El Problema De La Maquina De Nevar

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS) En cierta ciudad Europea está nevando con regularidad. A las 12:00 m sale una máquina quitanieves que recorre en la primera hora 2 km y en la segunda hora 1 km. ¿A qué hora empezó a nevar? Considerando que la cantidad de nieves quitada por la máquina por cada unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de nieve encontrada. SOLUCIÓN Las variables a usar en la construcción y desarrollo de la Ecuación Diferencial son: t : Tiempo en horas X: distancia recorrida V: velocidad de avance Q: cantidad – altura de nieve acumulada Consideraciones a tomar en cuenta: 1) La cantidad de nieve acumulada es proporcional al tiempo:

2) La velocidad de avance es inversamente proporcional a la altura de la nieve acumulada:

3) Empezó a nevar en

, y la máquina sale

horas después de nevar

4) La velocidad de avance es igual a la razón de cambio de la distancia recorrida respecto al tiempo:

Para t =

:

Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado http://yointegrador.blogspot.com Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias El problema de la máquina de nevar

1

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS)

… (1) … (2) … (3) (2) – (1): (3) – (1):

3

Como nos interesa obtener el valor de ts de este sistema de dos ecuaciones, el valor de C y de K es irrelevante, por lo cual denominaremos a A = K/C, dejando el sistema de ecuaciones como sigue: (2) – (1):

… (4)

(3) – (1):

… (5)

De (4):

… (6)

De (5):

… (7)

(6) = (7): =

Tomamos el último valor ya que con los otros obtenemos un tiempo de salida o indeterminado o negativo. Reemplazando este valor en (6):

Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado http://yointegrador.blogspot.com Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias El problema de la máquina de nevar

1

Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Económica y CC.SS. (FIECS)

Entonces, podemos decir que la máquina de nieve salió 0.6180339884 horas después de empezar a nevar Recordemos que la hora de salida fue a las 12:00, por lo cual la hora de inicio de nevar es: = 11.38196601 horas <> 11 horas y 22.91796069 minutos <> 11 horas, 22 minutos y 55 segundos.

Ecuaciones Diferenciales – Mate IV – Cálculo Avanzado http://yointegrador.blogspot.com Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias El problema de la máquina de nevar

1