Electron Y Foton

Electrón y Fotón

• Los electrones y los fotones son partículas fundamentales. • Los electrones y los fotones están involucrados en la mayoría de los fenómenos observados. • Los electrones y los fotones se comportaran como ondas o partículas, dependiendo de las condiciones experimentales. Partiremos estudiando sus propiedades corpusculares.

Electrón • Es el mayor mediador de la carga eléctrica en los procesos de importancia (un protagonista en el desarrollo de la civilización técnica: electricidad, electrónica, comunicaciones, etc). • Determina las propiedades químicas de la materia. Características: • No muestra una estructura interna. En otras palabras los experimentos parecen confirmar que efectivamente es un punto. • Su masa es:

me = 9.11×10−31 ⎡⎢ Kg ⎤⎥ ⎣

⎦

mec2 = 0.511⎡⎢ MeV ⎤⎥ ⎣

• Su carga eléctrica es:

⎦

qe = −e = −1.602×10−19 ⎡⎢C ⎤⎥ ⎣

⎦

Esta es la mínima carga observada en partículas libre. La carga observada siempre se presenta como un múltiplo entero de esta cantidad:

{

}

Q = e× n ; n = 0, ±1, ±2,...

¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre el electrón en un átomo? Veamos el caso de un átomo con un solo electrón (hidrógeno), en principio estará presente la fuerza electromagnética (Fe) y la gravitatoria (Fg). Claro que la Fg es despreciable en comparación a la Fe. ⎧ ⎫ 2 1 ⎪F = e ⎪ ⎪⎪ e 4πε R 2 ⎪⎪ 0 ⎨ ⎬→ ⎪ 1⎪ ⎪ Fg = Gme m p 2 ⎪ R ⎪⎭ ⎪⎩

Fe = e2 ≈ 1042 → Fe Fg 4πε 0Gmem p

Fg

Siempre(*) se podrá despreciar Fg en comparación a las fuerzas electromagnéticas:

F = qe ⎛⎜ E + v × B ⎞⎟ ⎝

⎠

(*) Nota: Sin embargo existen situaciones en las cuales lo anterior no es del todo cierto. Estos casos exóticos corresponden a estrellas de neutrones, agujeros negros, etc; donde la densidad de la materia que las constituye es sumamente alta. Estas situaciones no serán estudiadas aquí.

Electrones Libres y electrones ligados. Normalmente los electrones se encuentran como constituyentes de la materia, formando estados ligados. ¿Cómo obtener electrones libres entonces? La posibilidad más simple es la extracción desde metales, donde las interacciones son más débiles. Aquí pueden ser bien descritos como un gas de electrones casi libre. Superficie

φ ∼ ⎜⎝⎛ 2 → 4 ⎟⎠⎞ ⎡⎣⎢eV ⎤⎦⎥ Esta es la cantidad de energía mínima para extraer electrones. Se le llama función de trabajo.

Fint = −

dEP dx

La energía total del electrón es:

ET = EK − EP < 0 → e : ligado

Para extraer electrones, tenemos que incrementar la energía:

EK − EP + ε = EP ( ∞ ) + EK ( ∞ ) 0 El mínimo requerido lleva al electrón hasta el infinito y lo deja allí en reposo:

EK ( ∞ ) = 0 → ε min = φ

Energía del electrón al interior del material.

Energía del electrón en el exterior del metal, infinitamente lejos.

Métodos de extracción de electrones. • Por la aplicación de un campo eléctrico externo que compense la fuerza Fint de atracción debida al material.

Fint = eEext Fint = −

dEP ∆E ≈− P ≈− φ ∆x ∆x dx

El campo eléctrico necesario tiene un orden de magnitud:

Eext ≈ φ ∼

1⎡⎢V ⎤⎥ ⎣

⎦

e∆x 10−8 ⎡⎣cm⎤⎦

⎡

⎤

⎢ ⎣

m ⎥⎦

=1010 ⎢V ⎥

¡ Esta es una cantidad enorme ! No es posible generar un campo eléctrico tan grande. En conclusión este no es un buen método para extraer electrones de un metal.

…entonces, ¿cómo?

Emisión Termoiónica. Consiste en la extracción de electrones mediante el calentamiento de un filamento metálico. • Al aumentar la temperatura, la energía cinética promedio de los electrones aumenta. En esta forma alternativa, puede aumentarse la energía de los electrones hasta que tengan suficiente para ya no estar ligados al metal (a temperaturas moderadas, la relación es casi lineal):

EK ∼ kBT • ¿Cuántos electrones pueden liberarse en la emisión termoiónica? Para responder a esto hay que utilizar un modelo aproximado, que considera cual es la distribución (estadística) de las energías cinéticas de los electrones cuando son parte de un gas.

dN EK = n EK dEK = ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2 N0

π

EK ⎛ ⎜ ⎝

EK ⎞⎟ exp − ⎟ dEK 3 k T ⎞ B ⎟

kBT ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎠

Todas aquellas partículas que posean energía mayor a la función de trabajo escaparán.

T = 300 ⎡⎢ K ⎤⎥ → kBT ∼ 0,03 ⎡⎢eV ⎤⎥ ⎣

⎣

⎦

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

→ n ⎛⎜ EK = φ ⎞⎟ ∼ N0exp − ⎝

⎠

⎦

⎞ ⎟ ⎣ ⎦ ⎟ ⎡ ⎤⎟ ⎢ ⎥ ⎟⎟ ⎣ ⎦⎠

1⎡⎢eV ⎤⎥

0,03 eV

≈ N0 ×10−15

T =1000 ⎡⎢ K ⎤⎥ → kBT ∼ 0,1⎡⎢eV ⎤⎥ ⎣

⎣

⎦

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

→ n ⎛⎜ EK = φ ⎞⎟ ∼ N0exp − ⎝

⎠

⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎦ ⎤⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎦⎠

1⎡⎢eV ⎤⎥ ⎣

⎡ ⎢ ⎣

0,1 eV

≈ N0 ×10−4

Se ve que a 1000ºK la densidad de partículas con energía cinética igual a la función de trabajo es muchísimas veces mayor que a temperatura ambiente(300ºK). No es difícil convencerse que la cantidad total de partículas con energía cinética mayor que la función de trabajo es a su vez mucho mayor a 1000ºK que a 300ºK, solo hay que comparar las áreas bajo las curvas respectivas. ∞

N EK ≥ φ = ∫ n ⎛⎜ EK ⎞⎟dEK = " ÁreabajolacurvaaciertaT " ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

φ

⎝

⎠

Nota: El dibujo no está a escala.

Ejemplo de aplicación: Tubos de rayos catódicos o tubos de TV.

Emisión Secundaria Electrones de alta energía chocan y transfieren su energía (o parte de ella) a otros electrones del metal. Según las condiciones uno o más electrones adquieren la energía cinética suficiente para escapar del metal.

EK

⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝

⎞

incidente⎟⎟⎟

≥φ

⎠

Aplicando diferencias de potencial entre las placas en que se hacen incidir los electrones, puede conseguirse un efecto multiplicativo, llamándosele electromultiplicador. En el caso que las partículas incidentes sean fotones, se la llamará fotomultiplicador.

Efecto Fotoeléctrico Resumen de las Observaciones experimentales: La luz incide con frecuencia: Y con intensidad:

ν

I

• Existe una frecuencia umbral. Si la luz incidente tiene una frecuencia menor no habrá emisión de electrones.

ν <ν C → Nohayemisión

• Si la frecuencia de la luz es superior a este umbral habrá emisión de electrones, independientemente de la intensidad de la luz.

ν >ν C → Se emiten e ' s • La energía cinética máxima de los electrones emitidos dependerá linealmente de la frecuencia. E = hν −φ K ⎛⎜⎝ max ⎞⎟⎠

El número de electrones emitidos por unidad de tiempo (flujo o corriente) es independiente de la frecuencia y aumenta con la intensidad. ⎛ ⎜ ⎝

⎛ ⎞ I ⎞⎟ ↑ ⇒ ⎜⎜ ∆e ⎟⎟ ↑ ⎠ ∆t ⎠ ⎝

Conflicto en la física de la época Las observaciones anteriores contradicen la Teoría Clásica (TC) del electromagnetismo. Esto porque (la TC) trata a la luz (radiación EM) como una onda cuya energía está determinada por su intensidad I. La TC, en particular predice: • La energía de los electrones emitidos, debería depender de la intensidad de la luz, independientemente de la frecuencia. • La energía se entrega continuamente a todos los electrones. Si el haz tiene poca intensidad solo debería transcurrir el tiempo suficiente para que los electrones acumulen la energía requerida para escapar del metal.

Explicación Cuántica (Albert Einstein 1905) Punto Clave: La energía de la radiación EM (luz) se transfiere en cuantos (porciones). Así considerando que el haz de luz es el flujo de partículas, los fotones, cada uno vendrá con una energía dada por:

Eγ = hν Donde la constante de Planck toma el valor:

h = 6,63×10−34 ⎡⎢ Js ⎤⎥ ⎣

⎦

Efecto fotoeléctrico: Un fotón transmite su energía a un electrón. La conservación de la energía predice que:

Eγ −φ = EK +∆E Cuando ∆E ≥ 0 habrá una pérdida de energía. Cuando ∆E = 0 tendremos que la máxima energía cinética será:

EK max = Eγ −φ ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

…esta es la Ecuación de Einstein para el efecto fotoelectrico.

Notemos que la hipótesis anterior explica todas las observaciones hechas para el efecto fotoeléctrico:

φ

• Si ν < h ≡ vc no habrá emisión de electrones, ya que E ⎛ = hν −φ < 0 y la energía K ⎜⎝ max ⎞⎟⎠ cinética es una cantidad positiva o cero, pero no negativa. • EK ⎛⎜ max ⎞⎟ depende linealmente de la frecuencia ⎜ ⎝

⎟ ⎠

.

• La intensidad del haz esta relacionada con el flujo de fotones que inciden (por unidad de área y de tiempo): dE I = 1 γ = nγ hν A dt Donde nγ es el número de fotones que inciden en la superficie metálica, por unidad de tiempo y unidad de superficie.

De ello resultará la predicción, que el flujo de electrones es proporcional a la intensidad de la luz:

ne ∼ nγ ∼ I

Experimento para medir la constante de Planck h y la función de trabajo φ . Se aplica una diferencia de potencial entre dos placas. A la placa con mayor potencial se le hace incidir radiación electromagnética de frecuencia γ . Por la conservación de la energía: • Si EK − eV ≤ 0 entonces los e con dicha energía no contribuyen a la corriente I. Es decir, si E ′ = 0 , el K electrón se detiene justo en el ánodo A. Si EK ′ < 0, no alcanza a llegar hasta A. • Si EK ⎛ max ⎞ < eV, ningún electrón va a contribuir a la corriente I. O sea: ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

EK max < eV0 → I = 0 ⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Con la fórmula de Einstein para el efecto fotoeléctrico, se obtiene:

hν = eV0 +φ →ν = e V0 + φ h h Haciendo un experimento en el cual para cada frecuencia de luz utilizada, se pudiera encontrar el respectivo voltaje de frenado, se obtendría una recta.

En ella el intercepto y la pendiente darían la información para obtener la función de trabajo y la constante de Planck.

h = e a → φ = hν C b

Fotoionización. Consiste en la ionización ( pérdida de electrones en este caso) de la materia (átomos, moléculas) debido a que se absorbe un fotón, cuya energía es suficiente para alejar infinitamente un electrón.

EB + Eγ = EK ′ La energía de enlace es negativa:

EB < 0

La energía del mínima del fotón incidente, que consigue ionizar al átomo es aquella para la cual la energía cinética, del electrón, es mínima:

EK ′ = 0 → hν min = EB

Por ejemplo, en el átomo de Hidrógeno la energía de enlace es -13,6[eV]. De ahí que la frecuencia de la luz y su longitud de onda del fotón necesario para ionizarlo sean:

EB ν min = = 3,28 ⎢⎡ Hz ⎥⎤ → λmax =ν c = 91⎡⎣nm⎤⎦ ⎣ ⎦ h min Lo cual cae en el rango Ultra Violeta (UV), el cual no es visible.

Dispersión de la Radiación Electromagnética por los Electrones de la Materia. • La Teoría Electromagnética Clásica predice que los electrones absorben la energía de la onda incidente y se ponen a oscilar a la misma frecuencia. Como resultado, ellos debería emitir radiación electromagnética de la misma frecuencia y los frentes de onda habrían de ser esféricos.

• La onda incidente y la onda dispersada, por la carga oscilante, habrían de tener la misma frecuencia (según esta teoría clásica):

ν =ν ′

Claro, que la predicción, clásica, es errónea. Ella contradice algunas observaciones experimentales. En particular, la frecuencia de la radiación dispersada es menor que la incidente. A este efecto se le denomina Efecto Compton (A.H. Compton, 1922). El experimento consiste en bombardear un sólido con radiación de alta frecuencia (Rayos X) y detectar la frecuencia de las ondas dispersadas.

Una observación importante es que la frecuencia de la radiación dispersada es una función del ángulo de dispersión: ⎛ ⎞

ν >ν ′

⎜I ⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎜ II ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ III ⎟ ⎝ ⎠

ν ′ =ν ′⎛⎜θ ⎞⎟ ν ′⎛⎜θ ⎝

⎝ ⎠ = 0 ⎞⎟ = ⎠

ν

Efecto Compton Veámoslo como la dispersión de fotones debida al choque con electrones. Consideremos que si bien los electrones están en movimiento dentro de un material, su momentum y su energía cinética son pequeñas en comparación a la energía y momentum de un fotón de alta frecuencia. Por lo cual no es mala la aproximación de considerar al electrón en reposo antes de interactuar con el fotón.

Después La conservación de energía y momentum, se pueden expresar como:

Antes

Antes

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

∑E ∑ px ∑ py

Después

: Eγ + mec2 =

Eγ′ + Ee

:

pγ

= pecosϕ + pγ ′cosθ

:

0

= pe senϕ − pγ ′senθ

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭⎪

Para resolver correctamente las ecuaciones anteriores hay que considerar: 2 m c e Ee = pe = mev 1+ v2 2 1+ v2 2 c c Eγ = hν = hc Eγ′ = hν ′ = hc λ λ′ E E pγ = cγ pγ ′ = cγ′

• La solución del anterior sistema de ecuaciones {…}, da como resultado:

∆λ = λ′ − λ = λe ⎛⎜1− cosθ ⎞⎟ ⎝

⎠

• Donde la llamada Longitud de Onda Compton para el electrón (LOCe) es:

λe = mhc ≈ 0,00243 ⎡⎣nm⎤⎦ e

• Cuando la longitud de onda del fotón incidente es muy grande en comparación a LOCe, el efecto se hace despreciable:

λ

λe ⇒ ∆λ λ

1

• Este efecto es apreciable para los Rayos X, cuya longitud de onda es comparable a la LOCe.

Absorción de Fotones en la Materia y Atenuación.

El haz reduce su intensidad desde Io a I, debido a que algunos de los No fotones incidentes son absorbidos y otros desviados (dispersados) por el material (núcleos atómicos y electrones).

El material atenúa la intensidad del haz. Esto se puede analizar de la siguiente manera: • Cuando el haz atraviesa una distancia dx, sufre una atenuación dN. • La atenuación dN es proporcional al numero de choques con los blancos (electrones y núcleos) que el material posea por unidad de volumen.

dNγ = Nγ ⎛⎜ x + dx ⎞⎟ − Nγ ( x ) = −aNγ ( x ) dN B ⎝

⎠

• El numero de choques (también) es proporcional al numero de fotones incidentes por unidad de área. dN = n Sdx B

B

• La densidad volumétrica de blancos es proporcional a la de átomos.

nB = kn Combinando estás ecuaciones:

dNγ = −µ Nγ ( x ) dx →

dNγ = −µ Nγ ( x ) → Nγ ( x ) = Nγ ⎛⎜ x = 0 ⎞⎟ exp ( −µ x ) ⎝ ⎠ dx

La intensidad del haz se comporta de la misma manera:

I ( x ) ∼ Nγ ( x ) → I ( x ) = I0exp ( −µ x ) En donde:

µ = σn σ = kaS

: Coeficiente de atenuación del material. : Sección eficaz del material [m^2].

l = 1µ : Longitud de atenuación del material [m].

Coeficiente de atenuación versus frecuencia de la radiación. El comportamiento típico es de la forma:

• Mientras más pequeño sea el coeficiente de atenuación, mayor será la transparencia del material. • En el caso de la luz visible, hv<4[eV], la atenuación es grande para la mayoría de los materiales, resultando ser opacos. • Para los rayos X, hv=10[keV], la atenuación es pequeña y los materiales son prácticamente transparentes. Los rayos X son útiles para obtener radiografias de huesos, dado que los tejidos blandos son transparentes y los huesos opacos a los rayos X. Radiografía de la mano de la esposa de Roentegen

Procesos en los que intervienen Electrones y Fotones. Efecto Fotoeléctrico y Fotoionización:

γ + e−(ligado) → e−

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

libre ⎟⎟ ⎠

Efecto Compton Ocurre con los electrones libres o ligados:

γ + e − → e− + γ ′

Producción de pares partícula-antipartícula. Ocurre en presencia de un átomo A pesado o un metal.

γ + A → A + e− + e+ La mínima energía necesaria del fotón es:

E

γ min ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

= 2mec2 ≈1,02 ⎡⎢ MeV ⎤⎥ ⎣

⎦

Aniquilación partícula-antipartícula. No se puede producir solo un fotón en el espacio libre, pues se violaría la ley de conservación de energía y moméntum.

e− + e+ → 2γ

El efecto Bremsstrahlung o la producción de Rayos X, es el inverso del efecto fotoeléctrico.

E

K ⎛⎜⎜inc ⎞⎟⎟ ⎝

= Eγ + E

⎠

⎛

⎞

⎝

⎠

K ⎜⎜ fin ⎟⎟

La energía máxima del fotón corresponde al caso en que el electrón es completamente frenado.

E

⎛

⎞

⎝

⎠

K ⎜⎜ fin ⎟⎟

= 0 → hν = Eγ

⎛ ⎜ ⎝

max ⎟⎞⎠

=E

K ⎛⎜⎜inc ⎞⎟⎟ ⎝

⎠

Fotón. Propiedades: La radiación electromagnética (REM), se puede considerar como el flujo de fotones.

El fotón en si no es ni partícula ni onda. En realidad ella tiene una dualidad en estos dos aspectos. El aspecto corpuscular y el ondulatorio se presentarán según las condiciones en que se hagan las observaciones. La energía del fotón es proporcional a su frecuencia.

Eγ = hν La constante de proporcionalidad es llamada cte de Planck. Su valor es:

h ≈ 6,63×10−34 ⎡⎢ Js ⎤⎥ ⎣

⎦

La velocidad del fotón es igual a la velocidad de la luz en el vacío c:

vγ = c ≈ 3×108 ⎡⎢ms−1⎤⎥ ⎣

⎦

Puesto que el fotón es el constituyente de la REM, cuya rapidez es c.

Existe una relación entre la energía y momentum del fotón. Ella se deduce de la fórmula relativista para la velocidad v de una partícula:

p v = c2 p → c = c2 γ → Eγ = cpγ E Eγ La masa del fotón es igual a cero, ello es coherente con la relación relativista que solo permite la existencia de partículas con rapidez igual a la de la luz siempre y cuando su masa sea nula. 2

E 2 = m2c4 + ( cp ) → Eγ 2 = mγ 2c4 + ⎛⎜ cpγ ⎞⎟ → mγ = 0 2

⎝

⎠

Consecuencias debidas la comportamiento onda-partícula del fotón: La intensidad de la REM:

dE I = 1 γ = nγ hv → nγ = I S dt hv

Cuando la frecuencia v es pequeña (o sea una gran longitud de onda, como en las señales de radiofrecuencias); la REM de intensidad apreciable contiene un número tremendo de fotones, dado que cada uno posee una energía muy pequeña. La estructura corpuscular de la REM esta algo escondida (hay que hacer el experimento de Compton para observarla) y sus aspectos ondulatorios prevalecen en la mayoría de las observaciones de interferencia y difracción.

Patrón de difracción.

Cuando la frecuencia de la REM es muy grande (pequeña longitud de onda), como en el caso de los rayos X, aun cuando la intensidad de la radiación sea apreciable, ella contendrá un número pequeño de fotones, dado que sus energías son elevadas. Cuando inciden, es posible observar chispas, las cuales son producidas por cada uno de estos fotones. Los aspectos corpusculares se manifiestan claramente en la difracción por una red cristalina.