Electrotehnica - Capitolul 5.

5. CÂMPUL MAGNETIC După cum s-a arătat în primul capitol, câmpul magnetic este produs, de corpurile cu magnetizaţie permanentă şi de curenţii de conducţie şi hertzieni (de convecţie, de deplasare şi Roentgen). În fapt, este vorba de câmpul electromagnetic privit prin prisma proprietăţilor sale numite magnetice şi caracterizate prin mărimi de stare magnetică.

5.1. Regimul câmpului magnetic În studiul sistemic al câmpului electromagnetic, mărimile de stare magnetică sunt cuprinse în următoarele modele fundamentale (v. subcap. 1.3): - legea circuitului magnetic: d (5.1) ∫Γ H .dl = S∫ J .dA + dt S∫ D.dA ; Γ

Γ

- legea fluxului magnetic:

∫ B.dA = 0 ;

(5.2)

Σ

- legea legăturii dintre inducţie, intensitate şi magnetizaţie în câmp magnetic: B = µ0 ( H + M ) . Sub forma locală, primele două se scriu: ∂D rot H = J + ∂t

(5.3)

(5.4)

şi divB = 0 .

(5.5)

5.1.1. Regimul magnetic cvasistaţionar Regimul câmpului magnetic în care contribuţia curenţilor hertzieni este neglijabilă în raport cu aceea a curenţilor de conducţie şi aceea a corpurilor cu magnetizaţie permanentă se numeşte regim cvasistaţionar al câmpului magnetic. Modelul său, exprimat prin forme locale ale ecuaţiilor fundamentale, este: rot H = J ; (5.6) divB = 0 ; (5.7)

B = µ H + µ0 M p .

(5.8)

Deoarece divergenţa rotorului unui câmp de vectori este nulă, div rot A = 0 , rezultă că pentru câmpul inducţiei magnetice, care este rotaţional (pentru că rot H = J ⇒ rot B ≠ 0 ) şi de divergenţă nulă ( divB = 0 ), se poate defini un vector A potrivit relaţiei: B =D rot A , 289

(5.9)

numit potenţial magnetic vector. Acesta satisface ecuaţia:  rot A − µ 0 M p  rot  =J, µ   adică: rotrot A = µ J + µ 0 rotM p . (5.10) În lipsa magnetizaţiei permanente ecuaţia (5.10) se reduce la expresia: (5.11) rotrot A = µ J . Potenţialul vector este o mărime vectorială de calcul, fără semnificaţie fizică nemijlocită, folosită pentru simplificarea tratării multor probleme ale Fizicii matematice. El este univoc definit numai după ce se alege div A şi originea potenţialelor (punctul în care A = 0 ). Pentru orice câmp rotaţional V e poate determina un câmp A al cărui rotor să fie V , numit potenţial vector. Problema admite, evident, o infinitate de soluţii deoarece dacă A este o soluţie a ecuaţiei V = rot A atunci şi A = A + gradψ verifică ecuaţia, 0

0

oricare ar fi funcţia ψ , întrucât rotgradψ = 0 . Pe de altă parte, se ştie că un câmp de vectori A poate fi univoc determinat în domeniul Ω prin divergenţa, rotorul şi condiţiile la limită pe frontiera domeniului. Deoarece la definirea potenţialul vector nu se face nici o referire la divergenţa câmpului de vectori A , însemnează că aceasta poate fi aleasă arbitrar, operaţie numită etalonare. Dacă dintre soluţiile A se alege una pentru care div A = 0 (condiţia de etalonare Coulomb), adică un câmp care este el însuşi rotaţional, aceasta revine la a se determina o funcţie ψ care satisface relaţia div A + divgradψ = 0 adică ecuaţia lui Poisson: 0

∆ψ = −divA . 0

Este uşor de văzut că unui câmp solenoidal V nu-i va corespunde un singur potenţial vector. Într-adevăr, dacă unei soluţii

ψ i se adăugă o funcţie armonică ϕ , ( ∆ϕ = 0 ), soluţia A = A + grad(ψ + ϕ) este de asemenea un potenţial vector al câmpului V . În concluzie, determinarea potenţialului vector al unui câmp solenoidal, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul II, ecuaţia lui Poisson. Soluţia generală depinde însă de o funcţie arbitrară pentru determinarea căreia se pun condiţii la limită, după natura aplicaţiei. 0

Regimul staţionar este cazul particular al regimului cvasistaţionar în care curenţii de conducţie sunt invariabili în timp.

5.1.2. Regimul magnetostatic Un alt caz particular este acela al regimului magnetostatic, produs numai de corpuri cu magnetizaţie permanentă aflate în repaus căruia, evident, îi va corespunde modelul: (5.12) rot H = 0 ; (5.13) divB = 0 ; (5.14)

B = µ H + µ0 M p . În regim magnetostatic legea circuitului magnetic capătă forma

∫ H .dl = 0 , iar forma sa Γ

locală pe domenii de continuitate şi netezime (5.12), justifică întroducerea mărimii scalare, funcţie de punct, Vm , numită potenţial magnetic scalar, mărime ce satisface relaţia: (5.14') H = −gradVm . Ecuaţia (5.14') întregeşte cadrul de relaţii care permite determinarea câmpului magnetic asociat magneţilor permanenţi. Potenţialul magnetic scalar introdus prin relaţia (5.14') în medii liniare ( µ = const .), conduce la ecuaţia lui Laplace, ∇ V = 0 , 2

m

valabilă în regiunile în care curenţii electrici lipsesc şi este satisfăcută ecuaţia (5.12). Determinarea univocă a potenţialului magnetic scalar după integrarea ecuaţiei lui Laplace se face în funcţie de condiţiile pe frontieră.

290

5.1.3. Regimul magnetic nestaţionar În regim nestaţionar, legea circuitului magnetic în mediile liniare şi imobile (v. modelul 5.4) se poate scrie: ∂D rot B = µ J + µ (5.15) ∂t sau, introducându-se potenţialul vector: ∂E . rotrot A = µ J + µε (5.16) ∂t Intensitatea câmpului electric E prezintă o componentă potenţială (v. ec. 1.41): E C = −gradV , (5.17) în care V este potenţialul electrostatic, şi una rotaţională – v. (1.82'): ∂B . rot E s = − (5.18) ∂t Exprimând în (5.18) inducţia magnetică în funcţie de potenţialul vector şi ţinând seama că ∂ ∂A rot A = rot , rezultă relaţia: ∂t ∂t ∂A E=− − gradV . (5.19) ∂t Introducând relaţia (5.19) în ecuaţia (5.16) se obţine: ∂2 A ∂V , ) ∆ A − εµ 2 = −µ J + grad(div A + εµ (5.20) ∂t ∂t de unde, cu condiţia de etalonare a lui Lorentz : ∂V div A + εµ =0, (5.20') ∂t se obţine ecuaţia vectorială neomogenă a undelor (v. § 7.1.2.): ∂2 A ∆ A − εµ 2 = −µ J . (5.21) ∂t Cu ajutorul ei se modelează propagarea la distanţe foarte mari, sub formă de unde electromagnetice, a câmpului electromagnetic nestaţionar produs de surse care ocupă domenii finite (v. §.7.12).

5.2. Teoremele câmpului magnetic cvasistaţionar Prin particularizarea legilor câmpului electromagnetic se pot deduce următoarele teoreme importante pentru studiul fenomenelor electromagnetice.

5.2.1. Teorema unicităţii determinării câmpului magnetic cvasistaţionar Câmpul magnetic cvasistaţionar din interiorul domeniului Ω Σ , limitat de suprafaţa Σ , liniar, izotrop, cu permeabilitate magnetică dată, este unic determinat dacă se cunosc: a) distribuţia densităţii curentului electric de conducţie J ; b) intensitatea câmpului magnetic H sau magnetizaţia permanentă M p în regiunile cu magnetizaţie permanentă; 291

c) componenta tangenţială a intensităţii câmpului H t sau a potenţialul magnetic vector At , pe suprafaţa de frontieră. Pentru demonstrarea teoremei se presupun două soluţii H 1 şi H 2 cu potenţialele vector A1 , respectiv, A2 şi se are în vedere relaţia: (5.22) ∫ div[(H 2 − H 1 ) × ( A2 − A1 )]dv = ∫ [(H 2 − H 1 ) × ( A2 − A1 )] ⋅ ndA . Σ

vΩ

Se analizează, mai întâi, produsul mixt din membrul al doilea al ecuaţiei (5.22): [( H 2 − H 1 ) × ( A 2 − A1 )] ⋅ n = [n× ( H 2 − H 1 )] ⋅ ( A 2 − A1 ) . Produsul vectorial din partea dreaptă se poate scrie: n×( H 2 − H 1 ) = n×H 2 − n×H 1 . Se analizează acum produsul vectorial de tipul n×H (v. fig. 5. 1): Notându-se cu u H versorul vectorului H , vectorul n×H se poate scrie: n×H = H sin αn×u H = H t n×u H . El are modulul H t şi este perpendicular şi pe n şi pe H . Vectorul perpendicular pe n se află în acelaşi plan cu H t şi dacă este perpendicular pe H este perpendicular şi pe H t (teorema celor trei perpendiculare). Urmează că vectorul n×H t se va suprapune peste n×H . Rezultă deci:

Fig. 5.1

n× H = n× H t . Deoarece:

n×( H 2 − H 1 ) = n×( H t 2 − H t1 ) = 0 , datorită condiţiei c), rezultă că integrala (5.22) este nulă. Aplicându-i-se formula divergenţei va rezulta:

∫ (A

vΩΣ

2

− A1 ) ⋅ rot ( H 2 − H 1 )dv − ∫ [( H 2 − H 1 ) ⋅ rot ( A 2 − A1 )dv = 0 v ΩΣ

şi ţinându-se cont de relaţiile (5.6) şi (5.7) se obţine: ∫ ( A2 − A1 ) ⋅ ( J 2 − J 1 )dv − ∫ [( H 2 − H 1 ) ⋅ ( B 2 − B1 )dv = 0 . v ΩΣ

v ΩΣ

Prima integrală este nulă, datorită condiţiei a) şi, în consecinţă: (5.23)

∫ [( H

2

− H 1 ) ⋅ ( B 2 − B1 ) dv = 0 .

v ΩΣ

Din ecuaţia (5.8) rezultă însă: B 2 − B1 = (µ H 2 + µ 0 M p 2 ) − (µ H 1 + µ 0 M p1 ) = µ( H 2 − H 1 ) + µ 0 ( M p 2 − M p1 ), în care termenul al doilea este nul, datorită condiţiei b). Relaţia (5.23) devine astfel:

∫ [µ( H

2

− H 1 ) ⋅ ( H 2 − H 1 ) dv = 0

vΩ Σ

şi, prin urmare, rezultă: (5.24) adică soluţia este unică.

H 2 = H1 ,

292

5.2.2. Teorema superpoziţiei câmpurilor magnetice cvasistaţionare Într-un mediu liniar şi izotrop, reuniunii unor ansambluri de condiţii de unicitate îi corespunde ca soluţie suma soluţiilor determinate de fiecare ansamblu de condiţii de unicitate separat. În paragraful precedent s-a arătat că unui ansamblu de condiţii de unicitate: J k ; M pk ; ( H tk ) Σ ; (5.25) îi corespunde soluţia H k ,B k , Ak . Urmează să se arate că suma soluţiilor determinate de fiecare ansamblu de condiţii de unicitate separat satisface condiţiile de unicitate: n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ J k ;∑ M pk ;∑ ( H tk )Σ .

(5.26)

Suma soluţiilor este: n

H = ∑H k;

(5.27-1)

k =1 n

B = ∑ Bk ;

(5.27-2)

k =1 n

A = ∑ Ak ,

(5.27-3)

k =1

iar condiţiile de unicitate corespunzătoare sunt: n

n

n

k =1

k =1

k =1

J = rot H = rot ∑ H k = ∑ rot H k = ∑ J k ,

Mp=

n 1 1 n 1 (B − µH ) = (∑ B k − µ ∑ H k ) = µ0 µ 0 k =1 µ0 k =1

(5.28-1)

n

n

k =1

k =1

∑ ( B k − µ H k ) = ∑ M pk

(5.28-

2) şi n  n  ( H t ) Σ =  ∑ H tk  = ∑ ( H tk ) Σ .  k =1  Σ k =1 S-au obţinut condiţiile (5.26), ceea ce atestă că soluţiile (5.27) sunt unice.

5.2.3. Teorema refracţiei câmpului magnetic În conformitate cu formele locale pe suprafeţe de discontinuitate ale legii fluxului magnetic (1.70) şi legii circuitului magnetic (1.89), la trecerea dintr-un mediu într-altul liniile câmpului magnetic se refractă (fig. 5.2). Făcându-se raportul, membru cu membru, ale celor două relaţii, se obţine succesiv: B1n B21n = ; H 1t H 2t µ1 H1n µ 2 H 2 n = ; Fig. 5.2 H1t H 2t tgα1 µ1 . = (5.29) tgα 2 µ 2 Ecuaţia (5.29) reprezintă teorema refracţiei liniilor de câmp magnetic. 293

(5.28-3)

Dacă mediul 1 este nemagnetic, µ1 = µ 0 şi mediul 2 este feromagnetic, µ1 = µ Fe → ∞ , atunci: tgα1 =0. (5.30) tgα 2 Relaţia (5.30) este satisfăcută fie pentru α1 = 0 , fie pentru α 2 = π / 2 . În primul caz, liniile câmpului magnetic, produs de un curent electric aflat în mediul neferomagnetic sunt normale pe suprafaţa de separaţie, în acord cu proprietatea de continuitate a

Fig. 5.3

Fig. 5.4

componentelor normale ale inducţiei magnetice (fig. 5.3). În celălalt caz, liniile câmpului magnetic produs de un curent electric aflat în semispaţiul feromagnetic sunt paralele cu suprafaţa de separaţie, în acord cu proprietatea de continuitate a componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului (fig. 5.4). Relaţia (5.30) explică şi faptul că pe suprafaţa polilor magnetici (v. cap. 6), aflaţi în vid (aer) sau în "întrefier", liniile de câmp magnetic sunt perpendiculare.

5.3. Calculul câmpului magnetic cvasistaţionar În medii liniare, omogene şi izotrope, câmpul magnetic cvasistaţionar este descris de ecuaţiile (5.6), (5.7) şi (1.80): rot H = J , divB = 0 , B = µH , iar potenţialul magnetic satisface relaţia (5.16): rot rot A = µ J . 5.3.1. Ecuaţia lui Poisson pentru potenţialul magnetic vector.

Relaţia (5.16), se mai poate scrie: ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ A) − ∇ 2 A = µ J (5.31) sau grad(div A) − ∆ A = µ J . (5.32) Cu condiţia de etalonare: div A = 0 , ecuaţia (5.32) devine: ∆ A = −µ J . (5.33) Într-un sistem cartezian, ecuaţia vectorială (5.33) se reduce la trei ecuaţii scalare de tip Poisson: 294

∆Ax = −µJ x ; ∆Ay = −µJ y ;

(5.34)

∆Az = −µJ z , Ecuaţia de tip Poisson, care este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, se scrie sub una din formele: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = α ( x, y , z ) , ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 adică: div gradϕ = α , sau ∆ϕ = α , în care ϕ este o funcţie scalară iar α( x, y, z ) o funcţie "sursă" cunoscută. Funcţia α este diferită de zero într-un domeniu Ω . În afara domeniului, α = 0 iar ϕ satisface ecuaţia lui Laplace: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + =0, ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

a cărei soluţie este de forma: 1 α ( x, y , z ) dv , 4π ∫Ω R unde Ω se poate extinde, în principiu, asupra întregului spaţiu (deoarece în afara lui Ω avem α = 0 ) iar dv = dxdydz este elementul de volum al domeniului Ω . Prin urmare, cu notaţiile de la figura 5.5, soluţiile sistemului (5.34) vor fi: µ Jx dv; Ax = 4π Ω∫ R ϕ= −

(5.35)

Fig. 5.5

J

Ay =

µ Jy dv; 4π Ω∫ R

(5.36)

J

Az =

µ Jz dv , 4π Ω∫ R J

în care Ω J este volumul ocupat cu distribuţia densităţii de curent. Rezultă potenţialul magnetic vector: µ J A= dv 4π Ω∫ R

(5.37)

J

şi inducţia magnetică: B = rot A = ∇ P × A = −

µ 1 J × ∇ P   dv . ∫ 4π Ω R J

R 1 Deoarece J nu este o funcţie de punctul P iar ∇ P   = − 3 , rezultă : R R µ J ×R (5.39) B= dv 4π Ω∫ R 3 J

şi 295

(5.38)

H=

(5.40)

1 J ×R dv . 4π Ω∫ R 3 J

5.3.2. Potenţialul vector al circuitelor filiforme.

Potenţialul vector al unui circuit electric filiform, (fig. 5.6), se va calcula cu relaţia (5.37) în care dv = ∆A.dl iar i = J .∆A şi deoarece J ||∆A||dl , rezultă: J dv = J ∆Adl = i dl , iar expresia potenţialului vector devine:

Fig. 5.6

µ dl . i 4π ∫Γ R În cazul a n circuite filiforme parcurse de curenţii ik potenţialul magnetic vector va fi: A=

(5.41)

A=

(5.42)

µ n dl k ik ∫ ∑ 4π k =1 Γ R

.

k

Teorema Biot - Savart - Laplace stabileşte relaţia dintre intensitatea locală a câmpului magnetic şi curentul electric de conducţie care produce câmpul. Ecuaţia (5.40) aplicată circuitului din figura 5.6 se transformă succesiv, aşa cum se procedează mai jos, obţinându-se: 1 J ×R 1 J ×R 1 dl× R H= dv = (∆A.dl ) = ( J .∆A), 3 3 ∫ ∫ 4π Ω R 4π Ω R 4π ∫Γ R 3 J

J

sau

i dl× R , 4π ∫Γ R 3 cunoscută sub numele de Teorema Biot - Savart - Laplace. H=

(5.43)

Fig. 5.7

Fig. 5.8

Integrarea are sens numai pe contururi închise, liniile de câmp ale densităţii curentului electric de conducţie fiind linii închise. Vectorul R se orientează de la elementul dl către punctul P. Dacă circuitul şi punctul P se află în acelaşi plan (fig. 5.7), atunci dl× R = Rdl sin α n , iar expresia intensităţii câmpului în P devine: i sin α H =n dl . (5.44) 4π ∫Γ R 3

296

Pentru curenţi în conductoare masive (fig. 5.8), se poate considera că intensitatea elementară dH (r ) a câmpului magnetic în punctul P (r ) este datorată tubului elementar de curent di = J .ndA . Expresia acesteia, potrivit ecuaţiei (5.43) va fi: di dl '×R ( J .n)dA' dl '× R . dH (r ) = = ⋅ 3 4π R 3 4π R Deoarece J ||dl '||dA' şi dl '.dA' = dv' , se va scrie :

Fig. 5.9

1 J (r ' )× R dv ' . 4π R 3 Integrându-se în raport cu întreg volumul Ω al conductorului se obţine expresia intensităţii câmpului produs în exterior de conductoarele masive aflate în regim electrocinetic: 1 J (r ' )× R H (r ) = dv ' . (5.45) 4π ∫Ω R 3 dH ( r ) =

În cazul unei pânze de curent de densitate J s ( r ' ) – (fig. 5.9), se obţine în mod similar expresia: 1 J s (r ' )× R H (r ) = dA' . (5.46) 4π ∫S R3

5.4. Inductivităţi Prin inductivitate se înţelege, la modul general, mărimea egală cu raportul dintre fluxul magnetic total prin suprafaţa limitată de conturul circuitului şi curentul care îl produce, indiferent dacă curentul este stabilit în circuitul înlănţuit de flux sau nu. Dacă mediul magnetic este liniar (cu permeabilitate magnetică constantă, independentă de intensitatea câmpului magnetic) inductivitatea este şi ea constantă, dependentă fiind numai de geometria şi de dispunerea circuitelor care generează flux magnetic, precum şi de materialul sistemului fizic.

Fig. 5.10

Fig. 5.11

5.4.1. Inductivitate proprie. Inductivitate mutuală Fie spira Γ din figura 5.10, filiformă, nedeformabilă, în regim electrocinetic cvasistaţionar de intensitate i , situată într-un mediu omogen, izotrop şi liniar de permeabilitate µ şi aflată în 297

afara influenţei oricăror fluxuri magnetice exterioare. Raportul pozitiv dintre fluxul Φ S

Γ

prin

orice suprafaţă deschisă SΓ , care se sprijină pe curba Γ şi curentul i , se numeşte inductivitatea sau inductanţa proprie a spirei : DΦ S . (5.47) L= i Făcându-se convenţia calculării fluxului Φ S , numit flux propriu al spirei, pentru un sens de Γ

Γ

referinţă al normalei la suprafaţa SΓ asociat cu sensul curentului i după regula burghiului drept, relaţia (5.47) defineşte o mărime pozitivă. Fie acum o bobină cu N spire, constituită dintr-un conductor filiform cu două borne de acces (fig. 5.11), în aceleaşi condiţii de mediu şi de izolare faţă influenţe magnetice exterioare. Inductivitatea proprie a bobinei se defineşte ca raport dintre fluxul corespunzător unei suprafeţe

Fig. 5.13

Fig. 5.12

care se sprijină pe curba închisă Γ ce urmăreşte fibra medie a conductorului şi se închide prin cele două borne şi intensitatea curentului prin bobină. Deşi porţiunea de curbă dintre cele două borne nu este univoc determinată, câmpul magnetic din interiorul bobinei fiind mult mai intens decât cel exterior, alegerea acelei porţiuni de curbă nu va influenţa valoarea fluxului prin suprafaţa S Γ Fluxul Φ S este fluxul total al bobinei. El poate fi înlocuit în calcule prin produsul dintre Γ

numărul de spire şi fluxul Φ fS , referitor la o suprafaţă deschisă ce se sprijină pe o singură spiră, Γ

numit flux fascicular : (5.48)

Φ S = NΦ fS . Γ

Γ

Dacă spirele bobinei nu se suprapun (fig. 5.12) şi liniile inducţiei magnetice care determină fluxul bobinei nu înlănţuie toate spirele, se defineşte un flux fascicular mediu, ca raport între fluxul total şi numărul de spire: (5.49)

Φ fS = Γ

ΦS

Γ

.

N

Exprimarea fluxului total sub forma (5.48) este utilă pentru că pune în evidenţă aportul numărului de spire la aspectul cantitativ al fenomenului. 298

Se presupun, în continuare, două bobine, cu conductoare filiforme, nedeformabile, menţinute în aceeaşi poziţie relativă şi situate în mediul de permeabilitate µ . Ele sunt reprezentate în figura 5.13 prin câte o singură spiră. Se consideră, mai întâi, că numai circuitul Γ1 este parcurs de curentul i1 , în celălalt circuit curentul i2 fiind nul. Se notează cu Φ11 = N1Φ f 11 fluxul produs de curentul i1 , înlănţuit de circuitul Γ1 şi cu Φ 21 = N 2 Φ f 21 fluxul produs de curentul i1 care înlănţuie circuitul Γ2 . Raportul: DΦ L21 = 21 i1 i

,

(5.50)

2 =0

dintre fluxul Φ 21 prin circuitul Γ2 , stabilit de curentul i1 din circuitul Γ1 , prin acest curent, se numeşte inductivitate mutuală sau inductanţă mutuală între cele două circuite. Se va arăta în cele ce urmează că există relaţia de reciprocitate: D

L12 =

Φ12 i2

= L21 .

(5.51)

i1 = 0

Cele expuse sunt suficiente pentru a clarifica modul în care inductivitatea a fost definită, încă de la început, ca mărime de relaţie între un flux şi curentul care produce fluxul, indiferent dacă curentul se află prin circuitul înlănţuit de flux sau nu. Se convine ca notaţia fluxurilor să fie afectată de doi indici, primul indicând circuitul înlănţuit de flux iar al doilea indicând curentul care produce fluxul. Sensul de referinţă al fiecăruia din fluxuri este, prin convenţie, asociat după regula burghiului drept cu sensul curentului din circuitul înlănţuit de flux. Ca urmare fluxul propriu al circuitului Γ1 , notat aici cu Φ11, este întotdeauna pozitiv, în timp ce Φ 21 poate fi pozitiv sau negativ. Corespunzător, inductivităţile L21 , L12 pot fi pozitive sau negative. Pentru a indica modul în care trebuie introdusă în calcule inductivitatea mutuală se indică prin asteriscuri bornele de început ale bobinelor (în sensul de bobinare) aşa ca în figura 5.14. Dacă sensurile de referinţă ale curenţilor faţă de bornele polarizate ale bobinelor având acelaşi sens de bobinare sunt aceleaşi pentru ambele bobine, inductivitatea mutuală se ia cu semnul plus şi cu minus în caz contrar. Dacă sensurile de bobinare nu sunt aceleaşi Fig. 5.14 regula semnelor se schimbă. Unitatea SI de inductivitate se numeşte henry (cu simbolul H) şi corespunde inductivităţii unei bobine prin care un curent de un amper stabileşte fluxul magnetic de 1 weber.

5.4.2. Calculul inductivităţilor Calculul inductivităţii unui circuit filiform* presupune, în principiu, parcurgerea următoarelor etape: se consideră circuitul parcurs de curentul i ; se calculează inducţia magnetică a câmpului produs în diferite puncte ale spaţiului; se calculează fluxul magnetic prin suprafaţa ce se sprijină pe curba ce coincide cu fibra medie a circuitului; se aplică relaţia de definiţie: L = Φ / I. *

Deoarece fluxul magnetic din relaţiile ce se stabilesc aici se referă exclusiv la exteriorul conductoarelor ele definesc inductivitatea exterioară în regim cvasistaţionar. Inductivitatea conductoarelor masive se defineşte cu ajutorul energiei magnetice (v. § 5.5.1).

299

Fie spira din figura 5.10. Inducţia magnetică într-un punct situat pe S Γ se calculează utilizând relaţia (5.43): µi dl× R , B = µH = 4π ∫Γ R 3 iar fluxul magnetic va fi: µi dl× R nd A∫ 3 . Φ S = ∫ B.dA = ∫ R 4 π S S Γ Γ

Γ

Γ

Rezultă inductanţa spirei: L=

(5.52)

ΦS

Γ

i

=

µ dl × R . ndA∫ 4π S∫ R3 Γ Γ

Calculul inductanţei bobinei din figura 5.11 va ţine seama că fluxul magnetic fascicular este datorat inducţiei: µNi dl × R (5.53) B= 4π ∫Γ R 3 şi va avea expresia: µNi dl × R . nd A∫ (5.54) Φ fS = ∫ B.dA = ∫ R3 4π S S Γ Γ

Γ

Γ

Fluxul total fiind Φ = NΦ S rezultă: Γ

L=

(5.55)

Φ NΦ S µN 2 = = 4π i i Γ

dl× R R3 Γ

∫ ndA∫

SΓ

.

Relaţiile (5.52) şi (5.55) ne arată că inductivitatea proprie este o mărime de material, dependentă de geometria circuitului şi de permeabilitate. La concluzia că şi inductivitatea mutuală este o mărime de material vom ajunge stabilind relaţia generală pentru calculul inductivităţii mutuale a două circuite ca acelea din figura 5.15. Fluxul magnetic Φ 21 prin circuitul Γ2 stabilit de curentul i1 din circuitul Γ1 are expresia: (5.56)

Φ 21 = ∫ B1.n 2 dA2 = ∫ rot A1.n 2 dA2 = ∫ A1.dl 2 , S Γ2

Γ2

S Γ2

în care potenţialul vector A1 produs de curentul i1 se calculează cu relaţia (5.41): µi dl 1 . A1 = 1 ∫ 4π Γ R12 1

Fig. 5.15

Inductanţa L21 , calculată potrivit relaţiei de definiţie (5.50) este: (5.57)

Φ L21 = 21 = i1

∫A

1

⋅ dl 2

Γ2

i1

=

µ dl 1 ⋅ dl 2 ∫ ∫ 4π Γ Γ R12 1

,

2

de unde rezultă că şi ea este dependentă de geometria circuitelor, de poziţia lor reciprocă şi de permeabilitate. Relaţia (5.57) se numeşte formula lui Neumann pentru inductivităţi mutuale. 300

Dacă se consideră circuitul Γ2 parcurs de curentul i2 şi se calculează fluxul Φ12 prin circuitul Γ1 stabilit de curentul i2 : Φ12 = ∫ A2 .dl 1,

(5.58)

Γ1

în care

A2 =

Φ µi2 dl 2 , se obţine pentru L12 = 12 tot expresia (5.57). Se demonstrează astfel ∫ i2 4π Γ R12 1

relaţia de reciprocitate:

L12 = L21 = M , (5.59) M fiind simbolul generic adoptat pentru inductivitatea mutuală. Circuitele electrice a căror inductivitate mutuală este diferită de zero se numesc circuite cuplate magnetic. Observaţie. Dacă se face referire la bobinele din figura 5.13 se va ţine seama că fluxurile Φ12 şi Φ 22 au expresiile Φ12 = N1Φ f 12 şi Φ 21 = N 2 Φ f 21 , unde Φ f 12 şi Φ f 21 au expresii conforme cu (5.56) şi (5.58) şi că inducţia B1 –conformă şi ea cu (5.53)– este: µN1i dl 1× R12 , B1 = 4π Γ∫ R123 1

iar potenţialul vector va fi: A1 =

µN1i1 dl 1 4π Γ∫ R12

.

1

Astfel, fluxul fascicular Φ f 21 va rezulta cu expresia: Φ f 21 =

µN1i1 dl 1.dl 2 ∫ ∫ 4π Γ Γ R12 1

,

2

iar inductivitatea mutuală, calculată cu relaţia de definiţie, va fi: NΦ dl 1.dl 2 Φ µN1 N 2 M = 21 = 2 f 21 = 4π Γ∫ Γ∫ R12 i1 i1 1

.

(5.60)

2

5.4.3. Inductivităţi utile şi de dispersie Revenindu-se la cele două bobine cuplate magnetic din figura 5.13 se constată că numai o parte din liniile de câmp ale fluxului fascicular propriu produs de una din bobine înlănţuie cealaltă bobină. Acestea constitue fluxul magnetic fascicular util sau, pe scurt, fluxul fascicular util. Liniilor de câmp care se închid prin aer, fără a înlănţui cealaltă bobină, le corespunde fluxul de dispersie sau fluxul de scăpări. Notându-se cu Φ f 11 fluxul fascicular propriu al bobinei 1, cu Φ f 21 fluxul fascicular produs de prima bobină printr-o spiră a bobinei 2 şi cu Φ fd 21 fluxul fascicular de dispersie al bobinei 1 faţă de bobina 2, rezultă relaţia: Φ f 11 = Φ f 21 + Φ fd 21 .

Partea din inductivitatea proprie L11 a bobinei 1 corespunzătoare fluxului de dispersie faţă de bobina 2 se numeşte inductivitate de dispersie a bobinei 1 faţă de bobina 2:

301

D

Ld 21 =N1

Deoarece L11 = N1

Φ f 11 i1

Φ fd 21

= N1

i1 Φ f 21

şi L21 = N 2

i1

Φ f 11 i1

− N1

Φ f 21

.

i1

, relaţia de mai sus se scrie

N1 L21 > 0 . N2 Analog, se defineşte inductivitatea de dispersie a bobinei 2 faţă de bobina 1: D N Ld 12 =L22 − 2 L12 > 0 . (5.62) N1 În general Ld 21 ≠ Ld 12 deoarece L12 = L21 = M , conform expresiei (5.59). Termenii: N (5.63) Lu 21 = 1 L21 > 0 N2 şi N Lu12 = 2 L12 > 0 , (5.64) N1 din ecuaţiile (5.61) şi (5.62) se numesc inductivitatea utilă a bobinei 1 faţă de bobina 2, respectiv, inductivitatea utilă a bobinei 2 faţă de bobina 1. Din relaţiile (5.61) la (5.63) rezultă următoarele expresii pentru inductivităţile proprii: L11 = Ld 21 + Lu 21 (5.65) şi (5.66) L22 = Ld 12 + Lu12 .

(5.61)

D

Ld 21 =L11 −

Din (5.61) şi (5.62) mai rezultă că în absenţa dispersiei (cuplaj perfect) avem L11 L22 = M 2 . În realitate nu există cuplaje pefecte, astfel că dispersia a două bobine culpate magnetic va fi caracterizată global prin următorii indicatori: - coeficientul de cuplaj : M . k= (5.67) L11 L22 Pentru bobinele necuplate, M = 0 , ⇒ k = 0 şi prin urmare 0 ≤ k < 1 ; - coeficientul de dispersie magnetică : L L −M2 σ = 1 − k 2 = 11 22 ⋅ (5.68) L11 L22 La dispersie magnetică maximă (bobine necuplate) k = 0 , σ = 1 iar la cuplaj pefect k = 1 , σ = 0 şi deci, practic, 0 < σ ≤ 1 . Problemele de dispersie magnetică intervin în studiul circuitelor magnetice ale maşinilor şi aparatelor electrice.

5.4.4. Relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi. Exprimarea t.e.m. induse cu ajutorul inductivităţilor Într-un mediu liniar din punctul de vedere magnetic, cunoscându-se inductivităţile proprii şi mutuale ale unui sistem de circuite, se poate calcula fluxul magnetic prin oricare circuit dacă se cunosc curenţii din toate circuitele.

302

Într-adevăr, dacă fluxul total prin circuitul j , produs de curentul ik este Φ jk , atunci, potrivit principiului superpoziţiei (mediul fiind liniar) fluxul total prin circuitul j , produs de toţi curenţii, se poate calcula ca sumă a fluxurilor produse de fiecare curent în parte: Φ j = Φ j1 + Φ j 2 +...+ Φ jj + ... + Φ jn . (5.69) Fluxurile find funcţii liniare de curenţi, de forma Φ jk = L jk ik , fluxul Φ j poate fi exprimat astfel: Φ j = L j1i1 + L j 2i2 +...+ L jj i j +...+ L jnin ,

(5.70)

în care, L jj =

Φj ij

(5.71) ik = 0 k≠ j

este inductivitatea proprie a circuitului j iar: L jk =

Φj ik

i j =0 k≠ j

= Lkj =

Φk ij

(5.72) ik = 0 k≠ j

este inductivitatea mutuală între circuitele j şi k . Relaţiile (5.70) între fluxuri şi curenţi sunt relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi . Sub formă compactă ele se scriu: Φ = Li , (5.73) unde L este matricea pătratică şi simetrică, de ordin n , a inductivităţilor proprii şi mutuale:  L11 L12 ...L1k ...L1n     L21 L22 ...L2 k ...L2 n  ............................. L=  (5.74) .  L j1 L j 2 ...L jk ...L jn  .............................    Ln1 Ln 2 ...Lnk ...Lnn  Dacă matricea L este nesingulară, ecuaţia (5.73) se poate scrie: i = L-1Φ = ΓΦ , în care Γ este matricea inductivităţilor reciproce proprii şi mutuale. Sistemul (5.75) se scrie desfăşurat: i j = Γ j1Φ1 + Γ j 2 Φ 2 + ... + Γ jj Φ j + ... + Γ jn Φ n ,

(5.75) (5.76)

unde: Γjj =

ij Φj

,

(5.77)

Φ k =0 k≠ j

este inductivitatea reciprocă proprie a circuitului j şi: Γjk =

ij Φk

Φ j =0 j ≠k

= Γkj =

ik Φj

,

(5.78)

Φ k =0 k≠ j

este inductivitatea reciprocă mutuală între circuitele j şi k . Dacă în relaţiile (5.70) curenţii sunt variabili în timp, fluxurile vor fi de asemenea variabile în timp şi, ca urmare, în circuitul j se induce tensiunea electromotoare: 303

ej = −

(5.79)

dΦ j dt

= − L j1

di j di di1 di − L j 2 2 − ... − L jj − ... − L jn n dt dt dt dt

,

ale cărei componente sunt: - tensiunea electromotoare de autoinducţie e jj = e j i =0 = − L jj

(5.80)

di j

; dt - tensiuni electromotoare de inducţie mutuală între circuitul j şi circuitele k : di (5.81) e jk = e j i =0 = − L jk k . j≠k dt k

k≠ j

j

5.4.5. Inductivităţi echivalente Se presupune, mai întâi, o bobină ideală, a cărei rezistenţă ohmică este neglijabilă, parametrul ce o caracterizează fiind numai inductivitatea proprie (fig. 5.16). Pentru circuitul bobinei ideale din figura 5.16, aflat în regim electrocinetic variabil în timp, este valabilă legea lui Ohm scrisă sub forma: u + e = Ri . Aici e este tensiunea electromotoare de autoinducţie, e = − Ldi / dt , iar R ≈ 0 . Rezultă atunci, că între tensiunea la bornele bobinei ideale şi curent există relaţiile: Fig. 5.16 di , u=L (5.82) dt 1 (5.83) i = ∫ udt . L În circuitele electrice pot exista mai multe bobine conectate între ele în diferite moduri. Uneori există posibilitatea ca ele să fie apreciate printr-o inductivitate unică, numită inductivitate echivalentă. Inductanţa echivalentă a două bobine ideale legate în serie, necuplate inductiv (fig. 5.17), rezultă din ecuaţia tensiunilor: u = u1 + u2 , unde u1 = L1di / dt , u2 = L2 di / dt şi u = Le di / dt .

Fig. 5.17

Fig. 5.18

Înlocuind tensiunile cu expresiile lor de mai sus în ecuaţia tensiunilor şi simplificând cu di / dt se deduce relaţia: Le = L1 + L2 . (5.84) Pentru a stabili expresia inductanţei echivalente a două bobine ideale în serie, cuplate inductiv (fig.5.18), se scrie legea lui Ohm pentru porţiunile neramificate de circuit care urmăresc fibra medie a conductoarelor celor două bobine : 304

u1 + e1 + em1 = 0 , u2 + e2 + em 2 = 0, unde e1 şi e2 sunt tensiunile electromotoare de autoinducţie iar em1 şi em 2 sunt tensiunile electromotoare de inducţie mutuală. Deoarece există relaţiile: di , e1 = − L1 dt di , e2 = − L2 dt di , em1 = em 2 = − M dt va rezulta: di di , (5.85) u1 = L1 + M dt dt di di . (5.86) u2 = L2 + M dt dt Existând relaţiile: u = u1 + u2 (5.87) şi di , u = Le (5.88) dt rezultă, dacă se înlocuiesc în (5.87) tensiunile cu expresiile lor (5.85), (5.86) şi (5.88): di , di di di Le = L1 + L2 + 2 M dt dt dt dt de unde: Le = L1 + L2 + 2 M . (5.89) În cazul cuplajului diferenţial, se schimbă semnul din faţa lui M şi relaţia (5.89) devine: Le = L1 + L2 − 2 M . (5.90) Inductanţa echivalentă a două bobine ideale legate în paralel şi necuplate inductiv (fig. 5.19), rezultă din următoarele: - teorema I a lui Kirchhoff (v. cap. 8) aplicată la nod dă: i = i1 + i2 ;

Fig. 5.20

Fig. 5.19

- prin derivare în raport cu timpul rezultă: di di1 di2 = + ; dt dt dt 305

(5.91)

- din expresiile tensiunii la bornele celor două bobine: di di u = L1 1 şi u = L2 2 , dt dt se obţine: di1 u di2 u . = şi = dt L2 dt L1 Analog, din ecuaţia: u = Le di / dt va rezulta di / dt = u / Le ; - dacă se înlocuiesc derivatele dn ecuaţia (5.91) cu expresiile lor obţinute ca mai sus rezultă u / Le = u / L1 + u / L2 , adică: 1 1 1 . = + (5.92) Le L1 L2 În cazul bobinelor în paralel cuplate inductiv (fig. 5.20), se scriu ecuaţiile: di u = Le , (5.93-1) dt di1 di (5.93-2) +M 2 , u = L1 dt dt di di (5.93-3) u = L2 2 + M 1 . dt dt di 2 di1 Din ultimile două ecuaţii se explicitează şi : dt dt di1 L −M = 2 u ; dt L1 L2 − M 2 L −M di2 u . = 1 dt L1 L2 − M 2 Cu ajutorul teoremei I a lui Kirchhoff se obţine: i = i1 + i2 şi, prin derivare în raport cu timpul: di di1 di2 . = + dt dt dt Introducându-se în ultima ecuaţie di / dt explicitat din (5.93-1) şi di1 / dt , di2 / dt cu expresiile lor de mai sus, se obţine: u L −M L −M u+ 1 u , = 2 2 Le L1 L2 − M L1 L2 − M 2 de unde: LL −M2 . Le = 1 2 (5.94) L1 + L2 − 2 M Pentru cuplaj diferenţial se schimbă semnul din faţa lui M : LL −M2 . Le = 1 2 (5.95) L1 + L2 + 2 M

5.5. Energia şi acţiuni ponderomotoare în câmpul magnetic După cum s-a srătat în paragraful 1.5.3 , densitatea de volum a energiei câmpului magnetic, neomogen, localizat în mediul liniar cuprins de domeniul Ω Σ este: 306

1 B ⋅H . 2 Energia câmpului cupris în Ω Σ se va calcula cu relaţia: 1 Wm ∫ B⋅ H dv . 2 v wm =

(5.96)

(5.97)

ΩΣ

Ea este valabilă în orice regim de variaţie în timp al fenomenelor şi este generală, deoarece se referă la un domeniu mărginit, oarecare, din spaţiu.

5.5.1. Energia magnetică a unui circuit filiform Se consideră un circuit filiform (fig. 5.21) situat într-un mediu liniar, izotrop, fără magnetizaţie permanentă, infinit extins. Se presupune domeniul exterior conductorului împărţit în n tuburi de flux de secţiune suficient de mică pentru a putea presupune câmpul uniform în oricare secţiune a tubului, astfel că B || H || ∆Ak || dl k . Energia magnetică din exteriorul conductorului se poate exprima ca sumă a energiilor înmagazinate în volumele vk ale tuburilor de flux: 1 1 n Wme = ∫ B.H dv = ∑ ∫ B.H dvk , (5.98) 2 k =1 v 2v Ω

k

Fig. 5.21

unde:

B ⋅ H dvk = ( B ⋅ H )( ∆Ak ⋅ dl k ) = ( B ⋅ ∆Ak )( H ⋅ dl k ) = ∆Φ k ( H ⋅ dl k ) în care ∆Φ k este valoarea conservativă a fluxului magnetic de-a lungul tubului de flux. Ecuaţia (5.98) se scrie: 1 n Wme = ∑ ∆Φ k ∫ H .dl k . 2 k =1 Γ k

Ţinându-se seama de legea circuitului magnetic se obţine în final: 1 n 1 (5.99) Wme = i ∑ ∆Φ k = iΦ ext . 2 k =1 2 Fluxul exterior al conductorului se poate exprima în funcţie de inductivitatea proprie exterioară a conductorului în conformitate cu relaţia (5.47), iar din (5.99) rezultă: 1 Wme = Lext i 2 (5.100) 2 şi, de aici, următoarea definiţie energetică a inductivităţii proprii exterioare: 2W Lext = 2me ⋅ (5.101) i În medii conductoare, curba care delimitează suprafaţa prin care se calculează fluxul magnetic nu poate fi determinată în mod univoc şi de aceea definirea inductanţei proprii interioare se face numai după criteriul energetic: 2W Lint = 2 mi . (5.102) i Prin însumarea celor două inductanţe, interioară şi exterioară, se obţine inductanţa totală a conductorului: 307

2(Wme + Wmi ) 2Wm , = 2 i2 i sau, în funcţie de mărimile de stare ale câmpului:  1 L = Lext + Lint = 2  ∫ B.H dv + ∫ B.H dv  . (5.104) i  v  v L = Lext + Lint =

(5.103)

i

e

5.5.2. Energia magnetică a unui sistem de circuite Se consideră sistemul de circuite din figura 5.22, aflate în stare electrocinetică. În circuitul k lucrează sursa cu tensiunea electromotoare ek iar intensitatea curentului este ik . Circuitele pot fi mobile iar tensiunile electromotoare şi curenţii pot fi variabili în timp. Energia furnizată de cele n surse trebuie să acopere pierderile de energie prin efect Joule – Lenz în rezistenţele Rk ale circuitelor, lucrul mecanic efectuat de forţele de natură magnetică ( Lm ) şi creşterea energiei câmpurilor magnetice ( Wm ). Pentru intervalul de timp dt ecuaţia de bilanţ energetic al sistemului este:

Fig. 5.22

n

n

k =1

k =1

∑ ek ik dt = ∑ Rk ik2dt + dLm + dWm .

(5.105)

Ecuaţia de funcţionare a unui circuit este, potrivit legii lui Ohm: dΦ k ek − = Rk ik , dt

adică: dΦ k ⋅ dt Înlocuindu-se tensiunile electromotoare ek în ecuaţia (5.105) cu expresiile lor din (5.106) se obţine: (5.106)

ek = Rk ik +

n

(5.107)

dWm = ∑ ik dΦ k − dLm , k =1

unde dLm este de forma: dLm = X dx . (5.108) Cu X s-a notat componenta forţei pe direcţia deplasării – forţa generalizată , iar cu x – coordonata generalizată. Ecuaţia (5.107) exprimă variaţia energiei magnetice ca urmare a variaţiei fluxurilor (deci a curenţilor) şi ca urmare a deplasării corpurilor în câmpul magnetic. În condiţiile mediului liniar din punctul de vedere magnetic şi al imobilităţii corpurilor ( dx = 0 ) ecuaţia (5.107) se reduce la: n

(5.109)

dWm = ∑ ik dΦ k . k =1

În cazul unei variaţii lente a curenţilor (regim cvasistaţionar) există liniaritate între fluxuri şi curenţi, liniaritate exprimată de ecuaţiile lui Maxwell (5.70): n

(5.110)

Φ k = ∑ Lkj i j . j =1

308

Notându-se valorile curentului şi fluxului într-o stare intermediară a variaţiei curentului de la starea iniţială la cea finală cu: ik = λik final şi Φ k = λΦ k final , unde 0 ≤ λ ≤ 1 , variaţia de flux se exprimă prin: dΦ k = dλΦ k final , iar variaţia de energie se scrie: n

dWm = ∑ (ik Φ k ) final λdλ .

(5.111)

k =1

Suma variaţiilor de energie din momentul iniţial, în care nu există câmp magnetic, până în momentul final, este de fapt energia Wm a câmpului magnetic în starea finală. Ea se obţine integrând ecuaţia (5.111) pentru λ variind de la 0 la 1, obţinându-se: 1 n Wm = ∑ ik Φ k . (5.112) 2 k =1 Precizarea "final " a fost suprimată. Ecuaţia prezintă analogie formală cu aceea a energiei câmpului electrostatic al unui sistem de n sarcini (v. § 2.6.1). Utilizându-se relaţiile lui Maxwell se poate exprima energia magnetică numai în funcţie de curenţi: n n L ii Wm = ∑∑ kj j k (5.113) 2 k =1 j =1 şi, deoarece există relaţia de reciprocitate Lkj = L jk , ecuaţia (5.113) se mai scrie: Wm =

n n 1 n L jj i 2j + ∑∑ L jk i j ik , ∑ 2 j =1 k =1 j =1

(5.114)

k≠ j

unde termenii primei sume reprezintă energiile magnetice proprii ale circuitelor iar termenii celei de a doua sume reprezintă energii magnetice de interacţiune între două circuite.

5.5.3. Energia magnetică a unei distribuţii de curent cu densitatea J Se presupune o distribuţie cu densitatea J a curentului electric de conducţie în domeniul Ω j ca în figura 5.23. Conform ecuaţiei (5.97) energia câmpului magnetic localizat în domeniul DΣ , liniar, izotrop, fără magnetizaţie permanentă, este: 1 1 Wm = ∫ B.H dv = ∫ H rot Adv . (5.115) 2v 2v DΣ

DΣ

Ţinându-se cont de relaţiile: div( A×H ) = H rot A − A rot H şi rot H = J , se obţine: 1 1 Wm = ∫ div( A×H )dv + ∫ A.J dv , 2v 2v DΣ

Ωj

adică: Fig. 5.23 309

(5.116)

Wm =

1 1 ( A×H )ndA + ∫ A.J dv . ∫ 2Σ 2v Ωj

Dacă domeniul DΣ se extinde la infinit, atunci termenii care intervin în integrala de suprafaţă tind către zero (aşa cum se subliniază mai jos) şi rezultă: 1 Wm = ∫ A.J dv . (5.117) 2v Ωj

Pornindu-se de la formulele lui Green se poate stabili expresia integrală a potenţialului vector în problema tridimensională : A(r )Ω = P

∫

vΣ

µ J (r ' ) 1 1 1  dv − ( A.n)grad + (n× A)×grad + (n x rot A) dA . R R R R 

∫ Σ

Punctul P(r ) – figura 5.23G – este acela în care se calculează potenţialul iar P' (r ' ) este punctul în care densitatea de curent este J . Ω este unghiul solid sub care se vede suprafaţa Σ din punctul P (cu valorile 4π dacă P se află în interiorul domeniului, respectiv 2π dacă el se află pe suprafaţa Σ). P

Se demonstrează că cele două componente , normală – A⋅ n şi tangenţială – n× A , ale potenţialului magnetic vector tind către zero pentru R→∞ cel puţin ca 1/R, ceeace reprezintă condiţia de Fig. 5.23G regularitate la infinit pentru potenţialul magnetic vector în problema tridimensională. Ţinând cont de relaţia de definiţie a potenţialui magnetic vector, rezultă şi condiţia de regularitate la infinit pentru inducţia magnetică în problema tridimensională.

Evident, dacă domeniul DΣ cuprinde şi n circuite filiforme aflate în regim electrocinetic cvasistaţionar, atunci în membrul doi al ecuaţiei (5.116) se adaugă şi un termen de forma (5.112), aceasta devenind: 1 1 1 n Wm = ∫ ( A×H )ndA + ∫ A.J dv + ∑ ik Φ k , (5.118) 2Σ 2v 2 k =1 Ωj

iar în cazul spaţiului infinit rezultând: (5.119)

Wm =

1 1 n . d A J v + ∑ ik Φ k . 2 v∫ 2 k =1 Ωj

Observaţie . Dacă cele n circuite se consideră localizate în volumul Ω 'j în care sunt identificate ca o distribuţie cunoscută de curenţi, atunci aportul lor la energia câmpului magnetic localizat în domeniul DΣ se poate calcula cu relaţiile (5.116), respectiv (5.117). Revenindu-se la ecuaţia (5.118) în care produsul mixt ( A×H )⋅ n se poate scrie ( A t × H t ) (v. § 5.2.1) ajungem la concluzia că pentru calculul energiei câmpului magnetic în domeniul considerat este suficient să cunoaştem: - componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului şi potenţialului magnetic vector pe suprafaţa de frontieră; - curenţii şi fluxurile pentru circuitele filiforme; - potenţialul magnetic vector în punctele în care densitatea de curent este nulă.

5.5.4. Teoremele acţiunilor ponderomotoare în câmp magnetic Forţele magnetice care se exercită între conductoare aflate în stare electrocinetică se numesc forţe electrodinamice iar cele ce se exercită între un conductor în stare electrocinetică şi un corp feromagnetic, respectiv între corpuri feromagnetice se numesc forţe electromagnetice. Expresiile lor generale se obţin din aceea a energiei magnetice.

310

Teorema forţelor generalizate la flux magnetic constant. Lucrul mecanic dL = Xdx efectuat la o deplasare elementară dx a unui corp în câmpul magnetic, sub acţiunea forţei X , se poate calcula cu ajutorul relaţiei (5.107): n

dWm = ∑ ik dΦ k − Xdx . k =1

Dacă fluxurile se menţin constante această relaţie capătă forma: (dWm ) Φ =const. = − Xdx , k

de unde: (dWm )Φ

 ∂W  (5.120) = − m  dx  ∂x Φ =const. Din relaţia (5.120) rezultă că forţa generalizată la fluxuri magnetice menţinute constante este egală cu derivata parţială cu semn schimbat a energiei magnetice în raport cu coordonata generalizată. Semnul (–) arată că, în absenţa fenomenelor de inducţie electromagnetică ( Φ k = const. ), nu există schimb de energie între surse şi câmp, lucrul mecanic fiind efectuat pe seama scăderii energiei câmpului. Teorema forţelor generalizate la curent constant. O nouă teoremă se obţine dacă se presupun constanţi curenţii din circuite. În acest caz: n  n  (dWm ) i =const. = ∑ ik dΦ k − Xdx = d ∑ ik Φ k  − Xdx . k =1  k =1  i =const . Potrivit relaţiei (5.112) energia magnetică are valoarea: 1 n Wm = ∑ ik Φ k , 2 k =1 astfel că: 1  n  , (dWm )i =const. = d ∑ ik Φ k  2  k =1 i =const.

X =−

k

= const.

k

k

k

k

k

adică:  n  d ∑ ik Φ k  = 2(dWm )i =const.  k =1 i =const. k

k

şi (dWm )i =const. = Xdx . k

Prin urmare: (dWm )i =const.

 ∂W  (5.121) = m dx  ∂x  i =const. şi deci, forţa generalizată X , corespunzătoare coordonatei generalizate x , este egală cu derivata parţială a energiei magnetice în raport cu coordonata generalizată, la curenţi constanţi în circuite. În cazul curenţilor constanţi, există aport de energie de la surse iar lucrul mecanic este efectuat concomitent cu creşterea energiei câmpului cu o valoare egală cu aceea a lucrului efectuat de forţele magnetice. Evident, relaţiile (5.120) şi (5.121) se referă la aceeaşi forţă X care nu va depinde de modul în care a fost calculată.

X=

k

k

311

Teorema tensiunii magnetice. În imediata vecinătate a suprafeţei unui corp feromagnetic, cu permeabilitatea teoretic infinit mare, liniile câmpului magnetic sunt, în conformitate cu teorema refracţiei liniilor câmpului magnetic, fie normale, fie tangenţiale la suprafaţa corpului (v. § 5.2.3). Se poate presupune un element de arie dA pe suprafaţa de separaţie, în imediata vecinătate a căruia intensitatea câmpului magnetic H şi inducţia B = µ 0 H pot fi normale sau tangenţiale la suprafaţă ca în figurile Fig. 5.24 5.24a, 5,24b. Densitatea de volum a energiei câmpului magnetic fiind (v. relaţia 5.96): 1 1 1 B2 , wm = B.H = µ 0 H 2 = 2 2 2 µ0

la o deplasare dl a elementului dA variaţia energiei magnetice va fi: dWm = wm dl.ndA = wm dldA cos α şi va fi maximă pentru α = 0 . Forţa dF este maximă după normala orientată dinspre corpul feromagnetic şi are, conform teoremei forţelor generalizate (relaţia 5.121), intensitatea: dWm dFn = = wm dA , dx de unde rezultă că tensiunea magnetică este valoric egală cu densitatea de volum a energiei: dF Tnm = n = wm . (5.122) dA Câmpul magnetic tangenţial la suprafaţa corpului feromagnetic exercită asupra acestuia o presiune : dF (5.123) pnm = n = wm . dA Teorema densităţii de volum a forţei în câmp magnetic staţionar. Pentru forţele interne care acţionează din aproape în aproape în cadrul unui sistem fizic se defineşte densitatea de volum a forţei prin relaţia: D dF , f= (5.124) dv unde F = ∫ f dv este forţa rezultantă. v ΩΣ

Fie sistemul unor conductoare aflate în regim electrocinetic cvasistaţionar, situate într-un mediu liniar din punctul de vedere magnetic. Lucrul forţelor generalizate la deplasări dl ale conductoarelor va fi egal cu variaţia energiei magnetice Wm . Presupunându-se că forţele acţionează în condiţiile menţinerii constante a curenţilor se obţine: dL = ∫ f m .dldv = dWm |i =const. , (5.125) vΩ Σ

unde Wm se poate calcula cu oricare din formulele (5.97) sau (5.117):

312

Wm =

1 1 B2 1 H . B d v = dv = ∫ J . Adv . ∫ ∫ 2v 2v µ 2v ∞

∞

ΩΣ

Aici v∞ este volumul spaţiului extins teoretic la infinit iar vΩ

este

Σ

volumul spaţiului ocupat de conductoare. Variaţiile elementare ale ultimelor două expresii se pot scrie: 1 1 1 dWm1 = ∫ B 2d l  dv + ∫ B.d l Bdv 2v µ µ   v

Fig. 5.25

∞

ΩΣ

şi, respectiv: dWm 2 =

1 1 A.d l J dv + ∫ J .d l Adv . 2 v∫ 2v ΩΣ

(5.127)

ΩΣ

Simbolul d l se referă la variaţia locală a mărimii corespunzătoare. 1 Deoarece d l B = rotd l A , termenul ∫ B.d l Bdv se transformă astfel: µ v ΩΣ

1

∫ µ B.d Bdv = ∫ H .rotd A = ∫ [div(d A× H ) +d A.rot H ]dv = ∫ (d A × H ).ndA + ∫ J .d Adv = ∫ J .d Adv. l

vΩ Σ

l

v∞

l

l

l

Σ∞

v∞

l

vΩ Σ

l

vΩ Σ

Integrala de suprafaţă este nulă ca urmare a condiţiilor de regularitate la infinit ale lui H şi A . Înlocuindu-se termenul astfel dezvoltat în ecuaţia (5.127) şi deoarece: dWm1 = dWm 2 = dWm , rezultă: 1 1 dWm = 2dWm 2 − dWm1 = ∫ A.d l J dv − ∫ B 2d l  dv . (5.128) 2v µ v ΩΣ

∞

Pentru a se calcula variaţia locală a lui 1 / µ , mărime care nu satisface o lege de conservare, se presupune cunoscută dependenţa ei în raport cu densitatea de masă, care se notează aici cu τ şi 1 care se presupune variabilă cu deplasarea. Se determină astfel variaţia substanţială d l   prin µ intermediul lui d l (τ) : 1 1  1  ∂ (1 / µ) ∂ (1 / µ) d s   = d l   + d l s.grad  = dsτ = (d l τ + d l s.gradτ) = ∂τ ∂τ µ µ µ ∂ (1 / µ) ∂ (1 / µ) = [d l s.gradτ − div(τds )] = − τdivd l s, ∂τ ∂τ

de unde:

 1  ∂ (1 / µ ) 1 d l   = −d l s.grad  − τdivd l s . ∂τ µ µ

(5.129)

Variaţia d l J se calculează în ipoteza că intensitatea curentului, i = ∫ J .ndA , printr-o SΓ

suprafaţă oarecare SΓ , antrenată de mediul în mişcare, rămâne constantă. Ca urmare a deplasării, poate varia şi densitatea de curent cu d l J cât şi SΓ cu dS Γ , datorită deformării curbei Γ . Elementul dl

al curbei Γ , deplasându-se cu ds , descrie suprafaţa elementară

d 2 S Γ = ds×dl (fig. 5.25), astfel că dS Γ = ∫ ds×dl . Γ

Variaţia totală a curentului fiind nulă: 313

di = ∫ d l L.ndA + ∫ J .(ds.dl ) = 0 Γ

SΓ

şi suprafaţa SΓ arbitrară, aplicându-se teorema lui Stokes şi identificându-se integranzii se obţine: d l J = − rot ( J ×ds ) . (5.130) Ţinându-se acum seama de relaţiile (5.129) şi (5.130), expresia (5.128) a lui dWm devine: dWm = − ∫ Arot ( J ×ds )dv +

(5.131)

vΩ Σ

1 1 1  ∂ (1 / µ)  τdivds  dv + ∫ B 2 dsgrad dv. B2  ∫ µ 2v 2v  ∂τ  ΩΣ

ΩΣ

Primele două integrale se transformă astfel : ∫ Arot( J ×ds)dv = ∫ div[( J ×ds)x A] + ( J ×ds)rot A = ∫ ( J ×ds)ndA + ∫ ( J ×ds) Bdv =

{

vΩ Σ

}

Σ∞

vΩ Σ

1 2 v∫

ΩΣ

=

vΩ Σ

∫ ds( J ×B)dv;

vΩ Σ

1 1  2 ∂ (1 / µ)   ∂ (1 / µ)   ∂ (1 / µ)  τdivds  dv = ∫ div  B 2 τds  dv − ∫ ds.grad  B 2 τ dv = B 2v 2v ∂τ ∂τ ∂τ       ΩΣ

ΩΣ

1 1 1 ∂ (1 / µ)  ∂ (1 / µ)   ∂ (1 / µ)  B2 τds.ndA − ∫ ds.grad  B 2 τ dv = − ∫ ds.grad  B 2 τ  dv , ∫ 2Σ 2v 2v ∂τ ∂τ ∂τ     ∞

ΩΣ

ΩΣ

integralele de suprafaţă fiind nule, datorită condiţiilor de regularitate la infinit. Înlocuind aceste valori în ecuaţia (5.131) se obţine:  1 1  ∂ (1 / µ)  1 2 τ + B grad dv . dWm = ∫  J ×B − grad B 2 (5.132) ∂τ µ 2   2 v  ΩΣ

Dacă elementele sistemului se pot deplasa independent, ds fiind diferit de zero pentru oricare din ele, prin identificarea ecuaţiei (5.132) cu ecuaţia (5.125) rezultă expresia densităţii de volum a forţei în câmp magnetic : 1 1  ∂ (1 / µ)  1 2 (5.133) τ + B grad , f m = J ×B − grad  B 2 ∂τ 2 µ 2   iar dacă acestea nu se pot deplasa independent unele de altele, formula (5.133) determină forţele lagrangeene corespunzătoare gradelor de libertate. Primul termen al ecuaţiei (5.133) reprezintă densitatea de volum a forţei magnetice Lorentz, al doilea intervine dacă permeabilitatea este funcţie de punct iar ultimul se datorează variaţiei permeabilităţii cu densitatea de masă şi interesează la studiul magnetostricţiunii . Înlocuindu-se în ultimii doi termeni inducţia magnetică cu expresia ei B = µ H şi efectuând calculele se obţine: 1 1 ∂µ f m = J × B − H 2 gradµ + grad( H 2 τ) . (5.134) 2 2 ∂τ Tensiuni maxwelliene în câmpul magnetic. Se introduce densitatea de volum a forţei în ecuaţia (5.122) care exprimă rezultanta forţelor de volum F m în funcţie de rezultanta tensiunilor T nm ce acţionează asupra unităţii de suprafaţă de versor n , obţinându-se:

(5.135)

F m = ∫ f m dv = ∫ T nm dA . Σ

vΣ

'

"

Se xprimă f m sub forma f m = f m + f m , unde : ' 1 f m = J × B − H 2 gradµ 2 şi 314

(5.136)

" 1 ∂µ f m = grad( H 2 τ) . 2 ∂τ Termenul J × B = (rot H ) × B se transformă astfel:

(5.137)

(5.138) ( rot H ) × B = −grad( H .B ) + ( H grad) B + ( Bgrad) H + H ×rot B . Se ţine seama de relaţiile: H ×rot B = H ×rotµ H = H ×[gradµ×H + µrot H ] = H 2 gradµ − H ( H gradµ) + ( Bgrad) H şi ( H grad) D = H ( H gradµ) + ( Bgrad) H , astfel că relaţia (5.138) devine: 1 1 (rot H ) × B = − grad( H .B ) + ( H grad) B − H ( H gradµ) + H 2 gradµ = 2 2 1 1 = [( H grad) B + Bdiv H − grad( H ⋅ B)] − (div B) H + H 2 gradµ, 2 2 în care s-a făcut înlocuirea: H ( H gradµ) = H div B − Bdiv H . Deoarece div B = 0 , rezultă: 1 1 (rot H ) × B = [( H grad) B + Bdiv H − grad( H .B)] + H 2 gradµ . 2 2 Termenii grupaţi între parantezele drepte se dezvoltă în modul următor: ∂   1 1 ∂  ∂ ( H grad) B + Bdiv H − grad( H .B )] = i   H x Bx − H .B  + ( H x B y ) + ( H x Bz )  + 2 2 ∂z  ∂y  ∂x  

(5.139)

∂  1 ∂   ∂ + j  ( H y Bx ) +  H y B y − H ⋅ B  + ( H y Bz ) + 2 ∂y   ∂z  ∂x  ∂ 1 ∂ ∂  + k  ( H z Bx ) + ( H z B y ) +  H x Bz − H .B  = divTm . 2 ∂y ∂z    ∂x (5.140) S-a notat cu Tm tensorul a cărei matrice este: 1   H x By H x Bz  H x B x − 2 H .B    1 . T= (5.141) H y Bx H y B y − H .B H y Bz 2   1  H z Bx H z By H z B z − H .B   2  În raport cu un sistem de coordonate triortogonale, tensorul de ordinul al doilea T asociază unei orientări oarecare ν o mărime vectorială T ν , funcţie liniară şi omogenă de cosinusurile directoare cos α ν1 , cos α ν 2 şi cos α ν 3 : T ν = T 1 cos α ν1 + T 2 cos α ν 2 + T 3 cos α ν 3 , în care vectorii T 1 , T 2 şi T 3 senumesc componentele vectoriale pe care le asociază tensorul orientărilor axelor de coordonate de versori u1 , u 2 şi u 3 . Fiind determinat de trei vectori, tensorul este caracterizat de 9 mărimi scalare reprezentate de componentele scalare ale vectorilor T 1 , T 2 şi T3 . 315

Deoarece:

T ν = Tν1 u1 + Tν 2 u 2 + Tν 3 u 3 , T 1 = T11 u1 + T12 u 2 + T13 u 3 , T 2 = T21 u1 + T22 u 2 + T23 u 3 , T 3 = T31 u1 + T32 u 2 + T33 u 3 şi u ν = u1 cos α ν1 + u 2 cos α ν 2 + u 3 cos α ν 3 , rezultă: Tν1 = T11 cos α ν1 + T21 cos α ν 2 + T31 cos α ν 3 ; Tν 2 = T12 cos α ν1 + T22 cos α ν 2 + T32 cos α ν 3 ; Tν 3 = T13 cos α ν1 + T23 cos α ν 2 + T33 cos α ν 3 ; Matricea tensorului T este tabela ale cărei coloane conţine coeficienţii liniilor sistemului de mai sus: T11 T12 T13  T T T  .  21 22 23  T31 T32 T33  '

În concluzie, termenul f m , dat de ecuaţia(5.136), se va scrie, ţinând cont de relaţia (5.139): ' ∂   1 1 ∂  ∂ f m = J × B − H 2 gradµ = i   H x Bx − µH 2  + ( H x B y ) + ( H x Bz ) + 2 2 ∂z  ∂y  ∂x   ∂  1 ∂   ∂ + j  ( H y Bx ) +  H y B y − µH 2  + ( H y Bz ) + 2 ∂y   ∂z  ∂x  ∂ 1 ∂ ∂  + k  ( H z Bx ) + ( H z B y ) +  H x Bz − µH 2  = div Tm' , 2 ∂y ∂z    ∂x ' unde Tm , având expresia (5.141), este tensorul tensiunilor maxwelliene în câmp magnetic. "

fm,

Termenului

cu

expresia

(5.137),

îi

corespunde

tensorul

tensiunilor

de

" m

magnetostricţiune T a cărui matrice este: 1 0 0  1 2 ∂µ  (5.142) T = H 0 1 01 . 2 ∂τ  0 0 1  Scriindu-se acum ecuaţia (5.135) sub forma: (5.143) F m = ∫ f m dv = ∫ T nm dA = ∫ div Tm dv " m

vΣ

Σ

vΣ

şi introducând componentele tensorului Tm = T + T se deduc componentele după orientarea de ' m

" m

versor n ale tensiunii T nm care sunt: (5.144)

 ∂µ  2  1 τ  H cos(n ⋅ i ) + H x B y cos(n ⋅ j ) + H x Bz cos(n ⋅ k ) Tn×m =  H x Bx −  µ − ∂τ   2 

şi încă două similare. Ele conduc la expresia vectorială: 316

T nm = ( B ⋅ n) H −

∂µ  2 1  τ H , n µ − ∂τ  2 

(5.145)

unde: ' 1 T nm = ( B ⋅ n) H − µH 2 n . (5.146) 2 Dacă liniile de câmp sunt normale la suprafaţă, ca în figura 5.26a, ecuaţiile (5.145) şi (5.146) devin: 1  ∂µ  2 (5.147) T nm = n µ − τ H 2  ∂τ  şi ' 1 T nm = µH 2 n , (5.148) 2 iar dacă sunt tangenţiale la suprafaţă, ca în figura 5.26b, atunci: 1  ∂µ  2 (5.149) T nm = − n µ − τ H 2  ∂τ  şi ' 1 T nm = − µH 2 n . (5.150) 2 Pentru o orientare oarecare, se consideră elemente de suprafaţă perpendiculare între ele,

Fig. 5.26

Fig. 5.27

dintre care unul omoparalel cu n iar celălalt perpendicular pe n şi se aplică relaţiile (5.147) – (5.150). În acest fel, tensiunile se reduc la o tracţiune în direcţia câmpului şi la o presiune normală pe liniile de câmp, ca şi cum liniile de câmp ar fi fire elastice supuse la tracţiune şi, lateral, supuse unei presiuni (fig. 5.27). Deoarece pe suprafeţele corpurilor feromagnetice liniile de câmp sunt fie perpendiculare, fie tangenţiale, elementele de suprafaţă sunt supuse fie la o tracţiune spre exterior (fig. 5.28a), fie la o presiune spre interior (fig. 5.28b). Teorema impulsului electromagFig. 5.28 netic. Expresia generală a impulsului electromagnetic în medii imobile, liniare, izotrope şi lipsite de polarizaţie permanentă se stabileşte printr-o interpretare a ecuaţiilor câmpului electromagnetic similară cu aceea care a condus la formularea teoremei energiei electromagnetice:

317

- se multiplică vectorial la dreapta ambii membri ai ecuaţiei legii inducţiei electromagnetice cu D şi ambii membri ai ecuaţiei legii circuitului magnetic cu H . Se adună ecuaţiile astfel obţinute membru cu membru, rezultând: ∂B ∂D (rot E )×D + (rot H )×B = J ×B − ×D + ×B ; (5.151) ∂t ∂t - termenii de forma (rot E )×D,(rot H )×B se transformă aşa cum s-a procedat cu ecuaţia (5.138) devenită (5.139): 1 1 (5.152) (rot E )×D = [( Egrad) D + Ddiv E − grad( E.D )] − (div D) E + E 2 gradε , 2 2 unde div D = ρ v , şi, în conformitate cu (5.139) rezultă: 1 1 (5.153) (rot H ) × B = [( H grad) B + Bdiv H − grad( H .B )] + H 2 gradµ , 2 2 în care: 1 ( Egrad) D + Ddiv E − grad( E.D) = div Te (5.154) 2 şi 1 H grad) B + Bdiv H − grad( H .B ) = div Tm . (5.155) 2 Te şi Tm sunt: tensorul tensiunilor electrice, respectiv, tensorul tensiunilor magnetice. Primul termen din membrul al doilea al relaţiei (5.151) este densitatea de volum a forţei magnetice a lui Lorenz, f mL , iar ultimul termen al relaţiei (5.153), luat cu semn schimbat, este '

densitatea de volum a forţei magnetice datorată variaţiei spaţiale a permeabilităţii, f m :

= J ×B , 1 f m = − H 2 gradµ . (5.157) 2 Analog, ultimii doi termeni din ecuaţia (5.152) reprezintă densitatea de volum a forţei electrice, f e , care se exercită asupra sarcinii electrice, respectiv, cu semn schimbat, densitatea de f

(5.156)

mL

'

'

volum a fortei electrice datorată variaţiei spaţiale a permitivităţii – f e : (5.158) (5.159)

f e = ρv E , ' 1 f e = − E 2 gradε . 2

Dacă se notează: '

'

f em = f e + f e + f mL + f m (5.160) şi (5.161) Tem = Te + Tm , înlocuindu-se termenii din primul membru al ecuaţiei (5.151) cu expresiile lor (5.152), (5.154) şi (5.153), (5.155) se obţine: d (5.162) ( D×B ) = − f em − div Tem . dt

Integrând pe volumul vΣ în care se presupune localizat impulsul electomagnetic şi aplicând teorema Gauss – Ostrogradski ultimului termen rezultă:

318

d ( D×B )dv = − ∫ f em dv − ∫ Tem dA . (5.163) dt v∫Σ Σ vΣ În acord cu relaţia dintre forţă şi impuls cunoscută de la Mecanică, mai rezultă că expresia impulsului electromagnetic este: P em = ∫ ( D×B)dv , (5.164) vΣ

cu densitatea de volum:

g em − = D×B . (5.165) Ecuaţia (5.163) exprimă teorema impulsului electromagnetic : derivata în raport cu timpul a impulsului electromagnetic este egală cu suma cu semn schimbat a integralei de volum a densităţii forţei electromagnetice şi integrala de suprafaţă a tensorului tensiunilor maxwelliene în câmp electric şi magnetic. Evident, dacă permitivitatea ε şi permeabilitatea µ sunt variabile cu densitatea de masă a materialului atunci în expresia (5.160) a densităţii forţei electromagnetice intervin aditiv densităţile de volum ale forţelor de electrostricţiune şi ale forţelor de magnetostricţiune : ' 1 ∂ε f es = grad( E 2 τ) (5.166) 2 ∂τ şi ' 1 ∂µ f em = grad( H 2 τ) . (5.167) 2 ∂τ Momentul cinetic rezultă din relaţia: d M em = r×P em = − ∫ ( r× f em )dv + ∫ (r× Tem ) dA . (5.168) dt v Σ Σ

În regim cvasistaţionar impulsul electromgnetic este neglijabil iar ecuaţiile de mai sus devin:

∫f

dv = ∫ Tem dA ; Σ ∫ (r× f em )dv = ∫ (r× Tem ) dA . em

(5.169)

vΣ

(5.170)

Σ

vΣ

Ele exprimă acum echivalenţa dintre forţa electromagnetică repartizată volumetric şi forţa electromagnetică repartizată superficial.

5.6. Aplicaţii În cadrul acestui ultim subcapitol referitor la câmpul magnetic cvasistaţionar, se vor analiza (cu titlul de aplicaţii), câteva aspecte determinate de modelarea şi simularea numerică a câmpului magnetic (în vederea rezolvării unor probleme practice prin metoda elementului finit) şi de calculul efectiv al câmpului magnetic în anumite situaţii de interes pentru tehnică, inclusiv câteva cazuri clasice de calcul a inductivităţii şi determinării acţiunilor mecanice în sistemele fizice electromagnetice.

5.6.1. Simularea numerică a câmpului magnetic cvasistaţionar Simularea numerică a problemelor de câmp macroscopic se bazează –în principal– pe formularea variaţională echivalentă modelelor diferenţiale care descriu local starea câmpului, dar şi pe discretizarea acestor modele diferenţiale. Modelele discrete fiind prezentate pe larg în 319

lucrarea noastră Dumitrescu, I. (1983), în acest paragraf se va aborda numai modelarea variaţională.

Modelul variaţional de câmp magnetic cvasistaţionar Acest model se deduce prin particularizarea adecvată a integralei de acţiune (V1), prezentată în paragraful 2.6.3, şi asocierea condiţiilor de unicitate a determinării câmpului magnetic cvasistaţionar (definite în paragraful 5.2.1). Între aceste condiţii de unicitate, o importanţă aparte revine condiţiei de etalonare a lui Coulomb (v. § 5.1.1), necesară pentru definire univocă a potenţilului magnetic vector A . Se poate demonstra că pentru funcţionala energetică asociată câmpului magnetic cvasisteţionar în medii oarecare este suficient să se considere expresia:  B   ν F ( A) = ∫  ∫ H ⋅ dB  − J ⋅ A + (div A) 2 dv + ∫ ( H × A) ⋅ n dA − ∫ J   2  v  Σ Σ   0

(5.171)

Σ

Ω

Σd

⋅ AdA ,

d

în care, vΩ este volumul domeniului de câmp Ω (reprezentând o regiune a spaţiului tridimensional), mărginit de suprafaţa Σ = Fr Ω , n este versorul normalei la Σ (cu sensul spre interiorul ei), Σ ⊂ Ω reprezintă o eventuală suprafaţa de discontinuitate din Ω având o pânză de curent electric de conducţie cu densitatea J , iar H , B , A şi J reprezintă vectorii de stare magnetică a câmpului (intensitatea lui, inducţia magnetică şi potenţilal magnetic vector) şi electrocinetică a mediului din Ω (prin densitatea curentului electric de conducţie). Primii doi termeni ai integralei de volum (5.171) se obţin direct din funcţionala generală (2.68), corespunzător condiţiilor regimului magnetic cvasistaţionar (care impun: ∂ / ∂t = 0, Σ

Σd

E = D = 0 şi qv = 0 ). Integrala pe Σ din expresia (5.171) include condiţiile pe frontieră de tip Newmann (v. § 2.2.3); ea se anulează pentru componenta tangenţială la Σ nulă a potenţialului magnetic vector (adică pentru At = 0 ) sau pentru componenta tangenţială la Σ nulă a intensităţii câmpului Σ

magnetic ( adică pentru H t = 0 ) deoarece întotdeauna produsul vectorial H × A este normal pe Σ

versorul n (deci este tangent la Σ , ceea ce implică: At = 0U H t = 0 ). Ultimul termen integral din membrul drept al relaţiei (5.171) exprimă condiţia de interfaţă rot H = n × H = J ce se referă la o eventuală suprafaţă fixă de discontinuitate Σ d ⊂ Ω pe Σ

Σ

Σd

Σd

Σd

care există J

Σd

Σ

Σd

= 0 . Ecuaţiile de trecere rot H

Σd

=J

Σd

şi div B

Σd

= 0 (în care intervin rotorul şi

divergenţa de suprafaţă relativă la Σ d ⊂ Ω ), caracteristice câmpului magnetic cvasistaţionar, reprezintă condiţiile la limită naturale în procesul de staţionarizare a funcţionalei (5.171). În fine, termenul ν(div A) 2 / 2 din funcţionala (5.171) impune condiţia lui Coulomb div A = 0 , de etalonare pentru potenţialul magnetic vector A (v. § 5.1.1) în funcţionala energetică (5.171), conform metodei aşa-zisei funcţii de penalitate (noţiune introdusă de Coulomb, J.L. , în anul 1981, prin teza sa de doctorat susţinută la Institutul Naţional Politehnic din Grenoble – Franţa, cu titlul “Analyse tridimensionelledes champ électriques et magnétiques par la méthod des éléments finis ”). Pe scurt, această metodă constă în : dacă F (ϕ) , definită pe Ω = Ω U Σ , reprezintă o funcţională de staţionarizat conform unui principiu variaţional convenţional şi dacă se impune –suplimentar– satisfacerea unei restricţii de egalitate Φ (ϕ) = 0 pe Ω , atunci se poate adopta ca funcţională modificată, –corespunzătoare principiului variaţional constrâns– expresia 320

F (ϕ) + α ∫ [Φ (ϕ)]2 dv , unde α (numit parametru de penalitate) este un număr real, pozitiv, vΩ

suficient de mare pentru ca restricţia impusă să fie “cât mai bine” îndeplinită. În cazul de aici, α = ν / 2 şi Φ (ϕ) = div A . Parametrul de penalitate din acest caz, ν / 2 , cu dimensiunea unei reluctivităţi (adică ν = [µ] ), este dependent de materialul şi starea fizică a mediului din câmpul Ω. Prin explicitarea ecuaţiei constitutive cu forma generală B = B( H ) sau H = H ( B ) –adică −1

legea legăturii dintre B , H şi M (magnetizaţia)– se obţin formele specifice ale funcţionalei energetice (5.171), asociată câmpului magnetic cvasistaţionar, aşa cum se va arăta în următoarele două aplicaţii.

Aplicaţia 5.1 Se consideră cazul: medii fixe, neliniare, anizotrope, neomogene şi magnetizate permanent, pentru care se cere să se stabilească ce formă va avea funcţionala (5.171). În cazul unor astfel de medii, adică: imobile (ceea ce înseamnă că viteza este w(r ) = 0⇐∀r ⊂ Ω , r fiind raza vectoare a unui punct P ∈ Ω faţă de un punct de referinţă P0 ∈ Ω ); neuniforme (neomogene şi cu ortotropie magnetică) şi neliniare – ceea ce implică faptul că mărimile de material ν şi µ = 1 / ν depind de vectorul inducţiei magnetice B (r ) şi de r , astfel că (de exemplu) reluctivitatea se exprimă printr-un tensor ν( B, r ) , având şi inducţie magnetică remanentă B rem (r ) , din cauza magnetizaţiei permanente, legea legăturii dintre B , H şi M – adică ecuaţia constitutivă H = H ( B ) – se scrie sub forma: H (r ) = ν ( B, r )[ B (r ) − B rem (r )]⇐ ∀r ⊂ Ω . (5.1-1) Atunci, cu această ecuaţie constitutivă (5.1-1), funcţionala energetică de staţionarizat (5.171) ia forma:  B 1 F ( A) = ∫ ∫ ν ( B, r )[ B(r ) − B rem (r )]d B − J ⋅ A + ν 2 v  0 Ω

B =0

 (div A) 2 dv + ∫ [ H (r ) × A(r )] ⋅ n dA − ∫ J Σ ⋅ AdA ,(5.1-2)  Σ Σ Σ

d

d

în care ν reprezintă norma canonică a matricei pătrate asociate tensorului simetric de ordinul doi, ν , al reluctivităţii materialului din Ω . Funcţionala (5.1-2) se obţine direct, prin înlocuirea lui H din primul termen al funcţionalei generale (5.171) cu expresia sa din ecuaţia constitutivă (5.1-1).

Aplicaţia 5.2. Se consideră cazul: medii fixe, liniare, izotrope, omogene şi nemagnetizate permanent, pentru care se cere să se stabilească ce formă va avea funcţionala (5.171). În cazul acestor medii (liniare, uniforme, imobile –adică având w = 0 peste tot în Ω – şi cu M p = 0 în orice punct din Ω ) de câmp magnetic cvasistaţionar, reluctivitatea devine o constantă scalară ν iar inducţia remanentă este nulă, B rem (r ) = 0⇐ ∀r ⊂ Ω . Ca urmare, în această situaţie, funcţionala energetică de staţionarizat se poate obţine prin simpla particularizare (la acest caz, al aplicaţiei 5.2) a expresiei (5.171) sau prin scrierea ei în B

forma specifică determinată de faptul că

∫ H ⋅ dBdv = 0 (mediul neavând nici histerezis), ceea ce 0

conduce la forma: (5.2-1)

2 ν 3  ∂A F ( A) = ∫  ∑ gradAk − J ⋅ A dv − ∫ ν A ⋅ dA , 2 k =1 ∂nΣ v  Σ  Ω

321

în care suma se referă la componentele scalare ale potenţialului magnetic vector A . În prima integrală din expresia (5.2-1), funcţia de penalitate pentru impunerea condiţiei de etalonare a lui Coulomb (adică div A = 0 ) nu mai apare, deoarece această condiţie (restricţie) este satisfăcută implicit. A doua integrală a funcţionalei (5.2-1) corespunde unor condiţii mixte la limită, pe Σ = FrΩ . Această integrală se anulează pentru condiţia Neumann omogenă ∂ A / ∂nΣ = 0 pe N

∀Σ N ⊂ Σ , unde Σ N este porţiunea din frontiera Σ pentru care se dă condiţia la limită de tip Neumann (referitoare la variaţia lui A pe direcţia normalei la Σ N ). Condiţia de tip Dirichlet, adică A = f ( r )⇐ ∀r ∈ Σ D = Σ − Σ N , reprezintă singura condiţie la limită esenţială, relativ la D

(5.2-1). Ca urmare, ea trebuie impusă explicit clasei de funcţii în care se caută soluţia de potenţial magnetic vector ce realizează valoarea staţionară a funcţionalei (5.2-1). Desigur, s-a înţeles că în cele precedente, indicile N se referă la condiţiile de tip Neumann şi D la cele Dirichlet, care pot fi formulate pe porţiunile de frontieră Σ N şi Σ D , astfel că Σ N U Σ D = Σ = FrΩ . Analiza numerică a problemelor tridimensionale de câmp magnetic cvasistaţionar

Se consideră cazul cel mai des întâlnit în aplicaţiile tehnice (al circuitelor feromagnetice – v. cap6), în care materialul din domeniul Ω este uniform însă neliniar. Domeniul Ω este deschis şi limitat în R 3 , iar potenţialul magnetic vector A are trei componente: A = ( A1 , A2 , A3 ) , care într-

∑A u

un sistem cartezian ( x, y, z ) se scrie A =

λ

λ

, unde u este versorul direcţiei λ = x, y , z . λ

λ= x, y, z

În acest caz, funcţionala energetică (5.2.-1) devine: F ( A) = ∫ { vΩ

(5.172)

− ∫ ν( ΣN

ν ∑[(∂Aλ / ∂x)2 + (∂Aλ / ∂y)2 + (∂Aλ / ∂z )2 − J λ Aλ ]}dxdydz − 2 λ = x, y, z

∂Ay ∂Ax ∂Az Ax + Ay + Az )dA , ∂nΣ ∂nΣ ∂nΣ N

N

N

deoarece, prin definiţie gradAλ ⋅ n = ∂Aλ / ∂ n , cu versorul direcţiei normalei la Σ = FrΩ dată de

n = dxi + dy j + dz k , astfel că

∑ gradA

2

= (∂Aλ / ∂x) 2 + (∂Aλ / ∂y ) 2 + (∂Aλ / ∂z ) 2 .

λ= x, y,z

Pentru rezolvarea unei probleme practice pe cale numerică ( de exemplu, prin aproximaţia soluţiei prin tehnica elementelor finite – v. § 9.2.4) este suficient ca funcţionalei (5.172) să i se ataşeze condiţii pe frontieră de tip Neumann: ∂ A / ∂nΣ = f N (r ) , r ∈ Σ N , –ca o condiţie la limită N

naturală în procesul de staţionarizare al funcţionalei (5.2-1)– funcţia f N (r ) fiind exprimată numeric conform problemei practice formulate şi modului de partiţie a elementelor finite pe Σ , care conduce la o reţea spaţială de discretizare. Atunci studiul unei probleme tridimensionale constă în: i) fie Ω o deschidere limitată în R 3 , cu frontiera Σ suficient de regulată, pentru care se notează: ~

W = {v,v ∈ [H1 (Ω)],v × n = 0 pe Σ } ,

(5.173) ~

în care: W este un spaţiu Hilbert, H1 (Ω) desemnează spaţiul Sobolev şi v este o variabilă vectorială astfel că pe frontiera Σ componenta tangenţială este nulă; ~ ii) se consideră acea variabilă u a spaţiului W care dă produsul scalar: 322

u ⋅ v = ∫ gradu ⋅ gradvdx = ∫ gradu k ⋅ gradvk dx . Ω

Ω

În fapt aplicaţia: u→u

2

= ( ∫ gradu dx + ∫ u dx)1 2 2

1,Ω

Ω

Ω

~

este o normă pe W , echivalentă normei introduse prin norma obişnuită a lui [H1 (Ω)]3 , adică: u→ u

2

= ( ∫ gradu dx + ∫ u dx)1 2 ; 2

1,Ω

Ω

Ω

~

iii) în aceste condiţii –i) şi ii)– oricare ar fi u şi v ∈W , există expresia:

∫ gradu ⋅ gradvdx =∫ rotu ⋅ rotvdx + ∫ divu ⋅ divvdx ,

Ω

Ω

(5.174)

Ω

ceea ce se poate demonstra uşor pentru funcţiile suficient de regulate şi prin trecerea la limită ~

pentru W ; iu) ţinându-se seama de aceste rezultate, problema tridimensională se reduce la problemele variaţionale următoare: ~

a) să se găsească A∈W astfel ca ~ 2  ∫ ν( x, grad A )grad A ⋅ gradvdx − ∫ J ⋅ vdx = 0 ∀v ∈W Ω Ω

(5.175)

şi ~

b) să se găsească A∈ W astfel ca ~ 2  (5.176) ∫ ν ( x, rot A )rot A ⋅ rot vdx − ∫ div A ⋅ divvdx − ∫ J ⋅ vdx = 0 ∀v ∈W , Ω Ω Ω probleme care admit fiecare o soluţie şi numai una. In funcţionalele energetice (5.175) şi 5.(176) ν –ca parametru de penalitate– este reluctivitatea materialului din Ω ; u) soluţia A , adică potenţialul magnetic vector, a problemei (5.176) corespunzătoare cazului general (şi, de asemenea, a problemei (5.175) pentru cazul materialelor liniare) este soluţia problemei câmpului magnetic staţionar care verifică condiţia div A = 0 . Soluţia problemei b) se obţine rezolvându-se ecuaţia (5.176) în sensul distribuţiilor ~

(D (Ω)) 3 ⊂ W : rot (ν rot A) − grad div A = J în Ω , şi pentru că div A = 0 , rezultă imediat ecuaţia lui Maxwell rot (νrot A) = J . Pentru aproximarea numerică a soluţiei problemelor (5.175) sau (5.176), domeniul de existenţă Ω din R 3 a câmpului magnetic staţionar se partajează în tetraedre adecvate geometriei sistemului, pe care potenţialul magnetic vector A se aproximează prin funcţia discretă (pe ~

~

tetraedre) Ah , în spaţiul funcţional W h (care îl aproximează pe W ): ~

W h = {V h | V h ∈ (C 0 (Ω)) 3 ,d 0Vh ,k ≤ 1 pe T , k = 1,2,3, V h × n = 0 pe Σ}, ~

unde T reprezintă tetraedrul. Atunci un element V h ∈ W h are următoarea formă explicită (într-un sistem cartezian x, y,z ): 4 T 1 V h ( x, y , z ) = ∑ (∑ ( pTj + qTj x + rjT y + sTj z )V j )ehT ( x, y, z ) , T ∈Th 6v (T ) j −1 323

în care, v(T ) reprezintă volumul tetraedrului T aparţinând sistemului de tetraedrizaţie Th ; ehT este funcţia caracteristică a tetraedrului T ; pTj ,qTj ,rjT şi s Tj sunt funcţii ale coordonatelor vârfurilor T

tetraedrului, iar V j este valoarea funcţiei în vârful j al tetraedrului T . Atunci problema aproximativă, în tridimensional, pentru câmpul magnetic cvasistaţionar ~

constă în găsirea lui Ah ∈ W h astfel ca ~

(5.177) G ( Ah ) ≤ G (V h ) ⇐ ∀V h ∈ W h , unde G este funcţionala energetică relativă la (5.176). ~

Această problemă (5.177) –discretă– de optimizare în W h admite un rezultat unic, soluţiile fiind caracterizate –dacă variabilele problemei sunt numerotate de la 1 la N – prin: ∂G ( Ah ) / ∂vk = 0 k = 1,2,3,...,N , (5.178) rezolvarea numerică făcându-se printr-o metodă iterativă. Aplicaţia 5.3. Să se determine, prin simularea numerică în 3D de tipul (5.176) şi (5.178), câmpul inducţiei magnetice în întrefierul tridimensional al unui alternator (v. Maşini electrice). Se consideră că reluctivitatea relativă a materialului feromagnetic al circuitului magnetic al 1 m pentru aer/vid) are forma: alternatorului, adică ν r (ştiind că ν r = ν / ν 0 , cu ν 0 4π10 − 7  H  2

2

2

ν r = ν r ( B ) = ν r ( rot A ) = ν r ( grad A )

din figura 5.29. Pentru a putea fi utilizată în sistemul de calcul automat, ea se introduce într-un fişier din memoria "hard-disc" a calculatorului prin scanare (cu un "scaner"). Dacă nu se dispune de o caracteristică (ca cea din figura 5.29) de precizie, atunci se poate exprima ( cu o aproximaţie suficient de bună) prin expresia analitică: xα yε ,α ,C ,T ( x) = ε + (C − ε) α , x +T 2 dedusă din distribuţia punctelor în planul ( B , ν ) rezultată din curba de magnetizare a materialului B = µH (v. cap.6), cu următoarele valori ale parametrilor: ε = 5,16 ⋅10 −4 ; C = 0,17 ; α = 5,14 şi T = 8,75 ⋅10 3 care are o eroare de aproximare a curbei din figura 5.29 de 3 la 4%. Domeniul tridimensional ales (redat frontal în figura 5.30) a fost decupat (partajat) în 6160 tetraedre şi 1140 noduri. Prin utilizarea unui produs informatic ANSIS Fig. 5.29 EMAG (v. § 9.3.2) s-au obţinut –pe o staţie de calcul IBM RISC System/600– rezultatele scontate, dintre care în figura 5.31 este redat spectrul liniilor de câmp magnetic (ale inducţiei magnetice B ), din zona rotor –întrefier/crestături– stator, obţinute cu o imprimantă cu jet de cerneală.

324

De fapt, în figura 5.30 este prezentată, numai ca principiu constructiv, o secţiune transversală (normală pe axa maşinii) prin circuitul magnetic al alternatorului cu o singură pereche de poli (fig. 5.30a) însoţită de un fragment cu detalierea formei crestăturilor din miezul statoric (fig. 5.30b), pentru a întelege de ce –în vederea simulării numerice în 3D a câmpului magnetic prin metoda elementului finit– a fost necesară o "stilizare" a circuitului magnetic tridimensional

Fig. 5.30

care să permită partajarea lui în tetraedre (tetraedrizarea), conform schiţei din figura 5.30c (care se referă numai la trei crestături). În principiu, calculul numeric al câmpului magnetic staţionar în 3D se face conform următorului algoritm (pe care produsul ANSIS EMAG îl efectuează automat): - partiţionarea în tetraedre a domeniului Ω h de studiat; - se consideră o funcţie vectorială U ( x, y , z ) = (U 1 ,U 2 ,U 3 ) ce defineşte potenţialul magnetic vector Ah pe Ω h . Această funcţie U ( x, y, z ) este aleasă pe fiecare tetraedru, fiind continuă în aşa fel încât vectorul inducţiei magnetice B , care este dat de rotU , să fie constantă pe fiecare element tetraedric; - se alege un punct M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω h din care "porneşte" în R 3 o linie de câmp a lui B . Acest punct aparţine unui anumit tetraedru, în care se cunoaşte direcţia liniei de inducţie ( B = rotU ), care este o constantă. Este suficient atunci, să se traseze în acest element (tetraedru) o liniuţă –care va reprezenta linia de inducţie B – al cărui vârf la dreapta va determina un punct M ' situat în tetraedrul vecin; - pentru vizualizarea liniilor de inducţie magnetică B în →

spaţiu, se trasează toate liniuţele MM ' pe structura de tetraedre în care a fost partajat sistemul (aşa ca în exemplul din figura 5.31).

Fig. 5.31 325

5.6.2. Calculul câmpului magnetic În cadrul acestui paragraf se prezintă calculul analitic al unui câmp magnetic (prin determinarea mărimilor de stare H ,B,Φ sau A pentru câteva cazuri particulare de interes, însă, pentru aplicaţiile practice din tehnică. Aplicaţia 5.4. Să se determine potenţialul magnetic vector al unui conductor rectiliniu aflat în regim electrocinetic. Întrucât divergenţa rotorului vector este identic nulă, div rot Av = 0 şi fiindcă div B v = 0 , rezultă că inducţia magnetică este rotorul unui vector Av : B v = rot Av , (5.4-1) numit potenţial magnetic vector în vid, prescurtat potenţial vector în vid. Cu identitatea vectorială: dl ' × R R 1 dl ' , ' ' l l = − × d = grad × d = rot R3 R3 R R expresia inducţiei magnetice în vid B v a unui curent filiform ia forma:  µ 0 i dl '  µ i dl ' × R B v (r) = 0 ∫ rot =  ∫ . 4π Γ R 3  4π Γ R  Identificând această expresie cu (5.4-1) se obţine potenţialul vector în vid Av al unui conductor filiform: µ 0 i dl ' , 4π ∫Γ R Observaţii. Relaţia (5.179) determină numai componenta rotaţională a potenţialului vector Av . În general, Av = Avp + Avs , în care Avp este componenta rotaţională şi div Av = div Avp ,

(5.179)

Av =

rot Avp = 0 , iar Avs este componenta solenoidală cu div Avs = 0, rot Av = rot Avs . În regim staţionar

şi cvasistaţionar, potenţialul vector Av satisface condiţia div Av = 0 , numită de etalonare de tip Coulomb. La fel ca în cazul potenţialului electrostatic al unui corp filiform încărcat cu sarcină electrică, contribuţia fiecărui element de A P lungime dl ' este invers proporţională cu distanţa R dintre element şi punctul în care se calculează potenţialul vector Av . Potenţialul vector în vid al unui fir rectiliniu, infinit lung, aflat sub curent electric se poate exprima logaritmic. O z z Alegându-se axa Oz a unui sistem de dz coordonate cilindrice circulare în lungul firului şi originea O, în piciorul Fig. 5.32 perpendicularei coborâte pe fir din punctul în care se determină potenţialul vector în vid Av (fig. 5.32), se obţine: ∞

l

µ ik µ ik dz dz = 0 lim ∫ = Av ( r ) = 0 ∫ 2 2 2 l → ∞ 4π −∞ z + r 4π z + r2 −l =

µ 0i k µ ik µ i k 2l 1+ 1+ r2 /l2 l + l2 + r2 lim ln = 0 lim ln ≅ 0 ln 2 2 2 2 l → ∞ l → ∞ 4π 4π 2π r −l + l + r −1+ 1+ r / l 326

sau, Av ( r ) =

µ 0i k C ln r 2π

,

(5.180)

în care s-a notat cu C constanta: C = 2l . Potenţialul vector al unui fir rectiliniu infinit lung, sub curent electric de conducţie este proporţional cu logaritmul natural al distanţei la fir şi se numeste potenţial logaritmic. Formula (5.180) este similară cu expresia potenţialului electric logaritmic şi din acelaşi motiv intervine lungimea firului în expresia constantei. Acest inconvenient se elimină integrându-se direct ecuaţia: µi ∂Az (r ) =− 0 , ∂r 2πr care rezultă din (5.179). Integrându-se între un punct de referinţă la distanţa a de fir şi punctul situat la distanţa r, se obţine expresia: µi a Az (r ) = 0 ln . 2π r Aplicaţia 5.5. Să se determine expresia intensităţii câmpului magnetic al conductorului infinit lung, într-un punct aflat la distanţa d faţă de conductor (fig. 5.33) Vectorii elementari dH sunt perpendiculari pe planul elementelor dl şi razelor vectoare R . Sensul lor este dat de regula efectuării produsului vectorial dl×R : i dl×R 4π R 3 Pentru întregul conductor: +∞ i dl×R H= 4π −∫∞ R 3 dH =

.

,

unde: +∞

i dl Rsin( π − α ) . 4π −∫∞ R3 Ţinându-se seama de relaţiile evidente: sin α d d , l=d ; dl = − 2 dα şi R = cos α sin α sin α rezultă: 0 i sin αdα i i . 0 H =− ∫ = cos α π = (5.181) 4π π d 4πd 2πd Aplicaţia 5.6: Să se determine expresia intensităţii câmpului magnetic al spirei circulare din figura 5.34. Faţă de centrul spirei sunt întotdeauna perechi de elemente dl simetrice, ale căror câmpuri elementare în P au componente paralele cu planul spirei egale şi opuse. Prin urmare, câmpul rezultant în P va avea numai componentă perpendiculară pe planul spirei: i dl × R , H z = H cos θ = cos θ∫ (5.182) 4π R3 Γ cu modulul: H=

327

Fig. 5.33

Fig. 5.34

(5.183)

Hz =

i dl R sin 90 0 i ia cos θ , = cos θ∫ cos θ ∫ dl = 3 2 4π R 4πR 2R 2 Γ Γ

deoarece dl şi R sunt perpendiculari. Având totodată R = a 2 + z 2 şi cos θ = a / R , rezultă: ia 2 , (5.184) Hz = 3 2( a 2 + z 2 ) 2 unde z este distanţa de la punctul P la planul spirei. În centrul spirei, pentru care z = 0 , rezultă imediat din relaţia (5.184): i . Hz = (5.184') 2a Ultima relaţie serveşte şi la definirea unităţii de măsură pentru intensitatea câmpului magnetic, numită amper pe metru: A/m. Ea este echivalentă cu acea valoare a intensităţii câmpului stabilită în centrul unei spire cu diametrul de 1m de un curent cu intensitate de 1A prin spiră. Aplicaţia 5.7: Să se determine expresia intensităţii câmpului magnetic produs de o bobină într-un punct de pe axa ei (fig. 5.35). Intensitatea câmpului magnetic în punctul P va rezulta prin însumarea în acel punct a contribuţiei fiecărei spire componente a bobinei la formarea câmpului magnetic. Dacă se notează cu n numărul de spire pe unitatea de lungime, o porţiune dl a bobinei va conţine ndl spire şi va produce în P un câmp de intensitate echivalentă cu acela produs de o spiră de rază egală cu abobinei, dacă se află sub curentul total I = indl : Fig. 5.35

(5.7-1)

dH =

IR 2 3 2

=

inR 2 3 2

dl .

2( R + l ) 2( R + l ) Notându-se cu β unghiul razei vectoare dusă din P către elementul dl şi avându-se în vedere relaţiile: R R R2 l= ; dl = − 2 dβ; R 2 + l 2 = , tgβ sin β sin 2 β se obţine: 1 (5.7-2) dH = − in sin β dβ , 2 de unde, integrându-se pentru toate valorile unghiului β va rezulta: 2

2

2

2

β1

(5.185)

1 1 H = − in ∫ sin β dβ = in(cos β1 − cos β 2 ), 2 β 2 2

β1 şi β 2 fiind unghiurile corespunzătoare extremităţilor solenoidului. În ipoteza teoretică a bobinei infinit lungi (admisă de calculele tehnice atunci când dimensiunile secţiunii bobinei sunt mici în raport cu lungimea), β1 → 0 şi β 2 → π iar expresia (5.185) a intensităţii câmpului devine: 328

H = ni =

N i, L

(5.185')

unde N este numărul de spire, iar L lungimea bobinei.

5.6.3. Calculul inductivităţilor În cele ce urmează vor fi prezentate trei exemple referitoare la calculul practic al inductivităţilor în cazul unor aplicaţii tipice din tehnică. Aplicaţia 5.8. Calculul inductivităţii mutuale a două bobine cilindrice drepte (fig. 5.36). Două bobine cilindrice drepte şi foarte lungi, dispuse coaxial, cu razele a1 şi a2 > a1 , cu N1 şi respectiv N 2 spire, sunt situate în mediul de permeabilitate constantă µ (v. fig. 5.36). Inductivitatea mutuală M se calculează considerându-se de exemplu, bobina exterioară sub curentul i2 ; fluxul magnetic fascicular Φ f 12 fiind egal cu µN 2i2 πa12 /l , rezultă pentru fluxul magnetic total expresia: µN1 N 2 i2 πa12 Φ12 = N1Φ f 12 = din care se l deduce –conform definiţiei M = Φ12 / i2 |i = 0 –

N2

N1

2a2 2a1

1

inductivitatea mutuală între cele două bobine: l M = µN1 N 2 πa12 /l , (5.186) care admite că între cele două bobine cuplajul Fig. 5.36 este perfect. Aplicaţia 5.9. Calculul inductivităţii mutuale între două conductoare filiforme paralele. Cu formula lui Neumann în care integralele de linie se efectuează pe porţiuni deschise de curbe C1 şi C 2 se obţine: ′ ′ µN 1 N 2 dl 1 dl 2 , M= (5.9-1) 4π C∫1 C∫2 R12 care este inductivitatea mutuală dintre cele două porţiuni deschise ale curbelor C1 şi C 2 aparţinând circuitelor închise Γ1 şi Γ2 . Această mărime este însă o mărime de calcul şi s1 nu trebuie confundată cu inductivitatea propriu-zisă care se referă la 2a conductoare alcătuind circuite închise. Ca aplicaţie se consideră două fire cilindrice circulare de raze a şi d R12 lungime l dispuse paralel la distanţa d în mediul de permeabilitate constantă µ (fig. 5.37). Inductivitatea mutuală M se s2 calculează cu formula (5.9-1) luând l N1 = N 2 = 1 şi avându-se în vedere că ds1 || ds 2 (deci ds1 ⋅ ds 2 = ds1ds2 ):

Fig. 5.37 329

l l

M =

ds1ds 2 µ ∫ ∫ 4π 0 0 ( s1 − s 2 ) 2 + d 2

.

Ţinându-se seama de formulele:

∫

∫ ln(

dx x +d 2

2

= ln( x + x 2 + d 2 ) ,

x + d + x)dx = x ln( x 2 + d 2 + x) − ( x 2 + d 2 ) , 2

2

se obţine: M=

 d 2 + l2 + l 2 µ  l ln + (d − d 2 + l 2 ) . 4 π  d 2 + l2 − l l 

Dacă l >> d , dezvoltându-se în serie radicalii şi reţinându-se numai primii doi termeni, expresia lui M devine: µl  2l  . (5.187) ln − 1 M≅ 2π  d  Aplicaţia 5.10. Calculul inductivităţii exterioare a unei linii aeriene bifilare (fig. 5.38). Intensitatea câmpului magnetic dat de unul din conductori este: i H= 2πr iar fluxul corespunzător prin suprafaţa S: Φ ext = ∫ B ⋅ dA = µ 0 ∫ H .ldr = S

=

µ 0 il 2π

d −a

∫ a

dr = r

,

µ 0 il d − a µ 0 il d ln ln ≈ 2π 2π a a

deoarece a << d . Ţinându-se cont şi de aportul celuilalt conductor la formarea fluxului, rezultă inductanţa

Fig. 5.38

exterioară a liniei: Lext =

Φ t .ext µ 0l d = ln i π a

(5.188)

(A se vedea aplicaţia 5.16.)

5.6.4. Calculul acţiunilor ponderomotoare în câmp magnetic În cadrul acestui ultim paragraf al capitolului 5 (referitor la câmpul magnetic cvasistaţionar) vor fi prezentate câteva aplicaţii clasice (şi esenţiale) referitoare la calculul energiei magnetice şi al forţelor ce apar în diverse sisteme fizice electromagnetice de interes practic. Aplicaţia 5.11. Forţa lui Laplace (fig. 5.39). Un conductor filiform oarecare, aflat în regim electrocinetic (caracterizat de curentul de conducţie i ) şi plasat într-un câmp magnetic constant în timp (caracterizat de inducţia magnetică B = const. ), se constată că este supus unei forţe care tinde să deplaseze t

Fig. 5.39

conductorul pe o direcţie x normală pe planul ( dl , B ), unde dl este un element orientat –în sensul intensităţii curentului– al conductorului filiform. 330

În această situaţie, variaţia energiei câmpului magnetic în care se află conductorul va fi: dWm = idΦ . Variaţiei elementare de flux magnetic dΦ i se dă următoarea interpretare: variaţia fluxului este egală cu fluxul vectorului B prin suprafaţa descrisă de elementul de conductor dl în cursul unei deplasări virtuale cu dx . Atunci: dΦ = B ⋅ dA = B ⋅ (dx × dl ) = Bdxdl , în care succesiunea termenilor dx şi dl în produsul vectorial este determinată de necesitatea ca B , dx şi dl să formeze un triedru drept. Pe baza proptietăţilor produsului vectorial mixt se poate scrie: dWm = idΦ = i (dl × B ) ⋅ dx . Experienţa arată că vectorul (dl × B ) are întotdeauna direcţia şi sensul forţei, dF , la care este supus elementul de conductor şi –de aceea– din relaţia: dW = dF ⋅ dx ≡ dWm = i (dl × B ) ⋅ dx , rezultă: dF = i (dl × B) , (5.189) cunoscută sub numele de forţa lui Laplace sau forţa magnetoelectrică. Această determinare nu este riguroasă şi are mai mult un caracter ilustrativ. Totuşi, rezultatul (5.189) este corect şi are numeroase aplicaţii tehnice. Dacă inducţia magnetică este uniformă, adică B( P, t ) = const. în oricare punct P al domeniului şi conductorul este rectiliniu şi rigid (de lungime l ), atunci se poate determina, integrându-se expresia (5.189), forţa rezultantă ce acţionează asupra întregului conductor: F = ∫ dF =

∫ i(dl × B) = i[( ∫ dl ) × B] = i(dl × B) ,

0 →l

(5.189')

0 →l

iar dacă firul conductor este normal pe inducţia magnetică ( l ⊥ B ) atunci vectorii F , l şi B sunt ortonormali şi valoarea forţei magnetoelectrice este: F = ilB . (5.189") Aplicaţia 5.12. Forţa lui Ampère (fig. 5.40). Experienţa arată că două conductoare filiforme, rectilinii şi paralele, 1 şi 2, în stare electrocinetică (caracterizată se curenţii i1 şi i2 ) sunt supuşi unor forţe (de atracţie când curenţii au acelaşi sens – fig. 5.40a, sau de respingere când i1 şi i2 sunt de sensuri opuse – fig. 5.40b), situate în planul format de conductoare. Explicaţia exercitării acestor forţe este următoarea: fiecare din cel două conductoare se găseşte în câmpul magnetic produs de curentul din conductorul vecin şi atunci, aplicându-se (în condiţiile din figura Fig. 5.40 5.40) relaţia (5.89'), rezultă: F 1 = i1 (l 1 × B 2 ) şi F 2 = i2 (l 2 × B1 ) , (5.12-1) în care, B1 = µ H 1 şi B 2 = µ H 2 , intensităţile câmpurilor magnetice având valorile – conform relaţiei (5.181): H 1 = i1 / 2πd şi H 2 = i2 / 2πd . Atunci expresiile (5.12-1) ale forţelor devin: 331

i2 i ⋅ (l 10 × d 1→2| )] şi F 1 = i2 [l 2 × µ 1 ⋅ (l 20 × d 2→1| )] 2πd 2πd unde d 1→2| , d 2→1| , l 10 şi l 20 sunt versorii distanţelor indicate de simbol ( d –distanţa între conductoare şi l – lungimea lor). Deoarece F , l şi B formează un triedru drept, valorile forţelor date de relaţiile (5.12-2) sunt: µ i1i2 F1 = F 2 = F = ⋅ ⋅l , (5.190) 2π d relaţie care până nu de mult era utilizată ca etalon pentru definirea unităţii de măsură a intensităţii curentului electric de conducţie (v. § 1.2.1), adică a amperului. Forţa dată de relaţia (5.190) este denumită forţa lui Ampère sau forţa electrodinamică. F 1 = i1[l 1 × µ

(5.12-2)

0

0

0

0

Aplicaţia 5.13. Forţe electrodinamice între bobine aflate în stare de conducţie (fig. 5.41). Se consideră bobinele unui electrodinamometru, una foarte lungă, cu N1 spire sub curentul i1 în interiorul căreia se poate roti bobina mobilă având N 2 spire. Când bobina mobilă este parcursă de curentul i2 , în câmpul de inducţie B1 , al bobinei fixe, se exercită asupra ei un cuplu de forţe care tinde să o rotească în aşa fel încât fluxul util între bobina 2 şi bobina 1 să fie maxim. Fig. 5.41 Inducţia B1 a rezultat din expresia (5.185'): Ni B1 = µ 0 H 1 = µ 0 1 1 , l unde l este lungimea bobinei, iar momentul cuplului se calculează cu ajutorul relaţiei (5.121):  ∂W  Ca =  m  (cu X → Ca şi x → α ).  ∂α i =const Energia magnetică are expresia (5.114) în care, ţinând seama că bobinele sunt nedeformabile, energiile proprii sunt constante în raport cu α aşa că ţinem seama numai de energiile de interacţiune: Wm = i1i2 L21 = i1i2 L12 . Deoarece, N B A sin α , Φ L21 = 21 = 2 1 2 i1 i1 avem: ∂L µ A  ∂W  Ca =  m  = i1i2 21 = 0 2 i1i2 N1 N 2 cos α . ∂α l  ∂α i =const . Cuplul tinde să rotească bobina mobilă în poziţia în care fluxul magnetic Φ 21 şi deci şi energia magnetică sunt maxime. În poziţia în care planul bobinei mobile conţine axul solenoidului ( α = 0 sau α = π ), cuplul este maxim în valoare absolută şi este nul în poziţia în care planul bobinei este perpendicular pe axul solenoidului ( α = π / 2 ). Aplicaţia 5.14. Forţa portantă a unui electromagnet (fig. 5.42). Prin forţă portantă a electromagnetului se înţelege forţa care se opune desprinderii armăturii de miez.

332

Se presupunem că acţionându-se din exterior s-a desprins armătura producând întrefierul de lungime l0 = 2 x . Energia acumulată în câmpul magnetic din întrefierul care s-a creat este: 1 1 Wm = Wm 0V = B ⋅ H Al0 = B ⋅ H A2 x 2 2 sau B2 Wm = Ax , µ0 de unde rezultă forţa portantă Fp : dWm B 2 B2 = A= A . dx µ0 µ0 Aplicaţia 5.15. Calculul energiei magnetice înmagazinată în Fig. 5.42 câmpul magnetic din interiorul unui conductor cilindric drept de rază a şi de lungime foarte mare , l << a (fig. 5.43). Densitatea de volum a energiei magnetice este: 1 1 Wm 0 = B H = µH 2 . 2 2 Intensitatea câmpului se calculează aplicând legea circuitului f magnetic unei linii de câmp circulare ∆h i 2r Γ de rază r < a , intensitatea curentului prin secţiunea de rază r fiind: B i r2 2 2 iS = J .πr = 2 πr = i 2 . 2a πa a Circulaţia vectorului H de-a 2r lungul conturului închis Γ se reduce la expresia 2πrH astfel că legea a b circuitului magnetic cu referire la Γ se scrie: Fig. 5.43 r2 , 2πrH = i 2 a de unde rezultă: ir . H= (5.15-1) 2πa În volumul cilindric elementar cuprins între razele r şi r + dr , dv = ldr.2πr , este acumulată energia: Fp =

Γ

µl 3 1 r dr , dWm = Wm 0 dv = µH 2 .ldr.2πr = i 2 2 4πa 4

iar în întreg volumul conductorului: a

µl µl . r 3 dr = i 2 (5.15-2) 4 ∫ 4πa 0 16π Se poate obţine acum expresia inductivităţii interioare a conductorului cu ajutorul relaţiei W = (1 / 2) Li 2 din care reiese în acest caz: Wm = i 2 int

333

2Wm

µl . i 8π Evident, pentru o linie cu doi conductori identici, paraleli, aşezaţi unul faţă de celălalt la o distanţă suficient de mare faţă de raza lor, inductivitatea interioară va avea valoarea de două ori mai mare şi ţinând seama de rezultatul de laaplicaţia 5.10, rezultă inductivitatea totală a liniei: µl µ 0 l d µ 0 l  µ r d . ln = L = Lint + Lext = +  + 2 ln  4π π a 2π  2 a Aplicaţia 5.16. Presiunea de reostricţiune magnetică. Într-un punct situat la distanţa r de axa unui cilindru circular drept parcurs de curentul i (fig.5.44) inducţia magnetică B (r ) şi densitatea de curent J (r ) fiind: i µ⋅i B(r ) = r e ϕ şi J (r ) = 2 k , 2 2πa πa densitatea de volum a forţei magnetice f m (r ) are expresia Lint =

2

int

=

µ ⋅ i2 r er , 2π 2 a 4 în care e ϕ şi e r sunt versorul tangentei la linia de câmp, caracterizat Fig. 5.44 prin poziţia unghiulară şi versorul razei liniei de câmp. Asupra conductorului se exercită o presiune radială care tinde să-l stranguleze. La stabilirea curentului printr-un conductor lichid situat într-un tub cilindric izolat şi dispus vertical, fluidul având suprafaţă liberă, aceasta se deniveleză sub forma unei suprafeţe convexe de revoluţie. Suprapresiunea faţă de presiunea hidrostatică, calculată pe unitatea de suprafaţă a unui cilindru de rază r coaxial cu tubul, este egală cu integrala produsului f m (r )dr de la r la a (v. fig. 5.45), adică: f m (r ) = J (r ) × B(r ) = −

(5.16-1)

a

(5.193)

p = ∫ fm(r )dr = r

a

µ ⋅i2 a2 − r 2 µ ⋅i2 = ⋅ d r r 4π 2 2π 2 a 4 ∫r a4

,

se numeşte presiune de reostricţiune p . Supraînălţarea ∆h a lichidului la distanţa r de axă faţă de înălţimea de la marginea tubului este egală cu raportul dintre p şi greutatea specifică γ a lichidului: p ∆h = ⋅ γ Aplicaţia 5.17. Tensiuni maxwelliene în câmpul magnetic din crestăturile maşinilor electrice. În figura 5.45 s-a reprezentat o crestătură în armătura feromagnetică a unei maşini electrice în care este situat un conductor de secţiune dreptunghiulară parcurs de curent. În lipsa curentului în conductor, câmpul magnetic inductor este simetric în raport cu axa crestăturii şi inducţia magnetică B Fe în dinte este mult mai mare decât inducţia magnetică B 0 din crestătură, conform raportului: (5.17-1) µr = B Fe / B0 . Tensiunile maxwelliene pe flancurile crestăturii sunt în acest caz egale şi de semne opuse forţa rezultantă asupra armăturii fiind nulă. Datorită câmpului magnetic propriu al curentului prin conductor, inducţia magnetică rezultantă este asimetrică faţă de axa crestăturii (sau a dintelui) având, pe cele două flancuri ale acesteia, valori diferite. În aceste condiţii, se exercită asupra armăturii o forţă în aceeaşi direcţie cu forţa asupra conductorului. Fe

334

Pentru o crestătură adâncă (fig. 5.45b) cele două forţe se pot calcula, cu aproximaţie, precum urmează: în crestătura inducţia fiind B0 = BFe / µ r aşa cum arată (5.17-1), forţa F1m Fe

asupra conductorului de lungime l sub curentul I are expresia: 1 BFe Il = Bo Il. µr

F 1m =

(5.17-2)

Fe

Din legea circuitului magnetic aplicată în lungul conturului crestăturii, se deduce relaţia dintre componentele H 1t şi H 2t ale intensităţii câmpului magnetic stabilită de curentul prin conductor I :

∫ H ⋅ dl = a ( H

+ H 2t ) = I ,

1t

Γ

şi deci inducţiile magnetice corespunzătoare pe flancurile crestăturii B1t şi B1t au expresiile: B1t =

µ I BFe µ o I B + ; B2 t = Fe − o µr µr 2a 2a Fe

(5.17-3)

Fe

Tensiunile maxwelliene T1n şi T2 n pe flancurile crestăturii se determină aplicând formula: Tnm =

µr −1 Fe

2µ r µ 0

(B

2 n

)

+ µ r Bt2 , Fe

Fe

în care B1n = B2 n = 0 : T1n =

µr −1

B12t

T2 n =

µr −1

B22t (5.17.-4) 2µ o 2µ o Cele două tensiuni fiind antiparalele, forţa rezultantă pe lungime l a flancului crestăturii Fe

şi

este: F2 m = al (T1n − T2 n ) =

Fe

µr −1 Fe

µr

BFe Il ,

(5.17-5)

Fe

iar pentru forţa totală asupra armăturii se obţine o expresie independentă de permeabilitatea µ r : Fe

Fm = F1m + F2 m = BFe Il Dacă conductorul aflat sub curentul I ar fi situat în aer, în câmpul omogen de inducţie Baer = BFe , forţa Fm ar avea expresia (5.17-5); prin introducerea conductorului în crestătura armăturii feromagnetice de permeabilitate µ r , forţa

a F Bt1

Fe

F1m (5.17-2) asupra conductorului scade de µ r ori (la limită pentru

(5.195)

a

Bt2 b

Fig. 5.45

Fe

335

µ r → ∞ , F1m = 0 ), iar diferenţa F2 m = Fm − F1m acţionează asupra armăturii feromagnetice. Acest Fe

rezultat este avantajos în cazul maşinilor electrice: în primul rând cu o solenaţie relativ mică se obţin inducţii mari în armătura feromagnetică, iar în al doilea rând cea mai mare parte din forţa electromagnetică se exercită asupra armăturii, evitându-se strivirea conductoarelor din crestătură (mai ales în cazul maşinilor de mare putere).

336