterii instantanee p : T

1 (8.207) p dt = UI cos ϕ, [ W ], T ∫0 este egală cu valoarea medie a primului termen, care este puterea efectiv absorbită de circuit. Puterea P se numeşte putere activă. Energia corespunzătoare ei se transformă în circuit, ireversibil, în altă formă de energie. Puterea instantanee corespunzătoare părţii reactive a circuitului are valoarea medie nulă, condensatorul şi bobina restituind integral energia înmagazinată în cursul unei perioade. Amplitudinea acestei puteri se notează cu Q şi se numeşte putere reactivă : (8.208) Q = UI sin ϕ, [var]. Se spune că aceasta este amplitudinea puterii reactive care circulă în reţea. Pentru un circuit pur rezistiv vom avea P = UI şi Q = 0 , iar pentru unul pur reactiv Q = UI şi P = 0 . Produsul UI între valoarea efectivă a termenului şi a curentului are semnificaţia de valoare maximă a puterii active pentru valori efective date ale celor două mărimi. Acest produs este întotdeauna pozitiv, se numeşte putere aparentă şi se notează cu S : S = UI [ VA] . P=

Puterea aparentă este o mărime de calcul şi este legată de P şi Q prin relaţiile: P = S cos ϕ, Q = S sin ϕ

(8.209) (8.210)

S = P2 + Q2 ,

(8.211)

şi iar între P şi Q există relaţia evidentă: 483

Q = tgϕ. P Exprimându-se tensiunea şi curentul cu ajutorul fazorilor U = Ue j0 şi I = Ie − jϕ , se observă că puterii aparente i se poate asocia expresia complexă: * (8.213) S = U I = UIe jϕ = UI cos ϕ + jUI sin ϕ = P + jQ. Semnul puterii reactive rezultă din semnul lui ϕ adică din caracterul capacitiv sau inductiv al reactanţei. Se convine, după cum se ştie, a se considera ca pozitivă puterea absorbită, iar cea generată ca negativă. Rezultă astfel că, într-o reţea, inductanţele funcţionează ca receptoare de putere reactivă iar capacităţile ca generatoare. Dacă impedanţa circuitului este Z e = Re + jX e , se obţin următoarele relaţii noi:

(8.212)

*

*

(8.214) S = U I = Z e I I = Z e I 2 = Re I 2 + jX e I 2 , de unde: (8.215) P = Re I 2 şi (8.216) Q = X eI 2. Raportul dintre puterea activă absorbită într-un circuit şi puterea aparentă: P UI cos ϕ = cos ϕ, (8.217) K= = S UI se numeşte factorul de putere al circuitului. Dacă în expresiile (8.207) şi (8.208), P = UI cos ϕ şi Q = UI sin ϕ se notează I a = I cos ϕ şi I r = I sin ϕ componentele activă şi reactivă ale curentului, constatăm că P şi Q nu depind de valoarea I a curentului ci de valorile acestor componente. Factorul de putere ne arată, deci, care este raportul dintre componenta activă, utilă, a curentului şi valoarea sa totală. Energia activă este definită prin relaţia: t

Wa = ∫ Pdt ,

(8.218)

0

iar cea reactivă prin: t

Wr = ∫ Qdt.

(8.219)

0

Ele se măsoară cu ajutorul contoarelor de energie în unităţile practice kilowatt – oră [kWh] şi respectiv, kilovar – oră [kvarh]. Transferul puterilor şi energiilor active şi reactive

Puterea activă şi cea reactivă pot fi transferate între două reţele, indiferent de natura cuplajului, electric sau magnetic, dintre ele. Teoremele lui Kirchoff pentru circuitele cuplate pur inductiv din figura 8.75 conduc la ecuaţiile:

Fig. 8.75

U 1 = R1 I 1 + jX L I 1 − jX C I 1 + jX m I 2 1

şi

1

− U 2 = R2 I 2 + jX L I 2 − jX C I 2 + jX m I 1. 2

484

2

*

Dacă se înmulţeşte prima ecuaţie cu I *1 , iar cealaltă cu I 2 şi se adună, membru cu membru, se obţine: * * 2 2 2 2 2 2 * U 1 I 1 = U 2 I 2 + R1 I 1 + R2 I 2 + jX L I 1 + jX L I 2 − jX C I 1 − jX C I 2 + jX m I 1 I 2 . (8.220) 1

2

1

2

Avându-se în vedere că: *

U I = S = P + jQ

şi *

*

I 1 I 2 + I 1 I 2 = 2 I1 I 2 cos ϕ, unde ϕ este defazajul dintre cei doi curenţi, rezultă prin identificarea părţilor imaginare şi reale ale celor doi membrii ai ecuaţiei (8.220): 2 2 P1 = P2 + R1 I1 + R2 I 2 şi 2 2 2 2 Q1 = Q2 + X L I1 − X C I1 + X L I 2 − X C I 2 + 2 X m I1 I 2 cos ϕ, 1

1

2

2

de unde, se constată că în cea de a doua reţea se regăsesc puterile activă şi reactivă transmise primei reţele, mai puţin pierderile din ambele reţele. Rezonanţa în circuitele de curent alternativ

Sursa de alimentare cu energie electrică furnizează circuitului electric în curent alternativ, atât energie activă cât şi energie reactivă care se înmagazinează în câmpurile electrice şi magnetice ale reţelei. În anumite cazuri, este posibil ca, în timp ce unele din aceste câmpuri acumulează energie, celelalte să cedeze o cantitate egală de energie, câmpurile electrice şi magnetice alimentându-se reciproc, iar schimbul de energie reactivă cu sursa şi, corespunzător, puterea reactivă furnizată de sursă, să fie nule. Deşi reţeaua are elemente reactive, ea va absorbi în acest caz de la sursă numai putere activă. Se spune că în reţea au loc fenomene de rezonanţă. Este evident că, în condiţii de rezonanţă, unghiul de defazaj între curentul absorbit de la reţea şi tensiunea aplicată la bornele circuitului este egal cu 0 ( cos ϕ = 1 ), iar reactanţa echivalentă şi susceptanţa echivalentă sunt nule: X Q = X e I 2 = U 2 2 e 2 = U 2 Be = 0 , (8.221) Re + X e de unde relaţia: X e = Be . (8.222) Condiţia de rezonanţă se exprimă astfel, printr-o funcţie de forma: f ( R, L, C , ω) = 0. Rezonanţa se poate obţine, în consecinţă, fie variind parametrii R, L, C ai circuitului când pulsaţia este dată, fie variind pulsaţia când parametrii R, L, C sunt daţi. Pulsaţia ω sau frecvenţa f = ω 2π la care se produce rezonanţa, se numesc pulsaţie proprie , respectiv frecvenţă proprie a circuitului. Ele se mai numesc, de asemenea, pulsaţie de şi respectiv, rezonanţă frecvenţă de rezonanţă. Reactanţa echivalentă a circuitului serie din figura 8.76a este: 1 X e = ωL − , (8.223) Cω iar condiţia de rezonanţă Fig. 8.76 pentru acest circuit rezultă: 485

1 = 0. ωC Condiţia de rezonanţă exprimă faptul că reactanţa inductivă este egală în valoare absolută cu reactanţa capacitivă. Din ecuaţia (8.224) mai rezultă relaţia: (8.225) ω2 LC = 1, din care se poate deduce condiţia de rezonanţă pentru oricare dintre cele trei mărimi, celelalte două fiind date:

(8.224)

(8.226)

ωL −

ω0 =

1 LC

, L0 =

1 1 şi C0 = 2 ⋅ 2 ωL ωC

Circuitul de rezonanţă are următoarele proprietăţi: - curentul în circuit are valoarea: U U (8.227) ⋅ I= = 2 Z R +X2 Dacă rezistenţa R este constantă, la rezonanţă când X e = 0 impedanţa Z are valoare minimă, iar curentul valoare maximă : U , I max = (8.228) R independentă de valorile reactanţelor ω L şi 1 / ωC ; - căderea de tensiune la bornele inductanţei L este egală cu căderea de tensiune la bornele capacităţii C . Ele fiind în opoziţie de fază, căderea de tensiune totală în elementele reactive, este nulă; - căderea de tensiune în rezistenţă este egală cu tensiunea aplicată circuitului: U = RI = U R ; (8.229) - căderile de tensiune în inductanţă şi condensator pot fi scrise: (8.230)

U L = U C L ωI = L ω

1 U U U =L = R LC R R

L ⋅ C

Dacă se notează : L = δ, C

(8.231) se obţine:

U ⋅ R Mărimea δ are dimensiunile unei rezistenţe şi se numeşte impedanţă caracteristică a circuitului. La rezonanţă, ea este egală cu reactanţele parţiale ale circuitului:

(8.232)

(8.233)

U L = UC = δ

δ=

1 L , = L ω0 = C C ω0

astfel că: δ U = , R d unde cu d = R δ s-a notat factorul de amortizare al circuitului. Observându-se că factorul de amortizare poate avea orice valoare subunitară sau supraunitară, se constată că tensiunile la bornele inductivităţii şi capacităţii pot avea valori mai mari decât tensiunea aplicată circuitului. În circuitele de rezonanţă pot să apră astfel, supratensiuni mari între anumite puncte. Din acest motiv, rezonanţa în circuitele serie este numită rezonanţa tensiunilor.

(8.234)

U L = UC = U

486

În circuitul derivaţie din figura 8.76b, susceptanţa echivalentă este 1 (8.235) Be = − ωC . ωL Condiţia de rezonanţă Be = 0 conduce la aceeaşi condiţie de rezonanţă ca şi în circuitul serie. Curenţii în inductanţă şi capacitate sunt egali şi în opoziţie de fază, iar suma lor este nulă:  1  I L + I C = U  + jωC  = 0,  jLω 

(8.236)

curentul reactiv total fiind nul. Curentul debitat de sursă este egal cu curentul I R = U R din rezistenţa R şi în fază cu acesta, iar factorul de putere este egal cu unitatea. La rezonanţă, curenţii I L şi I C sunt în valorile efective: 1 C =U = Uγ, (8.237) L LC unde γ are dimensiunea unei conductanţe şi se numeşte admitanţă caracteristică . Dacă: U = UGe < Uγ , R adică: γ > Ge sau d = γ / Ge > 1, unde Ge este conductanţa echivalentă a circuitului iar d factorul de amortizare, rezultă că inensităţile I L şi I C pot avea valori mai mari decât intensitatea curentului absorbit de la sursă. Din acest motiv, rezonanţa în circuitele derivaţie se numeşte rezonanţă de curenţi. Fenomenele de rezonanţă au numeroase aplicaţii utile în electrotehnică, în special în tehnica frecvenţelor înalte. În alte cazuri ele au efecte dăunătoare şi trebuie evitate. Folosindu-se proprietatea circuitului serie R,L,C, în care, la rezonanţă, curentul este maxim, fiind satisfăcută şi relaţia ω2 LC = 1 , se pot construi aparate pentru măsurarea rapidă a rezistenţelor, inductanţelor, capacităţilor sau frecvenţelor. Un asemenea aparat conţine un condensator etalonat şi un ampermetru. Elementul de măsurat întregeşte circuitul total R,L,C. Variind capacitatea condensatorului până se obţine condiţia de rezonanţă I = I max la care ω2 LC = 1 , se poate deduce parametrul măsurat. Condensatorul poate fi gradat, astfel încât să indice valoarea parametrului măsurat. O aplicaţie practică în industrie a fenomenului de rezonanţă, de care se ocupă paragraful următor, este aceea a compensării puterii reactive în reţelele electrice, care este o problemă economică de prim ordin. Trebuie remarcat însă faptul că fenomenele de rezonanţă pot fi dăunătoare atunci când nu sunt prevăzute. S-a arătat că în circuitul serie, dacă rezistenţa este prea mică, apar curenţi mari. Dacă şi amortizarea d este mică, fenomenul este însoţit de supratensiuni importante. Un asemenea fenomen are loc în cazul unor linii aeriene sau în cablu, puse sub tensiune la un capăt de către un generator sau un transformator: în cazul în care linia nu alimentează consumatori rezistenţa sa este mică iar reactanţa totală poate fi nulă. Se constată un curent mare de mers în gol iar, la capătul nealimentat , o tensiune mult mai mare decât tensiunea sursei. Asupra analizei procesului de rezonanţă în circuitele electrice se va reveni în § 8.8.2. I L = I C = UCω = UC

Îmbunătăţirea factorului de putere

Un factor de putere redus are, după cum s-a arătat, semnificaţia unui raport corespunzător între componenta activă a curentului furnizat de sursă şi valoarea totală a acestuia. Acelaşi raport 487

există între puterea activă şi puterea aparentă furnizate de sursă. Cu alte cuvinte, la un factor de putere redus, puterea reactivă Q transportată are o pondere importantă. O asemenea funcţionare are următoarele dezavantaje: i) un generator electric poate debita un curent maxim care nu poate fi depăşit fără riscul avarierii sale. Dacă receptoarele alimentate din generator au nevoie de un curent I = P U cos ϕ , rezultă că numărul maxim de receptoare ce pot fi alimentate din generator: I U cos ϕ , n = I max / I = max P este cu atât mai mic cu cât cos ϕ este mai mic; ii) dacă se notează cu R rezistenţa liniei de transport, pierderile prin efect Joule-Lenz au valoarea: U 2I 2 S2 P2 (8.238) ∆P = RI 2 = R 2 = R 2 = R 2 , U U U cos 2 ϕ invers proporţională cu pătratul factorului de putere. Dacă în relaţia (8.238) înlocuim S 2 = P 2 + Q 2 , rezultă că pierderile produse de cele două puteri sunt independente: R R (8.239) ∆P = 2 P 2 + 2 Q 2 ; U U iii) transportul de putere reactivă produce în linia de transport căderi de tensiune suplimentare faţă de acelea determinate de transportul puterii active: UI ZS P (8.240) ∆U = ZI = Z = =Z ⋅ U U U cos ϕ Ele sunt cu atât mai mari, cu cât factorul de putere este mai mic. Influenţa nefavorabilă pe care o au asupra reţelelor receptoarele cu factor de putere redus, impune măsuri care să aducă la majorarea lui, adică la compensarea puterii reactive schimbate cu sursa. Acest lucru înseamnă realizarea rezonanţei în circuitul receptor respectiv. Reamintindu-se că puterea reactivă, deşi nu contribuie la energia utilă consumată în circuit, este un element necesar în funcţionarea aparatelor şi maşinilor electrice, rezultă concluzia că cele de mai sus pot fi realizate pe calea instalării unor baterii de condensatoare care să producă la faţa locului energia reactivă necesară câmpurilor magnetice ale bobinajelor, maşinilor şi aparatelor. Deoarece calculul economic arată că nu întotdeauna investiţia pentru realizarea unui factor de putere apropiat de unitate este economică, se stabileşte un factor de putere optim la valoarea căruia se caută să se corecteze factorul de putere natural al instalaţiei. Dacă puterea reactivă în reţea este Q iar factorul de putere cos ϕ şi se doreşte să se facă compensarea puterii reactive până la valoarea Q ' , căreia îi corespunde un factor de putere cos ϕ' , bateria de condensatoare va trebui să producă energia reactivă: (8.241) QC = Q − Q′ = P (tgϕ − ϕ′). Din relaţia (8.216) a rezultat pentru puterea reactivă expresia: U2 QC = XI 2 = = C ωU 2 , (8.242) X şi ţinându-se seama de relaţia (8.241) rezultă capacitatea bateriei de condensatoare exprimată numai în funcţie de datele iniţiale: P(tgϕ − tgϕ′) 6 (8.243) 10 µF . C= ωU 2 Condensatoarele pentru îmbunătăţirea factorului de putere se fabrică în unităţi de 15kvar cu tensiuni nominale de 380V sau 6000V – indicativ CU 0,38-15, respectiv CU 6-15. Montarea lor se face chiar la bornele maşinilor mari consumatoare de energie reactivă sau la punctele de distribuţie ale energiei (tablouri secundare, posturi de transformare). 488

Bateriile de condensatoare vor avea în mod obligatoriu, atunci când sunt instalate la punctele de distribuţie, bornele legate în paralel cu un montaj cu lămpi, ca în figura 8.77, pe care să se facă descărcarea bateriei atunci când se deschide întreruptorul I. În caz contrar, personalul de deservire este în pericol de electrocutare. Descărcarea condensatoarelor legate direct la bornele motoarelor se face pe rezistenţa înfăşurărilor acestora. Regimul deformant al reţelelor de curent alternative

Regimul sinusoidal al reţelelor de curent alternativ este un caz către care se tinde a se ajunge în practică dar care nu este realizat în general. Datorită funcţionării în aceste reţele a aparatelor deformante, cum sunt mutatoarele construite din elemente neliniare sau bobinele cu miez de fier, unda de curent şi de tensiune se poate abate mult de la forma sinusoidală. Aparatele deformante sunt de două categorii: aparate care sunt cauza iniţială a producerii regimului deformant şi aparate care, fiind alimentate cu curenţi deformaţi, amplifică această deformaţie. În prima categorie intră, după cum s-a menţionat, bobina cu miez de fier care deformează curentul chiar dacă este alimentată cu tensiune sinusoidală.

Fig. 8.77

Presupunându-se că bobina are rezistenţă neglijabilă atunci fluxul φ = Li = ∫ udt este sinusoidal

ca şi tensiunea şi defazat cu π 2 în urmă. Curentul apare însă puternic deformat deoarece dependenţa φ(i ) are alura ciclului de magnetizare Fig. 8.78 (fig. 8.78). Unda deformată de curent sau de tensiune este periodică, de perioadă T, dar nesinusoidală: (8.244) u (t ) = u (t + T ) = ... = u (t + nT ) . Tensiunea nesinusoidală poate fi exprimată printr-o serie armonică: n

u (t ) = U 0 + ∑ 2U k sin (kωt + ϕk ).

(8.245)

k =1

Fiecare componentă sinusoidală dă naştere într-un circuit liniar la curenţi de forma: ik = 2 I k sin (kωt + ψ k − ϕk ), (8.246) iar curentul rezultat în circuit va fi de forma: n

n

k =1

k =1

i = I 0 + ∑ ik = I 0 + ∑ 2 I k sin (kωt + ψ k − ϕk ).

(8.247)

Impedanţa circuitului pentru armonica de ordin k va fi: 2

1   Z k = R +  kω −  , kωC   2

(8.248)

iar defazajul: ϕk = arc.tg

kωL − R 489

1 kωC ⋅

(8.249)

Experienţa confirmă existenţa tensiunilor şi curenţilor armonici, aceste mărimi putând fi efectiv măsurate. Valoarea eficace a tensiunii nesinusoidale este prin definiţie: (8.250)

D

U=

T

n 1 2 2 2 u d t = U + Uk , ∑ 0 ∫ T 0 k =1

şi analog pentru curent: (8.251)

n

I = I0 + ∑ Ik . 2

2

k =1

Puterea activă a circuitului este: T n 1 (8.252) P = ∫ uidt = U 0 I 0 + ∑ U k I k cos ϕk , T 0 k =1 puterea reactivă rezultă cu expresia: n

(8.253)

Q = ∑ U k I k sin ϕk , k =1

iar puterea aparentă: 2

(8.254)

2

n n     S = UI = U 0 + ∑ U k   I 0 + ∑ I k  . k =1 k =1    

Se constată că: S 2 ≠ P2 + Q2. (8.255) Mărimea: D = S 2 − P 2 − Q 2 , [ vad], (8.256) se numeşte putere deformantă. Unitatea ei de măsură vad (adică volt amper deformant) mai poartă şi denumirea de bud (de la numele academicianului C. Budeanu, care a relevat semnificaţia acestei puteri). Factorul de putere în regim deformant este: P P (8.257) ⋅ K= = 2 S P + Q2 + D2 Caracterizarea formei de undă a mărimilor deformante se face cu ajutorul următorilor indicatori: - coeficientul de distorsiune: 2

(8.258)

KD = 1−

I1 , 2 2 I − I0

unde I1 este valoarea eficace a armonicii fundamentale ( k = 1 ); - coeficientul de vârf : I (8.259) KV = max < 2 ; I - coeficientul de formă: I (8.260) , Kf = I med unde: T /2 2 I med = ∫ idt. (8.261) T 0 490

Analiza armonică experimentală a undelor periodice (fig. 8.79), poate utiliza următorul algoritm pentru calculatorul digital: - se împarte perioada în 2p părţi egale pasul fiind: 2π π α= = ; (8.262) 2p p - se măsoară ordonatele Y1 , Y2 , ..., Yi , … şi se calculează coeficienţii seriei Fourier:

Fig. 8.79

T

Ak =

π 2 1 2p ( ) f t k t t Yi sin ki , ω = sin d ∑ ∫ T 0 p i=1 p

Bk =

π 2 1 2p ( ) ω = cos d f t k t t Yi cos ki ∑ ∫ T 0 p i=1 p

(8.263)

T

şi

C0 =

1 T

T

f (t ) dt =

∫ 0

1 2p ∑ Yi , 2 P i =1

(8.264)

(8.265)

deoarece ωdt → α = π p , ωt → ip şi f (t )ωdt → Yi π / p; - atunci seria armonică pentru unda analizată va fi: n

n

k =1

k =1

y = C0 + ∑ Ak sin kωt + ∑ Bk cos kωt ,

(8.266)

sau, ţinându-se seama de relaţiile cunoscute: n

y = C0 + ∑ Ck sin (kωt + ϕk ),

(8.267)

k =1

unde: 2 2 (8.268) Ck = Ak + Bk şi tgϕk = Bk Ak . Calculul circuitelor liniare în regim deformat aplică principiul suprapunerii efectelor. Se calculează curenţii armonici produşi de fiecare armonică de tensiune în parte şi se însumează rezultatele. Evident, pot fi aplicate toate metodele de calcul utilizate pentru calculul regimului sinusoidal. De exemplu, pentru circuitul serie R, L, C alimentat cu t.e.m.:

e = E0 + 2 E1 sin ωt + 2 E2 sin 2ωt + ..., se rezolvă ecuaţia circuitului: di 1 e = Ri + L + ∫ idt , dt C pentru fiecare armonică de t.e.m. în parte. Se obţine: i = I 0 + 2 I1 sin (ωt − ϕ1 ) + 2 I 2 sin (ωt − ϕ2 ) + ..., unde: E I0 = 0 , R Ek Ik = 2 1   R 2 +  kωL −  kωC   şi 491

(8.269) (8.270)

tgϕk =

(8.271)

kωL −

1 kωC ⋅

R Armonica de ordin k produce rezonanţa pentru frecvenţa respectivă, dacă se realizează condiţia: 1 kωL = ⋅ (8.272) kωC Intensitatea armonicii de curent de ordin k , la rezonanţă, va fi maximă în raport cu celelalte armonici şi cu atât mai importantă cu cât rezistenţa circuitului este mai mică. Efectele regimului deformant. Regimul deformant este cauza unor efecte nedorite cum sunt apariţia unor cupluri parazite în maşinile electrice, creşterea puterii aparente urmată de creşterea pierderilor în reţele şi de scăderea factorului de putere, apariţia rezonanţei de tensiune pe anumite armonici urmată de străpungerea izolaţiei cablurilor, creşterea erorilor aparatelor de măsurat etc. Comportarea elementelor liniare de circuit în regim deformant prezintă următoarele aspecte: - condensatorul alimentat cu tensiune deformată produce un curent şi mai deformat. Aplicându-i-se tensiunea: n

u=∑ k =1

(

)

2U k′ sin kωt + 2U k′′cos kωt ,

armonicele de curent vor fi: n  π π    i = Cω∑ k 2 U k′ sin  kωt +  + U k′′cos kωt + ; 2 2    k =1  - bobina atenuează regimul deformat, aşa cum rezultă din expresia intensităţii curentului: π π  1 n 2   i= U k′ sin  kωt −  + U k′′sin  kωt − . ∑  Lω k =1 k  2 2   

8.6. Circuite trifazate O reţea în care acţionează mai multe tensiuni electromotoare de aceeaşi frecvenţă, dar cu defazaje diferite faţă de o origine comună a fazelor, formează un sistem polifazat. Circuitele care formează sistemul se numesc faze, iar numărul de circuite al sistemului se numeşte număr de faze. Dacă numărul de faze este 3, sistemul se numeşte trifazat. În principiu, un sistem trifazat de t.e.m. se poate obţine prin rotirea într-un câmp magnetic uniform a trei bobine, cuplate la un ax comun şi decalate în spaţiu. Acelaşi efect se obţine dacă se roteşte câmpul, bobinele rămânând fixe. Cele trei tensiuni electromotoare induse vor fi defazate, unele faţă de altele, corespunzător decalajului dintre bobine. Sistemele trifazate de t.em. se produc însă, întotdeauna, ca sisteme simetrice. Un sistem simetric de mărimi electrice este constituit din mărimi având aceleaşi valori eficace şi acelaşi defazaj între mărimile consecutive. Dacă bobinele la care s-a făcut referirea mai sus sunt identice şi uniform decalate cu 2π / 3 , cele trei t.e.m. vor avea valorile eficace E1 = E2 = E3 = E şi acelaşi defazaj de 2π / 3 între t.e.m. consecutive. Luând tensiunea electromotoare indusă în bobina 1 ca origine a fazelor, cele trei tensiuni electromotoare vor fi:

492

 e = 2 E sin ωt ,  1  2π   (8.273) , e 2 = 2 E sin  ωt − 3     2π  2π    e3 = 2 E sin  ωt − 2  = 2 E sin  ωt + .  3  3    Generatoarele trifazate produc sisteme simetrice de tensiuni electromotoare. Sistemele nesimetrice, caracterizate prin E1 ≠ E2 ≠ E3 şi defazaje diferite între tensiuni electromotoare consecutive, sunt proprii regimurilor anormale de funcţionare (scurtcircuite între spire, puneri la pământ). Cele trei bobinaje ale generatorului trifazat se numesc fazele generatorului. Sistemul simetric de tensiuni electromotoare se reprezintă grafic prin trei sinusoide defazate între ele cu 2π / 3 ca în figura 8.80. Mai obişnuită însă decât reprezentarea prin valori instantanee,

Fig. 8.81

Fig. 8.80

este reprezentarea prin fazori (fig.8.81). Sistemul simetric (8.273) se poate reprezenta prin fazorii E 1 , E 2 şi E 3 , cu aceeaşi origine, cu acelaşi modul şi cu unghiul de defazaj între fazorii consecutivi egal cu 2π / 3 . Aceşti fazori sunt reprezentaţi, la rândul lor de mărimile complexe:  E 1 = Ee j0 ,  − j2 π 3 (8.274)  E 2 = Ee  E = Ee + j2 π 3  3 După cum se constată, sistemul fazorilor, formând o stea simetrică, are proprietatea: (8.275) E 1 + E 2 + E 3 = 0. Aceeaşi proprietate o au şi valorile instantanee ale mărimilor reprezentate de aceşti fazori, suma lor fiind în orice moment nulă: e1 + e2 + e3 = 0 . (8.276) Acest lucru este evident deoarece sensul fizic al reprezentării fazoriale constă în aceea că, proiecţiile fazorilor pe o anumită axă sunt egale în orice moment cu valorile instantanee ale mărimilor alternative sinusoidale pe care le reprezintă. Acelaşi lucru rezultă şi din adunarea membru cu membru a ecuaţiilor (8.273).

493

8.6.1. Conexiunile sistemelor trifazate Sistemele trifazate se formează din trei sisteme monofazate independente. Pentru a conecta trei receptoare la trei surse ar fi necesare şase conductoare, ca în figura 8.82 însă, prin anumite conexiuni între fazele generatorului, acest număr poate fi redus la trei sau la patru conductoare, ceeace constituie marele avantaj al sistemului trifazat. Conexiunea în stea se obţine unind într-un punct comun toate sfârşiturile celor trei bobinaje ale generatorului din figura 8.83. Scurtcircuitarea este justificată de faptul că în acel punct suma curenţilor care intră şi care ies din nod este nulă. Un raţionament analog se poate face şi la receptor, astfel că se pot înlocui cele trei conductoare de întoarcere printr-unul singur. Fig. 8.82

Fig. 8.83

Fig. 8.84

Legătura la receptoare se va face cu trei conductoare care pleacă de la începuturile înfăşurărilor, numite conductoare de linie şi cu unul care pleacă din punctul o şi care se numeşte conductor neutru. (fig.8.84). Se obţine astfel o reţea cu conexiunea în stea cu fir neutru. În cazul în care curenţii i1 , i 2 şi i3 spre receptor alcătuiesc un sistem simetric de curenţi,: i1 + i2 + i3 = 0 , iar conductorul neutru poate să lipsească. Se obţine astfel, o reţea cu conexiune în stea fără fir neutru (fig. 8.85).

Fig. 8.85

Fig. 8.86

Conexiunea în triunghi se obţine legând sfârşitul unei faze a generatorului la începutul fazei următoare. Şi acest lucru este justificat, deoarece în bucla formată (fig. 8.86) suma celor trei tensiuni electromotoare induse este nulă: e1 + e2 + e3 = 0 . 494

Legătura la receptoare se face cu trei conductoare de linie care pleacă din vârfurile triunghiului. Se obţine astfel o reţea cu trei conductoare ca şi reţeua cu conexiune în stea fără fir neutru. Sensul tensiunilor electromotoare se alege convenţional în ambele cazuri ca fiind de la sfârşitul bobinajului către începutul său. În ceea ce priveşte începutul şi sfârşitul bobinajelor, ele pot fi considerate tot arbitrar. Esenţial este ca între ceea ce numim începuturi şi respectiv sfârşituri să existe acel decalaj de 2π 3 , altfel relaţiile (8.276) nu mai sunt valabile. Conexiunile receptoarelor. Receptoarele alimentate din reţelele trifazate pot fi trifazate sau monofazate. Receptoarele mici sunt de obicei monofazate şi se montează fie între conductorul de linie şi conductorul neutru, dacă acesta din urmă există, fie, dar numai în cazuri speciale, între conductoarele de linie (fig. 8.87). Receptoarele mari (de obicei motoarele electrice) sunt Fig. 8.87 trifazate ca şi reţeaua. Asemenea generatoarelor, ele pot fi legate în stea (fig. 8.88) sau în triunghi (fig. 8.89).

Fig. 8.89

Fig. 8.88

Pentru alimentarea receptoarelor în stea, se leagă capetele stelei la conductoarele de linie. Neutrul receptorului poate fi legat la firul neutru al reţelei dacă există, sau poate să nu fie legat. Pentru alimentarea receptoarelor în triunghi se leagă vârfurile triunghiului la conductoarele de linie. De menţionat că, între schema de conexiuni a receptorului şi cea a generatorului nu există corespondenţă obligatorie - unul poate avea conexiunea în stea iar celălalt în triunghi. Numai receptoarele în stea cu neutru necesită, evident, o reţea în stea cu fir neutru. Un receptor trifazat având toate impedanţele egale pe cele trei faze constituie ceea ce se numeşte o sarcină echilibrată. Egalitatea se referă la fiecare din parametrii R, L, C în parte, deoarece valorile acestora determină defazajul între tensiunea aplicată circuitului şi curentul din circuit. Fără excepţie, receptoarele trifazate constituie sarcini echilibrate, dezechilibrul producându-se numai în caz de defecţiuni. Pentru buna funcţionare a unui sistem trifazat se urmăreşte ca acesta să fie alimentat cu tesiuni simetrice şi să fie echilibrat. Pentru a se obţine un sistem echilibrat de receptoare sau de sarcini, atunci când există alături de receptoare trifazate şi receptoare monofazate, se urmăreşte ca repartiţia acestora din urmă să se facă în raport cu fazele reţelei, astfel încât impedanţele totale ale receptoarelor care încarcă aceste faze să fie egale între ele. O reţea alimentând cu un sistem simetric de tensiuni un sistem echilibrat de sarcini este o reţea simetrică şi echilibrată. În general, echilibrarea sarcinii reţelelor care alimentează receptoare monofazate nu este posibilă, din cauza faptului că aceste receptoare, deşi sunt repartizate echilibrat pe fazele reţelei, nu pot fi obligate să funcţioneze simultan. Se va arăta, în cele ce urmează, că reţeaua care 495

alimentează receptoare monofazate (considerată reţea cu sarcină dezechilibrată) trebuie să fie o reţea cu patru conductoare (în stea cu neutru), iar pentru a se generaliza acest lucru ele se construiesc pentru a fi alimentate, cu foarte puţine excepţii, la tensiunea dintre conductorul de linie şi cel neutru. Reţeaua care alimentează cu un sistem simetric de tensiuni un sistem neechilibrat de sarcini se numeşte reţea dezechilibrată. În fine, reţeaua care alimentează cu un sistem nesimetric de tensiuni un sistem echilibrat sau un sistem neechilibrat de sarcini se numeşte reţea nesimetrică.

8.6.2. Tensiunile, curenţii şi puterile în sistemul trifazat simetric şi echilibrat Se consideră o reţea cu conductor neutru ca în figura 8.90 în care se disting două categorii de tensiuni: - tensiunile u1 , u 2 şi u3 între conductorul neutru şi conductoarele de linie denumite tensiuni de fază. Aceste tensiuni sunt egale cu tensiunile electromotoare e1 ,e2 ,e3 ale generatorului când acesta funcţionează în gol, sau cu aceste tensiuni electromotoare din care se scad căderile de tensiune când generatorul funcţionează în sarcină. Dacă sistemul este simetric, cele trei tensiuni se reprezintă printr-o stea simetrică de fazori U 1 ,U 2 ,U 3 având toţi acelaşi modul U f (fig.8.91) şi defazaţi unul faţă de celălalt cu 2π 3 ; - tensiunile u12 ,u23 şi u31 între două conductoare consecutive de linie, denumite tensiuni de linie.

Fig. 8.90

Fig. 8.91

Ţinându-se cont de relaţiile evidente u1 = u2 + u12 , u2 = u3 + u23 şi u3 = u1 + u31 , rezultă următoarele relaţii între fazorii asociaţi acestor tensiuni: U 12 = U 1 − U 2 ,  (8.277) U 23 = U 2 − U 3 U = U − U , 3 1  31 adică tensiunile de linie egale cu diferenţa tensiunilor de fază. Însumându-se cele trei relaţii (8.277) membru cu membru, se ajunge la concluzia că suma fazorială a tensiunilor de linie este întotdeauna nulă, ceea ce va fi valabil şi pentru valorile lor instantanee. Pe diagrama din figura 8.91, ţinându-se cont de relaţiile (8.277), tensiunile de linie se reprezintă ca fazori ce alcătuiesc laturile triunghiului cu vârfurile determinate de steaua tensiunilor de fază. Dacă sistemul este simetric, au aceeaşi valoare eficace U l şi sunt defazate una faţă de alta cu acelaşi unghi 2π 3 . 496

Relaţia dintre valoarea efectivă a tensiunii de fază U f şi aceea a tensiunii de linie U l , se deduce din triunghiul isoscel OAB unde AB = 2OA sin( π / 3) , ceea ce conduce la: π 3 (8.278) = 2U f = 3U f . 3 2 Dacă generatorul este conectat în stea fără fir neutru sau în triunghi, reţeaua nu prezintă decât tensiunile de linie. Reţeaua cu conductor neutru este avantajoasă pentru că prezintă două tensiuni de valori eficace U f şi U l şi poate alimenta receptoare cu tensiunile nominale U f sau U l = 2U f sin

Ul . Pentru curenţii din reţea se aleg următoarele sensuri pozitive: - în bobinajele generatorului acelaşi sens ca şi tensiunea electromotoare; - în conductoarele de linie de la generator către receptor; - în fazele receptorului montat în stea de la conductoarele de linie către neutrul receptorului; - în fazele receptorului montat în triunghi, în sensul pozitiv al căderii de tensiune. Curenţii din conductoarele de linie se numesc curenţi de linie iar curenţii din fazele generatoarelor sau receptoarelor se numesc curenţi de fază. În cazul generatoarelor montate în stea (fig. 8.90) şi al receptoarelor montate în stea, curenţii de linie sunt aceeaşi cu cei de fază ai generatorului, respectiv ai receptorului. Dacă reţeaua are conductor neutru, curentul prin acesta este egal cu suma curenţilor de linie. Acest lucru se scrie în complex: I 0 = I1 + I 2 + I 3, (8.279) dacă sistemul de curenţi de linie nu este simetric, şi nulă dacă sistemul de curenţi este simetric: I1 + I 2 + I 3 = 0 . (8.280) Curenţii simetrici având aceeaşi valoare eficace I l şi fiind defazaţi unul faţă de celălalt cu 2π 3 , conductorul neutru poate lipsi. Dacă reţeaua nu are conductor neutru, generatorul sau receptorul fiind legate în stea, suma celor trei curenţi este nulă indiferent de faptul că cei trei curenţi de linie formează sau nu un sistem simetric. Se va arăta însă că funcţionarea receptoarelor va fi perturbată de apariţia între diversele faze ale unor tensiuni foarte diferite, chiar dacă tensiunile electromotoare ale generatorului alcătuiesc un sistem simetric şi că, în asemenea condiţii, funcţionarea este imposibilă. În cazul generatoarelor sau receptoarelor montate în triunghi curenţii de fază sunt diferiţi de aceia din linie. La acest mod de conectare, atât pentru generator cât şi pentru receptor, tensiunea de fază este şi tensiune de linie. Considerându-se cazul unui generator (fig 8.92), între curenţii de fază şi curenţii de linie există relaţiile:  I 1 = I 12 − I 31  (8.281)  I 2 = I 23 − I 12 I = I − I 31 23  3 şi analog, în cazul receptorului. Fig. 8.92 Din însumarea relaţiilor (8.281) rezultă: I 1 + I 2 + I 3 = 0, (8.282) adică, şi în cazul montajului în triunghi suma curenţilor de linie este nulă, indiferent de faptul că sistemul curenţilor este sau nu simetric. Dacă curenţii de fază vor fi reprezentaţi prin fazori cu aceeaşi origine, curenţii de linie vor fi reprezentaţi, potrivit relaţiilor (8.281), prin fazori care unesc vârfurile fazorilor de fază (fig.8.93). 497

Pentru sistemul simetric de curenţi, steaua şi triunghiul fazorilor sunt figuri geometrice regulate. Fazorii curenţilor de fază vor avea acelaşi modul U f , iar cei de linie acelaşi

Fig. 8.93

modul I l , defazajul între fazorii succesivi fiind 2π 3 . Din triunghiul isoscel AOB (fig. 8.93)rezultă: π 3 I l = 2 I f sin = 2 I f = 3I f . (8.283) 3 2 Recapitulând, există următoarele relaţii între mărimile de fază şi cele de linie în cazul celor două tipuri de conexiuni: U l (Y ) = 3U f (Y ) , (8.284)

(8.285)

I l (Y ) = I f (Y ) ,

(8.286)

U l (∆ ) = U f (∆ ) ,

(8.287)

I l (∆ ) = 3I f (∆ ) .

Calculul puterii în sistemul trifazat se face după acelaşi principiu ca şi în curentul alternativ monofazat, prin putere trifazată înţelegându-se suma puterilor pe cele trei faze, conform teoremei conservării puterilor în reţelele electrice. Pentru reţeaua cu conexiune în stea, la care tensiunile de fază au valorile eficace U1 ,U 2 ,U 3 , iar curenţii de fază sunt egali cu cei de linie, puterile activă şi reactivă debitate de generator sau absorbite de receptor sunt: (8.288) PY = U1 I1 cos ϕ1 + U 2 I 2 cos ϕ2 + U 3 I 3 cos ϕ3 şi (8.289) QY = U1 I1 sin ϕ1 + U 2 I 2 sin ϕ2 + U 3 I 3 sin ϕ3 , unde ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 sunt defazajele între tensiunile şi curenţii de pe fazele respective, date de relaţiile: X R X tgϕ = f ; cos ϕ = f ; sin ϕ = f . (8.290) Rf Zf Zf În cazul montajului în triunghi, unde tensiunile de fază sunt egale cu cele de linie, U12 ,U 23 ,U 31 , curenţii de fază sunt I12 ,I 23 ,I 31 , iar defazajele corespunzătoare ϕ12 ,ϕ23 ,ϕ31 , rezultă: P∆ = U12 I12 cos ϕ12 + U 23 I 23 cos ϕ23 + U 31I 31 cos ϕ31 (8.291) şi (8.292) Q∆ = U12 I12 sin ϕ12 + U 23 I 23 sin ϕ23 + U 31 I 31 sin ϕ31. Dacă sistemele de tensiuni şi cele de curenţi sunt simetrice: (8.293) U1 = U 2 = U 3 = U f , (8.294) (8.295) (8.296)

U12 = U 23 = U 31 = U l , I1 = I 2 = I 3 = I l , I12 = I 23 = I 31 = I f

şi ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = ϕ12 = ϕ23 = ϕ31 = ϕ, (8.297) iar relaţiile (8.288), (8.289), (8.291), (8.292), devin: PY = 3U f I l cos ϕ = 3U l I l cos ϕ, (8.298) (8.299)

QY = 3U f I l sin ϕ = 3U l I l sin ϕ, 498

P∆ = 3U l I f cos ϕ = 3U l I l cos ϕ

(8.300)

Q∆ = 3U l I f sin ϕ = 3U l I l sin ϕ.

(8.301)

şi În concluzie, în sistemele simetrice, exprimarea puterilor în funcţie de mărimile de linie este aceeaşi, indiferent dacă montajul este în stea sau în triunghi. Dacă tensiunile şi curenţii sunt date prin cantităţi complexe, puterile aparente se calculează direct cu relaţiile: * (8.302) S Y = P + jQ = 3U f I f , respectiv: * S ∆ = P + jQ = 3U f I f , (8.303) mărimile de fază fiind cele specifice montajului respectiv.

8.6.3. Reţele de curent alternativ trifazat cu sarcini dezechilibrate Dezechilibrul în reţelele fără conductor neutru poate avea consecinţe care să conducă la perturbarea funcţionării tuturor consumatorilor. Se poate presupune că reţeaua din figura 8.94 este echilibrată, dar că dezechilibrul se produce accidental într-unul din următoarele două moduri: - prin ruperea conductorului de linie 1. În acest caz, tensiunile la bornele receptoarelor Z 2 şi Z 3 devin egale cu U 23 2 şi respectiv − U 23 2 . Pe diagrama din figura 8.95 punctul neutru al ansamblului de receptoare se deplasează în O'. Valoarea eficace a tensiunii la bornele celor două receptoare a scăzut de la U f , cât era înainte de defect, la U l 2 = 3 2 U f = 0,86U f , iar potenţialul punctului neutru al receptoarelor are, faţă de valoarea iniţială luată ca referinţă, o ' creştere egală cu U f 2 , reprezentată prin fazorul U o ; - prin scurtcircuitarea impedanţei din faza 1. În noua situaţie, tensiunile la bornele impedanţelor Z 2 şi Z 3 au devenit U 12 şi respectiv U 31 , valoarea efectivă crescând de la aceea corespunzătoare tensiunii de fază, la aceea corespunzătoare tensiunii de linie, adică s-a majorat de 3 ori. Punctul O al ansamblului de receptoare s-a deplasat pe diagrama fazorială în punctul O′′ ≡ A iar potenţialul punctului neutru al sarcinii a crescut cu valoarea U f reprezentată prin fazorul U "o (v. fig. 8.95).

Fig. 8.94

Fig. 8.95

În ambele cazuri, funcţionarea receptoarelor din fazele 2 şi 3 este perturbată fie datorită scăderii tensiunii de alimentare, fie datorită creşterii sale, care poate conduce la distrugerea receptoarelor. Dacă sistemul de sarcini este echilibrat, iar sistemul tensiunilor de alimentare este simetric, nu există nici o diferenţă de potenţial între punctul neutru O al generatorului şi punctul neutru O' al sarcinii. 499

Într-adevăr, calculul după metoda perechilor de noduri aplicat reţelei din figura 8.94 conduce la următoarea expresie pentru deplasarea neutrului, notată cu U O 'O : E 1Y 1 + E 2 Y 2 + E 3 Y 3 Y1 +Y 2 +Y 3 şi deoarece Z 1 ≡ Z 2 ≡ Z 3 , rezultă Y 1 = Y 3 = Y 3 = Y şi Y (E 1 + E 2 + E 3 ) U O′O = (8.305) = 0, 3Y întrucât E 1 + E 2 + E 3 = 0 sistemul tensiunilor electromotoare fiind simetric. Inegalitatea impedanţelor Z 1 ,Z 2 ,Z 3 pe fazele sistemului face ca U O O = −U O să fie diferit de zero şi, aşa cum se vede în diagrama fazorială din figura 8.96, tensiunile la bornele receptoarelor vor fi: U 1 = E 1 − U 0 ,  (8.306) U 2 = E 2 − U 0 , U = E − U . 3 0  3 Ele sunt diferite şi alcătuiesc un sistem nesimetric de tensiuni, chiar dacă sistemul tensiunilor electromotoare E 1 , E 2 , E 3 care alimentează reţeaua este simetric. Pentru a simetriza reţeaua, este necesar să se folosească un conductor neutru, de impedanţă foarte mică, ce leagă punctul neutru al generatorului cu punctul neutru al receptoarelor. În acest caz, presupunându-se că impedanţa conductorului neutru este Z 0 , tensiunea U O O va fi egală cu: E Y + E 2Y 2 + E 3Y 3 (8.307) U O 'O = 1 1 ⋅ Y1 +Y 2 +Y 3 + Y 0 Din relaţia (8.307), cunoscută ca relaţia lui Milmann, se vede că dacă impedanţa conductorului neutru este foarte mică, Z 0 → 0 , atunci Y 0 → ∞ şi U O 'O → 0 . Conductorul neutru simetrizează reţeaua, iar receptoarele alcătuind un sistem dezechilibrat de sarcini pot funcţiona Fig. 8.96 fără inconveniente. Tensiunea la bornele consumatorilor rămâne egală cu tensiunea de fază, chiar dacă se întrerupe un conductor de linie, iar în cazul scurtcircuitării unei faze a receptorului, curentul care va lua naştere în circuitul format din conductorul de linie şi conductorul neutru, circuit de impedanţă practic nulă, va fi atât de mare încât fuzibilul montat pe linia scurtcircuitată se va topi, întrerupând-o. Din motivele arătate, execuţia şi exploatarea reţelelor trifazate are în vedere că întreruperea conductorului neutru nu poate avea loc nici accidental şi nici voit. Pentru aceasta pe conductorul neutru nu se montează întreruptoare sau siguranţe fuzibile, iar continuitatea i se verifică periodic, legăturile sale în reţea trebuind să fie făcute astfel încât rezistenţele de contact să fie minime.

(8.304)

U O′O =

'

'

8.6.4. Studiul sistemelor trifazate nesimetrice cu ajutorul componentelor simetrice Sistemele trifazate nesimetrice de mărimi electrice sinusoidale sunt reprezentate prin sisteme nesimetrice de fazori. Un asemenea sistem de fazori poate fi însă descompus în trei sisteme trifazate, dintre care două simetrice, unul de succesiune directă, altul de succesiune inversă şi unul homopolar, ceea ce permite să se efectueze studiul reţelei pe o singură fază, la fel ca în reţeaua simetrică. 500

Fie V d 1 = V d fazorul principal al sistemului simetric de succesiune directă, V i1 = V i fazorul principal al celui de succesiune inversă şi V h fazorul sistemului homopolar (fig. 8.97). Fazorii sistemelor de succesiune dirsctă şi inversă se exprimă în funcţie de fazorii principali respectivi după cum urmează: V d1 = V d , V d 2 = V d e - j2 π 3 , (8.308)

Fig. 8.97

V d 3 = V d e + j2 π 3 . şi

V i1 = V i , V i 2 = V i e j2 π 3 ,

(8.309)

V i 3 = V i e − j2 π 3 . Se introduce operatorul lui Steimnetz a = e j2 π 3 şi deoarece e − j2 π 3 = a 2 , rotirea fazorului cu 4π 3 înainte fiind echivalentă cu rotirea cu 2π 3 înapoi, ecuaţiile (8.308) şi (8.309) se scriu: V d1 = V d , V d 2 = a 2V d ,

(8.310)

V d 3 = aV d şi V i1 = V i , V i 2 = aV i ,

(8.311)

V i 3 = a 2V i . Fazorii sistemului nesimetric vor rezulta prin însumarea fazorilor de acelaşi indice ai sistemelor simetrice componente: V 1 = V h +V d +V i, V 2 = V h + a 2 V d + aV i ,

(8.312)

V 3 = V h + aV d + a V i . Prin adunarea celor trei ecuaţii (8.312) membru cu membru şi ţinându-se seama că 1 + a + a 2 = 0 se obţine: 1 (8.313) V h = (V 1 + V 2 + V 3 ). 3 Se înmulţeşte a doua ecuaţie (8,312) cu a şi a treia cu a 2 . Deoarece a 3 = 1 şi a 4 = a , prin adunarea membru cu membru a ecuaţiilor, se obţine: 1 V d = (V1 + a V 2 + a 2 V 3 ), (8.314) 3 apoi, înmulţindu-se a doua ecuaţie (8,312) cu a 2 şi a treia cu a , rezultă: 1 V i = (V1 + a 2 V 2 + a V 3 ). (8.315) 3 Descompunerea în componente simetrice nu este numai un artificiu de calcul. Experienţa arată că ele corespund unei realităţi certe, componentele simetrice de curent şi de tensiune putând fi măsurate, iar efectele lor putând fi constatate în reţelele şi aparatele electrice. 2

501

Gradul de dezechilibrare al unui sistem trifazat de fazori se defineşte prin gradul de disimetrie : V (8.316) εi = i Vd şi prin gradul de asimetrie : V εh = h ⋅ (8.317) Vd În practică, sistemul se consideră simetric dacă ε i ≤ 5% şi ε h ≤ 5% . Potrivit principiului suprapunerii efectelor, regimul de curenţi din reţeaua liniară rezultă prin suprapunerea în laturile sale a curenţilor produşi de sistemele de t.e.m. de secvenţă directă, inversă şi homopolară, ca şi cum acestea ar lucra independent. Impedanţele opuse de elementele reţelei tensiunilor de secvenţe diferite pot fi însă diferite, aşa cum se arată în continuare. Se numeşte impedanţă directă a reţelei, impedanţa efectivă pe fază opusă curenţilor sistemului direct. În acelaşi mod se definesc impedanţa inversă şi impedanţa homopolară. Se constată că elementele ale căror faze sunt echilibrate şi care nu comportă părţi rotative, opun curentului o impedanţă care nu depinde de succesiunea fazelor tensiunii aplicată la borne (transformatoare, linii, circuite, circuite receptoare pasive). Maşinile rotative prezintă impedanţe diferite curenţilor din sistemul direct faţă de curenţii sistemului invers ( Z d ≠ Z i ). Reţelele electrice fără conductor neutru, având punctul neutru izolat, prezintă o impedanţă infinită curenţilor din sistemul homopolar. Conductorul neutru fiind străbătut de toţi curenţii care formează sistemul homopolar, ţinându-se seama de căderea de tensiune care se produce în acest conductor, se consideră ca având impedanţa Z h = 3Z 0 , unde Z 0 este impedanţa lui proprie. Totalitatea circuitelor receptoare pasive care absorb puterea aparentă S la tensiunea de fază U şi la factorul de putere cos ϕ , prezintă impedanţa: U U 3U 2 (cos ϕ − j sin ϕ). = = S I  S *    3U  Puterea aparentă complexă se obţine cu ajutorul relaţiei: * * * (8.319) S = U1I1 +U 2 I 2 +U 3 I 3 . Fazorii de tensiune şi de curent în funcţie de componentele lor simetrice fiiind: U1 = U h +U d +U i,

(8.318)

(8.320)

Zd =

U 2 = U h + a 2 U d + aU i , U 3 = U h + aU d + a 2 U i

şi, respectiv: *

*

*

*

*

*

*

*

I1 = I h + I d + I i , (8.321)

*

*

I 2 = I h + aI d + a2 I i , *

*

I 3 = I h + a2 I d + aI i , introducându-se aceste mărimi cu expresiile lor în ecuaţia (8.319) se obţine: * * * (8.322) S = 3U h I h + 3U d I d + 3U i I i . Ţinându-se seama şi de relaţiile U = Ue j şi I = Ie − jϕ rezultă şi expresiile puterilor activă şi reactivă: S = P + jQ = (3U h I h cos ϕ h + 3U d I d cos ϕ d + 3U i I i cos ϕ i ) + (8.323) + j(3U h I h sin ϕ h + 3U d I d sin ϕ d + 3U i Ii sin ϕ i ). 0

502

8.7. Regimul deformant în sistemele trifazate Aşa cum s-a arătat în § 8.5.3, regimul deformant (sau nesinusoidal) este regimul electrocinetic alternativ în cadrul căruia forma de undă a cel puţin uneia dintre mărimile electrice de circuit (t.e.m., curent electric de conducţie sau tensiune electrică) nu este sinusoidală. În circuitele electronice (al căror rol constă în procesarea semnalelor) nu se utilizează noţiunea de regim deformant, deoarece multe din aplicaţiile electronicii constau în producerea unor semnale electrice cu formă nesinusoidală ( de exemplu: dreptunghiulară, triunghiulară sau în dinţi de fierăstrău, trenuri de impulsuri, semnale electrice modulate etc. - v. cursul "Semnale, circuite şi sisteme"/SCS). În alte aplicaţii ale electronicii, în care semnalele (mărimile electrice de circuit) trebuie să-şi păstreze aceeaşi formă de undă, sinusoidală sau nu (cum este cazul generatoarelor de semnal sinusoidal, amplificatoarelor, atenuatoarelor etc.), deformarea semnalelor (nedorită în aceste aplicaţii) se studiază prin aşa numita analiză a distorsiunilor. Distorsiunile se datoresc neliniarităţii circuitelor electronice şi/sau caracteristicilor de transfer pe care le au unele din etajele circuitelor. Deoarece studiul distorsiunilor se face la alte cursuri (S.C.S., "Măsurări electronice", "Dispozitive şi circuite electronice" ş. a.), în cadrul acestui subcapitol nu va fi abordat acest caz. În circuitele electrice din aplicaţiile industriale (cu puteri mari), regimul deformant apare cu efecte însemnate în reţelele sistemelor energetice locale sau naţionale, care toate sunt de tip trifazat, cauzele apariţiei acestui regim ( care de la un anumit "nivel" este dăunător şi deci inacceptabil, trebuind să fie eliminat) fiind: alimentarea utilizatorilor cu tensiuni la borne nesinusoidale (datorate unor imperfecţiuni constructive ale alternatoarelor, din centralele electrice sau caracteristicilor neliniare ale unor elemente de circuit cu miezuri magnetice saturate – alternatoare şi transformatoare, aflate în amonte de barele de alimentare cu energie electrică a utilizatorului); alimentarea utilizatorilor prin cabluri trifazate subterane de lungime mare; efectul corona (v. Fizica) din liniile trifazate de transport de înaltă tensiune, de la 110kV în sus; conectarea la reţeaua trifazată de alimentare cu energie electrică a unor aparate aşa-zis deformante (mutatoare de mare putere, motoare electrice cu "fier" saturat, transformatoare pentru sudare etc.) precum şi a bateriilor de condensatoare paralel simple folosite la compensarea puterii reactive. Prezenţa în reţelele electrice trifazate a unui regim deformant duce la apariţia unor efecte nedorite care aduc prejudicii, uneori însemnate, atât consumatorilor cât şi operatorilor (care realizează transportul şi distribuţia energiei electrice), dar şi unor sisteme colaterale (cum ar fi cele de telecomunicaţii). Aceste efecte dăunătoare constau în aceea că aparatele deformante devin generatoare de armonici, astfel că între sursele producătoare de tensiuni electromotoare sinusoidale şi între aparatele deformante apare o dublă circulaţie de putere activă: de la sursă spre aparatul deformant ( pe unda fundamentală) şi în sens invers (pe armonici). Rezultă de aici o serie de consecinţe nefavorabile reţelei şi receptoarelor conectate la reţea, care au fost enumerate în § 8.5.3 (creşterea puterii aparente prin componenta sa deformantă, creşterea pierderilor de putere activă în reţea şi la consumatori, creşterea impedanţei aparente în reţea -definită prin U / I , creşterea erorilor aparatelor de măsurat, de comandă - control şi de automatizare, introducerea de paraziţi în aparatura şi instalaţiile electronice etc.).

8.7.1. Particularităţile regimului deformant în reţelele trifazate O sursă trifazată de tensiuni deformată produce tensiunile: n

u1 = ∑ 2U k sin kωt , k =1

503

n 2kπ   u 2 = ∑ 2U k sin  kωt − , 3   k =1 (8.324) n 2kπ   u 3 = ∑ 2U k sin  kωt + . 3   k =1 Se constată că toate armonicele pare sunt nule şi că armonicele de ordin k=3n+1 formează sisteme de succesiune directă, în timp ce armonicele de ordin k=3n-1 formează sisteme de succesiune inversă. Armonicele de ordin k=3n formează sisteme homopolare. Se mai constată că tensiunile de linie u12 = u1 − u2 , u 23 = u 2 − u 3 şi u31 = u3 − u1 nu conţin armonici de ordin trei sau multiplu de trei. Valorile eficace ale tensiunilor de fază sunt:

2

2

2

2

U f = U1 + U 3 + U 5 + U 7 + ... ,

(8.325)

iar acelea ale tensiunilor de linie:

(

) ( 2

) ( 2

) ( 2

)

2

(8.326) U= 3U 1 + 3U 3 + 3U 5 + 3U 7 + ... . Dacă fazele generatorului sunt legate în triunghi ele vor fi parcurse de curentul de circulaţie produs de tensiunea: n 2kπ   u0 = u1 + u 2 + u3 = ∑ 2U k sin kωt 1 + 2 cos , 3   k =1 care este format numai din armonici de ordin trei şi multiplu de trei (pentru k = 3n ± 1 se obţine u0 = 0 ). Pentru a se evita apariţia curenţilor de circulaţie, generatoarele trifazate au, de regulă, conexiunea în stea.

(8.327)

8.7.2. Combaterea regimului deformant Dispozitivele de compensare a fenomenelor deformante sunt destinate absorbirii armonicelor. Acest lucru se realizează cu compensatoare statice alcătuite din baterii de condensatoare în serie cu bobine, alcătuind circuite dipolare L,C conectate trifazat (fig. 8.98) la reţeaua de alimentare în curent alternativ. Condensatoarele şi bobinele trebuie să aibă factori înalţi de calitate pentru a nu produce pierderi de putere activă. Ele formează circuite rezonante serie, acordate pe frecvenţa armonicii de compensat. Pentru o filtrare eficientă a armonicilor produse de receptoarele deformante trebuie cunoscute atât structura armonică a undelor de tensiune şi curent, cât şi parametrii reali ai circuitelor. În principiu, calculul unui compensator static al fenomenelor reactive şi deformante se face astfel: - se determină capacitatea C a condensatorului, în aşa fel încât, să fie compensată puterea reactivă pe fază Q f : Fig. 8.98

2

C = Q f 2πf1 U 1 ;

(8.328)

- se calculează inductivitatea Lν conectată în serie cu condensatorul, astfel încât să se obţină acordul de circuit rezonant serie pe armonica ν ce

trebuie absorbită: 2 (8.329) Lν = 1 C (2πνf1 ) . Pentru o proiectare eficientă trebuie să se ţină seama însă de reactanţa echivalentă a reţelei de alimentare, de toleranţele elementelor de circuit, de efectul circulaţiei altor armonici, de efectele derivei termice, de rezonanţa paralel filtru–reţea etc. Este posibil, însă, ca însuşi filtrul să 504

devină, în anumite condiţii de exploatare, un aparat deformant prin amplificarea unor armonici de ordin superior. De aceea este necesar ca, în funcţie de condiţiile locale de lucru, parametrii filtrului să poată fi ajustaţi corespunzător. Deoarece condiţiile locale de lucru ale filtrului pot fi temporare, o exploatare raţională a compensatoarelor statice necesită verificarea periodică, prin măsurări, a încărcării cu armonici şi a acordului filtrului.

8.8. Cazuri aparte în studiul circuitelor electrice În cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate câteva situaţii mai deosebite care intervin, adeseori, în studiul circuitelor electrice şi anume: - regimul tranzitoriu al circuitelor electrice; - comportarea circuitelor electrice în radiofrecvenţă; - circuite electrice cu parametrii de circuit neliniari; - reprezentarea circuitelor electrice ca diporţi (cuadripoli); - liniile electrice lungi.

8.8.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor electrice Din punctul de vedere al „evoluţiei” în timp, regimul electrocinetic al circuitelor electrice (staţionar sau nestaţionar) poate fi permanent şi tranzitoriu. Regimul permanent este acela în care mărimile ce caracterizează sistemul electrocinetic îşi păstrează mereu aceleaşi valori: în regim staţionar (de curent continuu) mărimile electrice de circuit (t.e.m., tensiunile la borne şi curenţii) sunt constante în timp, parametrii de circuit au aceeaşi valoare (rezistenţe sau conductanţe) şi structura reţelei se păstrează aceeaşi în regim nestaţionar, mărimile electrice de circuit au tot timpul aceeaşi formă de undă (cu aceleaşi valori maxime şi minime, aceleaşi valori efective, aceeaşi fază iniţială şi aceeaşi pulsaţie), iar componentele electrice de circuit, mereu în aceeaşi structură, au parametrii de circuit (rezistenţe/conductanţe, capacităţi/elastanţe, inductivităţi-proprii şi mutuale) neschimbaţi. Dacă cel puţin una din caracteristicile electrocinetice (înşiruite anterior) se modifică, atunci circuitul electric trece la alt regim permanent. Această trecere de la un regim electrocinetic permanent la alt regim electrocinetic permanent nu se poate face instantaneu, ci numai printr-un regim variabil în timp denumit regim tranzitoriu. „Saltul” de la un regim permanent la altul nu poate fi brusc (de tip treaptă) deoarece schimbarea stării permanente duce la modificări ale câmpurilor electromagnetice aferente circuitului ceea ce implică anumite transferuri de energie electromagnetică, de forma: We =

UP2

IP2

U P1

I P1

∫ qdu – electrică şi Wm =

∫ ϕdi – magnetică,

(v. § 1.5.3) în care UP1, UP2 şi IP1, IP2 sunt valorile caracteristice ale tensiunilor şi curenţilor în regimurile permanente 1 şi 2 ce „încadrează” regimul tranzitoriu. Cum un transfer instantaneu al acestei energii (oricât de mici) ar însemna ca derivatele lor în raport cu timpul (dWe∪m/dt) să fie infinite, adică un dt=0 sau o putere a sistemului infinită, ceea ce practic nu poate fi posibil, face ca regimul tranzitoriu sa aibă o „anumită” durată. După cum se va vedea mai încolo, durata unui regim tranzitoriu este teoretic infinită (ceea ce ar însemna că un al doilea regim permanent nu mai este posibil!). Practic, regimul tranzitoriu evoluând de cele mai multe ori exponenţial după un timp –în general– scurt, se ajunge la valori ale mărimilor caracteristice stării electrocinetice de 0,9 ÷ 0,95 din noul regim permanent. În legătură cu acest fapt, pentru multe sisteme fizice de tip electromagnetic, se defineşte un aşa-numit timp de stabilire care fixează durata regimului tranzitoriu la timpul necesar ca o mărime de stare (ce prezintă importanţă pentru aplicaţia avută în 505

vedere) să ajungă la 0,9 din valoarea care (teoretic) va fi luată de acea mărime în noul regim permanent. Ca urmare, din punctul de vedere al definiţiilor date, funcţionarea unui circuit electric poate fi privită ca o înşiruire de regimuri permanente şi tranzitorii. Deşi practic scurt, în unele aplicaţii, analiza regimului tranzitoriu este determinantă, rolul ei constând în a exprima cum variază în timp mărimile de stare electrocinetică şi ce parametru – timp îi este caracteristic (care, după cum se va vedea, se numeşte constantă de timp şi se notează mai întotdeauna cu τ). Modele de calcul ale regimului tranzitoriu

O modalitate de descriere a trecerii de la un regim permanent la altul o constituie introducerea unei modificări bruşte a unei mărimi de stare a circuitului electrocinetic analizat (de pildă conectarea bruscă a unei surse electrice cu t.e.m. continuă sau sinusoidală). Acest lucru se poate face prin utilizarea funcţiei treaptă unitate a lui Heaviside (v. § 9.1.4) definită astfel: 0 ⇒ t < 0 h(t ) =  , (TR 1) 1 ⇒ t > 0 unde t este timpul. O astfel de idealizare este întotdeauna justificată atunci când, pe scara timpului prin care se studiază fenomenul, durata modificării (de pildă, durata de acţionare a unui contact) este neglijabilă. Când acest semnal este derivat, apare în mod natural derivarea în punctul de discontinuitate, ceea ce implică aplicare unor elemente de teoria distribuţilor. În principiu calculul circuitelor electrice în regim tranzitoriu se face cu ajutorul teoremei lui Ohm generalizate (v.subcap.8.4) şi al teoremelor lui Kirchhoff în curent variabil. Acestea, în funcţie de structura circuitului, conduc la o ecuaţie sau la un sistem de ecuaţii diferenţiale sau integro-diferenţiale care, după caz pot fi rezolvate fie prin metodele clasice (v. Ecuaţiile fiziciimatematice), fie prin aplicarea unor operatori de transformare –cum ar fi transformata Laplace (v.§ 9.1.5)− care este justificată aici –când perturbaţia se consideră de forma (TR1)– deoarece, în acest caz, în circuite apar funcţii de discontinuitate şi derivatele acestora şi se caută soluţia unor ecuaţii diferenţiale în aceste condiţii. Spre exemplificare se va considera studiul regimului tranzitoriu de „încărcare” a unui condensator de la o sursă de curent continuu, cu t.e.m. E, prin închiderea bruscă a întreruptorului K (fig. 8.8/1). Condensatorul electric cu capacitatea C (considerat ideal) este în serie cu un rezistor cu rezistenţa electrică R. Fig. 8.8/1 Presupunându-se că închiderea întreruptorului K este foarte rapidă şi are loc la t=0, rezultă că tensiunea u ce se aplică laturii R, C este dată de funcţia: 0 ⇒ t < 0 u (t ) =  sau u=Eh, (TR 2) E ⇒ t > 0 adică de treapta unitate Heaviside h –definită prin expresia (TR1)– multiplicată cu E. După închiderea bruscă a întrerupătorului K, urmează regimul tranzitoriu de încărcare a condensatorului, în care sarcina electrică pe armăturile condensatorului (q), curentul electric din circuit (i) şi tensiunea la bornele condensatorului (uc) sunt funcţii de timp: q(t), i(t) şi uc(t); scopul analizei acestui regim tranzitoriu (de încărcare a condensatorului electric) este tocmai acela de a determina aceste funcţii de timp. Modelul original (iniţial), al acestui regim tranzitoriu (cu sensurile de referinţă indicate ca în figura 8.8/1) este (după cum se ştie din subcap. 8.4):

506

1 idt , C∫ q = ∫ idt şi i=dq/dt= q& , u = Ri +

1 idt =q / C , (TR 3) C∫ dq q + = Rq& + q / C etc. u=R dt C Ultima ecuaţie, ţinându-se seama de expresia (TR 2) a lui u, se mai poate scrie şi în forma: q Rq& + = Eh , C sau –împărţindu-se cu R ≠ 0 şi notându-se cu τ=RC– în forma: q E (TR 4) q& + = h sau q& + q / τ = hE / R . RC R Termenul RC are dimensiunea de timp, se notează cu τ şi se numeşte constanta de timp a circuitului R, C serie. Într-adevăr dimensional rezultă: [τ] = [R]⋅ [C ] = [U ] ⋅ [Q] = [I ]⋅ [t ] = [t ]. [I ] [U ] [I ] Semnificaţia fizică, dar şi geometrică (referitoare la reprezentarea mărimilor q, u, uR, … în raport cu timpul), va fi arătată ceva mai încolo. Pentru t>0 soluţia ecuaţiei diferenţiale (TR 4), care reprezintă problema lui Cauchy cu condiţii iniţiale, este de forma: (TR 5) q=ql+qp , unde ql este „soluţia liberă”, adică soluţia ecuaţiei omogene: q& + q / τ = 0 , (TR 6) care se oţine separându-se variabilele şi integrându-se membru cu membru: dq q dq dt −t =− ∴ = ∴ ln q = + ln q 0 → q l = q 0 e − t / τ , (TR 7) dt τ τ τ q unde qo este constanta de integrare, o constantă arbitrară determinată prin condiţia iniţială. Termenul de qp, din soluţia (TR 5) a problemei Cauchy (TR 4), reprezintă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene; o astfel de soluţie particulară este sarcina electrică de pe armăturile condensatorului în regimul permanent care urmează după regimul tranzitoriu de încărcare, când condensatorul ajunge la sarcina maximă posibilă qp=CE (determinată de t.e.m. E). Atunci soluţia (TR 5), în care se înlocuieşte ql cu expresia ei (TR 7) şi qp cu CE, devine: q = q 0 e − t / τ + CE , (TR 8) care, în condiţiile iniţiale –la t=0– face q(t=0)=0 (deoarece condensatorul este neîncărcat) şi atunci (TR 8) devine: 0 = q 0 e −0 / τ + CE , ceea ce permite determinarea constantei de integrare: qo=−CE, astfel că expresia definitivă a soluţiei (TR 8) este: q = CE (1 − e − t / τ ) sau q = Q (1 − e − t / τ ) , (TR 9) unde Q este sarcina electrică a condensatorului în noul regim permanent. Reprezentarea grafică a soluţiei (TR 9) este dată în figura 8.8/2a; aşadar condensatorul se încarcă exponenţial, viteza de încărcare depinzând de constanta de timp τ (aici τ=RC). Această semnificaţie a lui τ este dovedită, concret, prin următoarele: uR =

507

– dacă la exponenţiala soluţiei q(t) se duce, într-un punct oarecare (de exemplu, chiar în originea O), tangenta geometrică, (tg) în figura 8.8/2b, atunci –din triunghiul dreptunghic OAB– rezultă: OA d OA CE − 0 / τ tgα = = q(t ) ⇒ = e dt τ AB AB , (TR 10) OA CE ⇒ = τ AB conform interpretării pe care o are derivata unei funcţii (ca fiind tangenta trigonometrică a tangentei geometrice la curba ce reprezintă funcţia, în punctul considerat – aici originea O, unde t=0). Deoarece segmentul OA este Q=CE ( OA =Q=CE) rezultă din ultima egalitate (TR 10) că: (TR 11)

CE AB

=

CE ∴ τ = AB , τ

adică τ (constanta de timp) este egală cu subtangenta la curba q(t) în punctul considerat (în exemplul din figura 8.8/2b este subtangenta AB în punctul O, în origine, aşa cum se arată în figura 8.8/2c); – dacă se consideră t=3τ şi se calculează valoarea sarcinii electrice a condensatorului în regim tranzitoriu (deci la un moment egal cu trei constante de timp după începerea acestui regim) se constată: 1  q(t = 3τ ) = Q (1 - e -3 ) = Q1 − 3  =  e  , 1   Fig. 8.8/2 = Q1 −  = Q(1 − 0,04979 ) 20,08554   adică, rotunjind valoarea lui e-3 la 0,05, rezultă: q(t=3τ)=0,95Q, ceea ce înseamnă că după numai trei constante de timp, în regimul tranzitoriu se ajunge la 95% din valoarea finală (atinsă teoretic la un timp infinit) a noului regim permanent. În multe aplicaţii din Electronică se consideră ca suficientă atingerea valorii de 90% din cea finală; în această situaţie timpul în care se ajunge la acest nivel (numit adesea timp de stabilire) este: 90 1 1 Q = Q (1 − e − t / τ )∴ t / τ = 0,1∴ e t / τ = = 10 şi t = τ ln 10 = 2,3τ . 100 0,1 e Practic, se consideră că după 2,3τ la 3τ regimul tranzitoriu a luat sfârşit. Celelalte mărimi electrice ale circuitului R, C (fig.8.8/1), în regim tranzitoriu se determină direct din q(t) cu relaţiile (TR 3); astfel: – intensitatea curentului electric i(t) este: d CE − t / τ CE − t / τ E − t / τ (TR 12) = = e , i = dq / dt = CE (1 − e − t / τ ) = e e dt τ RC R

[

]

508

adică în momentul închiderii bruşte a contactului K din figura 8.8/1 (la t=0), în circuit apare un E „şoc” de curent i (t = 0 ) = e − 0 / τ = E / R , după care curentul scade exponenţial, cu o subtangentă R τ, până la zero (t → ∞ ⇒ i=0); – tensiunea la bornele condensatorului electric uc(t) este: 1 1 u C = q = CE (1 − e − t / τ ) = E (1 − e − t / τ ) , (TR 13) C C ceea ce înseamnă că ea creşte de la uc=0 (pentru t=0) la uc=E, teoretic la infinit (t → ∞ ). O interpretare energetică are rolul de a dovedi faptul că regimul tranzitoriu, de exemplu pentru circuitul R, C din figura 8.8/1, este impus de necesitatea transferării energiei electrice necesare producerii câmpului electric în dielectricul condensatorului. Astfel, energia disipată ireversibil în căldură în intervalul de timp de la 0 la t este (conform legii transformării de energie în conductori): t

t

t

τ − 2t / τ E 2 − 2t / τ E2 E 2  τ − 2t / τ τ  e d t e = ⋅ − = ⋅− e + . 2 2 R R  2 R2 0 0 0 Energia produsă de sursă în acelaşi interval de timp este: t t E2 E2 E2 −t / τ −t / τ t (− τe −t / τ + τ ) . W E = ∫ Eidt = e d t = − τ e = ∫ 0 R R R 0 0 Se constată că WE ≠ WR, fiind mai mare. Rezultă că nu toată energia produsă de sursă a fost transformată în căldură. Diferenţa: τ − 2t / τ τ  1 E 2 E2  −t / τ τ τ τ(− 2e −t / τ + e − 2 t / τ + 1) = WE − WR = − e + + e − = ⋅  2 2 2 R R 

W R = ∫ Ri 2 dt = ∫ R

[

]

1 E2 1 1 2 ⋅ RC (− 2e −t / τ + e − 2 t / τ + 1) = C E (1 − e −t / τ ) = Cu C2 2 R 2 2 reprezintă energia electrică acumulată în câmpul electric al condensatorului cu capacitatea electrică C, corespunzător valorii uc a tensiuni la bornele sale. Considerându-se din nou schema din figura 8.8/1, dacă se ia R=0 atunci va rezulta u(t)=Eh şi prin urmare: Q=Cu=CEh=Qh, (TR 14) pentru cazul când q(t<0)=0. Aşadar condensatorul se încarcă brusc cu sarcina Q=CE, ceea ce înseamnă că q(t) este de forma treptei Heaviside, cu saltul Q în origine. Se pune acum problema determinării curentului cu care se încarcă acest condensator (când R=0); din relaţia (TR 14) va rezulta: (TR 15) i = dq / dt = Qdh / dt. Aşadar, pentru t=0 curentul este i=0, iar pentru t>0 curentul este de asemenea i=0 şi deoarece în origine h(t) nu este derivabilă se poate trage concluzia că i este zero peste tot, cu excepţia originii, unde ia o valoare infinită. Acest răspuns nu este însă satisfăcător, deoarece dacă se înlocuieşte E cu 2E, atunci sarcina electrică devine 2Q, iar saltul în origine a lui q(t) este acum 2Q. Se pune, firesc, întrebarea: în acest caz (în care în loc de E s-a luat 2E) curentul este „infinit” în origine exact ca în cazul precedent? (s-ar putea, în mod naiv, să se întrebe „cât de infinit” este în acest caz curentul i ?!). Iată, deci, că este necesar să se generalizeze noţiunea de derivată astfel încât o funcţie cu salt să fie derivabilă în punctul de salt, iar derivata să exprime şi mărimea saltului. Această generalizare o realizează teoria distribuţiilor (ale cărei noţiuni de bază sunt prezentate în paragraful 9.1.5). Pe baza acestor noţiuni, în cazul din figura 8.8/1 unde sarcina electrică a condensatorului cu capacitatea C (pus brusc sub tensiunea constantă E la t=0), dacă la t<0 el este descărcat, are expresia: Q=ECh(t)=Qh(t), =

509

f ("tau")

iar curentul prin condensator este: (TR 16) i=Dq=QDh=Qδ, unde D este operatorul pentru derivarea distribuţiilor (v.§ 9.1.5) şi δ reprezintă funcţia impuls a lui Dirac. Expresia (TR 16) arată că intensitatea curentului i depinde de valoarea saltului Q. Deşi distribuţia Dirac, δ(t), nu este de tip funcţie, se poate calcula cu funcţii care sunt şiruri reprezentative Dirac şi care converg slab către distribuţia Dirac. Convergenţa slabă face metoda inutilizabilă în calculul numeric. Pentru exemplul condensatorului, la care prin expresia (TR 12) s-a determinat: E i = dq / dt = e − t / τ , R dacă se consideră R → 0 , atunci τ → 0 şi se obţine şirul reprezentativ Dirac: e −t / τ . (TR 17) τ Reprezentarea grafică a şirului (TR 17) e-t/τ/τ=f(τ), pentru câteva valori ale timpului, obţinută printr-un program de rutină MATLAB, arată aşa ca în figura 8.8/3 (considerându-se t=const. ≠ 0, pentru că la t=0 şirul este 1/τ), şi evidenţiază clar ce se întâmplă când t → 0. Astfel, la t=0,2s (un timp destul de departe de t=0) se remarcă trecerea la impulsul Dirac exponenţial. Pentru R foarte mic 2 rezultă i(+0)=E/R foarte mare, iar τ devine foarte mic (deci 1.8 t= 0,2s exponenţiala tinde rapid către 1.6 zero, fiind un „impuls exponenţial”). Acest exemplu 1.4 este intuitiv, dar nu este 1.2 riguros deoarece soluţia s-a obţinut pentru R ≠ 0 (singurul 1 caz posibil practic, deoarece 0.8 R=0 este un caz ideal, t= 0,5s neexistând în realitate 0.6 conductori perfecţi pentru 0.4 t= 1s conectarea condensatorului la o sursă, care –şi ea– nu poate 0.2 t= 2s fi ideală, adică cu rezistenţa 0 internă r=0). Dealtfel, 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 R=0 ⇒ τ=0 pentru care şirul "tau" (TR 17) este nedeterminat. Fig. 8.8/3 Se vor considera, în continuare, alte două cazuri semnificative pentru aplicaţiile practice. Rezistor în serie cu o bobină ideală (fig.8.8/4). Dacă se conectează brusc (prin închiderea rapidă a întrerupătorului K) o sursă electrică cu t.e.m. constantă E la bornele unei laturi R, L serie (fig.8.8/4), tensiunea la borne va fi: u=Eh(t)=Eh, astfel că modelul ce descrie regimul tranzitoriu care se produce când la t=0 se închide K este: (TR 18) Ri+Ldi/dt=Eh. Împărţindu-se cu L, relaţia (TR 18) devine: R di E 1 i + = h sau i + di / dt = hE / L , (TR 19) L dt L τ în care s-a făcut înlocuirea L/R=τ. Acest termen, L/R, are dimensiunea timp şi este denumit constanta de timp (τ) a circuitului R, L serie. Într-adevăr, dimensional: 510

[τ] = [L] = [Φ ] ⋅ [I ] [R] [U ] [I ]

−1 −1

=

[U ]⋅ [t ] = [t ] . [U ]

Ecuaţia diferenţială (TR 19) are soluţia: (TR 20) i=il+ip ⇒ t>0, unde il este soluţia „liberă” (a ecuaţiei omogene) şi ip este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (TR 19), care reprezintă o problemă Cauchy cu condiţii iniţiale. Luându-se ecuaţia omogenă i/τ+di/dt=0 şi separând-se variabilele, adică scriindu-se în forma di/i=−dt/τ, rezultă, prin integrare: lni=-t/τ+lnIo, unde Io este constanta de integrare (o constantă arbitrară ce se va determina din condiţiile iniţiale). Atunci soluţia liberă a curentului este: Il=Ioe-t/τ. Fig. 8.8/4 O soluţie particulară a curentului, ip, este aceea din regimul permanent la care se va ajunge atunci când o bobină ideală (adică având numai parametrul L, cu R=0 şi C=0) este conectată printr-un rezistor la o sursă ideală de curent continuu (cu t.e.m. E şi rezistenţă internă r=0) şi care este: ip=E/R. Atunci soluţia (TR 20) devine: i=Ioe-t/τ+E/R, (TR 21) care în condiţiile iniţiale –când t=0 ⇒ i(t=0)=0, deoarece miezul bobinei iniţial nu este magnetizat– devine: 0=Ioe-t/τ+E/R ∴ Io=-E/R. Atunci expresia definitivă a intensităţii curentului electric, i(t), din circuitul unei bobine ideale conectată brusc la o sursă de curent continuu printr-un rezistor este: E i = (1 / e −t / τ ) , (TR 22) R al cărui grafic i(t) este arătat în figura 8.8/5. Tensiunea la bornele bobinei din figura 8.8/4, uL(t), din regimul tranzitoriu se determină imediat, fiind cunoscută expresia (TR22) a curentului i(t) din latura R, L Fig. 8.8/5 serie: di d E E 1 −t / τ E R  (TR 23) = L  (1 − e −t / τ ) = L e =L = Ee − t / τ . dt dt  R R τ R L  Pentru R foarte mic rezultă uL(+0) = E, cea mai mare tensiune posibilă în regim tranzitoriu a tensiunii la bornele bobinei. La limită, când R = 0 (cazul bobinei ideale), prin ridicarea nedeterminării din formula (TR 22) rezultă: E i = t, L care creşte liniar indefinit. Latura R, L, C serie conectată brusc la o sursă de curent continuu (fig. 8.8/6). Dacă se aplică brusc (prin închiderea rapidă a întrerupătorului K) o t.e.m continuă E, deci o tensiune la borne în forma unei funcţii treaptă: u(t) = Eh(t) ⇒ u(t<0) = 0, atunci va urma un regim tranzitoriu caracterizat de un curent i = i(t) cu i(t<0) = 0 şi având modelul (v. subcap. 8.4): di 1 Ri + L + ∫ idt = Eh(t ), (TR 24) dt c care reprezintă o ecuaţie integrodiferenţială cu condiţii iniţiale, tipică pentru descrierea sistemelor fizice cu un singur grad de libertate. uL = L

511

Pentru a se exemplifica şi modalitatea de utilizare a calculului operaţional bazat pe transformata Laplace în studiul regimului tranzitoriu al circuitelor electrice, se va determina expresia curentului i(t) –ca soluţie a ecuaţiei (TR 24)– aplicându-se acestei ecuaţii, în fiecare membru, transformata Laplace (v. § 9.1.4). Se va obţine (considerându-se condiţiile iniţiale nule):

Fig. 8.8/6

di 1 1 1    L  Ri + L + ∫ idt  = L [ Eh(t )] →  R + sL + l ( s ) = E , sc  s dt C    de unde rezultă transformata Laplace a curentului I(s): 1 E E I ( s) = = ⋅ . (TR 26) 1 s ( R + sL + 1 / sc) L 2 R s + s+ L LC introducându-se notaţiile: R/L = 2α şi 1/LC = ω02 , unde α reprezintă atenuarea circuitului şi ω0 – pulsaţia oscilaţiilor libere ale circuitului L, C (v. § 8.8.2), expresia transformatei Laplace a curentului devine: 1 E , I ( s) = ⋅ 2 (TR 27) L s + 2αs + ω 02 care este de forma unei fracţii raţionale P(s)/Q(s) cu: P(s) ≡ 1 şi Q(s) ≡ s2 + 2αs + ω02 , având, deci, originalul (ca funcţie de timp) dată de teorema de dezvoltare a lui Heaviside (v. § 9.1.4) şi anume:  P( s)  n P( s k ) s t e , -1  L Q( s)  = ∑   k =1 Q' ( s k )

(TR 25)

k

unde Q’(s) = dQ(s)/ds –în cazul expresiei (TR 27) Q’(s) = 2s + 2α– iar sk(k = 1,2,...,n) sunt rădăcinile simple ale ecuaţiei Q(s) = 0, care pentru cazul relaţiei (TR 27) sunt: 2

 α   . s + 2αs + ω0 = 0 ⇒ s1,2 = −α± α − ω = −α ± jω 0 1 −    ω0  Atunci expresia curentului i(t), din regimul tranzitoriu al circuitului R, L, C serie (v. fig. 8.8/6), este: 2

2

2

      − α ± jω  E 1  i (t ) =  e 2 L      α     + 2α  2 − α + jω 0 1 −    ω0      

0

2 0

2   α    1−   t  ω0   

+

1 2    α      + 2α 2 − α − jω 0 1 −     ω0    

sau, în definitiv: (TR 28)

E i= ⋅ ω0 L

1  α 1 −   ω0

  

2

e

− αt

512

sin ω 0

 α 1 −   ω0

2

  t. 

e

   − α ± jω 0   

 α   1−  ω   0 

2  t   

        

La frecvenţe înalte (de exemplu în aplicaţiile din Radiotehnică) ciecuitele (R), L, C serie (care nu au conectat un rezistor anume, dar în care R este rezistenţa echivalentă pierderilor, în practică relativ mică) au amortizarea α = R / 2 L mică în raport cu pulsaţia ω0 = 1 / LC , adică α<<ω0 (de remarcat că α şi ω0 au aceeaşi dimensiune şi anume [t]-1); în acest caz expresia (TR 28) devine, cu o bună aproximaţie: E − αt i= e sin ω 0 t , (TR 29) ω0 L care are forma de undă a unor oscilaţii libere amortizate, aşa ca cea reprezentată în figura 8.8/7. După cum se poate constata din figura 8.8/7 curentul i(t) reprezintă nişte oscilaţii pseudoarmonice, de formă sinusoidală dar cu valoarea maximă Imax = Imax(t) = (E/ω0L)е-αt, scăzând exponenţial potrivit atenuăii α = R/2L a circuitului, şi având pseudoperioada T = 2π/ω0. La un circuit ideal (ipotetic fără pierderi), R = 0 şi deci α = 0, caz în care oscilaţiile libere au amplitudinea constantă (deoarece e-(α=0)t = 1 şi Imax = E/ω0L = const.), adică devin oscilaţii libere ce se întreţin timp nelimitat. În cazul în care amortizarea circuitului creşte, ajungând să satisfacă ecuaţia: 1 − (α / ω 0 ) 2 = 0 ⇒ R = 2 L / C , Fig. 8.8/7 se produce un regim tranzitoriu limită (regim critic) aperiodic, neoscilant, când rădăcinile s1,2 sunt rădăcini reale. Ascest fapt rezultă imediat din relaţia (TR 28), în care argumentul sinusului devine imaginar (deoarece α > ω0 ), transformându-se într-un sinus hiperbolic. Ecuaţiile diferenţiale pentru modelarea regimului tranzitoriu al circuitelor electrice

Revenindu-se la ecuaţia diferenţială (TR 4) scrisă sub forma: .

q + q / τ = I 0 h unde I0 = E/R şi căutând soluţia astfel încât q(t<0) = 0 (adică o funcţie cu salt în origine) va trebui determinată derivata în sens distribuţii a lui q(t) care este (v. § 9.1.5): .

.

Dq = q + Q 0 δ ∴ q = Dq − Q 0 δ , .

unde Q0 este saltul în origine. Înlocuindu-se q în (TR 4), sub forma precedentă, rezultă: Dq + q / τ = I 0 h + Q0 δ. (TR 30) Se numeşte „soluţie elementară în D+’” soluţia ecuaţiei: Dq e + q e / τ = δ sau, sub forma produsului de convoluţie: (δ'+ δ / τ) ∗ q e = δ. Făcându-se împărţirea (în sensul inversului de convoluţie) se obţine:   t 2  t 2        δ τ τ    = h 1+ − + ... = e −t / τ h. qe =   δ'+ δ / τ 2! 3!     Atunci, soluţia ecuaţiei(TR 30) este: 513

q = q e ∗ ( I 0 h + Q0 δ) = e − t / τ h ∗ ( I 0 h + Q0 δ), în care ultimul termen are forma: e − t / τ h ∗ Q 0 δ = Q 0 e − t / τ h, deoarece δ este unitate în produsul de convoluţie, iar Q0 este o constantă. Pe de altă parte: t e − t / τ h ∗ I h = I& e −τ / τ h( τ)h(t − τ)dτ = I& e −τ / τ dτ = 0

0

∫

0

R

= − I&0 τe −τ / τ

t 0

∫

0

= − τI 0 (e − t / τ − 1)h =

= I 0 τh(1 − e − t / τ ) = Q 0 h(1 − e − t / τ ). Se verifică astfel soluţia (TR 9) găsită anterior, dar cu Q0 = 0. Se poate da acum o interpretare fzică soluţiei găsite pentru ecuaţia (TR 30), adică: (TR31) q = Qh(1 − e − t / τ ) + Q 0 he − tτ . Astfel, se observă că Q0 are rolul „condiţiei iniţiale” care –în cazul de faţă– este sarcina iniţială a conmdensatorului. Dacă la t = 0 condensatorul este descărcat, atunci Q0 = 0, deci rezultă soluţia arătată anterior. Soluţia (TR 31) este valabilă oricare ar fi Q. În particular, se poate presupune că iniţial condensatorul este încărcat chiar cu sarcina electrică Q0; atunci: q = Q0 h, adică sarcina electrică a condensatorului rămâne constantă pentru t>0. Încărcarea bruscă a condensatorului cu Q0 la t = 0 −adică termenul Q0 din ecuaţia (TR 30)− corespunde unui curent i0 = δQ0 , ceea ce se verifică imediat prin derivarea lui q = Q0 h (sursă instantanee, la t = 0). Se va verifica acum soluţia (TR 31) pentru ecuaţia (TR 30). Se obţine: 1 1 Dq = Qδ − Qδe −t / τ + Qe −t / τ h + Q0 δe −t / τ − Q0 e −t / τ h, τ τ însă: < Qδe − t / τ , ϕ(t ) >= Q < δ(t ), e − t / τ ϕ(t ) >= Qϕ(0) = Q < δ, ϕ > ; aşadar: 1 1 Dq = Qe −t / τ h + Q0 δ − Q0 e −t / τ h, τ τ care –introdusă în ecuaţia (TR 30)– conduce la: 1 −t / τ 1 1 1 1 Qe h + Q0 δ − Q0 e −t / τ h + Qh − Qe −t / τ h + Q0 e −t / τ h = I 0 h + Q0 δ. τ τ τ τ τ Însă: 1 1 E Q= EC = = I 0 τ RC R şi astfel se obţine verificarea soluţiei (TR 31) pentru ecuaţia (TR 30). Se va considera acum un exemplu, importamt pentru câteva aplicaţii din ElectronicăRadiotehnică, care conduce la un sinstem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, şi anume două circuite R, L, C serie cuplate magnetic, cu o inductivitate mutuală M (aşa ca în figura 8.8/8), al cărui model este un sistem de două ecuaţii diferenţiale. Se ştie (v. Matematica) că sistemele de ecuaţii de ordin superior (liniare şi cu coeficienţi constanţi) pot fi aduse întotdeauna la forma unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi (reciproca nefiind adevărată), ceea ce face şi mai Fig. 8.8/8 reprezentativ exemplul schemei din figura 8.8/8. Modelul circuitelor din această schemă este: 514

di1 di 2 1   R1 i1 + C q1 + L1 dt + M dt = e  M di1 + R i + 1 q + L di 2 = 0 2 2 2 2  dt C dt Eliminându-se di 2 / dt din prima ecuaţie şi di1 / dt din a doua ecuaţie se obţine:

L2 R1 L2 R2 M L2 M  di1  dt = L L − M 2 e − L L − M 2 i1 + L L − M 2 i 2 − C ( L L − M 2 ) q1 + C ( L L − M 2 ) q 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 21 1 2   di 2 MR1 R2 L1 L1 M M = 2 e− 2 i1 + 2 i2 − q1 + q2  2 2 M − L1 L2 M − L1 L2 C1 ( M − L1 L2 ) C 2 ( M − L1 L2 ) dt M − L1 L2   dq1  dt = i1   dq 2 = i 2  dt Pentru rezolvarea acestui sistem se introduce următoarea notaţie vectorială (matriceală): x’ = [i1, i2, q1, q2], un vector (matrice) linie, care reprezintă transpusul vectorului (matricei) coloană x. Notându-se cu A şi B matricele corespunzătoare ultimului sistem de ecuaţii se obţine: x& =Ax+Be (TR 32) în care matricele pătratice A şi B au structura (oarecum rară):   L2 L2 M M − R2 − R1 2 2 2 2  L1 L 2 − M C1 ( L1 L 2 − M ) C 2 ( L1 L 2 − M )  L1 L 2 − M    L1 L1 M M R  − − R 2 2 2 2 2   , − − − − L L M L L M C L L M C L L M ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 A=     1 0 0 0     0 1 0 0     L2   L L − M 2   1 2    M − 2 LL −M  B= 1 2 .   0       0     Dacă ar fost conectate mai multe surse în circuit, atunci în locul lui e ar fi apărut un vector (matrice) coloană u cu transpusa: u’ = [e1, e2, ..., em] , în cazul în care ar fi existat m surse independente. Dacă, generalizând, circuitul ar fi avut n variabile independente, atunci dimensiunile matricei x ar fi fost n. Cu aceste notaţii, ecuaţia (TR 32) ia forma: x& = Ax + Bu, A∈M(m, n, R) şi B∈M(m, n, R), (TR 33) 515

unde A∈M(m, n, R) se citeşte: “matricea A are m linii, n coloane iar elementele ei sunt numere naturale” (în mod similar B). Se poate introduce acum derivata în sens distribuţii (în D+’): Dx = δ ’ ∗ x = x’ + x0 δ , unde x0 este vectorul care reprezintă saltul în origine (condiţii iniţiale). Întroducându-se această derivată în ecuaţia (TR 33) va rezulta: (TR 34) (δ ’I – δ A)∗ x = Bu + x0 δ , n în care I este matricea unitate pe R . Pentru a se găsi soluţia elementară şi soluţia ecuaţiei (TR 34) se procedează ca în cazul precedent şi anume: (TR 35) (δ ’I – δ A)∗ xe = I δ , unde xe este soluţia elementară , care se determină prin „împărţire” (în sensul convoluţiei în D+’): (At ) 2 (At ) 3 + + ...] = he At , 2! 3! aici h fiind distribuţia Heaviside, iar e At fiind multiplicată pe D+’. Această soluţie se poate verifica în cazul ecuaţiei (TR 35), prin efectuarea produsului de convoluţie ca invers al „împărţirii”, din care rezultă: δ' I ∗ he At − δA ∗ he At = δe At + hAe At − hAe At = δI, verificarea fiind deci imediată. În virtutea faptului că (D+’, +, ∗) nu are divizori ai lui zero, rezultă că soluţia găsită este unică. Atunci şi soluţia ecuaţiei (TR 34) este unică, rezultând: (TR 36) x = (δ' I − δA ) −1 ∗ (Bu + x 0 δ) = he At B ∗ u + he At x 0 . Se poate verifica această soluţie generală în cazul ecuaţiei (TR 34). Cei doi termeni ai soluţiei (TR 36) au următoerea interpretare fizică: pentru t<0 rezultă x(t<0) = 0; dacă reţeaua electrică din figura 8.8/8 nu posedă surse, înseamnă că n = 0 şi soluţia devine: xl = heAtxo , (TR 36’) aceasta fiind soluţia „liberă”, ca efect al condiţiilor iniţiale x0. Dacă x0 = 0 iar u ≠0, atunci rezultă soluţia „forţată” a ecuaţiei, dar în soluţie mai apare un termen (datorită produsului de convoluţie) care reprezintă soluţia „proprie” a reţelei. Dacă reţeaua este asimptotic stabilă, atunci rezultă: lim he At x 0 = 0 ⇒ ∀x 0 ≠ 0. Iδ δ' I − δA → h[I + At +

t →∞

Se numeşte „regim tranzitoriu” soluţia pentru un interval de timp în care soluţia liberă şi cea proprie nu pot fi neglijate. Durata regimului tranzitoriu este deci stabilită convenţional, în funcţie de acurateţa măsurării, şi se determină prin intervalul de timp după care mărimile caracteristice fenomenelor tranzitorii nu mai pot fi măsurate. Dacă parametrii R, L, C din reţeaua electrică sunt toţi strict pozitivi, atunci reţeaua este stabilă în sensul că se respectă condiţia: lim he At x 0 < ∞ , t →∞

ceea ce înseamnă că mărimile de stare electrică ale relaţiei, sub efectul condiţiilor iniţiale, sunt cel puţin mărginite; evident, reţeaua poate fi şi asimptotic stabilă dacă există elemente disipative în circuit (adică R>0). Condiţia necesară şi suficientă ca reţeaua să fie asimptotic stabilă este ca valorile proprii ale matricei A să aibă toată partea reală negativă. Dacă matricea A are valori proprii cu partea reală zero, dar cu ordin de multiplicare unu, atunci reţeaua este stabilă, adică heAtx0 rămâne mărginită când t→∞. Dacă heAtx0 nu este mărginită pentru t→∞, atunci reţeaua este instabilă (de exemplu când conţine rezistenţe dinamice negative R<0, ceea ce este posibil practic prin existenţa în circuitele electrice a unor componente cu parametri neliniari, cum ar fi –de exemplu– dioda „tunel”). 516

Pentr cazul particular al reţelei din figura 8.8/8, dacă în bucla R1, L1, C1 se introduce brusc (prin închiderea rapidă a unui întreruptor) o sursă de curent continuu cu t.e.m. E, deci e=Eh(t), atunci se produce un regim tranzitoriu oscilatoriu amortizat în care –de exemplu– curentul i2(t) are forma de undă arătată în figura 9.8/9. Au loc două puilsaţii de oscilaţie: ω 1 = ω 0 / 1 + k şi ω II = ω 0 / 1 − k , unde: ω0 = 1 / LC cu condiţia ca L1 = L2 = L şi C1=C2=C), iar k = M / L1 L2 este coeficientul de cuplaj magnetic al celor două bucle. Alte aplicaţii specifice regimului tranzitoriu

Se vor comenta, aici, trei exemple specifice de regim tranzitoriu, care apar în special în circuitele electronice din sistemele automate şi din procesarea semnalelor. Eşantionarea. Se consideră un semnal f(t) astfel încât oricărui t îi corespunde o valoare (şi anume una) notată cu f(k). Se aleg pe scara timpului puncte echivalente tk în care se măsoară f(tk ) şi se exprimă numeric. Alegându-se scara timpului într-un mod convenabil, punctele de pe axa t pot fi k∈N. „Distanţa” între punctele alese pe axa timpului, adică intervale de timp tk-tk-1, numit Fig, 8.8/9 pas de eşantionare, trebuie ales suficient de mic pentru a se reda numeric cât mai bine forma de undă a semnalului f(t). Dacă însă este ales prea mic, în calculul numeric pot apărea erori mari datorită unor diferenţe prea mici ce pot rezulta în timpul calcului şi, eventual, al împărţirilor la aceste valori infime. Alegerea pasului de eşantionare este, în fapt, o problemă de optimizare, pasul optim depinzând şi de alte criterii (v. cursul Teoria transmiterii informaţiei). Sistemul de eşantionare are următorul model din teoria distribuţiilor (v.§ 9.1.5): ∞

∞

< f (t )∑ δ k , ϕ >=< ∑ δ k , f (t )ϕ(t ) >= ∑ < δ k , f (t )ϕ(t ) >= k =1

k =1

k =1

∞

∞

k =1

k =1

= ∑ f ( k )ϕ(k ) =<∑ f (k )δ k , ϕ(t ) >, k ∈ N . ∞

Seria: ∑ f ( k )ϕ(k ) este local finită, deoarece orice ϕ∈D are suport compact, adică pentru k =1

fiecare ϕ seria conţine un număr finit de termeni, deci este însumabilă pentru orice ϕ. Prin urmare se poate considera că blocl (etajul) de eşantioane primeşte la intrare semnalul continuu f(t), ∞

rezultând la ieşire un răspuns de forma

∑ f (k )δ

k

, unde f(k) reprezintă valorile funcţiei de la

1

intrare în punctele de eşantioane k∈N. Sistemul de eşantioane descris se numeşte convertor analog-numeric, funcţionarea lui constând dintr-un şir de regimuri tranzitorii cu o constantă de timp foarte mică în raport cu pasul de eşantioane. Restabilirea. Este procesul prin care, pe baza unui şir de valori discrete f(k), se „refece” funcţia continuă de timp f(t). Dispozitivul (aparat, etaj, sistem etc.) care realizează restabilirea se numeşte şi convertor numeric-analogic. Acest dispozitiv păstrează (memorează) valoarea fiecărui eşantion pe durata pasului de eşantioane. Semnalul este „netezit” apoi prin faptul că toate canalele prin care se transmite au bandă de trecere limitată. Modelul restabilirii este următorul: 517

∞

f r (t ) = α ∗ (∑ f (k )δ k ), 0

unde: 1 ⇒ t ∈ [0,1]  α= . 0 ⇒ t ∉ [0,1] Acest model arată că: ∞

∞

0

0

< α ∗ ∑ f (k )δ k , ϕ >=< α(t ), < ∑ δ( τ − k ), f (k )ϕ(t + τ) >>= ∞

∞

1

∞

1

0

0

0

0

0

=< α(t ), ∑ f (k )ϕ(t + k ) >= ∑ ∫ f (k )ϕ(t + k ) = ∑ f (k ) ∫ ϕ(t + k ), care reprezintă distribuţia generată de funcţia:  f (k ) ⇒ t ∈ [ k , k + 1] f r (t ) =  . 0 ⇒ t ∉ [k , k + 1]  În figura 8.8/10 este reprezentat semnalul f(t), acelaşi semnal eşantionat şi –apoi– semnalul restebilit, fr(t). Integratorul analogic. Un bloc integrator (utilizat în numeroase aplicaţii, în special aparatele de măsurat electronice) se reprezintă prin schema, tip simbol, din figura 8.8/11. Se consideră că x(t<0)=0 şi x& (t < 0) = 0, iar condiţia iniţială se notează cu x0 = x(0). Deoarece x(t) are salt în origine, derivata sa trebuie considerată în sens distribuţii, adică: Dx = x& + x 0 δ, care de fapt descrie funcţionarea integratorului în acest regim tranzitoriu. Pentru verificare, trebuie determinată primitiva în D+’ a lui Dx; va rezulta: h ∗ (Dx) = h ∗ δ'∗x = δ ∗ x = x(t ), sau: h ∗ ( x& + x 0 δ) = h ∗ x& + x 0 h, astfel încât: Fig. 8.8/10

t

h ∗ x& = ∫ h(t − τ) x& ( τ)dτ = ∫ x& ( τ)dτ = x( τ) R

Fig. 8.8/11

t 0

= x(t ) − x 0 h,

0

verificare fiind obţinută. Semificaţia fizică este următoarea: pentru t<0 la toate cele trei borne semnalele sunt zero. La t=0 se aplică brusc condiţia iniţială (sursa instantanee) determinată de x0, iar pentru t>0 rezultă semnalul integrat x(t) care porneşte, la t=0, din x0. 8/8/20

8.8.2. Comportarea circuitelor electrice în radiofrecvenţă În cadrul acestui paragraf va fi analizat modul de comportare al unor circuite electrice tipice, cu parametri R, L, C constanţi (în timp, faţă de temperatură şi alte condiţii de mediu) şi liniari (relativ la tensiunea la borne, curenţii electrici şi frecvenţă), atunci când mărimile electrice de circuit (t.e.m. e, tensiuni u, şi curenţi i) sunt de formă armonică, dar au o pulsaţie ω (frecvenţă f = ω /2 π ) variabilă şi situată în domeniul valorilor foarte înalte, utilizate practic în 518

radiocomunicaţii (de aceea, frecvenţele foarte înalte, în gama 10 kHz…100 MHz, se mai numesc şi radiofrecvenţe). Regimul armonic al circuitului serie

Se consideră circuitul R, L, C serie din figura 8.8/12, în care mărimile electrice de circuit sunt reprezentate fazorial, prin E şi l (vezi § 9.1.3.). După cum se ştie (vezi subcapitolul 8.5), modelul acestui circuit este: 1 [R+j( ω L)] I = E , ωC de unde rezultă: 1 I =E . (R1) Fig. 8.8/12 R + j (ωL − 1 ωC ) Aşa cum arată expresia (R1), curentul electric depinde de frecvenţă. Această dependenţă interesează în mod deosebit în problemele de circuite radio; de aceea se va analiza dependenţa curentului de frecvenţă, presupunându-se regimul armonic permanent (deoarece în cazul unei variaţii rapide în timp, d ω /dt mare, se produc efecte tranzitorii). În aceste condiţii, dacă pulsaţia ia valori în intervalul ω = [0, ∞], fiecare determinare (valoare a lui ω ) fiind în regim armonic permanent, se observă că pentru o anumită pulsaţie (notată cu ω0 ), cele două reactanţe devin egale: ω0 L = 1/ ω0 C, de unde rezultă: (R2) ω0 = 1 LC , care se numeşte pulsaţia oscilaţiilor libere sau pulsaţia proprie a circuitului sau −încă– pulsaţia de rezonanţă. La această valoare a pulsaţiei, curentul devine:

I =

E E −fazorial sau I = − în valori efective. R R

(R3)

Relaţia (R3) caracterizează fenomenul de rezonanţă din circuitul R, L, C serie (figura 8.8/12). Pentru a se studia comportarea circuitului în jurul rezonanţei, se va analiza separat variaţia modulului fazorului I , adică | I | = I – valoarea efectivă a curentului electric din bucla R, L, C serie, adică: 1 (R4) I=E R 2 + (ωL − 1 ωC ) 2 Deoarece, în aplicaţiile practice din radiotehnică, pierderile din condensator sunt mici, se poate accepta ca factor de calitate (notat cu Q) expresia: (R5) Q = Lω 0 R care, introdusă în expresia (R4), conduce la: 1 E (R6) I= R ω ω0 2 2 1+ Q ( − ) ω0 ω Reiese de aici că la rezonanţă – când ω = ω0 – curentul efectiv trece printr-o valoare maximă: E . (R3’) I max = R Pentru generalizarea studiului, se analizează valoarea raportată a curentului I( ω ) / I( ω = ω0 ), ceea ce însemană I/Imax, care va avea expresia: 519

(R7)

I I max

1

=

ω ω0 2 − ) ω0 ω şi reprezentarea grafică I/Imax = ƒ( ω ) – denumită curbă de rezonanţă – arătată în figura 8.8/13, unde este reprezentată (cu linie întreruptă) şi variaţia defazajului (I, E) = ϕ ( ω ). Cunoaşterea factorului de calitate Q permite să se studieze relativ simplu comportarea circuitului în jurul frecvenţei (pulsaţiei) de rezonanţă. Astfel, se poate dezvolta paranteza de la numitorul expresiei (R7) în serie Taylor, în jurul punctului ω0, şi –prin limitare numai la primii doi termeni ai seriei– se obţine: ω ω0 1 1 (R8) ( − )ω ≈ Q + ( + )∆ω . ω0 ω ω0 ω0 Introducându-se această expresie (R8), a parantezei, în relaţia (R7) rezultă: I 1 (R9) = , I max 2 ∆ω 2 1 + 4Q ( ) ω0 Fig. 8.8/13 unde ∆ ω este o variaţie finită, mică, a lui ω . Formula (R9) este utilizată la studiul curbei de rezonanţă numai în jurul pulsaţiei ω0 , ceea ce în cazul aplicaţiilor practice acoperă un mare număr de cazuri. Astfel, cu ajutorul relaţiei (R9) se poate defini aşa–numita lărgime de bandă, notată cu 2∆ ωb , a circuitului ca fiind intervalul de frecvenţe (pulsaţie), delimitat de pulsaţiile ω1 şi ω2 pentru care raportul curenţilor scade până la 1 + 4Q 2 (

0

valoarea 1/ 2 (în care caz puterea din circuit scade la jumătate): D

(R10)

ω 2 − ω1 = 2∆ω b ⇒

I ( ω 1 ) I (ω 2 ) 1 = = . I (ω 2 ) I (ω 0 ) 2

Pentru determinarea acestor două pulsaţii în conformitate cu definiţia (R10), se egalează membrul drept al expresiei lui I/Imax cu 1/ 2 , adică: 1 1 , = 2 2 1 + 4Q (∆ω b ω 0 ) 2 de unde rezultă:

2 = 1 + 4Q 2 (

∆ω b 2 ) ω0

sau: ω9 R = = 2α adică şi ∆ω b = α , Q L unde ∆ω b = ω 0 − ω 1 = ω 2 − ω 0 (v.fig.8/8/13). Prin urmare, lărgimea de bandă a circuitului R, L, C serie (adică diferenţa ω2 - ω1 =2∆ ωb ) este invers proporţională cu factorul de calitate Q al circuitului. Cu cât acest factor de calitate este mai ridicat, cu atât banda de trecere se îngustează curba de rezonanţă a circuitului fiind mai “selectivă” pe pulsaţia ω0 .

(R11)

2∆ω b =

520

În ceea ce priveşte caracteristica fază frecvenţă, indicată prin linia întreruptă ϕ( ω ) în figura 8.8/13, în jurul pulsaţiei de rezonanţă ea se determină scriindu-se expresia (R1), a fazorului curentului, sub forma: 1 1 E . (R12) I= = I max ω ω0 ω ω0 R 1 + jQ ( − ) 1 + jQ ( − ) ω0 ω ω0 ω La rezonanţă ( ω = ω0 ), paranteza de la numitor se anulează, în care caz curentul este în fază cu t.e.m. Pentru frecvenţe foarte mici, argumentul numitorului expresiei (R12) se apropie de – π /2, deci curentul va fi defazat cu aproape + π /2 faţă de t.e.m. (curent capacitiv), iar la frecvenţe foarte mari defazajul curentului se apropie de – π /2 faţă de t.e.m. (curent inductiv). Rezonanţa circuitului R, L, C serie este denumită şi rezonanţa tensiunilor; într-adevăr, la rezonanţă tensiunea la bornele bobinei este: E U L = jω 0 L I = jω 0 L = jQ E , R iar tensiunea la bornele condensatorului este: ω L 1 1 E U C = −j I = −j = − j 0 E = − jQ E , ω0C ω0C R R deoarece la rezonanţă ω0 L = 1/ ω0 C. După cum se vede, cele două tensiuni sunt egale în amplitudine, dar se află în opoziţie de fază. Din acest motiv, la însumarea lor în lungul circuitului ele se anulează la rezonanţă, când I = E/R. Pe de altă parte, amplitudinea celor două tensiuni este cu atât mai mare cu cât factorul de calitate Q este mai mare (la un Q = 100, la bornele bobinei şi condensatorului apar tensiuni de o sută de ori mai mari decât t.e.m. a sursei de alimentare, fapt folosit în aplicaţiile practice din radiocomunicaţii, de recepţionare a semnalelor slabe în mod selectiv). Regimul armonic al circuitului paralel

Schema echivalentă a unui circuit format dintr-o bobină (cu inductivitatea proprie L şi cu rezistenţa de pierderi R) şi un condensator electric (cu capacitatea C şi cu pierderi neglijabile) legate în paralel şi situate într-o latură de curent în regim armonic permanent (curent reprezentat prin fazonul I ) este arătată în figura 8.8/14. Impedanţa complexă a acestui circuit este: ( R + jωL) jωC . Z= ( R + jωL) + 1 jωC În majoritatea aplicaţiilor practice din radiofrecvenţă, bobina are un factor de calitate Q = ω0 L/R, astfel că R << ω L (la pulsaţii ω cu valori apropiate de pulsaţia de rezonanţă ω 0 ). Atunci, impedanţa circuitului R, L, C paralel este, cu o bună aproximaţie: LC 1 L Z≈ = , Fig. 8.8/14 ωL 1 R + j(ωL − 1 ωC ) RC 1 + j( ) − R ωRC ωL 1 care, prin introducerea factorului de calitate Q = 0 = , devine: R ω0 RC L 1 . (R13) Z= ω ω0 RC 1 + jQ ( − ) ω0 ω 521

Condiţia aproximativă de rezonanţă fiind ω = ω 0 = 1 / 2 , impedanţa complexă a circuitului la pulsaţia de rezonanţă are valoarea maximă: L Z max = (R14) . RC Atunci, tensiunea la bornele circuitului U = Z ⋅ I , are expresia: L 1 1 , U = ZI = I = Z max I ω ω0 ω ω0 RC − − ) ) 1 + jQ ( 1 + jQ ( ω0 ω ω0 ω sau –dacă se notează Zmax ⋅ I = Umax−: 1 . U = U max ω ω0 1 + jQ ( − ) ω0 ω Expresia tensiunii efective în jurul rezonanţei raportată la cea maximă este: (R15)

U = U max

1 1+ Q2 (

ω ω0 2 ) − ω0 ω

=

1 1 + 4Q 2 (

∆ω 2 ) ω0

care s-a obţinut prin acelaşi procedeu de calcul cu cel aplicat în cazul circuitului R, L, C serie, deviaţia de pulsaţie ∆ ω având o valoare foarte mică în raport cu ω 0 . Curba de rezonanţă normalizată –adică U/Umax = ƒ ( ω )– şi caracteristica (U,I) =ϕ =ƒ( ω ) –adică unghiul de defazaj ϕ dintre fazorul U al tensiunii la bornele circuitului şi fazorul I al curentului din latura în care este conectat grupul R, L, C– sunt reprezentate în figura 8.8/15. Prin urmare, la frecvenţe mici curentul este inductiv (cu tensiunea defazată înaintea curentului, la limită –când ω →0– cu ϕ →+ π /2), iar la frecvete mari curentul este capacitiv (cu ϕ → – π /2), ceea ce rezultă şi direct din evaluarea expresiei (R15). Circuitul L, C paralel este denumit şi circuit cu rezonanţa curenţilor. Într-adevăr, dacă se calculează curenţii din laturi la rezonanţă rezultă: - în latura bobinei: I 1 ( R + jω 0 L ) = Z ( ω = ω 0 ) I ∴ L RC I I1 = R + jω 0 L şi dacă R << j ω0 L (neglijându-se în raport cu reactanţa bobinei): ω L L RC 1 I1 ≈ I= I = − j 0 I = − jQ I , Fig. 8.8/15 jω 0 L jω 0 CR R deoarece, la rezonanţă, 1/ ω0 C= ω0 L şi ω0 L/R = Q (factorul de calitate al bobinei); - în latura condensatorului: ω L L 1 I2 = Z (ω = ω0 ) I ∴ I 2 = jω 0 C I = j 0 I = jQ I , RC R jω0C Se vede că cei doi curenţi sunt defazaţi cu π , iar amplitudinea lor este de Q ori mai mare decât amplitudinea curentului din latura de alimentare. 522

Circuitul L, C paralel în regim periodic nesinusoidal

În practica circuitelor radio se întâlneşte deseori cazul în care grupul L, C paralel este conectat în circuitele unui tranzitor care lucrează în regim neliniar. În acest caz, deşi semnalul aplicat pe bază sau poartă este o tensiune sinusoidală, curentul i, din circuitul în care se găseşte conectat grupul L, C paralel, este periodic, dar nesinusoidal. Deoarece curentul este periodic, el poate fi exprimat în forma unei serii Fouriei (vezi subcapitolul 8.7): n

i (t + T0 ) = ∑ I k cos(kω 0 t + ϕ k ) . k =0

Pe baza liniarităţii circuitului R, L, C se poate aplica principiul superpoziţiei şi deci se poate calcula tensiunea fiecărei armonice în parte, considerându-se că circuitul este “acordat” pe armonica 1 (ceea ce înseamnă că L şi C sunt astfel aleşi încât să îndeplinească condiţia: 1 / LC = 1ω 0 . Luându-se în considerare numai valorile absolute ale fazorilor (adică valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor) se poate scrie: U 1ω = Z max I 1 , 0

1

U 2ω = Z max I 2 0

1+ Q 2 (

2ω 0 ω 0 2 − ) ω0 2ω 0

U 3ω = 0

=

Z max I 2 1+

9 2 Q 4

≈

2 Z max I 2 , 3Q

3 Z max I 3 , 8Q

şi aşa mai departe. Se observă că toate expresiile amplitudinilor armonicelor superioare de tensiune au pe Q la numitor; pe de altă parte amplitudinile armonicelor superioare de curent I2, I3, … sunt din ce în ce mai mici. În consecinţă, când factorul de calitate Q al circuitelor L, C este mare, tensiunile date de armonicele superioare la bornele circuitului sunt din ce în ce mai mici faţă de armonica fundamentalei U 1ω0 . Acelaşi rezultat s-ar fi obţinut şi în cazul când circuitul ar fi fost acordat pe una din armonicele superioare: tensiunea acestei armonice este mult mai mare decât al celorlalte. În practică se consideră că la bornele circuitului apare o tensiune sinusoidală corespunzătoare frecvenţei pe care este acordat circuitul. Această proprietate importantă de selectivitate a circuitelor acordate este larg utilizată în circuitele radio (la filtrele trece bandă, la amplificatoarele selective, la unele metode de măsurare a reactanţelor etc.). Regimul armonic al circuitelor cuplate inductiv

Se are în vedere circuitul din figura 8.8/16, tipic pentru cuplajul inductiv. Considerându-se cele două circuite (1 şi 2) identice, adică având R1= R2 = R, L1 = L2 = L şi C1 = C2 = C, ceea ce înseamnă că şi Z1 = R1 + j( ω L1 – 1/ ω C1) = Z2 = R2 + j( ω L2 – 1/ ω C2) = Z = R + j( ω L – 1/ ω C), ecuaţiile fazoriale ce descriu regimul electrocinetic permanent armonic al circuitelor cuplate este: Z I 1 + jωM I 2 = E ,   jωM I 1 + Z I 2 = 0 , de unde rezultă: Fig.8.8/16 523

I1 =

(R16)

EZ Z + ω2 M 2 2

şi

I2 =

− E jωM , Z 2 + ω2 M 2

unde: 1 ω ω0 ) = R[1 + jQ( − )] . ωC ω0 ω Introducându-se în expresiile fazorilor celor doi curenţi (R16) această a doua relaţie pentru Z, din (R17) rezultă: ω ω0  1 + jQ ( − )  ω0 ω I 1 = E , 2  R ω ω0 2 2 2 ω [1 + jQ ( − )] + k Q  2 ω0 ω ω0  (R18)  ω  kQ  ω0 E , I 2 = − j 2 R ω ω0 2 2 2 ω  [1 + jQ ( − )] + k Q 2  ω0 ω ω0  Z = R + j(ωL −

(R17)

L ω0 R ω0 L M ω 1 1 ω = = Qk (ştiut fiind faptul că M/L = k este L ω0 R R L ω0 R R ω0 coeficientul de cuplaj şi ω0 L/R = Q este factorul de calitate). Expresiile (R18) arată că dacă cele două circuite (1 – “primar” şi 2 – “secundar”) se îndepărtează foarte mult, astfel încât k = 0), circuitul primar se reduce la circuitul serie (vezi relaţia R6), iar în circuitul secundar curentul se anulează, deoarece sursa de energie se află în primar. Pentru determinarea caracteristicii amplitudine – frecvenţă a valorilor efective ale curentului din “secundar”  I 2=I2 (adică a curbei de rezonanţă a circuitului cuplat magnetic), se deoarece ωM = ωM

consideră că pulsaţia ω variază puţin în jurul valorii de rezonanţă ω 0 = 1 / LC = const. Astfel, dacă ω − ω0 = ∆ ω , atunci: (

ω ω0 1 1 2∆ω − − ← conform relaţiei (R18). )ω ≈ ( )∆ω = ω0 ω ω0 ω0 ω0 0

D

Notându-se cu x = 2∆ ω / ω0 , care în radiotehnică se numeşte “dezacordul relativ” deoarece reprezintă dublul variaţiei relative a pulsaţiei faţă de ω0 , expresia curentului I2 din (R18) devine: kQ kQ E E ω = −j ⇒ ≈ 1. I 2 ≈ −j (R19) 2 2 2 2 2 2 2 R (1 + jQx) + k Q R (1 − Q x + k Q ) + j2Qx ω0 Valoarea absolută a lui I2 din expresia finală (R19) este: kQ E = I2 ≈ 2 2 R (1 − Q x + k 2 Q 2 ) 2 + 4Q 2 x 2 (R20) kQ E = . 4 4 2 2 R Q x + 2(1 − k Q )Q 2 x 2 + k 4 Q 4 + 2k 2 Q 2 + 1

Extremumurile lui I2 din ultima expresie (R20) sunt determinate de extremumurile numitorului, care se obţin din ecuaţia prin care derivata expresiei de la numitor în raport cu x este egală cu zero: 4Q4x3 + 4(Q2 – k2Q4)x = 0 sau: 524

Q2x3 + (1 – k2Q2)x = 0 . Soluţiile acestei ecuaţii sunt: x1 = 0 la care este un minimum al lui I2 . x 2 = x3 = ± k 2 −

1 la care se produc doua valori maxime ale lui I2 , Q2

Se vede că pentru k<1/Q apar două rădăcini imaginare conjugate, adică curba I2 = ƒ(x) prezintă numai un maxim pentru x=0. Valoarea: kc = 1/Q (R21) se numeşte coeficient de cuplaj critic. Pentru orice valoare k > kc (adică k>1/Q), curba prezintă un minimum la x=0, adică la ω0 (deoarece, prin definiţie, x = 2∆ ω/ω 0 , atunci x=0 ⇒ ∆x=0 ⇒ ω = ω 0 ) şi două maxime simetric dispuse faţă de x=0, pe dreapta lui x (adică două pulsaţii diferite ω1 şi ω2 , simetrice faţă de ω0 , deci cu ω0 − ω 1 = ω 2 − ω 0 , pe axa pulsaţiilor ω ). Pentru unghiul critic (k = kc =1/Q) şi pentru x=0 (deci ω = ω0 ), curentul are valoarea maximă: I2 = E/2R = I2max , (R22) ceea ce permite rescrierea expresiei (R20) sub forma: I 2kQ y= 2 = , 2 2 I 2 max (1 − Q x + k 2 Q 2 + 4Q 2 x 2 care arată că la rădăcinile x2,3, adică la x2 = (k2Q2 – 1)/Q2, deci în punctele de maximum, curentul este de asemenea: I2 = E/2R = I2max. Pentru orice cuplaj sub valoarea critică (k<1/Q), valoarea maximă a lui I2 este mai mică decât I2max= E/2R, ceea ce se poate constata, cu uşurinţă, punându-se x=0 în relaţia (R20). Toate aceste constatări sunt arătate în graficul din figura 8.8/17. O caracteristică importantă în radiotehnică a circuitelor R, L, C cuplate inductiv (ca cel din figura 8.8/16) este lărgimea de bandă 2∆ ωb (vezi figura 8.8/17). La cuplaj magnetic critic (cu kc =1/Q) expresia (R23) devine: 2 , y= 2 2 2 (2 − Q x ) + 4Q 2 x 2 care, pentru o atenuare până la y= 1 / 2 , conduce la: (2 – Q2xb2)2+ 4Q2 xb2 = 8 ∴ sau Q4xb4 = 4, de unde rezultă xb = 2 / Q şi ţinându-se seama de faptul că x=2∆ ω / ω0 , se obţine în definitiv: ω 2 2∆ω b = ∴ 2∆ω b = 2 0 . (R24) Q ω0 Q Comparându-se această expresie a lărgimii de bandă cu relaţia (R11), rezultă că lărgimea de bandă în cazul circuitelor cuplate inductiv la cuplaj critic Fig.8.8/17 este de 2 ori mai mare decât la un circuit simplu R, L, C. Dacă se realizează însă un cuplaj peste cuplajul critic, caracteristica amplitudine-frecvenţă a acestui circuit aproximează cel mai bine caracteristica de selectivitate ideală (un dreptunghi), decât un singur circuit acordat, ceea ce explică larga utilizare a acestor circuite (cu cuplaj inductiv şi cu k > 1 / Q ) în montajele din radiotehnică. 525

8.8.3. Circuite electrice neliniare Circuitele electrice neliniare sunt circuitele ai căror parametri R(G), L, M şi C(S) au valori care se modifică în funcţie de mărimile electrice de circuit: i sau / şi u, deci sunt funcţii de tipul R = R ( u , i ) , G = G ( u , i ) , L = L ( u, i ) , M = M ( u, i ) , C = C ( u , i ) , S = S ( u , i ) etc. În principiu, nici o componentă de circuit (rezistor, bobină, condensator/capacitor şi –cu atât mai mult– componentele electronice de circuit: diode, tranzistoare, tiristoare, tuburi cu vid sau cu gaze etc.) nu sunt perfect liniare, liniaritatea fiind considerată o situaţie ideală, deşi în practică –în multe situaţii (chiar şi în electronică)– se consideră că circuitele sau unele componente de circuit sunt liniare cu o bună aproximaţie sau între anumite limite ale tensiunilor şi curenţilor electrici (liniare pe porţiuni). În cazul circuitelor electrice care nu pot fi admise ca fiind liniare (deci sunt circuite neliniare), modelele ce descriu starea lor electrocinetică sunt formate din ecuaţii cu coeficienţi variabili şi principala caracteristică a acestor modele (şi circuite) constă în aceea că ele nu satisfac teoremele de superpoziţie. Un exemplu tipic de element puternic neliniar îl constituie dioda „tunel” (v. Fizica şi cursul Componente şi circuite electrice liniare). Caracteristica aşa-numită „curent-tensiune”, adică I = f (U ) a diodei „tunel” este reprezentată în figura 8.8/18. În situaţia în care tensiunea şi curentul variază suficient de puţin în jurul punctului static M se poate scrie: (N1) I = I 0 + i şi U = U 0 + u . f

Admiţându-se că funcţia U → I este diferenţiabilă în punctul M se poate scrie: ∂f dI = dU ∂U şi aproximându-se diferenţialele cu diferenţele finite i şi u din relaţiile (N1) rezultă: df ∂f ∂f df . i= u= u ⇒ = ∂U dU ∂U dU Fig. 8.8/18 df D 1 = , unde r este rezistenţa Notându-se r dU dinamică (v. subcap. 8.1) a diodei în punctul M, ea este fundamental diferită de rezistenţa D U R = 0 , numită rezistenţa statică sau în curent continuu (v. subcap. 8.1). Într-adevăr din I0 interpretarea geometrică (v. fig. 8.8/18) rezultă: ∧

∧

R = ctg α şi r = ctg β observându-se că –în acest caz– r este o „rezistenţă negativă” în punctul M. Reluându-se cazul general al reţelelor electrice neliniare, modelul lor este: •

(N2)

X

= f

(X ' , U ) ,

unde X ′ = [X 1 , X 2 , K , X n ] , considerat ca matrice transpusă (pentru simplificarea scrierii în pagină), este vectorul de stare al reţelei (de exemplu curenţii din ramuri) iar U este vectorul de comandă al reţelei (de exemplu tensiuni electromotoare). Ecuaţia este neliniară, dar pentru un punct static (X 0 , U 0 ) şi pentru semnale suficient de mici x şi u în jurul punctului static rezultă din (N2): •

x=f (X

0

+ x , U0 + u ). 526

Dacă f este analitică, se poate dezvolta în serie Taylor şi reţinându-se numai termenii de ordinul întâi, ştiindu-se că f (X 0 , U 0 ) = 0 , rezultă: • ∂f ∂f x= x + u, (N3) ∂ X0 ∂ U0 unde ∂ f / ∂ X 0 este derivata vectorului coloană

( f1 , f 2 ,K, f n )

în raport cu variabila vector

coloană ( X 10 , X 20 , K , X n 0 ) . Operaţia de derivare conduce atunci la o matrice n × n , reală, astfel că se poate nota: ∂ f / ∂ X0 = A . Elementele ai j sunt parametrii dinamici ai reţelei, care pot lua şi valori negative. Calculându-se derivatele parţiale ∂ f / ∂ U 0 se obţine o matrice n × m notată cu B: B = ∂ f / ∂ U0 şi ecuaţia (N3) devine: •

x = Ax + Bu. (N4) Prin urmare, problema s-a redus la rezolvarea unei ecuaţii liniare. Prin trecerea de la modelul (N2) la (N4) s-a omis însă restul din seria Taylor. Efectul renunţării la acest rest nu este întotdeauna neglijabil, astfel încât modelul (N4) îl poate aproxima bine (admisibil) pe (N2) numai în condiţiile în care acest rest este neglijabil. De exemplu, dacă matricea A are valori proprii nule, atunci reţeaua „în primă aproximaţie” descrisă de modelul (N4) poate fi afectată de termenii de ordin superior ai seriei Taylor, la care s-a renunţat. Această metodă cvasiliniară este foarte răspândită în multe aplicaţii. Un cadru mai general de utilizare a modelului (N4) îl constituie situaţia în care vectorii (coloanele) X 0 şi U 0 nu mai sunt constante şi devin funcţii de timp. Atunci acelaşi procedeu conduce la ecuaţia liniară cu coeficienţi variabili: •

x = A (t) x + B (t) u , (N5) în care matricea de stare A(t) şi matricea de comandă B(t) nu mai sunt constante. Modelul (N5) este caracteristic aşa – numitelor circuite parametrice (v. § 8.9.5) Aceste probleme nu se pot rezolva eficient şi exact fără utilizarea unui sistem de calcul performant şi al unor pachete de programe de tip produs-utilizator specializate, bazate pe calcule numerice. Calculul numeric de rezolvare a ecuaţiei diferenţiale (N5) poate fi echivalent rezolvării directe a ecuaţiei neliniare (N2). O metodă practică este însă următoarea: pentru intervale scurte de timp se poate întâmpla ca sistemul (N4), constant în primă aproximaţie, să-l poată înlocui pe cel liniar, calculele fiind acceptabile numai pentru acel interval scurt de timp. Pentru următorul interval de timp (de asemenea suficient de scurt), calculul se face tot cu ecuaţia (N4), dar cu alte matrice A şi B. Valorile finale ale lui x şi u din primul interval sunt considerate valori iniţiale pentru cel de-al doilea interval ş.a.m.d.

8.8.4. Cuadripoli În foarte multe aplicaţii practice, un circuit electric sau o porţiune din el, un dispozitiv (de exemplu un tranzistor) sau numai o simplă componentă de circuit, un aparat de adaptare ce face posibilă conectarea între ele a două circuite electrice diferite funcţional (ca, de exmplu: un amplificator electronic, un filtru, un redresor, un transformator, o linie de transport a energiei electromagnetice etc., etc.), toate acestea pot fi „privite” ca un „bloc” sau „etaj” format dintr-o schemă ce are două borne de intrare (1 şi 1′ în figura 8.8/19) şi două borne de ieşire (2 şi 2 ′ – fig. 8.8/19), care poartă numele generic de cuadripol şi se reprezintă aşa ca în figura 8.8/19. Mai 527

mult, intrarea şi ieşirea fiind formate dintr-o pereche de borne ele pot fi reduse la o aşa-numită „poartă” (poartă de intrare, poartă de ieşire) astfel că blocul este considerat –mai general– ca un diport, aşa cum se arată în figura 8.8/20. În unele aplicaţii (ca, de exemplu, în schemele logice) circuitele pot fi tratate –din punct de vedere funcţional– ca un multiport, cu mai multe perechi de borne de acces (una din ele putând fi comună, ca –de exemplu– borna de masă).

Fig. 8.8/19

Fig. 8.8/20

Mărimile existente („aplicate” sau care „atacă”) la intrare cuadripolul (tensiune la borne u1 , curent electric i1 , puteri instantanee p1 sau aparente S 1 ) sunt denumite generic semnal (semnal de intrare, deşi –lexical– se face o tautologie), iar mărimile ce „rezultă” (adică „citite”) la ieşirea cuadripolului sunt denumite – la modul generic– răspuns (semnal de ieşire). Cuadripolul are, în interiorul lui, o structură care din punctul de vedere al comportării cuadripolului în relaţia „intrare” → „ieşire” nu interesează, dar este formată din rezistoare, bobine şi condensatoare. Dacă în această structură interioară nu există surse electrice (cu t.e.m. sau curenţi de scurtcircuit, adică mărimi specifice surselor) atunci despre cuadripol se spune că este pasiv (aşa cum se va vedea la cursul Dispozitive şi circuite electronice, tranzistoarele sunt reprezentabile prin cuadripoli care nu sunt pasivi, deoarece –prin specificul lor funcţional– tranzistoarele sunt cuadripoli ce conţin în interiorul lor surse de tensiune şi surse de curent (v. fig. 8.8/21). Dacă toţi parametrii cuadripolului (R, L, C, M) sunt constanţi şi independenţi de mărimile semnalelor de la porţi, atunci cuadripolul este liniar şi funcţionarea sa este descrisă de modele (ecuaţii) liniare. Cuadripolul poate avea orice fel de regim electrocinetic permanent: staţionar (de curent continuu) caz în care semnalele pe porţi sunt constante în timp ( U 1 , I 1 , P1 = U 1 I 1 ; U 2 , I 2 , P2 = U 2 I 2 ) şi nestaţionar, fie armonic – situaţie în care semnalele de la porţi sunt reprezentate în complex ( U 1 , I 1 , S 1 = U

∗

1

I 1 ; U 2, I 2, S2 =U

∗

2

I 2 ), fie oarecare – situaţie în

care semnalele sunt reprezentate în planul complex al frecvenţelor, ca funcţii de o variabilă complexă s = α + j ω , prin transformatele Laplace U 1 (s ), I 1 (s ) , U 2 (s ) şi I 2 (s ) . În cele ce vor urma se va prezenta o teorie succintă a cuadripolilor consideraţi: pasivi, liniari şi în regim armonic permanent, semnalele fiind fazorii tensiunilor, curenţilor şi puterilor aparente (aşa ca în figura 8.8/19). Pentru a nu complica scrierea –dar şi pentru a mări gradul de generalizare al modelelor– fazorii vor fi notaţi mai simplu, cu u1 , i1 , u 2 şi i2 (dar cu precizarea că reprezintă numere complexe), iar impedanţele complexe şi admitanţele complexe nu vor mai fi subliniate (se va scrie mai simplu Z şi Y, printr-o generalizare la cazul regimului nestaţionar oarecare ele reprezentând şi impedanţele / admitanţele operaţionale, după cum u1 , i1 , u 2 şi i2 pot reprezenta tot atât de bine şi transformatele Laplace – ca funcţii imagine în planul α + j ω ). În aceste condiţii, vectorul coloană al semnalelor (de la intrare: u1 , i1 ) şi vectorul coloană al răspunsului (de la poarta de ieşire: u 2 , i2 ) sunt dependente liniar prin aplicaţia:  u1   u 2    a   ,  i1   i 2  528

(C1)

care reprezintă un sistem de ecuaţii liniare, ce pot fi reprezentate şi matriceal, matricea care corespunde aplicaţiei (C1) este o matrice A, formată din două linii şi două coloane cu elemente numere complexe – ceea ce se scrie A ∈ M(2, 2, c). Atunci se poate scrie: a 12   u 2   u = a11 u 2 + a12 i2 u  a  u1  u     sau  1   = A  2  sau  1  =  11 . (C2) = + i a u a i  i2   i1   a 21 a 22   i 2   i1  1 21 2 22 2  La un cuadripol, având la porţile sale 4 semnale liniar independente ( u1 , i1 , u 2 , i2 ), există 6 posibilităţi de a defini aplicaţii liniare pe vectori coloană (cu cele două elemente asociate prin combinări de patru elemente luate câte două C 42 =

4 × 3 12 = = 6 ) şi anume: 1× 2 2

1) cuadripol cu parametri A, descris prin modelul (C2); 2) cuadripol cu parametri B descris de:

 u = B11 u1 + B12 i1 u   u2    = B  1  sau  2 ,  i1   i2   i2 = B21 u1 + B22 i1

(C3)

care reprezintă răspunsul în funcţie de semnal; 3) cuadripoli cu parametri Z (impedanţă peste tot):

 u = Z 11 i1 + Z 12 i2 i   u1    = Z  1  sau  1 ,  i2   u2   u 2 = Z 21 i1 + Z 22 i2

(C4)

care exprimă tensiunile pe porţi în funcţie de curenţi; 4) cuadripoli cu parametri Y (admitanţă peste tot):

 i = Y11 u1 + Y12 u 2 u   i1    = Y  1  sau  1 ,  u2   i2   i2 = Y21 u1 + Y22 u 2

(C5)

care exprimă curenţii (de atac şi citit) în funcţie de tensiunile la borne; 5) cuadripoli cu parametri H („hibrizi”):

 u = h11 i1 + h12 u 2 i   u1    = H  1  adică  1 ;  u2   i2   i2 = h21 i1 + h22 u 2

(C6)

6) cuadripoli cu parametri G:

 u = g11 u1 + g12 i2 u   u2    = G  1  sau  2 .  i2   i1   i1 = g 21 u1 + g 22 i2

(C7)

De exemplu, funcţionarea unui tranzistor bipolar cu emitorul comun poate fi descris printrun cuadripol H, cu modelul (C6) care reprezintă o schemă internă cu structura din figura 8.8/21, parametri hi j ( i, j ∈ {1, 2} ) fiind determinaţi experimental, pentru fiecare tip constructiv de tranzistor, de către fabricant. În continuare se va analiza numai modelul (C2), cu matricea A (celelalte modele putând fi analizate în acelaşi mod). Semnificaţia termenilor ai j , ai matricei A, se deduce uşor prin interpretări fizice; astfel la aşa-zisul „mers în gol” al cuadripolului (caracterizat de condiţia i 2 = 0 ) sistemul

Fig. 8.8/21 529

(C2) devine:

u10 , cu dimensiunea [ a11 ] = [ 1 ] , u 20 i ∴ a 21 = 10 , cu dimensiunea [ a 21 ] = [ Y ] . u 20

u10 = a11 u 20 ∴ a11 = i10 = a 21 u 20

Aşadar a11 este un factor de proporţionalitate adimensional (care, în multe aplicaţii, este denumit amplificarea de tensiune a cuadripolului la mersul în gol, notată cu A0 ), iar elementul a 21 are dimensiunea unei admitanţe (reprezentând, în fapt, admitanţa de transfer a cuadripolului la mersul în gol, notată cu Y0 ). În cazul scurtcircuitării cuadripolului la ieşire (ceea ce înseamnă u 2 = 0 ) sistemul (C2) dă:

u1sc , cu dimensiunea [ a12 ] = [ Z ] , i2 i = 1sc , cu dimensiunea [ a 22 ] = [ 1 ] . i2 sc

u1sc = a12 i2 ∴ a12 = i1sc = a 22 i2 sc ∴ a 22

Prin urmare, elementul a12 al matricei A are dimensiunea unei impedanţe (denumită impedanţa de transfer a cuadripolului în scurtcircuit, notată cu Z sc ), iar elementul a 22 este adimensional (putând fi denumit amplificarea de curent în scurtcircuit a cuadripolului, notată cu Asc ). Ţinându-se seama de aceste semnificaţii ale elementelor matricei A, modelul (C2) devine:

 u1 = A0 u 2 + Z sc i2  u1   A0 sau   =    i1   Y0  i1 = Y0 u 2 + Asc i2

(C8)

Z sc   u 2    . Asc   i2 

Din sistemul (C8) se pot calcula direct (prin metoda determinanţilor a lui Kramer) semnalele u 2 şi i2 în funcţie de u1 şi i1 :

 u1 Z sc     Z sc Asc u =  i1 Asc  = i1 , u1 − 2  A0 Asc − Z sc Y0 A0 Asc − Z scY0 A0 Asc − Z scY0   A0 u1   Y  i1  Y0 A0 0  i2 = u1 . i1 − =  A0 Asc − Z sc Y0 A0 Asc − Z scY0 A0 Asc − Z scY0 Folosindu-se notaţia A0 Asc − Z sc Y0 = ∆ (adică determinantul sistemului) sistemul precedent devine: (C8′ )

1  u 2 = ∆ ( Asc u1 − Z sc i1 ) ,  i = 1 (− Y u + A i ) , 0 1 0 1  2 ∆

sau, în scriere matriceală: (C3′)

 u 2  1  Asc   =   i2  ∆  − Y0 530

− Z sc   u1    , A0   i1 

care –de fapt– reprezintă modelul (C3) cu matricea B, ale cărei elemente ( B11 , B12 , B21 şi B22 ) rezultă imediat din ecuaţia (C3′ ).

 u1 

Mai departe, înlocuindu-se vectorul   cu expresia lui din ecuaţia (C8), rezultă  i1  identitatea:

 u 2  1  Asc   =   i2  ∆  − Y0

− Z sc   A0 ⋅ A0   Y0

Z sc   u 2  u     sau  2  = Asc   i2   i2 

 u2   ,  i2 

I 

unde I este matricea unitate, ceea ce înseamnă:

− Z sc   A0

1  Asc

1 0

Z sc 

⋅ .  =  I =  A0   Y0 Asc   0 1  ∆  − Y0 Dacă la ieşirea cuadripolului se conectează o impedanţă Z L (indicele L provenind de la denumirea uzuală de impedanţă de lucru) şi se aplică la intrare o tensiune u1 , atunci celelalte mărimi, i1 , i 2 şi u 2 sunt unic determinate (de pildă u 2 = Z L i 2 ). Prin urmare, în ecuaţia (C8) dacă se da u1 rezultă i1 , u 2 şi i 2 , ceea ce arată că, de fapt, dimensiunea bazei în care s-a considerat matricea A nu este doi, ci unu, deoarece sistemului (C8) i se poate adăuga relaţia suplimentară: u 2 = Z L i2 , astfel că sistemul (C8) devine (prin înlocuirea lui u 2 cu Z L i2 ):  u1 = ( A0 Z L + Z sc ) i 2   i1 = (Y0 Z L + Asc ) i 2 ,

din care rezultă: - impedanţa de intrare a cuadripolului, Z i , măsurată la bornele de intrare 1-1′: D u A Z + Z sc Zi = 1 = 0 L ; i1 Y0 Z L + Asc

(C9)

- impedanţa de intrare a cuadripolului la mersul în gol ( i 2 = 0 ⇒ Z L → ∞ ), notată cu Z i 0 : D

Zi0 =

u1 i1

= A0 / Y0 ,

(C10)

i2 = 0

ce rezultă din sistemul (C8) în care s-a luat i2 = 0 ; - impedanţa de intrare a cuadripolului la mersul în scurtcircuit ( u 2 = 0 ⇒ Z L = 0 ), notată cu Z i sc : D

Z i sc =

u1 i1

= Z sc / Asc ,

(C11)

u2 =0

ce rezultă direct din (C9) în care se pune Z L = 0 ; - impedanţa caracteristică a cuadripolului la intrare, notată cu Z c şi definită prin: A0 Z sc . Y0 Asc Dacă la un cuadripol se inversează intrarea cu ieşirea (fapt care se precizează cu apostrof′), în sensul că atacul se face la bornele 2-2′ (ale ieşirii) şi citirea se face la bornele 1-1′ (ale intrării), sistemul (C8) capată forma: D

Z c = Z i 0 ⋅ Z i sc =

531

u ′ = A ′ u ′ + Z ′ i ′  2 0 1 1 sc (C12) ,   i 2 ′ = Y0 ′ u1′ + Asc ′ i1′ în legatură cu care se defineşte impedanţa caracteristică a cuadripolului văzută de la ieşire: ′ ′ A0 Z sc ′ D ′ ′ Z c = Z i 0 ⋅ Z i sc = (C13) . ′ ′ Y0 Asc Comparându-se acum ecuaţiile (C8′ ) cu (C12) rezultă (în condiţii de liniaritate) prin aplicarea teoremei circuitelor fundamentale independente: ∆ = A0 Asc − Z sc Y0 = 1 , (C14) valabilă pentru orice cuadripol liniar pasiv. Atunci, ecuaţiile (C8′ ) capată forma (rezultată din faptul că ∆ = 1 ):  u 2 = Asc u1 − Z sc i1 Asc Z sc ′ ′ (C15) cu = Z i 0 şi = Z i sc .  i Y u A i = − + Y A 0 1 0 1 0 0  2 Comparându-se sistemul de ecuaţii (C15) cu sistemul (C12) şi ţinându-se seama că cel puţin u 2 este arbitrar, rezultă schimbarea reciprocă a locurilor termenilor A0 şi Asc , astfel că

′

impedanţa caracteristică Z c – definită prin expresia (C13)– mai poate fi calculată şi cu formula: ′ Zc =

(C13′)

Asc Z sc . Y0 A0

′

Impedanţele caracteristice Z c şi Z c au o deosebită importanţă pentru schemele în care mai mulţi cuadripoli sunt conectaţi în lanţ (sau cascadă) –aşa cum se arată în figura 8.8/22– pentru realizarea aşa-numitei adaptări (a ieşirii unui cuadripol cu intrarea celui care urmează în lanţ). Pentru evidenţierea adaptării, se va conecta la ieşirea 2-2′ a cuadripolului o sarcină cu impedanţa

′

egală cu cea critică de la ieşire Z i . Atunci, impedanţa de la intrarea cuadripolului, Z i , care la

′

ieşire are impedanţa Z L = Z c (calculată la bornele 1-1′ cu expresia ei C9) este: A0

(C16) Z i =

′ A0 Z c + Z sc = ′ Y0 Z c + Asc Y 0

Asc Z sc + Z sc Y0 A0 Asc Z sc + Asc Y0 A0

=

 Asc Z sc + A0 Z sc   Y0 A0   Asc Z sc Y0 Asc  +  Y0 A0 

   =    

A0 Z sc = Zc . Y0 Asc

Rezultă, deci, că dacă la ieşirea 2-2′ se conectează o sarcină cu impedanţa Z c

′

(caracteristică ieşirii) atunci la intrarea 1-1′ se măsoară o impedanţa egală cu impedanţa Z c (caracteristică intrării). De asemenea, este valabilă şi reciproca în sensul că dacă la bornele 1-1′ se conectează o latură cu impedanţa Z c , atunci –privit dinspre ieşire– la bornele 2-2′ se măsoară o ′ impedanţă egală cu Z c . La cuadripolii simetrici, adică la acei cuadripoli care îndeplinesc condiţiile de simetrie: Zi0 = Zi0

′

′ şi Z i sc = Z i sc ,

deci care se comportă identic indiferent de poarta prin care se face atacul, rezultă imediat: 532

′ Zc = Zc =

A0 Z sc . Y0 Asc

(C17)

Relaţiile (C17) şi (C16) arată că dacă un cuadripol este simetric şi „lucrează” pe o impedanţă Z c conectată la ieşire, atunci la intrare, impedanţa măsurată va fi impedanţa caracteristică a cuadripolului. Se spune despre acest cuadripol că funcţionează în modul adaptat. Aşa cum s-a mai aratat, mai mulţi cuadripoli pot fi conectaţi în cascadă, după o schemă ca cea din figura 8.8/22.

Fig. 8.8/22

Potrivit sensurilor de referinţă indicate în această figură, pentru fiecare cuadripol se poate scrie o ecuaţie de forma (C2), adică: u  u  u  u  u   u1    = A1  2  ,  2  = A2  3  , …,  n  = An  n +1  ,  in   i3   i n +1   i2   i 2   i1  şir din care rezultă imediat: u   u1    = A1 · A2 · … · An  n +1  . (C18)  i n +1   i1  Dacă se consideră întregul lanţ ca fiind un singur cuadripol de matrice A, se poate scrie:  u1  u    = A n +1   i n +1   i1 

şi prin identificarea acestei ecuaţii matriciale cu ecuaţia (C18)rezultă că matricea A a întregului lanţ este egală cu produsul matricelor Ak (k=1,2,…,n) ale fiecărui cuadripol din lanţ adică : n

A = A 1 ⋅ A 2 ⋅ ... ⋅ A n = Π A k ,

(C19)

k =1

cuadripolul în lanţ comportându-se ca un singur cuadripol, echivalent. Pentru a se exemplifica procedura de tratare a unui circuit ca diport (cuadripol) în lanţ, se vor considera cuadripolii din figura 8.8/23. Pentru cuadripolul capacitor din figura 8.8/23a, folosind notaţiile şi sensurile de referinţă indicate în figură, se scriu următoarele relaţii bine cunoscute (v.subcap.8.4): u1 = u c + u 2 , i1 = i 2 = ic ,

(C20)

ic = C ⋅ du c / dt. Aplicându-se transformata Laplace (v.§ 9.4.1)egalităţii (C20), membru cu membru se obţine: 1 I c (s )sCU c (s ) şi U c (s ) = I c (s ). sC Pentru cuadripolul rezistor din figura 8.8/23b se poate scrie :

533

Fig.8.8/23

u1 = u 2 = u R

,

şi U R (s ) = RI R (s ),

u R = Ri R

i1 = i R + i 2 . Folosindu-se numai transformata Laplace, matricele A(s) ale acestor doi cuadripoli rezultă că sunt : - pentru cuadripolul capacitor: U 1 (s ) U 2 (s ) 1 1 / sC   ( ) = A C (s ) ( ) , de unde, prin identificare cu ecuaţia (C 8) : AC (s ) =  ; 0 1  I C s  I C s 

- pentru cuadripolul rezistor: U R (s ) U R (s )  ( )  = A R (s ) ( )  ∴ I 1 s  I 2 s 

1 A R (s ) =  1 / R Atunci pentru un cuadripol ca cel din figura 8.8/24, care este o capacitorul (fig.8.8/23a) – rezistorul (fig.8./23b) – capacitorul(fig echivalentă daterminată conform relaţiei (C19), este :

A (s ) = A C (s ) ⋅ A R (s ) ⋅ A C (s ) =

(C21)

1+

1 sCR 1 R

0 . 1  cascadă de trei cuadripioli: .8.8./23a) , matricea A(s)

1  1  2 +  sC  sCR 

1+

1 sCR

A Z  ≡ 0 C  Y0 Asc 

Ca aplicaţie practică cuadripolul din figura 8.8/24 reprezintă un filtru trece sus, în „ T ”. Se observă că acest cuadripol este simetric, deoarece A0 = Asc şi verifică relaţia

∆ = A0 Asc − Z scY0 = 1 ; astfel, din matricea (C21) rezultă : 2

1  1 1  1   2 +  = 1. 1 +  − ⋅ R sC  sCR   sCR  Fig.8.8/24 De asemenea se verifică şi altă condiţie de simetrie şi anume cea referitoare la impedanţele caracteristice : Z c = Z c′ . În particular, pentru semnalele armonice, pentru care s = jω , rezultă : A0 = 1 +

care

arată

că

pentru

1 1 cu A0 = 1 + 2 2 unde τ = RC , jωCR ω τ

ω→∞

şi

A0 = 1

şi

deci

u1 = A0 u 2 = u 2 ,

iar

pentru

ω = 0 , A0 → ∞ şi u 2 = u1 / A0 = 0, ceea ce înseamnă că acest cuadripolul este un filtru de trece sus, care „ blochează trecerea ” componentelor continue şi parţial pe cele de frecvenţă joasă şi permite „trecerea ”semnalelor cu frecvenţă înaltă. Pragul de separare depinde de valoarea pe care o are constanta de timp τ = CR ce intervine în expresia atenuării de tensiune la funcţionarea în gol şi anume : A 0 ≈ 1 / ωτ, deoarece la frecvenţe joase 1 / ωτ >> 1 şi, ca urmare, 1 + 1 / ωτ ≈ 1 / ωτ . 8.8.5. Linii electrice lungi

Circuitele electrice studiate până in prezent au fost caracterizate prin parametri localizaţi în laturile reţelei. În practică se întâlnesc însă numeroase aplicaţii în care circuitele au parametri distribuişi si utilizarea unei scheme cu parametri localizaţi nu mai poate fi acceptată ca schemă echivalentă 534

situaţiei reale. Unul din aceste cazuri îl constituie liniile de conductoare izolate între ele, foarte lungi, utilizate la transportul energiei electromagnetice (pe lungimi de sute de km), cablurile de distribuţie a acestei energii (cu lungimi de mii de metri ),liniile telefonice, cabluri pentru distribuirea emisiunilor TV şi multe altele. În cazurile acestor linii (cu parametri distribuiţi în lungul lor, de obicei în mod uniform, şi indicaţi prin R în [Ω/m] , L în [H/m] şi C în [F/m] ), tensiunile şi curenţii electrici nu depind numai de timp ci şi de distanţa în lungul liniei (de exemplu, de la „capul”/ intrarea ei la un punct considerat de pe linie). În continuare, se va considera o linie bifilară cu parametrii uniformi distribuiţi în lungul ei. Tensiunile la bornele de intrare ale liniei (la bornele 1-1`) este u1 ,iar tensiunea la bornele de

ieşire (la bornele 2-2` ) este u2 ; aceste tensiuni sunt funţii numai de timp: u 1 (x = 0, t ) = u 1 (t ) şi u 2 (x = l , t ) = u 2 (t ) , unde l este lungimea liniei. Parametri liniei, exprimaţi pe unitate de lungime, sunt: rezistenţa specifică a conductorului liniei (R) în serie cu inductivitatea electrică (L) a liniei şi transversal (în derivaţie de-a lungul liniei) conductanţa specifică izolaţiei liniei (G) şi capacitatea electrică specifică între conductoarele liniei (C). Pentru o fracţiune de linie, de lungime ∆x , schema electrică a liniei arată aşa ca în figura 8.8/25.

Fig.8.8/25

Conform notaţiilor din această figură, modelul liniei electrice lungi este : ∂  u (x, t ) − u (x + ∆x, t ) = R∆x ⋅ i (x + ∆x, t ) + L∆x ⋅ ∂t i( x + ∆x, t ), (L1)  i (x, t ) − i (x + ∆x, t ) = G∆xu ( x, t ) + C∆x ⋅ ∂ u ( x, t ),  ∂t adică un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale în raport cu timpul. Împărţindu-se în ambele ecuaţii, ambii membri, cu ∆x rezultă : ∂  u ( x + ∆x , t ) − u ( x , t ) = R ⋅ i ( x + ∆x, t ) + L i ( x + ∆x, t ), − ∆x ∂t  − i ( x + ∆x, t ) − i ( x, t ) = G ⋅ u ( x, t ) + C ∂ u ( x, t ).  ∆x ∂t Dacă se trece la limită (∆x→0) şi simplificându-se notaţia mărimilor electrice (prin renunţarea la indicarea argumentului, care a fost specificat iniţial) se obţine : ∂i  ∂u − ∂x = Ri + L ∂t , (L2)  − ∂i = Gu + C ∂u ∂t  ∂x adică un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale în raport cu timpul. Sistemul (L2) este cunoscut şi sub numele de ecuaţia telegrafiştilor deoarece primele ei aplicaţii practice au fost efectuate în domeniul telegrafiei (la transmiterea de date prin linii electrice la distanţă). Se va aplica acestui sistem, transformata Laplace (v. § 9.1.4) ştiind că: 535

∞

∞

∂ ∂ ∂ d ∂  L  u (x, t ) = ∫ u (x, t )e − st dt = u (x, t )e − st dt = U (s ) = U (s ), ∫ ∂x 0 ∂x dx  ∂x  0 ∂x care arată că, deoarece integrala este definită, transformată U(s) nu mai depinde de t; va rezulta pentru sistemul (L2):  dU (s ) − dx = (R + sL )I (s ), (L3)  − dI (s ) = (G + sC )U (s ).  dx Eliminându-se prin derivare I(s) din cele două ecuaţii ale sistemului (L3), rezultă: d 2U (s ) (L4) − υ 2U (s ) = 0 cu υ 2 = (R + sL )(G + sC ). 2 dx Soluţia generală a ecuaţiei (L4) este: U (s ) = ae − υx + be υx , (L5) unde coeficienţii a şi b nu depind de x. Semnificaţia fizică a acestei soluţii ne este cunoscută (v. § 7.1.3): pe o linie se propagă un semnal care se atenuează cu x (acesta fiind echivalentul undei directe) şi un semnal care se atenuează de la finele liniei (ieşire) către capul ei (intrare), echivalentul undei inverse (unda reflectată). Din prima ecuaţie a sistemului (L3), şi ţinându-se seama de expresia (L5) a lui U(s), se poate calcula transformata Laplace a curentului, care este: (R + sL )I (s ) = υae − γx − υbe υx , adică :

(R + sL ) I (s ) = ae − υx − be υx sau υ

R + sL

(G + sC )(R + sL )

I (s ) = ae − υx − be υx →

R + sL I (s ) = ae − υx − be υx . G + sC

Folosindu-se notaţia: R + sL D = Z c (s ), G + sC unde Zc(s)este impedanţa critică a liniei (bifilare) precum şi condiţiile la limită (la x=0): Z c (s )I (s ) x = 0 = a − b = Z c (s )I 1 (s ),

(L6)

U (s ) x = 0 = a + b = U 1 (s ),

(conform notaţiilor din fig. 8.8/25), rezultă coeficienţii a şi b: U (s ) + Z c (s )I 1 (s ) U (s ) − Z c (s )I 1 (s ) , b= 1 , a= 1 2 2 astfel că expresiile definitive ale transformatelor Laplace ale tensiunii şi curentului în lungul unei linii bifilare sunt: U 1 (s ) + Z c (s )I 1 (s ) − υx U 1 (s ) − Z c (s )I 1 (s ) υx  e + e U (s ) = 2 2  . (L7)   I (s ) = U 1 (s ) + Z c (s )I 1 (s ) e − υx − U 1 (s ) − Z c (s )I 1 (s ) e υx  2Z c (s ) 2Z c (s ) Aşa cum s-a demonstrat în paragraful precedent, la fel se poate arăta şi aici (linia bifilară din figura 8.8/25 fiind şi ea tot un cuadripol) că dacă linia este conectată la ieşire pe impedanţa caracteristică Z c ( s ) = ( R + sL) /(G + sC ) , atunci la intrare se măsoară impedanţa caracteristică (cuadripol simetric), ceea ce înseamnă: U 1 (s ) = Z c (s )I 1 (s ) . (L8) 536

Din ecuaţia (L7) se observă că dacă condiţia (L8) este îndeplinită, atunci dispare unda reflectată (al doilea termen din membrul drept se anulează). La transmisiile pe cablu sau linii acest fapt prezintă o deosebită însemnătate, deoarece prin conectarea întotdeauna a impedanţei caracteristice problema practică a adaptării liniei este rezolvată. Pentru studiul regimului armonic permanent, la o pulsaţie ω dată, se folosesc aceleaşi relaţii –adică (L3)…(L7)– în care se introduce s=jω şi transformatele Laplace se înlocuiesc cu fazorii de tensiune şi de curent. Astfel ecuaţia (L3) devine:  d − dx U (x ) = (R + jωL )I (x ) (L3' )  − d I ( x ) = (G + jωC )U (x )  dx sau, deoarece R + jωL = Z , (impedanţa complexă “longitudinală” a liniei) şi G + jωC = Y (admitanţa complexă “transversală” a liniei) sistemul (L3`) se mai scrie şi în forma: dU / dx = Z I . (L3``)  d I / dx = Y U Impedanţa caracteristică (complexă) a liniei lungi bifilare, în regim armonic, este conform definiţiei (L6): R + jω L (L6`) Zc = = Z /Y . G + jωC Atunci, expresiile fazorilor de tensiune şi de curent ale liniei bifilare lungi în regimul armonic, care se deduc din ecuaţiile generale (L7) în care υ devine aici υ = (R + jωL )(G + jωC ) = Z Y , sunt: 1 1  − υx υx U = 2 (U 1 + Z c I 1 )e + 2 (U 1 − Z c I 1 )e , (L7`)   I = 1 (U 1 + Z c I 1 )e − υx + 1 (U 1 − Z c I 1 )e υx  2Z c 2Z c în care U 1 = U e jϕu şi I = I e jϕ , unde U1 şi I1 sunt valorile efective ale tensiunii şi curentului la capul (intrarea) liniei, iar ϕ u şi ϕ i sunt fazele iniţiale ale tensiunii şi curentului la bornele 1-1` (la intrare). Dacă, în altă ordine de idei, linia bifilară este fără pierderi (nedisipativă), caz ce poate fi admis cu o bună aproximaţie în unele aplicaţii din radiocomunicaţii, atunci R=0 şi G=0, modelul (L2) al liniei devenind: ∂i  ∂u − ∂x = L ∂t .  − ∂i = C ∂u  ∂x ∂t Prin derivarea primei ecuaţii în raport cu x şi a celei de a doua în raport cu t sistemul acesta devine: − ∂ 2 u / ∂x 2 = L∂ 2 i / ∂t∂x şi − ∂ 2 i / ∂x∂t = C∂ 2 u / ∂t 2 ∴ ∂ 2 u / ∂x 2 = LC∂ 2 u / ∂t 2 , ceea ce înseamnă: 1 ∂ 2u ∂ 2u ⋅ − = 0 sau ‫ٱ‬LCu=0 , (L9) LC ∂x 2 ∂t 2 unde operatorul lui d`Alambert este, aici: i

537

1 ∂2 ∂2 ‫ٱ‬LC = − . + LC ∂x 2 ∂t 2 După cum se vede ecuaţia (L9) este un caz particular al ecuaţiei undelor (v. §. 7.1.2) Pentru extinderea analizei liniilor lungi, se poate formula acum problema lui Couchy generalizată pentru ecuaţia undelor (L9): u (t = +0) = u 0 ( x);

∂u / ∂t

t = +0

= u1 ( x) .

Se consideră : f ∈ C (t ≥ 0), u 0 ∈ C 1 ( R n ) şi u 1 ∈ C ( R n ) şi se prelungesc funcţiile u şi f cu valoarea zero pentru t<0: y ⇒ t ≥ 0 ; u~ =  0 ⇒ t < 0

~ f ⇒t ≥0 f = , 0 ⇒ t < 0

rămânând să se arate că funcţia u~ ( x, t ) satisface ecuaţia undelor (L9) sub forma : (L10)

~ □ u~ = f ( x, t ) + u 0 ( x)δ ' ( x) + u1 ( x)δ (t ) ,

în care u 0 ( x) şi u1 ( x) sunt „salturile ” la t=0. Modelul (L10) reprezintă o tratare a ecuaţiei telegrafiştilor pentru liniile bifilare ideale (considerate fără pierderi), care defineşte o ecuaţie de tipul (L9) – un caz particular al ecuaţiei undelor, prin teoria distribuţiilor, singura capabilă să descrie sensul derivatelor în care semnalele cresc brusc (sub forma de treaptă, dreptunghi) care apar permanent în cazul uzual al transmiterii datelor în cod de impulsuri. Atunci pentru orice ϕ ∈ D ( R n +1 ) se poate scrie :  ∂ 2ϕ  1  u − ∆ϕ dxdt = ε → 0 ε ∫R  ∂t 2 0 LC   R 2 ∞  ∂ u 1 ∂ϕ(x, ε ) u (x, ε )dx + = lim[ ∫ ∫  2 − ∆u ϕdxdt − ∫ ε →0 ε R R LC ∂t   ∂t ∞ ∂ϕ(x,0) ∂u (x, ε ) dx] = ∫ ∫ fϕdxdt − ∫ u (x,0)dx + + ∫ ϕ(x, ε ) 0 R R R ∂t ∂t ~ ∂ϕ( x,0) ∂u (x,0 ) dx = ∫ f dxdt − ∫ u 0 dx + + ∫ ϕ(x,0) R R R ∂t ∂t ~ + u ( x )ϕ(x,0 )dx = f + u~ (x )δ(t ) + u (x )δt , ϕ .

< LC u , ϕ >=< u , LC ϕ >= ∫

∞

∫ u LC ϕdxdt = lim ∫

∞

n

n

n

n

n

n

n +1

n

∫

Rn

1

0

n

n

1

Astfel, condiţiile iniţiale u0 şi u1 au rolul unor surse instantanee iniţiale (se reaminteşte cazul condensatorului care la t=0 se încarcă brusc cu Q0 ). Atunci, însă, perturbaţiile iniţiale u1 îi

corespunde stratul dublu u 0 (x )δ(t ) , iar perturbaţiei iniţiale u1 îi corespunde stratul simplu u1 (x )δ(t ) ambele în planul t=0.

Dacă s-a găsit soluţia fundamentală a ecuaţiei LC u = δ(x, t ) , fie aceasta u f , rezultă soluţia

unică LC u = f ( x, t ) şi anume u = u f ∗ f ⇒ f (t < 0) = 0. Acest produs de convoluţie este denumit „forma potenţialului retardat”(v. § 7.1.4.).

538

8.9. Aplicaţii În domeniul strict al circuitelor electrice există o mare varietate de aplicaţii tehnice, în numeroase cazuri practice: de la cele din zona puterilor mari (industriale), cum ar fi reţelele sistemului electroenergetic (cu probleme legate de calculul curenţilor de scurtcircuit, analiza regimului deformant, calculul componentelor simetrice, determinarea pierderilor de putere activă, optimizarea "structurilor" de transfer a energiei electromagnetice între furnizori şi consumatori v. § 8.9.1 etc.), schemele echivalente ale maşinilor electrice şi până la problemele de analiză şi sinteză din domeniul electronicii (a circuitelor de curenţi slabi, cu componente neliniare şi diverse forme de semnale etc.). De aceea, în acest subcapitol referitor la aplicaţiile privind circuitele electrice, spaţiul tipografic restrâns a impus o selectie limitată numai la câteva cazuri, fiind preferate acelea legate de utilizarea tehnicilor de modelare şi simulare asistată de calculator (de tip CAD/CAM – v. subcap. 9.3), care să realizeze deschiderea către disciplinele de profil (Maşini electrice, Instalaţii electrice, Electroenergetică, Componente şi circuite electronice, Electronică aplicată etc.).

8.9.1. Utilizarea calculului matriceal la analiza circuitelor electrice Analiza asistată de calculator a reţelelor electrice cu multe laturi şi noduri se face simplu şi exact prin utilizarea modelelor de calcul scrise sub formă matriceală, aşa cun se arată în cele două aplicaţii ce urmează. Aplicaţia 8.1. Se propune determinarea intensităţii curenţilor în reţeaua din figura 8.1-1, R6=6Ω, R7=3Ω, cunoscându-se: R4=R5=3Ω, E1=E3=100V, r1=r2=r3=1Ω. Secvenţa unei sesiuni de lucru MATLAB construită conform modelului metodei curenţilor ciclici, şi anume: E1=100;E2=20;E3=100; r1=1;r2=1;r3=1; R4=3;R5=3;R6=6;R7=3; E=[E1;E2;-E3] R=[r1+R4+R6,-R6,-R4; -R6,r2+R5+R6,-R5; -R4,-R5,r3+R4+R5+R7]; J=R\E; I=[J(1);J(2);J(1)-J(3);J(2)-J(3);J(2)-J(1);-J(3)];

Fig. 8.1-1

returnează rezultatul: I =16.1364,

11.1364, 17.9545, 12.9545, -5.0000,

1.8182,

cifrele reprezentând, în ordinea indicilor, intensităţile curenţilor din laturi. Aplicaţia 8.2. Se presupune sistemul trifazat simetric din figura 8.2-1 care alimentează din nodurile sursă, notate cu 0 şi respectiv cu 1, nodurile consumatoare notate cu 2, 3, 4 şi 5. Într-un asemenea sistem, asemănător sistemelor industriale de distribuţie a energiei electrice, potenţialele nodurilor sunt dependente de 539

Fig. 8.2-1

curenţii din laturi astfel că regimul permanent va trebui determinat prin iteraţii succesive până la închiderea bilanţului de puteri cu precizia dorită. Se cunosc puterile S i = Pi + jQi cerute la nodurile consumatoare şi admitanţele laturilor reţelei notate în figura 8.2-2. Se presupune că nodul 0 este nod de echilibru, adică nodul în care tensiunea este invariantă fazorial. Se cere să se determine tensiunile nodurilor independente şi pierderile de putere activă în reţea, la închiderea bilanţului de puteri cu o eroare relativă mai mică decât 10-4. Ecuaţia de funcţionare a reţelei este: [∆U ] = [Z ][I ] ,

unde: [∆U ] şi [I ] sunt matricea creşterilor de tensiune faţă de nodul de referinţă şi, respectiv, matricea curenţilor injectaţi în noduri, având fiecare n-1 linii iar [Z ] =M(n-1, n-1, C) este matricea impedanţelor proprii şi de transfer

Fig. 8.2-2

a reţelei în raport cu nodul de referinţă căruia i se atribuie indicele 0. Un element Z al matricei [Z ] se defineşte ca fiind valoric egal cu ik

căderea de tensiune dintre nodul k şi nodul de referinţă, atunci când în nodul i este injectat curentul 1+ j0 care vehiculează prin reţea către nodul de

referinţă. De asemenea, matricea [Z ] poate rezulta din relaţia [Z ] = [Y ] , −1

elementele diagonale ale matricei [Y ] fiind suma admitanţelor care converg în noduri, iar elementele nediagonale sunt admitanţele de legătură între noduri (acolo unde există) luate cu semn schimbat.

Procedura-funcţie dintr-o sesiune de lucru MATLAB (autor as. ing. Liana Georgescu) care rezolvă rapid problema are următoarea structură: DATELE DE INTRARE Numărul nodurilor: N=6; Tensiunea la nodul de echilibru: U0=6.3; Tensiunile nodurilor independente pentru prima iteraţie: U=[6;6;6;6;6]; Sarcinile nodurilor independente. Se atribuie semnul (-) nodurilor consumatoare: S=[0.800+0.260i;-0.640-0.210i;-0.800-0.260i;-0.640-0.210i;-0.800-0.260i]; Matricea de admitanţe nodale: YNN=[0.1860 - 1.1895i 0 -0.0811 + 0.4560i -0.1049 + 0.7335i; 0 0.0811 - 0.4560i -0.0811 + 0.4560i 0; -0.0811 + 0.4560i -0.0811 + 0.4560i 0.1622 - 0.9120i 0; -0.1049 + 0.7335i 0 0 16.5909 - 8.7747i; 0 0 0 -16.4860 + 8.0412i]; Precizia cu care se doreşte închiderea bilanţului de puteri: er=.0001; ALOCĂRI S1=zeros(N-1,1); I=zeros(N-1,1); UNE=[U0; U0; U0; U0; U0]; DU=zeros(N-1,1); Unod=zeros(N-1,1); CORPUL RUTINEI Matricea impedanţelor de transfer: Z=inv(YNN); e1=.011; f1=.011; while (e1>er)&(f1>er) Calculul curenţilor generaţi/ejectaţi la noduri: for i=1:N-1

540

I(i)=conj(S(i))/conj(U(i)); end; Calculul variaţiilor de tensiune faţă de nodul de echilibru şi al tensiunilor nodurilor: DU=Z*I; Unod=DU+UNE; Recalcularea puterilor injectate/rejectate la noduri şi calculul abaterilor relative ale puterilor active şi reactive: for i=1:N-1 S1(i)=0; Y0=[0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 19.5925-7.8370i 0]; for j=1:N-1 if j~=i S1(i)=S1(i)+Unod(i)*conj((Unod(i)-Unod(j))*(-YNN(i,j)))+Unod(i)*conj((Unod(i)-U0)*Y0(i,j)); end; end; end; for i=1:N-1 ep(i)=abs((real(S(i))-real(S1(i)))/real(S(i))); eq(i)=abs((imag(S(i))-imag(S1(i)))/imag(S(i))); end; Selectarea abaterilor maxime: for i=2:N-1 if ep(i)<ep(i-1) e=ep(i-1); else e=ep(i); end; if eq(i)<eq(i-1) f=eq(i-1); else f=eq(i); end; end; Calculul puterii injectate la nodul de echilibru: S0=0; for i=1:N-1 for j=1:N-1 S0=S0+U0*conj((U0-Unod(i))*Y0(i,j)) end; end; Rezultatele iteraţiei: U=Unod; Un=U Sn=S1 e1=e; f1=f; end; p=real(S0); for i=1:N-1 p=p+real(S(i)) end; end; end

iar rezultatul returnat este: » Tensiunile nodurilor - kV: 6.3588 + 0.1618i, 6.2673 - 0.0013i, 6.1165 - 0.2563i, 6.2846 - 0.0002i, 6.2832 0.0006i; Puterile la noduri - MVA: 0.7992 + 0.2588i, -0.6401 - 0.2101i, -0.7984 - 0.2613i, -0.6400 - 0.2101i, -0.8000 - 0.2601i, Puterea la nodul de echilibru -MVA: 2.0990 + 0.7498i Pierderea de putere activă - MW: 0.0190 Numărul de iteraţii: k1 = 3

541

8.9.2. Analiza circuitelor trifazate în regim nesimetric Cele două aplicaţii prezentate în continuare se referă la două cazuri frecvent întâlnite în practică. Aplicaţia 8.3. Un receptor trifazat cu conexiunea în stea, având impedanţele egale Z 1 = Z 2 = Z 3 = R = 10Ω şi impedanţa neutrului Z N = 5 / 3Ω este alimentat cu tensiunile nesimetrice: V 1 = 150[V] , V 2 = −180 j[V] şi V 3 = 210 j[V] . Se cer curenţii de linie şi curentul în conductorul neutru. O procedură-funcţie MATLAB pentru această problemă are conţinutul: DATE DE INTRARE V1=150; V2= -180*i; V3=210*i; Z1=10; Z2=10; Z3=10; ZN=5/3; a=-1/2+(sqrt(3)/2)*i; CALCULUL COMPONENTELOR SIMETRICE DE TENSIUNI ŞI CURENŢI Vh=(V1+V2+V3)/3; Vd=(V1+a*V2+(a.^2)*V3)/3; Vi=(V1+(a.^2)*V2+a*V3)/3; I1d = Vd/R; I2d=(a.^2)*Vd/R; I3d=a*Vd/R; I1i = Vi/R; I2i=a*Vi/R; I3i=(a.^2)*Vi/R; Ih=Vh/(R+3*ZN); CALCULUL EXPRESIILOR COMPLEXE ALE CURENŢILOR I1=I1d+I1i+Ih; I2=I2d+I2i+Ih; I3=I3d+I3i+Ih; IN=3*Ih; VALORILE EFICACE ALE CURENŢILOR I1=abs(I1c), I2=abs(I2c), I3=abs(I3c), IN=abs(INc)

Rezultatul, în amperi, este: » I1 =13.3375, I2 =18.4089, I3 =20.7338, IN =10.1980

Aplicaţia 8.4. Pentru controlul simetriei curenţilor în reţeaua trifazată cu trei conductoare (fără conductor neutru) se folosesc montaje ca acela din figura 8.4-1. Se cere să se stabilească o relaţie între impedanţele Z 2 şi Z 3 pentru ca ampermetrul A să indice: a) numai componenta directă de curent; b) numai componenta inversă de curent. Curentul din latura ampermetrului are expresia în complex: Z2 Z3 (8.4-1) IA = I2 + I3. Fig. 8.4-1 Z2 + Z3 + Z A Z2 + Z3 + Z A Reţeaua neavând conductor neutru, componenta homopolară de curent este nulă, I h = 0 , iar curenţii I 1 şi I 2 exprimaţi în funcţie de componentele simetrice vor fi: I 2 = a2 I d + aI i (8.4-2) şi I 3 = aI d + a2 I i . (8.4-3) Înlocuindu-se curenţii în relaţia (8.4-1) cu expresiile lor (8.4-2) şi (8.4-3) se obţine: (a Z 3 + a 2 Z 2 ) I d + (a 2 Z 3 + a Z 2 ) I i . IA = Z2 + Z3 + Z A Pentru ca aparatul să măsoare numai componenta directă va trebui să existe relaţia (a 2 Z 3 + a Z 2 ) = 0 , adică: 1 Z 3 = − Z 2 = −a 2 Z 2 = Z 2e j 60 . a Cea de a doua condiţie va fi îndeplinită dacă (a Z 3 + a 2 Z 2 ) = 0 , adică: 0

542

1 Z 2 = − Z 3 = −a 2 Z 3 = Z 3e j 60 . a 0

8.9.3. Calculul regimului deformant în reţelele de curent alternativ Sunt prezentate în continuare numai două aplicaţii: una cu referire la circuitele electrice "de curenţi tari" şi alta relativă la structura semnalelor în general. Aplicaţia 8.5. Un circuit electric este alimentat cu tensiunea nesinusoidală : u = 20 + 150 2 sin ωt + 15 2 sin(3ωt + 30 0 ) , în [V], curentul debitat de sursă fiind: i = 4 + 30 2 sin(ωt + 30 0 ) + 5 2 sin(3ωt + 30 0 ) , în [A]. Interesează valorile efective ale curentului şi tensiunii, puterea activă consumată, factorul de putere al circuitului şi reprezentările grafice şi spectrale ale tensiunii şi curentului. Se foloseşte o procedură-funcţie MATLAB cu următorul conţinut: U0=20;U1=150;U2=15;I0=4;I1=30;I2=5;FI1=pi/6;FI2=pi/3; t=0:.001:.039; fe=1/ (t(2)-t(1)); u=U0+U1*sqrt(2)*sin(2*pi*50*t)+U2*sqrt(2)*sin(3*pi*100*t+pi/6); Xt=fft(u); Xm=abs(Xt); N=length(u); X=Xm(1:N/2+1); f=[0:N/2]*fe/N; subplot(221); plot(t,u,'w');grid; xlabel('t[s]'); ylabel('u[V]'); subplot(222); stem(f,X,'w');grid xlabel('f[Hz]'); ylabel('U(f)[V]')' i=I0+I1*sqrt(2)*sin(2*pi*50*t+pi/6)+I2*sqrt(2)*sin(3*pi*100*t+pi/2); Yt=fft(i); Ym=abs(Yt); N=length(i); Y=Ym(1:N/2+1); 400 f=[0:N/2]*fe/N; subplot(223); plot(t,i,'w');grid; 200 xlabel('t[s]'); u[V] 0 ylabel('i[A]'); subplot(224); stem(f,Y,'w');grid -200 xlabel('f[Hz]'); 0 ylabel('I(f)[A]')' 50 U=sqrt(U0.^2+U1.^2+U2.^2) I=sqrt(I0.^2+I1.^2+I2.^2) P=U0*I0+U1*I1*cos(FI1)+U2*I2*cos(FI2) i[A] 0 S=U*I COSFI=P/S -50

Rezultatul prelucrării datelor este:

6000 4000 U(f)[V] 2000 0.02 t[s]

0.04

0

0

f[Hz]

500

1000 I(f)[A] 500

0

0.02 t[s]

0.04

0

0

f[Hz]

500

Fig. 8.5-1

>>U =152.0691V; I = 30.6757A; P =4.0146e+003W; S =4.6648e+003VA; COSFI = 0.8606,

iar graficele cerute sunt cele reproduse în figura 8.5-1. Aplicaţia 8.6. Din date experimentale este cunoscut un semnal prin punctele de coordonate prezentate în tabelul 8.6-1: Tabelul 8.6-1 x y

0 0,0

1 10,0

2 20,0

3 32,0

4 18,0

543

5 44,0

6 54,0

7 42,0

8 76,0

9 84,0

10 70,0

Se cere să se aproximeze semnalul prin interpolare spline cubică şi să i se facă analiza spectrală. Cu ajutorul procedurii: 100

y

x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; y=[0.0,10.0,20.0,32.0,18.0,44.0,54.0,42.0,76.0,84.0,70.0]; xi=0:0.1:10; yi=spline(x,y,xi) axis([-1,10,-10,100]) subplot(211) plot(x,y,xi,yi,x,y,'w');grid xlabel('x') ylabel('y') fe=1/ (xi(2)-xi(1)); Xt=fft(yi); Xm=abs(Xt); N=length(yi); X=Xm(1:N/2+1); f=[0:N/2]*fe/N; subplot(212); stem(f,X,'w');grid xlabel('f[Hz]'); ylabel('Y(f)[V]')'

50 0

0

2

4

6

8

10

3

4

5

x

6000 4000 2000 0

0

1

2 f [Hz]

Fig. 8.6-1

se obţin rezultatele prezentate în diagramele din figura 8.6-1.

8.9.4. Calculul procesului tranzitoriu din circuitele electrice Vor fi prezentate două aplicaţii net diferite care -ambele- se bazează pe utilizarea calculului operaţional (v. § 9.1.4) asistat de calculator. Aplicaţia 8.7. Regimul tranzitoriu al unei linii lungi fără pierderi, atacată la intrare cu o t.e.m. constantă, e(t ) = const. = E , la ieşirea căreia este conectat un condensator (fig. 8.7-1). Linia lungă bifilară din figura 8.7-1, cu lungimea l , este caracterizată de parametrii ei uniform distribuiţi L (în H/m ) şi C (în F/m ), având rezistenţa R (în Ω/m )= 0 şi G (în S/m )=0 deoarece linia este considerată fără pierderi. În această situaţie ecuaţiile liniilor lungi, Fig. 8.7-1 cunoscute din paragraful 8.8.5 – v. expresiile (L2), (L3) şi (L4), care au soluţia (L5) sub forma transformatei Laplace – şi anume: U (s ) = ae − νx + be νx cu ν = (R + sL )(G + sC ) ,

sau - folosindu-se funcţiile hiperbolice - : (8.7- 1)

U (s ) = Achνx + Bshνx ,

unde A şi B sunt constante arbitrare (ce pot fi funcţii de s ) care se determină din condiţiile la limită ale problemei, devin (v. şi figura 8.7 -1):

U 2 (s ) = Z 2 (s )I 2 (s ) cu Z 2 (s ) =

544

1 , sC2

I 2 (s ) =

1 chν(l − x ) ρsC2 (8.7- 2) 1 shνl + ρsC2 chνl

shν(l − x ) +

1 U1 (s ) E = → U 2 (s ) = E Z l (s ) + Z 2 (s ) s Z l (s ) + Z 2 (s ) s

unde Z l (s ) este impedanţa operaţională a liniei. Ţinându-se seama de faptul că în cazul acestei aplicaţii (linie fără pierderi) ν şi ρ devin:

ν = s LC şi ρ = L C , atunci ultima expresie din (8.7 - 2), a lui U 2 (s ) , ia forma: E νlshν(l − x ) + γchν(l − x ) U 2 (s ) = , (8.7- 3) s νlshνl + γchνl în care γ = C C , unde C1 este capacitatea totală a liniei (calculată la bornele de alimentare / 1

2

început ale liniei – v. fig. 8.7-1), fiind C1 = Cl .

Pentru a putea găsi soluţia original a ecuaţiei (8.7-1), adică u2 (t ) = L−1 [U 2 (s )] prin teorema dezvoltării, adică prin aplicarea formulelor (9.55) sau (9.56) – v. § 9.1.4. - trebuie găsite valorile lui s care satisfac ecuaţia: νlshνl + γchνl = 0 . (8.7- 4) Deoarece circuitul electric examinat nu conţine rezistene electrice (căci nu are pierderi de putere), rădăcinile ecuaţiei (8.7-4) sunt pur imaginare, ceea ce permite să se considere: ν l = jβ , astfel că ecuaţia (8.7- 4) capătă forma: jβ shjβ + γchjβ = 0 → γ cos β − β sin β = 0, (8.7- 5) care este o ecuaţie transcendentă (cu β = − jνl ), astfel că fiecărei rădăcini pozitive îi corespunde o rădăcină negativă egală cu ea în valoare absolută (aceasta se vede din faptul că ecuaţia (8.7- 5) nu se schimbă dacă se înlocuieşte β cu − β ). Folosindu-se teorema dezvoltării (9.56), adică: P(0) +∞ P(sk ) s t +∑ f (t ) = e , R(0) k =−∞ sk R ' (sk ) în care se ia / - v. (8.7- 3) -/: P(s ) = [νlshν(l − x ) + γchγ (l − x )E ] , R(s ) = νlshνl + γchνl k

şi f (t ) = u (t ) = u2 (tensiunea instantanee la ieşirea din linie) rezultă (ştiindu-se că ν = s LC ): R ' (s ) = dR (s ) / ds = (shνl + νlchνl + γshνl )l LC ,

astfel că originalul ecuaţiei (8.7- 3) este - conform dezvoltării (9.56): +∞   ν k lshν k (l − x ) + γchν k (l − x ) u = E 1 + ∑ es t  .  k =−∞ sk l LC (shν k l + ν k lchν k l + γshν k l )  k

Ţinându-se seama că: ν k l = jβ k , sk =

νkl β = j k , soluţia de mai sus poate fi scrisă l LC l LC

în forma:

545

   l−x l−x  +∞ β k sin  β k l  + γ cos l  j β t     e l LC  .  u = u (t , x ) = E 1 + ∑ (8.7- 6).  −∞ β k (sin β k + β k cos β k + γ sin β k )      Din a doua ecuaţia (8.7- 5) se obţine: γ = βk sin βk / cos β k , care introdusă în expresia (8.7- 6), conduce - după transformările de rigoare - la : x   β sin β k +∞ j t  l l LC e u = E 1 − 2 ∑ (8.7- 7) . k = −∞ 2β k + sin 2β k     Pentru că însumarea în raport cu valorile negative ale lui βk (valori negative ale lui k ) se poate înlocui cu o însumare în raport cu valorile pozitive ale lui βk , relaţia (8.7- 7), în care se schimbă semnul lui βk (se presupune că rădăcinile sunt astfel numerotate încât valorilor pozitive k le corespund rădăcinile pozitive βk , deoarece creşterii rădăcinii îi corespunde creşterea lui k ), relaţia (8.7 -7) devine: x   sin β k ∞  β l cos k t  , u = E 1 − 4∑ (8.7- 8)  l LC  k =1 2β k + sin 2β k    care constituie soluţia problemei propuse de aplicaţia 8.7 (v. fig. 8.7-1), adică tensiunea instantanee în lungul liniei, deci u (t , x ) , dacă se cunosc rădăcinile βk ale ecuaţiei (8.7- 5). Considerându-se, pentru exemplificarea numerică, faptul că linia bifilară fără pierderi este un cablu coaxial de antenă TV cu datele: - lungimea l = 160m , - capacitatea specifică C = 2nF/m , - inductiviatea specifică L = 2nH / m , k

k

- produsul l LC = 160 2.10 −9.2.10 −9 = 8.10 −8 , - capacitatea de la ieşire C2 = 1µF şi - tensiunea continuă ce va fi aplicată brusc (de tip semnal treaptă) la intrare E = 6V , se cere să se reprezinte, pe baza soluţiei (8.7- 8), forma de undă a tensiunii la ieşire u (t , x = l ) şi la jumătatea cablului u (t , x = l / 2) . D

În această situaţie, γ =C 1/ C2 = 2.10 −9.160 / 1.10−6 = 0,32 , iar problema ce trebuie rezolvată -considerându-se numai primii patru termeni ai sumei din expresie (8.7 - 8)- este : (8.7-5') 0,32 cos β − β sin β = 0

(8.7- 6')

x   sin β k 4  β l cos k t  u (t ) = 61 − 4∑  8.10 −8  k =1 2β k + sin 2β k    xx==ll / 2

Problema (8.7 -5'), (8.7- 6') a fost rezolvată în două etape: - printr-o subrutină MATHCAD pentru rezolvarea ecuaţiilor transcendente (cu un algoritm destinat ecuaţiilor trigonometrice) a fost rezolvată ecuaţia (8.7-5'). Din mulţimea, teoretic infinită, 546

a soluţiilor acestei ecuaţii pentru coeficientul γ = 0,32 , au fost reţinute practic numai patru şi anume: β1 = 0,538; β 2 = 3,240; β3 = 6,334 şi β 4 = 9,459 ⇐ γ = 0,32 . Au fost determinate mai multe soluţii ( β5 = 12,592; β6 = 15,728; β7 = 18,867;... ) dar valorile lor nu mai sunt semnificative pentru evaluarea expresiei (8.7-6'); - printr-un simplu program MATLAB ce conţine o instrucţiune de evaluare a funcţiei (8.76') –în care au fost introduşi coeficienţii β1 , β 2 , β3 şi β 4 calculaţi anterior– şi o instruciune de trasare grafică (program care a fost aplicat de două ori, o dată pentru x = l şi a doua oară pentru x = l / 2 ) s-au obţinut graficele din figura 8.7-2, cu: a reprezentând funcţia u (t ) la sfârşitul liniei ( x = l ) şi b cu forma lui u (t ) la mijlocul liniei (pentru x = l / 2 ). 14

16

12

14 12

10

10

8

8 u [V]

u [V]

6 4

4

2

2

0 -2 0

6

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05 t[s]

0.06

0.07

0.08

0.09

-2 0

0.1

0.01

0.02

a

0.03

0.04

0.05 0.06 t [s]

0.07

0.08

0.09

b Fig. 8.7-2

Aplicaţia 8.8. Să se determine forma curentului i(t ) dintr-un circuit R , L serie alimentat de la o sursă cu t.e.m. în formă de dinţi de ferăstrău (fig. 8.8 -1). Tensiunea electromotoare din acest circuit are forma unor impulsuri triunghiulare periodice. Fie T perioada t.e.m şi E valoarea maximă pe care o atinge e ; atunci, în intervalul 0 < t < T , t.e.m are forma unei funcţii rampă, adică: E e(t ) = t = fEt ⇐ 0 < t < T T e(t + T ) = e(t ) ⇐ t ∉ (t , T ) , unde f = 1 / T este frecvenţa de repetiţie a t.e.m. În regim permanent, curentul din acest circuit i(t ) este Fig. 8.8-1 de asemenea periodic şi se poate determina utilizând transformata Laplace: I (s ) = E (s ) / Z (s ) , (8.8- 1) în care: Z (s ) = R + sL este impedanţa operaţională a circuitului R , L serie (v. subcap. 8.4), iar transformata Laplace a t.e.m. E (s ) = L[e(t )] este dată de: T

E −st E 1  te dt =  (1 − e −sT ) − e −sT  . T s sT   0 Atunci, transformata Laplace a curentului (8.8 -1) are expresia: E (s ) = ∫

547

0.1

E (1 − e − sT ) − sTe − sT . s 2T R + sL Acum singura problemă care se mai pune este găsirea originalului i (t ) = L−1 [I (s )] . Dar, folosindu-se transformarea Mellin-Fourier (v. § 9.1.4) scrisă, aici, sub forma: (1 − e − sT ) − sTe − sT e st ds , I (s ) st E 1 i (t ) = s e d = (8.8- 3) 2πj ∫Γ 1 − e − sT 2πjT ∫Γ s 2 (R + sL )(1 − e − sT ) unde Γ desemnează un contur de integrare în planul complex al frecvenţelor, el trebuie astfel ales încât punctele singulare ale lui I (s ) să se afle în afara domeniului (în "stânga" liniei Γ ). Pentru simplificarea integrării, se "desparte" integrala (8.8-3) în două părţi, notate cu S1 şi S 2 : 1 1 e st ds S1 = 2πj ∫Γ s 2 (R + sL ) I (s ) =

(8.8- 2)

S2 =

(8.8- 4)

=

1 e − sT e st ds = − sT ∫ 2πj Γ s (R + sL )(1 − e ) 1 e s ( t −T ) ds , 2πj ∫Γ s (R + sL )(1 − e − sT )

astfel că: S  i (t ) = E  1 − S 2  . T   Integrala S1 se poate calcula cu teorema reziduului, deoarece în interiorul conturului de integrare Γ există numai un singur punct singular s = 0 (adică un pol de ordinul al doilea). Se obţine: 1 (αt − 1) , S1 = αR unde α = R / L (reprezentând o atenuare a circuitului R , L serie). Integrala S 2 , ţinându-se seama de particularităţile ei, este: 1 e − αt . S2 = − α L 1 − e −αT Atunci soluţia problemei, adică expresia originalului curentului electric i(t ) este, înlocuindu-se S1 şi S 2 în (8.8 -5):

(8.8-5)

5.01

(8.8- 6)

Et 1 e − αt  − + R  T α T 1 − e − αT

  ⇒  .

⇒ t ∈ (0, T ) Luându-se, ca exemplu numeric, pentru circuitul din figura 8.8- 1: R = 50Ω , L = 50mH , E = 5V şi T = 10 −5 s = 10µs , pentru care

i [A] *100

5.005

5

4.995

i = i (t ) =

0

1

2

3

4 5 6 t [microsecunde]

7

8

9

10

α = 50 / 50.10 −3 = 1000s −1 , un simplu program MATLAB, de evaluare a expresiei (8.8- 6), cu aceste date, şi de reprezentare grafică a lui i (t ) a dus la forma de undă redată în figura 8.8 -2.

Fig. 8.8-2 548

8.9.5. Calculul circuitelor electrice neliniare şi parametrice

După cum se ştie, se numesc circuite neliniare acele circuite electrice al căror răspuns y

este o funcţie neliniară a semnalului x – ca, de exemplu y = ax 2 sau y = a(x )x etc. –şi care –mai general definite– nu satisfac teoremele de superpoziţie, adică y1 = f (x1 ) şi y2 = f ( x2 ) dau y1 + y2 ≠ f ( x1 + x2 ) . În cazul circuitelor electrice neliniare, parametrii lor sunt descrişi de caracteristicile y = f (x ) , de exemplu tensiune - curent. Tot din categoria circuitelor electrice neliniare fac parte şi aşa- numitele circuite parametrice. Se numesc circuite parametrice (cu parametri variabili în timp) acele circuite electrice ai căror parametri variază datorită unor cauze exterioare, altele decât semnalul de excitaţie. Variaţia parametrilor este descrisă prin funcţii de timp. Totuşi, în cazul circuitelor parametrice, proprietăţile de omogenitate şi aditivitate sunt valabile, ceea ce ar permite să se considere o asemănare a acestor circuite cu circuitele liniare. Dar, pe de altă parte, răspunsul circuitelor parametrice are o formă de undă diferită de aceea a semnalului de excitaţie, datorită caracterului variabil în timp al parametrilor, astfel că –din punctul acesta de vedere– circuitele parametrice se apropie de comportarea circuitelor electrice neliniare. La un circuit electric neliniar, când semnalul (de excitaţie) rezultă din însumarea a două semnale sinusoidale, în spectrul răspunsului apar, în afara armonicelor celor două semnale, şi alte armonice rezultate din neliniaritatea parametrilor (numite armonice de combinaţie), pulsaţiile lor rezultând din suma şi diferenţa pulsaţiilor celor două semnale de excitaţie. Astfel, dacă cele două semnale au pulsaţiile ω1 şi ω2 , răspunsul are pulsaţia ω ce rezultă din combinaţia: ω = ± pω1 ± qω2 , p, q = 0,1,2,..., n , spunându-se că răspunsul a suferit distorsiuni de neliniaritate. La circuitele parametrice, când semnalul de excitaţie rezultă din suma a două semnale sinusoidale, răspunsul acestor circuite nu are armonice de combinaţie ale semnalelor ca cele date de relaţia precedentă. În schimb apar –în semnalul răspuns– alt tip de armonice de combinaţie ale căror pulsaţii rezultă din suma şi diferenţa pulsaţiilor semnalelor (de excitaţie) la care se adaugă şi componentele sinusoidale ale parametrilor de circuit, deoarece ele variază periodic în timp. Din punctul acesta de vedere, apare diferenţa esenţială - calitativă dintre circuitele electrice parametrice şi circuitele electrice neliniare. Aplicaţia 8.9. Să se calculeze curenţii din laturile unei punţi electrice stabilizatoare (fig. 8.9 -1) ce conţine două rezistoare neliniare identice. Cele două rezistoare neliniare identice, 3 şi 4, sunt conectate în două braţe (laturi) ale punţii opuse (v. fig. 8.9- 1), în celelalte două laturi aflându-se două rezistoare liniare identice (1 şi 2), având rezistenţele R1 = R2 = R = 5Ω . Diagonala de măsurat are o rezistenţă liniară cu valoarea RN = 8Ω , iar pe diagonala de alimentare se aplică o tensiune continuă U = 10V . Caracteristica tensiune - curent (denumită şi "volt-amper") ale rezistoarelor neliniare (3 şi 4) este indicată grefic în figura 8.9-2. În acest caz, semnalul (de excitaţie) este reprezentat de tensiunea U de pe diagonala de alimentare, iar răspunsul îl constituie mulţimea curenţilor electrici din laturi - adică I = {I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 } (v. fig. 8.9-1). Cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se obţine următorul sistem de ecuaţii: I1 − I 4 − I 5 = 0 la nodul c , R1 I1 − Rn I 3 + RN I 5 = 0 pentru ochiul a-c-b-a,

R1 I1 + Rn 4 I 4 = U pentru ochiul a-c-b-U-a,

549

(8.9- 1)

în care ultimile două ecuaţii sunt neliniare (datorită rezistenţelor Rn 3 şi Rn 4 ) şi în care - din motive de simetrie - : I1 = I 2 şi I 3 = I 4 . (8.9- 2) Pentru rezistoarele neliniare Rn se are în vedere că: Rn 3 = Rn 3 (I 3 ) şi Rn 4 = Rn 4 (I 4 ) , (8.9- 3) conform graficului din figura 8.9 -2. astfel, pentru un punct M de pe grafic: RM = U M / I M .

Fig. 8.9 -2

Fig. 8.9 -1

Alegându-se valori arbitrare pentru rezistenţele statice Rn 3 şi Rn 4 se determină –cu ajutorul sistemului (8.9-1), (8.9-2)– curenţii I1 , I 3 şi I 5 . Apoi cu ajutorul relaţiilor (8.9-3) - sau a graficului din figura 8.9-2 (care poate fi introdus în sistemul de calcul automat prin scanare)rezultă noi valori (corectate) ale rezistenţelor statice Rn 3 şi Rn 4 . Cu aceste noi valori, o a doua rezolvare a sistemului (8.9-1), (8.9-2), conduce la noi valori ale curenţilor, care - prin (8.9-3) sau graficul din figura 8.9-2 – determină o a doua corecţie pentru rezistenţele neliniare statice Rn ş.a.m.d. Procedeul se repetă până când valorile corecţiilor rezistenţelor, adică: ∆Rn = ∆Rn − ∆Rn (k −1) k = 1,2,..., k

unde k este numărul iteraţiei, devin mai mici decât o corecţie maximă admisă (de exemplu ∆Rn = 0,1Ω ). Rezultatele obţinute printr-o procedură iterativă MATHCAD (cu listarea valorilor rezultate după fiecare iteraţie) sunt: Iteraţia K 1 2 3 4 5 6

Rn3=Rn4 [Ω] 10 12,7 14,8 16,1 16,5 16,6

I1=I2 [A] 0,818 0,770 0,774 0,730 0,726 0,725

I3=I4 [A] 0,590 0,483 0,423 0,393 0,386 0,385

I5 [A] 0,228 0,287 0,321 0,337 0,340 0,340

U5=Ucd [V] 1,816 2,296 2,568 2,696 2,720 2.720

din care rezultă că soluţia s-a obţinut după numai şase iteraţi (când Rn 6 − Rn 5 = 0,1Ω ), fiind I1 = I 2 = 0,725A ; I 3 = I 4 = 0,385A şi I 5 = 0,34A . Aplicaţia 8.10. Conversia energiei cu ajutorul circuitelor parametrice cuplate magnetic aflate în regim electrocinetic sinusoidal (fig. 8.10-1). 550

Circuitul din această figură are ca parametri (variabili în timp) inductivităţile proprii ( L1 şi L2 ) şi inductivitatea mutuală ( M ). În cazul acestei aplicaţii se urmăreşte determinarea expresiei generale a energiei cedate şi absorbite de circuit, atunci când energia câmpului electromagnetic poate fi convertită (transformată) în energie calorică şi mecanică. Aplicându-se legea conducţiei electrice circuitului din figura 8.10-1, cu sensurile de referinţă indicate pe schemă, rezultă: d d u1 = R1i1 + (L1i1 ) + (Mi2 ) dt dt şi (8.10-1)

Fig. 8.10-1

d (L2i2 ) + d (Mi1 ) , dt dt în care: R1 , R2 , L1 , L2 şi M sunt parametrii circuitului, u1 , u 2 – valorile instantanee ale tensiunilor la borne şi i1 , i2 – valorile instantanee ale curenţilor electrici din cele două laturi cuplate magnetic. Înmulţindu-se cele două egalităţi (8.10-1), în ambii membrii, prima cu i1 şi a doua cu i2 , se obţine –prin însumare– puterea instantanee schimbată de circuit, pe la borne, cu exteriorul: d p = u1i1 + u 2 i 2 = p1 + p 2 = R1i12 + R2 i 22 + i1 (L1i1 ) + dt (8.10- 2) d d d + i 2 (L2 i 2 ) + i1 (Mi 2 ) + i 2 (Mi1 ). dt dt dt u2 = R2i2 +

Deoarece parametrii L1 , L2 şi M sunt funcţii de timp, termenii ce conţin derivate în raport cu timpul din expresie (8.10-2) se pot dezvolta astfel: di  d  dL i1 (L1i1 ) = i1  i1 1 + L1 1  = dt dt   dt

= i12 =

dL1 d  1 2  1 2 dL1 +  L1i1  − i1 = dt dt  2 dt  2

1 2 dL1 d  1 2  +  L1i1 , i1 2 dt dt  2  551

(8.10- 3)

i2

(8.10- 5)

i1

d (L2i2 ) = 1 i22 dL2 + d  1 L2i22 , dt 2 dt dt  2 

(8.10- 4)

d (Mi2 ) = i1  i2 dM + M di2  = i1i2 dM + d (Mi1i2 ) − i2 d (Mi1 ), dt dt  dt dt dt  dt

d (Mi1 ) = i1i2 dM + d (Mi1i2 ) − i1 d (Mi2 ). dt dt dt dt Prin introducerea expresiilor (8.10-3)...(8.10-6) în relaţia (8.10-2), ea devine:

(8.10- 6)

i2

(8.10- 7) p = R1i12 + R2 i 22 +

1 2 dL1 1 2 dL2 dM d  1 1  2 + i2 + i1i 2 +  L1i1 + L2 i 22 + Mi1i 2 , i1 2 dt 2 dt dt dt  2 2 

astfel că energia schimbată de circuit, pe la borne, cu exteriorul este: t

(8.10- 8)

t

(

)

W = ∫ pdt = ∫ R1i1 + R2 i 22 dt + 2

0

0

(

t

+

1 2 (i1 dL1 + i22 dL2 + 2i1i2 M )dt + 1 L1i1 2 + L2 i22 + 2Mi1i2 ∫ 20 2

)

t 0

Se consideră că: i1 = 2 I1 cos(ω1t + α1 ), i2 = 2 I 2 cos(ω2t + α 2 ) , (8.10- 9)

L1 = L01 [1 + m1 sin (Ω1t + γ1 )] , L2 = L02 [1 + m2 sin (Ω 2t + γ 2 )] , M = M 0 [1 + m sin (Ωt + γ )]

şi admiţându-se că timpul t este un multiplu al perioadelor acestor mărimi electrice ( i1 şi i2 ) şi parametri de circuit ( L1 , L2 şi M ), se pot face câteva comentarii importante referitoare la expresia energiei W , din membrul drept al egalităţii (8.10 -8): - primul termen creşte cu timpul si reprezintă energia electromagnetică transformată ireversibil în căldură prin efectul electrocaloric al electrocineticii; - al doilea termen poate constitui, în anumite condiţii, o mărime crescătoare în timp ce reprezintă energia care se poate transforma în lucru mecanic (dacă cele două circuite se pot deplasa, unul în raport cu celălalt); - al treilea termen reprezintă energia câmpului magnetic (din miezul bobinelor) care oscilează (fluctuează) periodic în timp. Determinarea condiţiilor în care se poate produce conversia energiei electromagnetice în lucru mecanic este posibilă în urma efectuării integralelor din al doilea termen al expresiei (8.108). Astfel fie: t t 1 W1 = ∫ i12 dL1 = ∫ I12 L01m1Ω1 cos 2 (ω1t + α1 ) cos(Ω1t + γ1 )dt , (8.10- 10) 2 0 0 în care s-a ţinut seama de relaţiile (8.10-9). După efectuarea operaţiilor se obţine: 552

t t 1 W1 = I 12 L01 m1 Ω 1 ∫ cos(Ω 1t + γ 1 )dt + ∫ cos[(2ω1 + Ω 1 )t + 20 0 t  1 + 2α 1 + γ 1 ]dt + ∫ cos[(2ω1 − Ω 1 )t + 2α 1 − γ 1 ]dt  . 20 

.

(8.10- 11)

Din analiza acestei expresii (8.10-11) rezultă că singura componentă care poate creşte cu timpul este al treilea termen numai în cazul îndeplinirii condiţiei:

2ω1 = Ω1 .

(8.10- 11)

După cum se va arăta la Maşini electrice, o astfel de condiţie (8.10-11) poate fi satisfăcută în cazul maşinilor electrice cu poli aparenţi la care conversia energiei electromagnetice în lucru mecanic are loc chiar dacă există un singur circuit (din cele două) în regim electrocinetic (sub curent). Există motoare sincrone rotative (sau chiar şi cu maşina de translaţie alternativă - motoare liniare) care au o singură înfăşurare a cărei inductivitate variază după forma exprimată de a treia ecuaţie din (8.10-9). O astfel de situaţie poate fi realizată prin deformarea alternativă a circuitului magnetic al unui electromagnet. Conversia inversă, a lucrului mecanic în energie electromagnetică este de asemenea posibilă în regim de autoexcitaţie parametrică, condiţia de conversie optimă fiind dată tot de relaţia (8.10-11), cu Ω1 ≥ 2ω1 . La condiţii similare conduce şi analiza expresiei: t

1 W2 = ∫ i22 dL2 . 2 0

(8.10- 13)

În sfârşit termenul din (8.10-7): t

t

0

0

W M = ∫ i1i 2 dM = M 0 2 I 1 I 2 mΩ ∫ cos(ω1t + α 1 ) cos(ω 2 t + α 2 ) cos(Ωt + γ )dt ,

(8.10- 14)

unde s-a ţinut seama de ecuaţiile (8.10-9), poate fi scris sub forma echivalentă: t

WM = M 0 I1 I 2 mΩ{∫ cos[(ω1 + ω2 + Ω )t + α1 + α 2 + γ ]dt + 0

t

+ ∫ cos[(ω1 + ω2 − Ω )t + α1 + α 2 − γ ]dt + 0 t

+ ∫ cos[(ω1 − ω2 + Ω )t + α1 − α 2 + γ ]dt + 0 t

+ ∫ cos[(ω1 − ω2 − Ω )t + α1 − α 2 − γ ]dt},

(8.10- 15)

0

unde ultimele trei integrale din membrul drept pot reprezenta energie crescătoare în timp dacă sunt îndeplinite condiţiile: 553

ω1 + ω2 − Ω = 0 ; ω1 − ω2 + Ω = 0 şi ω1 − ω2 − Ω = 0 ,

(8.10- 16)

adică pulsaţia variaţiei sinusoidale în timp a inductivităţii mutuale este, faţă de pulsaţiile curenţilor: (8.10- 17)

Ω = ± ω1 ± ω2 .

De asemenea, expresia (8.10-15) mai arată că mărimea enrgiei convertite depinde de fazele iniţiale ( α1 , α 2 şi γ1 , γ 2 , γ ) ale semnalelor (curenţilor) şi parametrilor. Relaţia (8.10-16) sau (8.10-17) indică posibilitatea conversiei energiei numai în cazul în care pulsaţia parametrului ( Ω ) este egală cu suma sau diferenţa pulsaţiilor celor doi curenţi ( ω1 şi ω2 ). Dacă ω1 = ω2 = ω şi Ω = 2ω , maşina poate funcţiona ca motor şi generator sincron. În cazul ω1 ≠ ω2 şi Ω = ω1 − ω2 sau Ω = ω2 − ω1 maşina este capabilă să funcţioneze ca motor sau generator asincron. În particular, dacă ω1 = 0 (sau ω2 = 0 ) adică unul dintre curenţi este continuu, Ω = ω1 (sau Ω = ω2 ), maşina funcţionând ca generator sau motor sincron.

554