El Plano Cartesiano[1]

Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la defenza Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada UNEFA Excelencia Educativa Nucleo – Caracas.

Plano cartesiano, Relaciones y función.

Raquel Maestre Génesis Gelvez Sección: D-15 FECHA: 19/07/2008.

I PARTE: Plano cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Pares ordenados, eje de ordenadosy cuadrantes de origen Llamamos a la coordenada de un punto a cada punto en la recta numérica asociado con un número real. Un par ordenado es un par de números a y b con elementos escritos en forma significante. Dos pares ordenados son iguales si tienen el mismo primer elemento y el mismo segundo elemento. Por ejemplo: El par ordenado (4, 5) es igual al par ordenado (4, 5). Los números en un par ordenado son llamados coordenadas. En el par (7, 5) la primera coordenada es 7 y la segunda es 5. Ya hemos visto en la primera sección cómo se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.

Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa el lugar vertical del punto. Por ejemplo:

Representación de puntos Para graficar un punto p(a,b) hay q ubicarse en el origen y desplazarnos sobre el eje x hasta encontrar el valor de la abcisa a, esto es a la derecha si es positivo o ala izq si es negativo y trazar una linea vertical en el punto a. De forma similar la ordenada b, hay que buscarla en el eje y, hacia arriba si es positivo o hacia abajo si es negativo, al encontar el punto trazar una linea horizontal. La coordenada (a,b) es el punto de intersección de ambas lineas, en la práctica las líneas en realidad no se trazan si no que las hacemos imaginarias y sólo ubicamos el punto. Para ubicar valores fraccionarios o raices es necesario cambiar los valores a decimales para poder graficar. Asi 1/3=0.333 raíz de 2 = 1.41 Esto es dificil de explicar sin un cuaderno o pizarrón donde dibujar, espero te sirva.

Distancia entre puntos La distancia entre dos puntos P1 y P2 se calcula usando la siguiente fórmula: d( P1, P2) = |P1 - P2| Por ejemplo: d(4, -6) = |4 - (-6)| = 10 Pero para hallar la distancia entre dos puntos, mediante sus coordenadas P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2), utilizamos la siguiente fórmula de distancia:

Punto medio Punto medio o punto equidistante es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. La fórmula para determinar el punto medio de un segmento, de coordenadas: , será:

segmentos es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

II PARTE : Relaciones Y Funciones Relaciones: Se llama relacion entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relacion entre los elementos de un mismo conjunto. Existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relacion: propiedad reflexiva, simetrica y transitiva. Función: Es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Donde se dice que f : A → B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado condominio B)

Dominio y rango: dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado condominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado condominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

Tipos de función: Función invectiva Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente, o lo que es lo mismo, Función sobreyectiva Aquellas en que la aplicación es sobre todo el condominio, es decir, cuando el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del condominio tiene un origen. Formalmente,

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas. Función biyectiva Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Funciones reales afines o lineales Una función afín real es de la forma f:IR en IR tal que f(x) = ax + b, con a distinto de 0 Para b = 0, se tiene una función lineal, es decir, una proporcionalidad directa. Ambas funciones tienen como gráfica una recta, que comprende el origen del sistema de coordenadas, en el segundo caso.

Función cuadrática Se trata de funciones de la forma f: IR en IR que f(x)= ax² + bx + c, con a distinto de 0 Tienen como gráfica una curva llamada parábola

Funciones cúbicas exponenciales: Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen (0, ∞). Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario).

Funciones Logarítmicas -Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x>0 le asigna loga x (que es único) se denomina función logarítmica en base a. Las propiedades de está función se deducen inmediatamente de las de la función exponencial:

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loga (xy)=loga x+logay para cualesquiera x,yÎ IR. Si a>1 la función logaritmo correspondiente es estrictamente creciente, y si 01 la función logarítmica no esta acotada superior ni inferiormente. De hecho se tiene

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Para base 0
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La función logarítmica es sobreyectiva, es decir para cualquier número real y0 existe un único x0 rel="nofollow"> 0 tal que loga x0=y0. Para todo número real x>0 se tiene loga x=logbx loga b, cualesquiera que sean los números reales positivos a y b

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Funciones trigonometriítas inversa La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-p /2,p /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por f -1(x)=arc sen x estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente. Es inmediato comprobar que arc sen (- x)=- arc sen x para todo x en [-1, 1].

La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, p ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por f -1(x)=arc cos x.

funciones definidas por intervalo

La funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo: •

La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante. •

Otras funciones definidas por intervalos son: Función escalón unitario Función signo

III PARTE Relación con la vida cotidiana El plano cartesiano nos sirve en la vida cotidiana para ubicarse y darnos origen en un lugar determinado, o cuando nos dan una dirección y no sabemos como llegar. Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

Ejemplo: Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe: Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. Las cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano. Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:

Para el problema planteado ,el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.