Electromagnetism

= n < p >= n < q '.l >= ρ' < l > ΔV

С ' означаваме свързания заряд. Полето в диелектрика е сума от външното и индуцираното поле на свързаните заряди върху повърхността на диелектрика:

E = Eo + Ei , E = E o − E i < E o

, т.е. полето вътре в диелектрика отслабва.

От теоремата на Гаус следва:

∫ ε E.dS = q o

in

= q in + q 'in

S

Нека да приложим теоремата на Гаус и към вектора на поляризация Р:

∫ P.dS = ∫ ρ' < l > .dS = ∫ ρ'.dV = q' S

S

out

= −q 'in

S

, q'out е свързаният заряд излязал извън S при поляризацията. От закона за запазване на заряда следва q'out= - q'in.

⇒

∫ ε E.dS = q o

S

in

− ∫ P.dS S

∫ (ε E + P).dS = q o

in

, D = εoE + P

S

∫ D.dS = q

in

, теорема на Гаус в диелектрик

S

Вектор D е помощен и се нарича вектор на електрическото отместване, т.к. D е отместен спрямо E в общия случай. С qin са означени свободните заряди, ако има такива. За несегнетоелектрик P=αE=κεοE:

D = ε o E + κεo E = (1 + κ)ε o E = ε r ε o E = εE

κ - диелектрична възприемчивост. εr е относителната диелектрична проницаемост. ε е абсолютната диелектрична проницаемост. За сегнетоелектрик εr е тензор.

Приложение на теоремата на Гаус за границата между две среди Да разгледаме поведението на векторите E, D и P на границата между два диелектрика: Нека височината на цилиндъра и контура да е много по-малка от радиуса на цилиндъра и дължината на конε2 тура h << ΔR, h << Δl , за да пренебрег нем потока и циркулацията през h. Да приложим теоремата на Гаус и теоремата за циркулацията: C S

ε1

∫ D.dS ≈ (D

n2

− D n1 )ΔS = σΔS

⇒ D n 2 − D n1 = σ

S

∫ P.dS ≈ (P

n2

− Pn1 )ΔS = −σ' ΔS ⇒ Pn 2 − Pn1 = −σ'

S

∫ E.dr ≈ (E

τ2

− E τ1 )Δl = 0

⇒ E τ2 = E τ1

C

Ако σ = 0, т.е. няма свободни заряди на границата:

D n 2 = D n1 E τ2 = Е τ 1 =

Dτ 2

tgα 2 tgα1 = ε2 ε1

ε2

=

Dτ1 ε1

⇒

Dτ 2 Dn2 ε2

=

Dτ1 D n1 ε1

⇒

α >, ako ε >

, т.е. ъгълът на пречупване е по-голям в средата, в която диелектрчната проницаемост е по-голяма.

Диелектрик и вакуум: Във вакуум няма молекули Р2 = 0:

⇒ − Pn1 = −Pn = −σ' ⇒ σ' = Pn Метал и диелектрик: В метала полето е нула Е1=0=D1=P1

Dn2 = Dn = σ Pn 2 = Pn = −σ' = D n − ε o E n = D n − σ' = − σ

εr − 1 εr

Dn ε −1 = Dn r ⇒ εr εr

Електричен ток - плътност и големина. Напрежение. Електродвижещо напрежение. Електричен ток - всеки макропренос на електричен заряд. Електростатичното Кулоново поле EC не може да поддържа непрекъснат пренос на заряди, необходими са допълнителни електродвижещи сили с интензитет E'. Електричният ток се определя с векторна величина плътност на тока:

j = ρ − v − + ρ + v + , ρ = nq е плътността на заряда В металите q=-e и v+=0:

j = −env − = en(− v − ) = env , т.е. преносът на отрицателен заряд (-е) е еквивалентeн на пренос на положителен заряд (е) в противоположна посока. Затова в техниката положителната посока на тока е посоката, в която биха се движели положителни заряди. Скоростта на пренасяне е:

v =< v x + v d > = < v d >, vx е скоростта на хаотично движение (=0), vd е дрейфовата (преносната) скорост. Конвектен ток - при пренос на заредени тела. Големина на тока I: dI=j.dS=j.dScosα=j.dS⊥ I=j.S⊥ , ако j=const по S⊥.

, поток на вектор j през dS I=j. S⊥=ρv S⊥=ρ S⊥dl/dt=dq/dt

I = j.S⊥ =

dq = q dt

Напрежение U. Електродвижещо напрежение ε:

E = Е C + E' Напрежение U - определя се с работата за пренасяне на единичен заряд:

qE.dl = E C .dl + E'.dl = −dϕ + dε ⇒ q U = − Δϕ + ε, U = − Δϕ, ako ε = 0! U = ε, ако веригата е затворена!

dU =

1

1

ε

+

ε

2 U = ϕ1 − ϕ 2 + ε

2 U = ϕ1 − ϕ 2 − ε

−Δϕ - потенциалeн пад В Кулоново поле положителните заряди се движат по силовите линии, а в източниците на електродвижещо напрежение в обратна посока, но за сметка на някакъв вид енергия.

Закон на Ом. Работа и мощност - закон на Джаул-Ленц. Правила на Кирхоф. Закон на Ом - експериментален закон,1826г.: R =

U I

Съпротивлението R зависи от вида и размерите на проводника:

dR = ρ R =ρ

dl , ρ е специфичното съпротивление S⊥

l , ако ρ = const и S⊥ = const. S⊥

Локален закон на Ом:

I = j.S⊥ =

dU dU E = = dR ρ dl ρ 1 S⊥ S⊥

⇒

j=

E , ρ

Закон на Ом за цялата верига U=ε:

j=

E ρ

I=

, r е вътрешнотосъпротивление на източника.

ε R+r

Работа и мощност - закон на Джаул-Ленц: За единичен заряд A=U по определение. Следователно: A=qU=UIt=Q,

P=dA/dt=UI=I2R=U2/R

Локално:

dP = IdU = jS⊥ E.dl = j.ES⊥ dl = j.EdV p=

E2 dP = j.E = = ρj2 dV ρ

Правила на Кирхоф: I-во правило: Сумата от втичащите токове е равна на сумата от изтичащите в разклонителна точка - следтвие от закона за запазване на заряда.

Ik

Ii

∑ Ii = ∑ I k II-ро правило: В затворена верига (U=ε) сумата от напреженията е равна електродвижещите напрежения - следствие от закона за запазване на енергията.

∑ Ui = ∑ ε j

на

сумата

от

Магнитостатика Закон на Ампер за действието на магнитното поле върху токов елемент. Магнитно поле на постоянен ток във вакуум закон на Био-Савар-Лаплас. Магнитно поле на прав и кръгов проводник с ток. Около всеки магнит съществува магнино поле, което може да онагледим с силови линии с посока от север на юг, посоката в която се ориентира магнитна стрелка. Магнитното поле може да се определя с векторна величина магнитна индукция В. Ампер (1820г.) установява, че всеки проводник с ток изпитва силово въздействие в магнитно поле, като силата е перпендикулярна на силовите линии и тока:

dFA = Idl × B

N

dFA = Idl.B sin α ⇒ B sin α =

dFA Idl

⇒

B=

dFA π , ako α = Idl 2

S B

, т.е. големината на магнитното поле се определя със силата действаща на единичен токов елемент поставен перпендикулярно на магнитните силови линии. Оерщед (1820г.) установява, че около всеки проводник с ток съществува магнитно поле. С промяна на формата на проводника се изменя и магнитното поле. Магнитното поле на токов елемент се определя от закона на Био-Савар-Лаплас:

dB =

μ o Idl × r , 4π r 3

μo H = 10 −7 4π m

, μο е магнитната проницаемост на вакуум.

μ o Idl × r μ I r × dl μ o I 1 μ I dl = ∇ × dA =− o = ∇ × dl = ∇ × o 3 3 4π r 4π r 4π r 4π r μ I dl dA = o 4π r B = ∇ × A, A − векторен потенциал на магн. поле dB =

Магнитно поле на прав проводник:

μ I μ o I dl ⊥ μ o I dβ μ o I = = cos β dβ = o d sin β ⇒ 2 4πa 4π r 4π r 4πa μ I B = o (sin β1 + sin β 2 ) 4πa μ I B = o , ако проводникът е безкрайно дълъг 2πa

β1

a

dB =

B

Магнитно поле на кръгов проводник:

μ o I dl μ o I dl ⇒ dB = cos γ || 4π r 2 4π r 2 μ I 2πR R μ o I R 2 B = B|| = o = , B⊥ = 0 4π r 2 r 2 r3 μ I B c = o , ako r = R 2R

β2

I

r

dB =

I

R

B

Действие на магнитното поле върху движещ се заряд- сила на Лоренц. Магнитно поле на движещ се заряд Idl = j.S⊥ dl = jS⊥ dl = qnv.dV = qvdN ,

dN е броят на зарядите в токовия елемент

dFA = qv × B dN μ Idl × r qr 1 = ε oμ o v × dB = o dN, ε o μ o = 2 ⇒ 3 3 4π r 4πε o r c dFA = Idl × B = qv × B.dN ⇒ FL =

B=

v × E' qr , E' = 2 c 4πεo r 3

Очевидно магнитното поле е релативен ефект, но се наблюдава и за малки скорости благодарение на огромната концентрация на токоносители в проводниците n~1029 m-3, c=3.108 m/s. Ако зарядът се движи в електромагнитно поле, то силата на Лоренц е:

FL = q(E + v × B)

Поток и циркулация на вектор B. Приложение. (през затворена повърхност и по затворен контур)

Потокът на магнитното поле през затворена повърхност е нула, т.к. не съществуват магнитни заряди:

∫ B.dS = 0 S

Циркулацията на магнитното поле по затворен котур е равна на μο по алгебричната сума на обхванатите от контура токове:

∫ B.dr = μ ∑ I o

k

теорема на Ампер

C

C

Доказателство:

μ o I dl × r 4π r 3 L

B=∫

Ω2

μ o I (dr × dl ).r μ o I dS ⊥ μ o I 2 ∫C B.dr = 4π ∫C ∫L r 3 = 4π ∫C ∫L r 2 = 4π ∫C ∫L d Ω

∫ B.dr = C

μoI μ I 0 dΩ = o { = μ o I inC ∫ 4π C 4 π ± 4π i

C

i

C

Ω1

⇒

∫ B.dr = ∫ (∑ B ).dr = ∑ ∫ B .dr = μ ∑ I C

dr

o

k

∴

L, I

C

Пространственият ъгъл се изменя с ±4π при пресичането на повърхност опъната върху токовият контур L.

Вихрово поле, чиято циркулация по затворен контур е различна от нула. Магнитното поле е вихрово, а електростатичното е безвихрово. Приложение - използва се за бързо пресмятане на магнитното поле, когато има някаква симетрия в разпределението на токовете. j Магнитно поле на безкрайно дълъг проводник:

∫ B.dr = ∫ B.dr = B∫ dr = B.2πa =μ I

in o C

C

C

C

μ I ⇒ 2πa μ I B out = o , ако a = r ≥ R 2πa μ jπr 2 μ o j B in = o = r, ako r ≤ R 2 2πr B=

in o C

C

Магнино поле на тор (r >> d):

∫ B.dr = B.l = μ C

o

NI ⇒ B = μ o nI, n =

N l

Ако r клони към безкрайност, всяка крайна част от тора ще е дълъг соленоид. Затова за соленоид:

B = μ o nI

Магнитно поле във веществото Магнитен диполен момент pm (микродипол):

p = p m ≡ IS Вектор на магнитната поляризация J:

J≡

∑p

i

=

ΔV

N

= n < I' >< S > ΔV

При поставяне на вещество в магнитно поле, диполите се стремят да се орентират по полето. Прилагайки теоремата за циркулацията получаваме:

∫ B.dr = μ (∑ I + ∑ I' 0

C

, но

k

C

s

)

C

∫ J.dr = ∫ n < I' >< S > .dr = ∫ < I' > dN = ∑ I'

s

C

C

C

⇒

C

B B ∫C ( μ o − J ).dr = ∑C I k , H ≡ μ o − J ⇒

∫ H.dr =∑ I C

k

теорема на Ампер във вещество

C

За неферомагнитни вещества J=κH: κ<0 диамагнити κ>0 парамагнити κ>>0 феромагнити

B = μ o (H + J ) = μ o (H + κH ) = μ o (1 + κ)H B = μH, μ = μ 0 μ r = μ o (1 + κ)

, μr е относителната магнитна проницаемост.

Използвайки теоремите за потока и циркулацията на В, на границата между две среди (но неферомагнитни), магнитните силови линии се пречупват. По аналогия с диелектриците, ъгълът на пречупване е по-голям в средата с по-голяма магнитна проницаемост (h<< ΔR и l):

I Bn 2 = Bn1 , H τ2 − H τ1 = = jl , l H τ2 = H τ1 , ako j1 = 0 tgα 2 Bτ2 Bn 2 μ 2 H τ2 μ 2 = = = tgα1 Bτ1 Bn1 μ1H τ1 μ1

μ2 μ1

S

C

Електродинамика Елецтромагнитна индукция-закон на Фарадей. Правило на Ленц. Вихрово електрично поле. Вихрови токове (токове на Фуко) Фарадей (1831г.) открива явлението електромагнитна индукция, променящ се магнитeн поток поражда вихрово електрично поле с циркулация различна от нула.

ε = ∫ E'.dl = − C

dΦ dt

закон на Фарадей

Знакът минус показва, че възникващото електрично поле е за сметка на енергията на магнитното поле или друг вид енергия.

~ B, расте E

~ B, намалява E

Възможните случаи на възникване на електродвижещо напрежение (е.д.н.) са следствие от изменение: а) на обхванатото от контура магнитно поле

 б) на магнитното поле B в) на ориентацията на контура спрямо магнитното поле •

ε = −dΦ / dt = − BS cos α = BS sin α α  г) на контура ε = −dΦ / dt = −B.S Правило на Ленц - индуцираното електрично поле е с такава посока, че се противопоставя на пораждащата го причина. При движение в магнитно поле се наблюдава и напречно електрично поле

E' = v × B = FL / q .

В масивните проводници вихровите електрични полета пораждат много големи вихрови токове водещи до много големи загуби. Затова магнитопроводите се изработват във вид на ламели или от феродиелектрици. За полезни цели вихровите токове се използват в пещите за топене на метали и в микровълновите пещи.

Ток на отместване. Теорема на Ампер за нестационарни токове При зареждане и разреждане на кондензатор във верига с променлив ток, диелектрикът в кондезатора е непроводящ и възниква въпрос, как протича електричен ток, след като веригата не е затворена. 1. Да приложим теоремата на Гаус:

∫ D.dS = q

S"

in

= q, S = S'+S"

C

S

i = q = ⇒

S'

∂D ∂D dq = ∫ .dS = ∫ .dS = ∫ j.dS ∂t dt S ∂t S" S'

∂D ≡ jD ∂t

~i q

ток на отместване

Изменящото се електрично поле има ефект на плътност на ток jD, нарича се ток на отместване.

2. Да приложим теоремата на Ампер:

∫ H.dr = ∫ j.dS = ∫ j.dS , но ∫ j.dS ≠ 0, C

S'

S"

S'

∫ j.dS = 0, ∫ j

S"

D

.dS ≠ 0

S"

Възниква противоречие, което Максуел разрешава с въвеждане на допълнителен ток, ток на отместване. Пълният ток е сума от тока на проводимост плюс тока на отместване:

∫ H.dr = ∫ ( j + S

SC

∂D ).dS ∂t

теорема на Ампер'

Херц пръв регистрира магнитното поле създадено от тока на отместване в диелектрик между плочите на кондензатор. Тока на отместване е явление обратно на електромагнитната индукция, магнитоелектрична индукция. При него не се отделя топлина, няма топлинни загуби.

∂D ∂E ∂P = εo + ∂t ∂t ∂t ∂E във вакуум jD = ε o ∂t

jD =

Фундаментална система уравнения на електромагнетизма - уравнения на Максуел С откритието си на тока електромагнитните явления:

∂B

∫ E.dr = − ∫ ∂t .dS C

SC

∫ H.dr = ∫ ( j + C

SC

∂D ).dS ∂t

на

отместване

Максуел

успя

да

създаде

единна

теория

на

∫ D.dS = ∫ ρdV S

VS

∫ B.dS = 0 S

Тези уравнения са в интегрален вид. Те могат да бъдат записани диференциално, ползвайки следните теореми:

∫ f (x)dx = ∫∫ (f ' (x )dx)dx ⇒ ∫ X.dr = ∫ (∇ × X).dS теорема на Стокс C

SC

∫ X.dS = ∫ ∇.X.dV S

теорема на Гаус − Остроградски

VS

Следва (X=E или H):

∂B ∂t ∂D ∇×H = j+ ∂t ∇×E = −

Допълнителни уравнения:

∇.D = ρ

D = εE, B = μH,

∇.B = 0

dp = q (E + v × B ) dt

j=

E ρ

Уравненията на Максуел са обобщение на опитните факти и описват правилно физическите явления, без квантови ефекти.