Elasticidad

ELASTICIDAD

ELASTICIDAD

Excepto por nuestros estudios acerca de resortes, hemos supuesto que los objetos permanecen rígidos cuando sobre ellos actúan fuerzas externas. En realidad, todos los objetos son deformables, es decir, es posible cambiar la forma o el tamaño, o ambos, si se aplican fuerzas externas al cuerpo. Cuando estos cambios tienen lugar no obstante, fuerzas internas dentro del cuerpo resisten la deformación.

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ELASTICIDAD

ELASTICIDAD Estudiaremos la deformación de los sólidos en términos de los conceptos de esfuerzo y deformación unitaria.

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Esfuerzo s (Fuerza por unidad de área): es una cantidad que es proporcional a la fuerza que causa una deformación; más específicamente, un esfuerzo es la fuerza externa que actúa sobre un cuerpo por unidad de área de sección transversal. Esfuerzo  s 

F A

El resultado de un esfuerzo es una deformación unitaria, que es medida del grado de deformación. e; (Deformación unitaria) Deformación  e 

L L

Se encuentra que, para esfuerzos suficientemente pequeños, la deformación es proporcional al esfuerzo, la constantes de proporcionalidad depende el material que se deforme y de la naturaleza de la deformación. A esta constante de proporcionalidad se le da el nombre de coeficiente de elasticidad. El coeficiente de elasticidad se define, por lo tanto, como la razón entre el esfuerzo y la deformación resultante.

coeficiente _ de _ elasticidad =

esfuerzo deformacion _ unitaria

El coeficiente de elasticidad en general relaciona lo que se hace a un cuerpo sólidos, con la forma en el que el cuerpo responde.

ESFUERZO Y DEFORMACIÓN Experimentalmente: L: Longitud A: sección transversal L

A

 F

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ELASTICIDAD

 F

L

 F

 F

 F ∆L=Li-L

Se observa:  → Los ∆L van a depender de las F y A

{siempre en régimen elástico}

→ Los ∆L dependen de L REGIMEN ELASTICO

s 1 D =   E → s  Me  M  M  e D D

E M ∼ 1010

N m2

Consideramos tres tipos de deformación y definimos un coeficiente de elasticidad para cada uno.

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ELASTICIDAD

1. MODULO DE ELASTICIDAD, que mide la resistencia de un sólido a cambiar en su longitud. 2. COEFICIENTE DE RIGIDEZ, que mide la resistencia al movimiento de los planos dentro de un sólido, paralelos entre ellos. 3. MODULO DE VOLUMEN, que mide la resistencia de sólidos o líquidos a cambios en sus volúmenes.

1. MODULO DE ELASTICIDAD: ELASTICIDAD EN LONGITUD Definiremos la resistencia a la tensión como la razón entre la magnitud de la fuerza externa F y el área A de sección transversal. La deformación por tensión en este caso se define como la razón entre el cambio en longitud ∆L y la longitud original Li definimos el concepto de elasticidad como una combinación de estas dos razones.

Y=

F esfuerzo A = ∆ L deformacion _ unitaria Li

N/m2

“Modulo de Young (Y): Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.”

El modulo de elasticidad suele emplearse para caracterizar a una barra o alambre sometidos a esfuerzo, ya sea bajo tensión o comprensión. Nótese que debido a la deformación es una cantidad adimensional Para esfuerzos relativamente pequeños, la barra regresara a su longitud original cuando la fuerza se retire. El límite elástico de una sustancia se define como el máximo esfuerzo que puede aplicarse a la sustancia antes de que esta se deforme de forma permanente y no regrese a su longitud inicial. Es posible exceder el limite elástico, si el esfuerzo es grande.

2. COEFICIENTE DE RIGIDEZ: ELASTICIDAD DE FORMA

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ELASTICIDAD Otra tipo de deformación se presenta cuando un cuerpo se somete a una fuerza paralela a una de sus caras, mientras que la cara opuesta es mantenida fija por otra fuerza. El esfuerzo en este caso se denomina esfuerzo cortante resulta en una forma cuya sección transversal es un paralelogramo. Definimos el esfuerzo cortante como F/A, la razón entre la fuerza tangencial y el área A de la cara que se somete a esfuerzo cortante. La deformación por esfuerzo cortante se define como la razón ∆x / h, donde ∆x es la distancia horizontal en que se mueve la cara sometida a esfuerzo cortante y es la altura del cuerpo. En término a esta cantidad, el coeficiente de rigidez es:

A

 F

h f

 F

∆x

tgθ =

∆x h

h θ f

S=

F esfuerzo _ cor tan te = A deformacion _ por _ esfuerzo _ cor tan te ∆x h

“Modulo de corte (S): Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte)”

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ELASTICIDAD

S

Fh Ax

3. MODULO DE VOLUMEN: ELASTICIDAD DE VOLUMEN Caracteriza la respuesta de u cuerpo a cambios en una fuerza de magnitud uniforme aplicada perpendicularmente sobre toda la superficie de un cuerpo. El esfuerzo de volumen se define como la razón entre la magnitud de la fuerza total F ejercida sobre una superficie y el área A de la superficie. La cantidad P=F/A se denomina presión, si cambia la presión sobre un cuerpo en una cantidad ∆P = ∆F A entonces el cuerpo va a experimentar un cambio de volumen.

F

A

F

F

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El modulo de volumen se define como:

F esfuerzo _ de _ volumen A = − ∆P B=− =− ∆V ∆V deformacion _ de _ volumen Vi Vi

Se inserta el signo negativo en esta ecuación para que B sea un número positivo. El reciproco del modulo de volumen se denomina comprensibilidad del material

B

p V / V

“Modulo volumétrico (B): Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas”.

Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0. Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0.

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ELASTICIDAD

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1: 1° Ideal v2(0) ≡ 0

y

→ MRUV

Polea ideal

Cuerda ideal, ∃ m m1,m2 , puntuales L = 2 m1 = 3, m2 = 5 φ = 4 x 10-3 ¿? t

m2 h2 ≡1m

2° Polea real → a afectada → I=I (m,r) , f ← polea

m1

⇒ CR ⇒ MRUV 3° Cuerda real → Deformación → CR → MRUV t ≡¿?

4°→1º) a≡

g = 2,5 → t(y2 ≡0) ≡? 4

y(t) ≡y (0)+ v(0) t 0 ≡ 1+ 0 − t≡

1 2 at 2

2,5 2 t 2

2 2,5

5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=? w2 – T = m2 a Acero

T = w2 – m2 a

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ELASTICIDAD ≡ 50 – 5 x 2,5 T ≡ 37,5 F/A FL  L   F T L / L YA

Y

Yacero  20 x 1010

→ ∆L ≡

37,5 x 2

(

20 x 1010 π 2 x 10 −3

)

2

= 27,6 µm

t ≡ ¿?

Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el sistema

A

-F

-L

u

Y≡

F

0

x

F / A  AY → x/L  L

 x ≡ F 

x

E p ,el  1 F AL     2 A L  unidad de volumen 

 Felast  

AY x {en todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como la L respuesta elástica del sistema}

Fel W {  E p ,el   E p ,el , f  E p ,el ,i   E p ,el , f   E p ,el

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ELASTICIDAD L  AY  AY  1 2 L  W Fel     x dx    x / 0   E p ,el   E p ,el 0 L  L  2  



AY 1   L2  E p ,el L 2

1  AY  2    L  E p ,el 2 L 

1 A (F / A )     L2  E p ,el 2 L ( L / L ) 

1 F L  E p ,el 2



1 F L E p ,el  u 2 AL AL

 u

1 seu 2

1  F   L     2 A  L 

S1P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F, determine la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza.

d/2

D/2

F

SOLUCION:

F

Y

L

b/2 d/2

A(x) D/2

L

d/2

y

F x 10

0 X

Ax

L

ELASTICIDAD

De

L 

FL Fdx d  Dd  dL  , y  x 2 YA Y y 2 2L 

 

Fdx

dL 

 D  d  x Y   d  2  L0 

 

2

2F   L   Y 



 

dx

L

 

 D  d  x  d      L     1 4 4 4 2 4 4 43 0

2





2 FL Y  dD



I

I ?

 Dd  x  L 

u  d 

 Dd  dx  L 

du  

I 

L    Dd 

 I*  

 L 



D

d

du  L   u2  dD

I*

1 D  1 1    u d  d D 

2 FL0 L 2F   Y  dD L Y  dD

S1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un ángulo  en el vértice. a) Calcule la deformación del alambre. b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010 Pa).

θ

m

SOLUCION: DCL(m): 11

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T θ m w Datos: m=1, l=2, d=φ=10-4, Yacero = 21x 1010. Del equilibrio en la vertical,

T cos   mg  T  mg sec  ... Y de la dinámica circular,

vt2 Fcp  Tsen  macp  m  R  l ' sen , l '  l  l... R

De α y β,

vt2 mg tan   m ... l ' sen

a) Del modulo de Young,

Y

FL Y  LA

l 

Tl   d   l        2  

 l 

4Tl  T  mg sec  Y 2d 2

4lmg sec  Y 2d 2

b) T=?, con la condición

T

2

T  2mg   

 ( T: tensión) 3

2 w

La frecuencia angular la obtenemos de β,

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2 m g sen  m l ' sen w2 w

2g 2g  l '  l  l  w   l  0, 0242 l' l  l

Con lo que el T queda,

T  2

l  l  0, 6 2g

w

S1P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos. Determine: a) La deformación producida en la barra b) En donde se produce el esfuerzo máximo SOLUCION: M L

w

dm dFcp r

dr

O

a)

dFcp  dF   dm w2 r  M  dr L  

dm  

Mw2 dF  r   rdr L

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ELASTICIDAD

Mw2 2  : F  r   2L r  " dFcp "  Mw2 2  r )dr   ( 2 L FL Mw2 2   Y Y   dL  r dr AL AdL 2 LAY L

 L   dL   0

L

0

Mw2 2 r dr 2 LAY

2 2  L  Mw L 6 AY

Mw2 2 r F Mw2 2 , por lo tanto, en r=L, b) De 2 L s (r )    r A A 2 LA

Mw2 L s ( L)  2A

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