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Métodos de Geometría Computacional Aplicados al Diseño de Estructuras Espaciales Reinaldo Togores Fernández. Arquitecto [email protected]

...es de toda necesidad que la superficie rodee la profundidad. Platón, Diálogos, v. 6, 1

El Modelo Fuller.

El Domo Geodésico El Domo Geodésico es sin duda el tipo constructivo más característico de la segunda mitad del siglo 20. Esta malla estructural de barras y nudos dispuestas según las aristas y vértices de un poliedro cuya forma se inscribe en la esfera debe su nombre a uno de los hombres más carismáticos que se han desenvuelto en el mundo de la construcción: Richard Buckminster Fuller. El término “geodésico” acuñado por Fuller se relaciona con la medición de distancias sobre el globo terráqueo mediante círculos máximos que son las líneas geodésicas de la esfera. La distancia geodésica entre dos puntos de la superficie terrestre, es decir medida a lo largo de un círculo máximo que pasa por ambos puntos es la distancia más corta. Aún cuando no sea siempre cierto que sus elementos estén dispuestos según círculos máximos ha quedado este nombre para identificar este tipo estructural. Pero en realidad, no fue Fuller el primero en concebir y realizar una estructura de estas características.

Bauersfeld La primera estructura de este tipo de que se tiene noticia fue obra del Dr. Karl Bauersfeld, Ingeniero Jefe de la firma Carl Zeiss y construida, con un diámetro de 25 metros, en la azotea de su fábrica en Jena, Alemania, en 1922-23. Además de ser el primer domo geodésico, fue quizás también la primera estructura laminar de su tipo en hormigón armado. De hecho, su carácter de lámina, con una relación de espesor a volumen encerrado comparable a la cáscara de un huevo y no la geometría poliédrica subyacente fue lo que trascendió en ese momento. Llama la atención el hecho de que una obra que tanta trascendencia ha tenido para el desarrollo de las técnicas constructivas más características de todo un siglo sea prácticamente ignorada. Igual que dijimos que el domo geodésico es el tipo estructural que mejor se identifica 1

Platón, Diálogos, v. 6, Biblioteca Básica Gredos, Madrid, 1982.

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con la segunda mitad del siglo 20, fueron las estructuras laminares la imagen más característica de su primera mitad. Y ambos iconos de la construcción del siglo pasado tienen su germen en una misma obra desaparecida y olvidada. La razón puede estar en que la estructura poliédrica del refuerzo principal de la bóveda no era en realidad el centro del interés de Bauersfeld. No fue más que una extensión del principio aplicado para diseñar el equipo proyector que esa bóveda estaba destinada a albergar.

Figura 1. 1922. Bóveda del planetario Zeiss en Jena antes de ser recubierta [49]. En 1913 la firma óptica alemana Carl Zeiss se enfrascó en la tarea de diseñar una gigantesca esfera para mostrar los movimientos de los planetas y las estrellas que fuera capaz de alojar un gran número de personas. En 1919 el Dr. Walter Bauersfeld de Zeiss redefinió el problema. En lugar de intentar construir una esfera mecánica hueca provista de luces simulando estrellas que girara en torno a los espectadores, propuso un domo hemisférico estacionario de color blanco de dimensiones muy superiores a lo que se concebía inicialmente, transfiriendo la generación del movimiento aparente de la bóveda celeste a una colección de proyectores situados en el centro del domo, donde habría una oscuridad total. Mediante mecanismos diseñados al efecto los proyectores se moverían, guiados de manera tal que sus imágenes proyectadas de los cuerpos celestes reproducirían sobre la bóveda los movimientos que efectivamente ocurren en la naturaleza [4]. El problema a que se enfrentaba era el de descomponer la imagen de la bóveda celeste en imágenes planas para después recomponer el mosaico formado por dichas imágenes proyectándolas sobre una pantalla de forma esférica. Los proyectores debían situarse en el centro de la esfera dando como resultado una apariencia de continuidad. A cada proyector debía corresponder una superficie aproximadamente igual de esta pantalla esférica.

El Modelo Fuller. 3 Cinco años de trabajo en Zeiss se invirtieron en el desarrollo de lo que sería ese primer proyector para planetarios. La solución encontrada consistió en representar la bóveda celeste en una proyección gnomónica sobre los planos que formaban las caras de un poliedro, procurando que dichas caras tuvieran superficies lo más parecidas posible y que el ángulo de proyección abarcado por cada sector estuviera dentro de los parámetros adecuados al sistema óptico empleado. Partiendo del icosaedro como poliedro regular con mayor número de caras y mediante un proceso de truncamiento de sus vértices se obtuvo un poliedro con 12 caras pentagonales y 20 caras hexagonales cuya superficie resultaba muy parecida. Esto permitía representar la totalidad de la bóveda celeste mediante un mosaico de 32 campos estelares. La geometría del poliedro elegido ere descrita por Bauersfeld [16] de la siguiente manera2: “Si uno parte de el conocido sólido regular cuya superficie está compuesta por 20 triángulos equiláteros y trunca cada uno de los 12 vértices que este sólido posee, entonces se forman 20 hexágonos y 12 pentágonos en su superficie. Con los cortes en los lugares adecuados, es fácil asegurar que los círculos que circunscriben a los pentágonos y hexágonos son todos iguales. Si entonces se imagina uno las aristas de este sólido proyectadas a partir del centro sobre una superficie esférica con el mismo centro, entonces la división de la esfera tal como la describimos queda formada.”

Figura 2. Bocetos de Bauersfeld mostrando la partición propuesta. Fuente: [16]

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“If one starts with the familiar regular solid whose surface consists of 20 equilateral triangles, and makes a straight cut across each of the 12 vertices which this solid possesses, then 20 hexagons and 12 pentagons are formed on the surface. With the cuts in the right places, it is easy to ensure that the circles circumscribing the pentagons and hexagons are all equal. If one then imagines the edges of this solid projected out from the center onto a spherical surface with the same center, then the division of the sphere as described is formed.”

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El procedimiento descrito no es otro que la clásica proyección Gnomónica empleada en las cartas de la bóveda celeste. La misma partición de la esfera utilizada para la imagen de la bóveda celeste inspiró la forma del equipo que soportaría los proyectores. Estos se dispondrían sobre una estructura poliédrica también en forma de icosaedro truncado, situándolos en el centro de cada uno de las caras pentagonales y hexagonales con lo que el aparato sería capaz de proyectar un mosaico de hasta 31 imágenes, considerando la necesidad de emplear una de las caras como apoyo del instrumento (ver Figura 4).

Figura 3. Esquema del concepto original de Bauersfeld Fuente: [49].

Para las pruebas del proyector, Bauersfeld necesitaba la esfera hueca que debía actuar como pantalla. Toda vez que debía construirse en la azotea de la fábrica, la construcción debía ser extremadamente ligera. Utilizando la misma lógica que en el diseño del sistema de proyección, ideó una estructura con barras de acero basada en una subdivisión mayor del icosaedro (ver Figura 1), en que las barras se disponían según arcos de círculos máximos de la esfera. . Como veremos más adelante, la solución alcanzada sería descrita en la terminología actual como una partición geodésica triangulada de Clase I, Método 13. Hasta que no estuvo terminada esta malla de barras (3,480 barras con una tolerancia en longitud de 0,05 mm), no intervino ningún profesional de la construcción. Según relata el

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No hemos encontrado en la literatura consultada información más detallada sobre esta estructura. A juzgar por la única foto disponible, la partición empleada parece ser de frecuencia 12.

El Modelo Fuller. 5 mismo Bauersfeld [4], su idea original era recubrir esta estructura con yeso proyectado sobre una malla de alambre, pero no encontró una solución eficaz para su impermeabilización.

Figura 4. El primer proyector Zeiss, probado originalmente en el domo de Bauersfeld 4. Fue entonces que se llamó al ingeniero Franz Dischinger, de la firma Dyckerhoff y Widman que en colaboración con el Dr. Ulrich Finsterwalder aportó la solución definitiva -fijar al interior del esqueleto un molde de madera con la curvatura esférica adecuada, contra el cual se podía proyectar cemento en capas finas una sobre la otra, evitando de esta manera que el hormigón se deslizara en las superficies inclinadas5- con la malla de Bauersfeld como refuerzo principal. La estructura resultante significó un trascendental adelanto en el campo de la edificación. Tenía una luz libre de 25 metros que se lograba a partir de una lámina de 60,3 milímetros [42], cosa impensable hasta entonces. También en Jena y para otro planetario, esta vez público se construyó poco tiempo después otra cúpula, esta vez de 40 metros de diámetro y todavía manteniendo el mismo espesor de 60,3 milímetros.

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Foto original propiedad de la firma Carl Zeiss.

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James Clayton Lecture: Projection Planetarium and Shell Construction en la Institution of Mechanical Engineering, Londres, Mayo 10, 1957 por el Profesor Walter Bauersfeld. Citado en Geodesic Domes and Charts of the Heavens, Shelter, © 1973, Shelter Publications, Inc., Bolinas, Calif.

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Pero la geometría implícita en la distribución del refuerzo, aparentemente no fue considerada importante por Dyckerhoff y Widman. Lógicamente, si el refuerzo debía quedar embebido en la masa de hormigón, los métodos tradicionales de colocación del acero resultaban mucho más económicos. Aún estaban por llegar los plásticos que con su ligereza y transparencia pondrían de manifiesto las virtudes de la malla triangulada según círculos máximos. En las solicitudes de patente presentadas entre 1922 y 1932 por Dischinger a nombre de la casa Zeiss en Alemania 6, Francia, Bélgica, Italia y Estados Unidos [20] no se hace mención alguna de ella, limitándose a afirmar, lo que parece además obvio, que las barras de refuerzo “are placed in the direction of the principal tensional stresses” [20]. De esta manera, los constructores profesionales dejaron caer en el olvido la genial intuición de Bauersfeld. Fue necesaria la intervención, 32 años después, de otro aficionado, el mesiánico Richard Buckminster Fuller, alumno ocasional de Harvard (1913-15) y suboficial graduado de la Academia Naval de Annapolis (1917-19) devenido profesor invitado de las más prestigiosas escuelas de Artes Visuales, para redescubrir este tipo constructivo.

Fuller. En la misma década que en Jena se construía la primera estructura basada en la subdivisión geodésica de la esfera, Richard Buckminster Fuller demostraba su vocación innovadora proponiendo la sustitución de los materiales tradicionales utilizados en la construcción de paredes por bloques ligeros que se fabricarían a partir de virutas aglomeradas de madera (1926)7. Tras el ensayo de este sistema en poco más de 200 edificaciones la empresa montada por Fuller y su suegro para promover este tipo de construcción quebró definitivamente. Más de 30 años faltaban para que dirigiera su atención a las estructuras poliédricas. Tras este ensayo inicial, sus soluciones estructurales se inspiraron en las técnicas constructivas de la industria aeronáutica empleadas en el diseño de un automóvil (1933)8, baños prefabricados (1938)9 y viviendas portátiles (1941)10 . Ninguno de estos proyectos tuvo

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Deutsches Reich Patentschrift Nr. 415395.

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Las fechas citadas son las de la solicitud de la patente original [36]. En una patente posterior sobre el sistema de producción Fuller propone como aglutinante ya fuera una combinación de óxido y cloruro de magnesio o alternativamente, una mezcla de cal apagada a la que se agregaría una cierta cantidad de azúcar [26]

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El “Dymaxion Car” un automóvil de concepción avanzada aún para nuestros días, verdadero monovolúmen de diseño aerodinámico con capacidad para 10 personas cuyo inventor afirmaba que, comparado con los otros coches de su época, reducía el consumo de combustible hasta en un 50% mientras duplicaba el espacio interior disponible [28].

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Donde todos los aparatos y sus instalaciones se integraban en una sola pieza [29].

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Diseñados a partir de la estructura reconvertida de un silo para cereales [30] [31], el llamado Dymaxion Deployment Unit, que mereció una exposición en el Museum of Modern Art de New York (diciembre de 1940) se dice que fue empleado como alojamiento temporal para tropas en algún momento de la Segunda Guerra Mundial.

El Modelo Fuller. 7 éxito comercial, pero forjaron la imagen de genio innovador que desde entonces acompañó a R. B. Fuller y que le valió figurar como invitado en numerosos eventos relacionados con la vanguardia en el mundo del Diseño y Artes Visuales. El Mapa Dymaxion. Es curioso que en Fuller se produce un proceso de razonamiento previo análogo al de Bauersfeld para llegar finalmente a la solución constructiva del domo geodésico. Desde fines de la década de 1930 Fuller se interesa por representaciones alternativas del globo terráqueo. Su intención es más filosófica y plástica que estrictamente cartográfica. Según R. W. Gray11, “ basándonos en los escritos de Fuller, está claro que la función primaria del mapa era permitir la visión de las principales masas de tierra sin que ninguno de los bordes del mapa las atravesara dividiéndolas. Además Fuller buscaba una manera de hacerlo sin distorsionar de manera notable los tamaños y formas relativos de los continentes. Lo que Fuller perseguía era la apariencia visual. Esto quiere decir que Fuller deseaba presentar Inglaterra y Groenlandia, por ejemplo, de tal manera que a la vista pareciera existir entre ambas la misma relación de tamaño en el mapa plano que en un globo terráqueo... La representación de la forma de cada una de ellas en el mapa plano debía presentar además un aspecto que las hiciera fácilmente identificable con su representación de en el globo terráqueo.” El primer mapa en que materializaba esta idea lo incluyó en su libro Nine Chains to the Moon (1938)12. Su primer mapa representando el globo terráqueo sobre un cuboctaedro apareció en la revista Life en marzo de 1943 y más tarde una versión revisada del mismo en American Neptune en 1944. Con este diseño obtuvo la U.S. Patent 2,393,676 en 1946 [32]. Esta representación del globo sobre un poliedro enfrenta el mismo problema que debió resolver Bauersfeld para el planetario de Zeiss. En ambos se trata de trasladar una superficie esférica (al menos en apariencia) sobre un mosaico de superficies planas. Y estas superficies planas serían las caras de un poliedro. En este caso el inventor se decanta por el cuboctaedro13.

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Robert Gray publicó en 1994 un algoritmo para la proyección cartográfica de Fuller sobre un icosaedro. Versión española del autor.

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Cronología del Dymaxion Map suministrada por Christopher J. Fearnley (http://www.CJFearnley.com) [25]

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La versión del Dymaxion Map, actualmente comercializado por el Buckminster Fuller Institute ha transformado la idea original haciendo la proyección sobre un icosaedro.

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Figura 5. Mapa “Dymaxion” en su versión original 14.

Figura 6. Versión del Mapa “Dymaxion” que utiliza el Icosaedro15.

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Imagen de la U.S. Patent 2,393,676.

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© Buckminster Fuller Institute.

El Modelo Fuller. 9 Los motivos para la elección del cuboctaedro no quedan claros en la documentación examinada. Aparte del significado asociado al este poliedro en la visión “cosmológica” de Fuller16, parece evidenciarse, a nuestro juicio, un aspecto puramente formal17. En efecto. la representación sobre el cuboctaedro hace posible desplegar el poliedro sin interrumpir las masas de tierra pero manteniendo también íntegras las caras triangulares y cuadradas (ver Figura 5), objetivo imposible de lograr en la versión posterior, desarrollada en torno a 1954, en que se sustituye el octaedro por un icosaedro (ver Figura 6). En este caso el propósito de representar las masas de tierra de manera ininterrumpida sólo cumple al precio de dividir varios triángulos de manera un tanto irregular. A diferencia del procedimiento usual en cartografía, en el mapa “Dymaxion” los puntos de la esfera no son proyectados sobre los triángulos y cuadrados que constituyen las caras del cuboctaedro. En lugar de eso, se establece una correspondencia entre la ubicación de un determinado punto de la esfera y la situación que le corresponde sobre el plano a partir de ubicar dicho punto en una retícula cuadrangular o triangular de arcos de círculo máximo. Igual que con las demás invenciones patentadas por Buckminster Fuller, no está documentado el tratamiento numérico de dicha transformación. La manera de proyectar la superficie esférica sobre las caras del poliedro se fundamenta en la creación de mallas compuestas por círculos máximos. Sobre las caras cuadradas, se subdividen los arcos correspondientes a las aristas del cuadrado esférico correspondiente y se traza una cuadrícula de círculos máximos pasando por cada una de las divisiones de la arista. En el caso de la faceta triangular, el proceso es similar, sólo que en este caso la malla de círculos máximos es triangular. Si examinamos la representación identificada como Fig. 4 (ver Figura 7) en el documento de la patente, encontraremos un parecido sorprendente con la estructura que Bauersfeld construyera treinta anos antes (ver Figura 1). La proyección de cada uno de estos círculos máximos sobre la correspondiente cara plana del cuboctaedro es una línea recta. El resultado que se pretende lograr es el de una deformación mínima en las líneas de unión entre las distintas secciones del mapa. El documento original de la U.S. Patent 2,393,676 [32] describe el siguiente procedimiento gráfico: Supongamos que partimos de un globo terráqueo normal. Primero construimos una pieza en forma de un hemisferio... El tamaño de este hemisferio será tal de que ajustará con precisión sobre la superficie del globo seleccionado, es decir, que el diámetro interior de la pieza... será aproximadamente igual al diámetro del globo. Esta pieza puede ser moldeada en plástico transparente... que debe ser tan delgado como sea posible para evitar errores de paralaje al determinar las coordenadas sobre el globo...

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Que lo consideraba la representación del equilibrio en la naturaleza (lo que hace que años después lo identifique en sus escritos con el nombre de “VE” por Vector-Equilibrium).

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No hay que olvidar que durante esta época Fuller es tomado más en serio por el mundo artístico que por el científico.

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Construiremos sobre la pieza un triángulo esférico y un rectángulo esférico cuyos vértices coincidan con los vértices seleccionados del poliedro... El texto continúa describiendo la forma de subdividir cada arista del triángulo y el cuadrado esférico determinando inicialmente los puntos medios de cada arista y uniendo los vértices con los puntos medios de la cara opuesta para el triángulo y en el caso del cuadrado uniendo los vértices enfrentados en aristas opuestas. Esta subdivisión continúa con los puntos medios de las mitades de aristas y así sucesivamente hasta lograr la precisión deseada. Por ejemplo, para una resolución de 5º se subdividiría cada arista en 12 partes iguales. A estas retículas esféricas correspondería una retícula de características similares sobre las caras triangulares y cuadradas del cuboctaedro. El proceso de generar la representación plana se reduce entonces a un proceso en que “las coordenadas de una ciudad en particular, de un punto sobre la línea de costa u otro elemento cartográfico son determinadas sobre la retícula [esférica] y son ploteados sobre la retícula de la cara [correspondiente][32]”.

Figura 7. Retícula propuesta por Fuller para la proyección sobre el cuboctaedro.

La patente para la representación “Dymaxion” fue otorgada en 1946. Como sus otros inventos anteriores, tuvo en su momento una escasa repercusión. El procedimiento para transportar las coordenadas desde la esfera al plano, era difícil de implementar de forma

El Modelo Fuller. 11 satisfactoria como procedimiento numérico18. El emplear un procedimiento gráfico tan impreciso como el descrito más arriba hizo que Fuller no se diera cuenta de que en la red tridireccional no todas las intersecciones eran coincidentes19. Las pretensiones de haber logrado una proyección con la mínimas deformaciones posibles se contradice con el uso de superficies de forma y superficie tan diferentes como el triángulo equilátero y el cuadrado. Si bien las dimensiones a lo largo de las aristas no sufren deformaciones, a medida que los puntos del mapa se alejan de ellas se produce una “contracción” que en el caso del cuadrado es muy superior al caso del triángulo. El reconocer esto sin duda influyó en la sustitución del cuboctaedro por el icosaedro como poliedro base en la versión del mapa dibujada por Shoji Sadao en 1954 [16].

Figura 8. Retícula Icosahedral Snyder Equal Area (ISEA). La idea subyacente en el Dymaxion Map has ido retomada recientemente por John P. Snyder al publicar en 1992 su propuesta de retícula EMAP: “una proyección de mapa equisuperficial para globos poliédricos” [17]. Esta idea se ha continuado desarrollando en la forma de una estructura de datos espacial llamada Geodesic Discrete Global Grid System (Geodesic DGGS) [21]. Una reseña muy completa sobre el desarrollo de los Geodesic DGGS se encuentra en la referencia [50] que puede ser consultada en el sitio Web de la Universidad

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Una solución matemática correcta para la proyección sobre el icosaedro fue publicada en 1980 por Grip y Kitrick que emplearon métodos de cartografía computacional [16].

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Esta deficiencia vino a descubrirse más adelante con los primeros intentos de implementar cálculos numéricos para las estructuras geodésicas.

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Estatal de Oregon, . Una de estas estructuras, la Icosahedral Snyder Equal Area grid (ISEA) subdivide cada cara de un icosaedro en hexágonos y utiliza la proyección equisuperficial de Snyder para transformar la retícula hexagonal a la esfera. El poliedro resultante consiste en 12 pentágonos con agrupaciones de hexágonos cubriendo el resto de la esfera [17]. Pero nuestro interés no se centra en las posibilidades que desde el punto de vista cartográfico hubiera encerrado el Dymaxion Map. Lo importante para nuestro trabajo es que en él se encontraba la semilla de aquello que llevaría a Buckminster Fuller definitivamente a la fama, el domo “Geodésico”. Más adelante comprobaremos que también la partición geodésica hexagonal tiene su contrapartida en las estructuras de mallas espaciales que aproximan la esfera. De hecho, es el tema central de esta tesis de doctorado.

La U.S. Patent 2,682,235. Los primeros modelos geodésicos realizadas por Fuller datan de los veranos de 1948 y 1949 (Figura 10) cuando fue profesor invitado en el Black Mountain College, una escuela de Diseño y Artes Visuales20. Fuller nunca hace mención en sus escritos del trabajo anterior de Bauersfeld 21. La patente sobre este tipo constructivo, que Fuller denominó “Domo Geodésico” fue solicitada a fines de 1951 y concedida finalmente a mediados de 1954. El objeto de la patente es descrito como “a framework for enclosing space”. Su propósito declarado es la de cubrir la mayor cantidad de superficie de terreno con el menor peso. Fuller afirma haberlo logrado con menos de 4 Kg/m2 22 mediante la construcción de una armazón de forma generalmente esférica cuyos elementos estructurales principales se interconectaban en un diseño geodésico de arcos de círculos máximos formando una retícula triangular y cubriéndola con lámina de plástico. En este caso, el poliedro elegido como base no fue el cuboctaedro, sino que, de la misma manera que lo hizo Bauersfeld, Fuller tomó el icosaedro como punto de partida. La técnica utilizada para subdividir el triángulo esférico utilizado como plantilla para determinar las coordenadas de los puntos para el Mapa Dymaxion y la empleada para los triángulos esféricos del Domo Geodésico es exactamente la misma. Sólo que ahora Fuller incorpora el término “frecuencia” para denotar el número de subdivisiones de cada arista del triángulo esférico. Si observamos con detenimiento la fotografía de la malla de Bauersfeld (ver Figura 1) y la comparamos con los dibujos de la patente 2,682,235 (ver Figura 9) veremos que la manera

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Fundada por Josef Albers, antiguo profesor del Bauhaus alemán que emigró a Estados Unidos al tomar los nazis el poder.

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Hubo otro precedente en la Unión Soviética, donde el matemático A. M. Ginzburg obtuvo una patente por los que llamaba Domos Crystal (1948-49) [16]. Las circunstancias del período en torno a la II Guerra Mundial contribuyeron a la poca difusión en su momento de ambos desarrollos.

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“I have discovered how to do the job at around 0.78 lb. per sq. ft. by constructing a frame of generally spherical form in which the main structural elements are interconnected in a geodesic pattern of approximate great circle arcs intersecting to form a three-way grid, and covering or lining this frame with a skin of plastic material.” Fuller, R. B. U.S. Patent 2,682,235.

El Modelo Fuller. 13 de subdividir el triángulo esférico no es igual. En el trabajo de Bauersfeld las subdivisiones siguen la misma dirección que las aristas del triángulo esférico, mientras que en la solución de Fuller las dirección está determinada por el arco de círculo máximo que une cada vértice del triángulo con el punto medio de la arista opuesta. El procedimiento utilizado por Fuller sólo admite frecuencias pares.

Figura 9. Subdivisión Geodésica de la Esfera. De la misma manera que en el caso del Mapa Dymaxion, la patente del Domo geodésico no incluye ningún procedimiento numérico para el cálculo de las dimensiones de las barras. El procedimiento recomendado es sin embargo el que seguramente explicaba Fuller a los estudiantes de Diseño y Artes Visuales del Black Mountain College [33]: Una manera de determinar la longitud de las barras consiste en construir un hemisferio de cartulina a una escala de digamos, 1 pulgada a 1 pie y marcar los vértices de una de las caras de un icosaedro esférico sobre su superficie. Estos vértices se conectan entonces dibujando arcos de círculo máximo (líneas rectas esféricas) entre ellos. Las aristas del triángulo definido por estas líneas se dividen entonces en partes iguales según la frecuencia seleccionada para la malla. Los puntos de división se conectan entonces dibujando arcos de círculo máximo de la manera que se muestra claramente en las Figs. 1 y 2 (observe que los puntos a lo largo de una arista se

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conectan con cada segundo punto sobre la otra arista. Ahora hemos completado el diseño una malla triangular. Finalmente se mide la longitud de las barras directamente con la ayuda de compases de punta seca de los utilizados normalmente por los delineantes, teniendo en cuenta el margen necesario para el elemento de unión de las barras23.

Figura 10. Fuller en el Black Mountain College con los primeros modelos geodésicos. El desarrollo de nuevos materiales hizo posible que aquello que en el planetario de Bauersfeld quedaba oculto ahora se mostrara a todos. Su primera presentación al gran público le valió el Gran Premio de la Trienal de Milán de 1954 (ver Figura 11), bajo la forma de un domo de cartón de casi 13 metros de luz concebido como alojamiento de emergencia que podía ser embalado en forma extremadamente compacta para su transporte.

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“...lay out the vertexes of one of the faces of a spherical icosahedron on [the sphere’s] surface. These vertices are next connected by drawing great circle lines (spherical straight lines) there between. The edges of the triangle defined by these lines are next divided equally into the number of units represented by the selected grid frequency. The division points are then connected by drawing great circle lines in the manner clearly shown in Figs. 1 and 2. (Note that the points along one edge are connected to every second point on another edge.) We now have a completed three-way grid pattern.” [11]

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Figura 11. Interior del Domo de cartón premiado en la Trienal de Milan (1954). El gobierno de Estados Unidos iniciaba justo entonces la construcción del sistema de vigilancia conocido como Línea DEW (por Defense Early Warning). Esta línea se componía de una serie de bases con equipos para la detección de tráfico aéreo dispuestas a lo largo del paralelo 70 con el objeto de detectar cualquier intento de ataque desde Siberia. Se construyeron unas 63 bases de radar, 42 de ellas en Canadá.

Figura 12. Domo para Radar en una base de la Línea DEW. La primera de ellas se levantó en 1952 en Barter Island. Pero las grandes antenas rotatorias exigidas por estos equipos eran extremadamente vulnerables ante el riguroso clima ártico. De inmediato llamó la atención del Departamento de Defensa la propuesta de Fuller que

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recibió el encargo de diseñar un domo abarcando aproximadamente 2/3 de una esfera para alojar las antenas (ver Figura 12). Particiones de la esfera. Como hacíamos notar más arriba, las geometrías empleadas por Bauersfeld en Jena y Fuller en la U.S. Patent 2,682,235 [33] no son iguales. Fuller y otros autores, inicialmente alumnos o asociados de éste desarrollaron una serie de variantes de ambas. El análisis de Fuller parte de su análisis del triángulo de Schwarz (Figura 13) para el icosaedro, es decir, el triángulo esférico rectángulo que constituye la sexta parte de la cara del poliedro (o lo que es igual, 1/120 de la esfera). Este es uno del los 44 triángulos estudiados por H. Schwarz en su tratado de 1873 [51]. Al ser posible cubrir la esfera mediante operaciones de rotación y reflexión de este elemento, bastaría desarrollar su esquema de partición para que dicha solución pueda propagarse a toda la superficie. Fuller trabaja a partir de nuevas subdivisiones de este triángulo elemental que él llama LCD24 a partir de trazar cada uno de los círculos máximos generados a partir de la rotación de los vértices del poliedro con lo que surgen cuatro nuevos triángulos rectángulos. A esta labor de subdivisión del triángulo elemental en distintos poliedros dedicó buena parte de sus esfuerzos durante su etapa del Black Mountain College en 1948 (Figura 10 y Figura 14), llegando a elementos cada vez más pequeños que le sirvieron para construir la malla tridireccional que hoy identificamos con la subdivisión geodésica de la esfera.

Figura 13. Triángulo de Schwarz.

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Figura 14. Modelos de 1948.

Acrónimo de Least Common Denominator, en español Mínimo Común Denominador.

El Modelo Fuller. 17 La malla calculada por Fuller en 1948 presentaba irregularidades que se hicieron evidentes al intentar pasar de los modelos a estructuras reales. Duncan Stuart25 propuso en 1950 lo que vino a llamarse la malla triangulada “Regular”, lograda levantando perpendiculares a las aristas de la cara triangular en los puntos que las dividen en partes iguales. Este es el tipo de partición descrito en la patente de 1954 [33]. En 1951 el mismo Stuart desarrolló una partición aún más eficiente, la llamada “Triacon” (Figura 15, izquierda) que lograba evitar la no coincidencia de las intersecciones en la malla “Regular”. Esta partición tomaba como poliedro base el triacontahedro rómbico en lugar del icosaedro. En esta misma etapa, uno de los alumnos de Fuller, Don Richter desarrolló la malla “Alternate” (Figura 15, centro) que reproducía la disposición original de Bauersfeld, subdividiendo el triángulo esférico mediante paralelas a sus lados en lugar de perpendiculares, y Bill Wainwright trabajó en una variante orientada a resolver el truncamiento de la esfera en su base de apoyo a partir de nodos situados según círculos menores que se conoció como “Alternate Truncatable” (Figura 15, derecha).

Figura 15. Particiones Triacon, Alternate y Alternate Truncatable. Hasta fines de la década de 1950 todos los cálculos se realizaban manualmente. Pero a fines de esa década comienzan a aparecer programas para computador. Entre los primeros se puede mencionar el escrito por Bernard Taylor para el cálculo de la geometría de la cúpula de la American Society of Metals. Otros que participaron en estas iniciativas pioneras fueron el ya mencionado D. Stuart, T. C. Howard, Chizko-Kojima, J. Steinborn y R, Lewontin. El primer intento de sistematizar los conocimientos relacionados con las particiones geodésicas se realizó en la Southern Illinois University (Campus de Carbondale) en un grupo que contaba como investigador principal a J. D. Clinton y en el que participaba como asesor el propio Fuller 26. El estudio, que se desarrolló entre 1964 y 1971 [16] fue patrocinado por la NASA que veía en ese tipo de estructuras posibles soluciones a los problemas que planteaba la construcción en futuras misiones espaciales. Los resultados que se obtuvieron a partir de estos estudios fueron

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Los datos históricos han sido tomadas de las referencias [9] y [16].

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Otros participantes fueron J. H. Lauchner, como jefe del proyecto y los programadores W. Booth, A. C. Garrison, M. Keeling, A. Kilty, M. B. Mabee y R. M. Moeller [8].

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rápidamente difundidos, especialmente con la inclusión de sus resultados parciales obtenidos en los famosos Dome Book 1 y Dome Book 2, [9] editados por Lloyd Kahn27. Esta investigación abarcó 13 procedimientos geométricos para la obtención de redes tridireccionales sobre la superficie de la esfera. De ellos se incluyeron siete en la publicación que en 1971 presentaba las conclusiones definitivas de la investigación [8]. El artículo del propio J. D. Clinton sobre “matemáticas geodésicas” publicado en DomeBook 2 [9] incluye 8 métodos. Estos métodos se aplican a dos topologías diferentes (cuatro métodos en cada una) para las que Clinton propone los nombres de Clase I y Clase II. Las topologías Clase II incluyen el tipo de particiones empleada por R. B. Fuller que hasta entonces se conocían como “Regular”, “Triacon” y “Triacon modificada”. Las de Clase I abarcan aquéllas que reproducen la geometría de Bauersfeld y que eran conocidas por los nombres de “Alternate” y “Alternate truncatable”. Estos “métodos” se proponen como aplicables a cualquier poliedro de caras triangulares, con lo que se generaliza el procedimiento para incluir otros sólidos distintos del icosaedro. Todos los métodos de Clinton parten de subdividir, según el orden de frecuencia deseado, las aristas de una cara del poliedro base (usualmente el icosaedro) o de parte de ella logrando, a partir de la unión de los puntos de subdivisión, una trama tri-direccional cuyos vértices son entonces proyectados sobre la esfera circunscrita. Las diferencias entre los diferentes métodos radican en: •

La topología, que puede ser Clase I (direcciones paralelas a los lados) o Clase II (direcciones perpendiculares a los lados).

•

Si se hace esta subdivisión sobre la cara completa o sobre su triángulo de Schwarz (una sexta parte de la misma, 1/120 de la esfera en el caso del icosaedro).

•

si se subdivide la arista en longitudes iguales o en longitudes desiguales a partir de ángulos centrales iguales del poliedro (logrando en este segundo caso arcos de círculo máximo de igual longitud).

Procedimiento general: La configuración estructural deseada se obtiene a partir de un reticulado tridimensional de las caras de la forma poliédrica elegida. El estudio se desarrolla sobre los tres poliedros regulares de caras triangulares: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Una vez determinados los parámetros de la retícula, la misma se traslada a la superficie de la esfera circunscrita. Se emplea un sistema rectangular tridimensional de coordenadas para realizar los cálculos. Debidos a las condiciones de simetría de los poliedros, sólo se emplea una cara para el cálculo de las propiedades geométricas de la estructura. El origen del sistema de coordenadas (0,0,0)

27

Que sirvieron como manual para la construcción de decenas de comunidades “hippie” con casas domo a fines de la década de 1960 y durante la de los 70.

El Modelo Fuller. 19 se sitúa siempre en el centro de la esfera circunscrita al poliedro. La cara elegida para realizar los cálculos se identifica como PPT28 o “Triángulo Poliédrico Principal”. Definiciones. En la descripción de los procedimientos se emplean las siguientes convenciones: Ángulo Axial ( Ω ): El ángulo formado por una barra de la estructura y un radio de la esfera circunscrita al poliedro. El vértice del ángulo axial es un vértice del poliedro. (Figura 16) Ángulo Central ( δ ): El ángulo formado por dos radios que pasan por los extremos de una barra. (Figura 17) Factor de Cuerda (cf): Longitudes de las barras calculadas para un radio de esfera circunscrita igual a la unidad. La longitud l del correspondiente elemento para cualquier radio será l = cr · r donde r es el radio deseado y l la longitud del elemento. Ángulo Diedro ( β ): El ángulo formado por dos caras de la estructura poliédrica que se unen en una arista. (Figura 18) Ángulo de Cara ( α ): El ángulo formado por dos aristas de la misma cara de la estructura poliédrica que concurren en un vértice. (Figura 19) Caras = Los triángulos de la partición proyectada sobre la esfera. (Figura 20, izquierda) Frecuencia (ν ): El número de partes o segmentos en que se subdivide un lado principal. Triángulo Poliédrico Principal (PPT): Cualquiera de los triángulos equiláteros que forman las caras de un poliedro regular. (Figura 20, centro) Lado Principal: (PS): Cualquiera de los tres lados del Triángulo Poliédrico Principal (PPT). (Figura 20, derecha)

28

Acrónimo de Principal Polyhedral Triangle.

20

Reinaldo Togores Fernández.

Definiciones según Clinton [8], [9]29.

Figura 16. Ángulo Axial ( Ω )

Figura 18. Ángulo Diedro ( β )

Figura 17. Ángulo Central ( δ )

Figura 19. Ángulo de Cara ( α )

Figura 20. Cara, Triángulo Poliédrico principal (PPS) y Lado Principal (PS).

Métodos para la subdivisión del Triángulo Poliédrico Principal (PPT). El procedimiento empleado en las investigaciones de Clinton sigue la siguiente secuencia:

29

Figuras tomadas de DomeBook 2, pág. 106 Ref. [9].

El Modelo Fuller. 21 1. 1. Calcular las coordenadas de los vértices de la cara elegida del poliedro base. La referencia [8] incluye los valores de coordenadas para la esfera circunscrita de radio = 1 del tetraedro, el octaedro y el icosaedro. 2. Determinar la geometría de la partición según alguno de los métodos estudiados y calcular las coordenadas de los vértices resultantes. 3. Calcular las longitudes de cuerda, ángulos, etc. mediante fórmulas analíticas.

Figura 21. Pabellón de Estados Unidos en la Expo ’67 en Montreal (Fuller-Sadao). El disponer de métodos diferentes para diseñar la geometría permite diseñar estructuras complejas en que pueden combinarse dos o más procedimientos. Por ejemplo, el domo de 76 m. de diámetro y 61 m. de altura para la Expo de Montreal (Figura 21) diseñado por B. Fuller y S. Sadao es una malla geodésica de dos capas. La capa interior es una partición del tipo Triacon regular (Clase II, método 3 [9]) de frecuencia 32 a la que se eliminan barras para obtener una configuración hexagonal, y la exterior es una partición triangulada del tipo

22

Reinaldo Togores Fernández.

Alternate Truncatable (Clase I, método 3 [9]) de frecuencia 1630. Los nodos de ambas mallas están interconectados para asegurar su funcionamiento conjunto (Figura 22).

Figura 22. Detalle de la estructura del Pabellón de Montreal. Particiones de la Clase I 31. Se fundamenta en las formas poliédricas regulares de caras triangulares, especialmente el icosaedro. La frecuencia de subdivisión puede ser par o impar. Parámetros de la partición de Clase I Número de vértices (V): Número de caras (F):

V = 10 ν 2 + 2 F = 20 ν 2

30

Clinton continuó desarrollando la teoría sobre la combinación de diferentes particiones en una misma estructura, publicando en 1990 un trabajo sobre el tema en el International Journal of Space Structures [11].

31

Ver referencia [9].

El Modelo Fuller. 23 Número de aristas (E):

E = 30 ν 2

Particiones de la Clase II. Su geometría se relaciona con los poliedros cuasi-regulares, usualmente el triacontaedro rómbico. Sólo es posible utilizar frecuencias pares. Se caracteriza por la siguiente composición de vértices, caras y aristas: Parámetros de la partición de Clase II Número de vértices (V):

V=η+2

Número de caras (F):

F = 2(η)

Número de aristas (E):

E = 3(η)

15ν 2 , donde ν = frecuencia siendo η = 2 Descripción de los Métodos: Teniendo en cuenta la mayor difusión del artículo publicado en DomeBook 2 [9], en lo que sigue adoptamos la numeración de Clases y Métodos allí publicados. Los métodos enumerados según la referencia [8] que debe ser tomada como la definitiva, se indican para cada uno de ellos. En la referencia [9] se reseñan 8 métodos mientras que la referencia [8] incluye sólo 7. De hecho, en el informe definitivo se suprimen dos de los métodos anteriormente publicados (los que en [9] se identifican como Clase I, método 3 y Clase I, método 4) y se incluye como nuevo método una variante del Clase I, método 2. Los métodos estudiados por el equipo de Clinton entre 1964 y 1971 fueron en total 13. Debido a las características de simetría de la forma poliédrica básica, se utiliza sólo una cara, o parte de dicha cara (triángulo de Schwarz) para calcular las propiedades geométricas de la configuración estructural. El resto de las caras se obtiene mediante transformaciones de rotación y/o reflexión de la porción calculada. Clase I; Método 1: Este es el método publicado en DomeBook 1 con el nombre de Alternate. Identificado como Método 1 en la referencia [8]. El triángulo principal PPT se subdivide según la frecuencia ν deseada, con las partes determinadas como de igual longitud a lo largo de los tres lados (Figura 23).

24

Reinaldo Togores Fernández.

Cada punto de subdivisión se conecta entonces con segmentos de línea paralelos a los lados, de lo que resulta una retícula tridireccional con triángulos equiláteros (Figura 24). Cada vértice así determinado sobre el PPT se proyecta sobre la superficie de la esfera circunscrita. Los elementos que interconectan los vértices proyectados constituyen las cuerdas de una malla tridireccional de círculos máximos (Figura 25).

Figura 23. A1 = 12

Figura 24. AB P 12

Figura 25. Proyección sobre la esfera. Clase I; Método 2: Este método aparece reseñado como dos métodos diferentes, 2 y 3, en la referencia [8]. El PPT se subdivide según la frecuencia ν deseada. Las subdivisiones se eligen a partir de partes iguales del ángulo central del poliedro (Figura 26).

El Modelo Fuller. 25

Figura 26. A1 ≠ 12

Figura 27. AB P 12 , Aa ≠ ab

Figura 28. Proyección sobre la esfera. Los puntos de subdivisión a lo largo de casa lado principal del PPT se conectan con segmentos de línea paralelos a los lados. Cada línea se corta con las otras en una serie de puntos que no son coincidentes para las tres direcciones, con lo que se da origen a pequeñas “ventanas” triangulares en las intersecciones (Figura 27).

26

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 29. Reajuste de la retícula tridireccional por efecto de la no coincidencia en las intersecciones. Se proponen dos métodos diferentes para calcular el centro de estas “ventanas” que es lo que distingue el procedimiento 2 del 3 en [8]. La diferencia entre ambos procedimientos radica en que uno de ellos calcula el centro de la ventana (como intersección de dos bisectrices de ángulos internos del triángulo) sobre el plano del PPT (Figura 29) y proyecta este centro sobre la esfera y el otro proyecta los vértices de la “ventana” sobre la esfera para hallar el centro a partir de los vértices proyectados (Figura 28). Una vez proyectados los vértices sobre la esfera se unen para obtener la malla tridireccional. Clase I, Método 3: Este método aparece en las referencias [7] y [9] pero no así en la [8]. Lo incluimos debido a la mayor difusión obtenida por aquéllas aunque no se incluye en lo que fue el informe final de la investigación.

El Modelo Fuller. 27

Figura 30. Subdivisión inicial de la arista del triángulo esférico. φ =

δ 2

Figura 31. Nueva cara poliédrica generada en la primera subdivisión y círculos máximos para la tercera subdivisión.

Este método es el llamado con más propiedad "Alternate Geodesic". Se suele llegar a la solución por etapas, comenzando por una frecuencia baja e incrementando la subdivisión hasta alcanzar la frecuencia deseada siguiendo una progresión geométrica. El triángulo poliédrico esférico se comienza a subdividir, por ejemplo, a una frecuencia 2, con arcos que corresponden a divisiones iguales del ángulo central δ del poliedro. Por los puntos que corresponden a esas subdivisiones se pasan nuevos arcos de círculo máximo definiendo nuevos triángulos esféricos que rellenan el original. Cada uno de los arcos que delimitan estos triángulos se subdivide a su vez usando el mismo procedimiento, con lo que se van hallando los vértices de la trama esférica en tres direcciones. La longitud de los arcos generados a partir de cada subdivisión es igual.

28

Reinaldo Togores Fernández.

Conociendo los ángulos centrales, los factores de cuerda32 se pueden calcular a partir de la expresión:

 sin δ  fc = 2   donde fc = Factor de Cuerda y δ = Ángulo Central del poliedro.  2  Puede comprobarse que la frecuencia aumenta en progresión geométrica: 2, 4, 8, 16... Clase I; Método 4: Este método tampoco se incluye en la referencia [8], aunque sí en las referencias [7] y [9]. Es la que mencionamos más arriba como “Alternate Truncatable”. Constituye una variante aplicable a cualquiera de los métodos 1-3, que facilita el truncamiento en la zona ecuatorial de la forma esférica. Emplea tanto arcos de círculos menores como de círculos máximos para facilitar el truncamiento sin necesidad de recurrir a elementos de especial diseño. En este método se emplea un conjunto de planos paralelos perpendiculares a cualquier eje polar en la región ecuatorial. Debido a sus características de menor simetría suele utilizarse en estructuras de frecuencias menores. El número de barras diferentes que resulta es mayor que empleando los otros métodos. Clase II, Método 1: Identificado en como Método 4 en la referencia [8]. El triángulo principal PPT se subdivide según la frecuencia ν , en partes de igual longitud a lo largo de los tres lados (PS). En cada punto de subdivisión se levanta una perpendicular al correspondiente lado, de lo que resulta una retícula tridireccional de triángulos equiláteros con triángulos rectángulos en los bordes. Cada vértice de esta retícula se proyecta entonces a la superficie de la esfera circunscrita en la dirección de la línea que une el origen con el vértice. Los elementos que interconectan los vértices proyectados constituyen las cuerdas de una malla tridireccional de círculos máximos.

32

Factor de Cuerda (fc): la longitud de una determinada barra, calculada para una esfera circunscrita de radio 1. El factor de cuerda una vez calculado para una determinada geometría permite determinar las longitudes de barras necesarias en una esfera circunscrita de cualquier radio.

El Modelo Fuller. 29

Figura 32. A1 ≠ 12

Figura 33. AB P 12 , Aa ≠ ab

Figura 34. Proyección sobre la esfera.

Clase II; Método 2: Identificado como Método 5 en la referencia [8] El triángulo principal PPT se subdivide según la frecuencia ν con longitudes de las partes que responden a subdivisiones iguales del ángulo central δ del poliedro (Figura 35).

30

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 35. A1 ≠ 12

Figura 36. AB ⊥ 12 , Intersecciones no coincidentes.

Figura 37. Proyección sobre la esfera. Los puntos de subdivisión de cada lado (PS) del PPT se unen con cada segundo punto de subdivisión del lado adyacente. Obsérvese que en este caso estas líneas no son perpendiculares a sus respectivos lados PS. De aquí resulta un reticulado tridireccional, pero en

El Modelo Fuller. 31 este caso los vértices resultantes de las intersecciones dos a dos no son coincidentes. Surgen pequeñas “ventanas” triangulares en los vértices de la retícula (Figura 36). Se calculan los centros de estas “ventanas” y se utilizan los puntos así hallados como vértices de la retícula tridireccional en el PPT. Se proyectan estos vértices sobre la superficie de la esfera. Los elementos que unen a estos vértices proyectados son las cuerdas de una retícula tridireccional de círculos máximos (Figura 37). Clase II; Método 3: Este es el método desarrollado por D. Stuart bajo el nombre de partición geodésica “Triacon Regular”. Identificado como Método 6 en la referencia [8]. El triángulo principal PPT se considera formado por seis triángulos rectángulos. Cada triángulo es la imagen reflejada o rotada de otro (Figura 38). En este método de subdivisión se considerará sólo uno de estos seis triángulos rectángulos. El resto del PPT se obtendrá a partir de operaciones de reflexión y rotación de esta unidad básica.

Figura 38. ABC es un triángulo rectángulo.

Figura 39. A1 ≠ 12 .

La línea AB se subdivide en partes con longitudes que resultan de divisiones iguales del arco central del poliedro (Figura 39). Una vez determinadas las subdivisiones de AB las mismas se utilizan para hallar los puntos de división sobre AC y sobre CB . Se levantan perpendiculares a través de los puntos de subdivisión en AB hasta cortar AC , de lo que resultan los puntos de subdivisión sobre AC (Figura 40).

32

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 40. 24 ⊥ AB , A1 ≠ 23 . Figura 41. 54 ⊥ CB , 12 ≠ 34 .

Figura 42. Diagonales desde cada punto en AC .

Figura 43. Retícula tridireccional completa.

Figura 44. Izquierda: Propagación al PPT mediante reflexión y rotación. Derecha: Proyección sobre la esfera circunscrita. Los puntos de subdivisión sobre CB se hallan al trazar líneas a partir de los puntos de subdivisión en AC , perpendiculares a CB (Figura 41).

El Modelo Fuller. 33 Una vez hallados los puntos de subdivisión a lo largo de los tres lados del triángulo, se dibujan diagonales desde cada punto en AC a puntos alternos sobre AB y CB (Figura 42). Para completar la retícula tridireccional se conectan los puntos de subdivisión alternos del lado AB a puntos alternos del lado CB (Figura 43). Se propaga la retícula a todo el triángulo elegido como subdivisión fundamental mediante operaciones de reflexión y rotación (Figura 44, izquierda). Los vértices de la retícula tridireccional resultante se trasladan entonces a la superficie de la esfera circunscrita según la dirección que va del origen al vértice (Figura 44, derecha). Los elementos que unen los vértices proyectados son cuerdas de una retícula tridireccional de círculos máximos. Clase II; Método 4. Este es el método identificado como Método 7 en la referencia [8]. Este método es idéntico al anterior salvo en que la subdivisión comienza por el lado AC en lugar del lado AB . El resto del procedimiento es idéntico.

Paso 1.

Paso 3.

Paso 5.

Paso 2.

Paso 4.

Paso 6.

Figura 45. Proceso de subdivision de Clase II, método 4.

34

Reinaldo Togores Fernández.

Ventajas y desventajas relativas de las particiones de Clase I y Clase II. E. Popko en su libro Geodesias33 compara las particiones Clase I y Clase II de la siguiente manera: Particiones Clase I (Alternate Breakdown) Ventajas: a. Variación mínima en las longitudes de las barras, excepto en los vértices pentagonales. Menor variación en los ángulos de cara.

Inconvenientes: a. El número de elementos diferentes en relación con la frecuencia aumenta en proporción geométrica.

b. Con frecuencias pares se obtiene un ecuador continuo, de manera que pueden obtenerse hemisferios sin necesidad de miembros truncados en la base. c. Pueden utilizarse frecuencias tanto pares como impares, de manera que es posible una gradación más uniforme en la escala de las particiones. Particiones Clase II (Triacon Breakdown). Ventajas

Inconvenientes

a. Un número mínimo de componentes diferentes.

a. Una variedad mayor en longitudes de barras.

b. Una relación de simetría entre caras adyacentes que hace muy fácil su combinación para formar rombos.

b. No se obtiene ningún círculo máximo completo. Exige siempre el truncamiento de los elementos en su base de apoyo. c. Las frecuencias siempre deben ser pares, con lo que los saltos en la gradación de las subdivisiones es mayor

33

Citado en [9].

El Modelo Fuller. 35 En la práctica, las ventajas de las particiones Clase II son mayores a frecuencias más altas, lo que usualmente representa estructuras de mayor diámetro, usualmente de más de 30 metros.

La Geometría de un Virus. La teoría sobre la construcción de la estructura poliédrica de los virus fue propuesta en 1956 por Crick y Watson, que la fundamentaban en consideraciones teóricas pero sin muchas evidencias experimentales34. Esencialmente, consistía en señalar que la cubierta o cápside del virus es una estructura poliédrica formada por sub-unidades idénticas agrupadas con simetría icosaédrica (5:3:2) en número múltiplo de 60. Este valor se deriva de consideración de que las cápsulas más simples utilizarían 3 sub-unidades para conformar cada cara del icosaedro. Esta teoría fue confirmada en parte al disponerse de la microscopía electrónica para observar imágenes muy ampliadas de los virus (Figura 46). Casi todas las partículas virales observadas presentaban este tipo de simetría, pero el número de las unidades morfológicas no cumplía en general las previsiones de Crick y Watson.

Figura 46. Virus de geometría en icosaedro. Aaron Klug35, que junto a Donald Caspar fue uno de los primeros en observar estas estructuras, después de reflexionar sobre las imágenes de domos geodésicos que aparecían en

34

La información recogida en este apartado procede de las referencias [1], [6], [19], [24], [35], [44] y [54].

35

Premio Nobel de Química en 1982 "por su desarrollo de la microscopía electrónica cristalográfica y su elucidación estructural de los complejos ácido-proteínicos de importancia biológica".

36

Reinaldo Togores Fernández.

el libro de Robert Marks “The Dymaxion World of Buckminster Fuller” concibió la idea de la cuasi-equivalencia. Esta consistía en considerar que sub-unidades estructurales idénticas eran capaces de vincularse en posiciones cuasi-equivalentes para formar una cápsula esférica conservando un patrón similar de de vínculo entre ellas. Esto tendría lugar como sucede con las ‘sub-unidades’ triangulares de un domo geodésico. Estas sub-unidades se encuentran al menos en dos situaciones cuasi-equivalentes, las que podemos denominar pentámeros (grupos de cinco) y las que podemos denominar hexámeros (grupos de seis). El esquema de interconexión entre las sub-unidades de la cápsula viral se conserva, pero se admiten ligeras deformaciones de algunos vínculos en cuanto a sus ángulos y sus longitudes [24]. Klug, que había conocido a Fuller en Londres, en un encuentro preparado por John McHale [44] en julio de 1959, le comunicó su teoría en 1962 [22]. Éste le propuso una fórmula para calcular el número de unidades morfológicas (llamados capsómeros) correspondientes a los nodos de una estructura geodésica en la cápside del virus: 10f ²+2, con la frecuencia f como variable [56].

Figura 47. Estructura “geodésica” de la cápside. Los valores derivados de esta fórmula resultaron consistentes con algunos resultados experimentales. Todos estos números se daban en virus reales, 12 para ciertos bacteriófagos (ver Figura 46), 42 para los virus de la verruga, 92 para el reovirus, 162 para el virus del herpes, 252 para el adenovirus y 812 para un virus que afecta a la mosca Tipula [1]. Sin embargo, se encontraron también algunos valores que no se correspondían con la expresión de Fuller. Se trataba de aquellos casos en que la triangulación se encontraba en una posición “sesgada” respecto a los ejes de simetría definidos por el icosaedro. En tales casos las secuencias de capsómeros no son paralelas a las aristas del icosaedro, sino que las atraviesan formando un ángulo.

El Modelo Fuller. 37 Para resolver esta discrepancia Caspar y Klug propusieron el concepto de “unidades de estructura” que serían equivalentes a las sub-unidades propuestas por Crick y Watson que se unen para componer las “unidades morfológicas” que son los capsómeros observables en las imágenes obtenidas a partir de la microscopía electrónica. Estas unidades de estructura no estarían sujetas a restricciones tan estrictas en cuanto a sus condiciones de simetría y su cantidad podría calcularse a partir del “número de triangulación” T, con 60T unidades integrando el cápside viral. Los valores posibles de T pertenecen a la serie 1,3,4,7,9,12,13,. . . que se obtienen a partir de la ecuación T=Pf 2 donde f es cualquier entero positivo y P cualquier número de la serie 1,3,7,13,19,21,. . . (= h2+hk+k2, para enteros positivos h y k coprimos). Los virus esféricos con valores de P mayores o iguales a 7 presentan una triangulación sesgada, debiendo ser clasificados además como dextrógiros o levógiros [24].

Figura 48. T=Pf2.

38

Reinaldo Togores Fernández.

La forma poliédrica se derivaría entonces de la combinación de estos unidades de estructura. Por ejemplo, una partícula vírica con 180 unidades estructurales en su capsid puede estructurarse de tres maneras diferentes, considerando cada cara del icosaedro dividida según su número de triangulación (T=3): •

Agrupadas en el punto medio de las aristas formando 90 capsómeros compuestos de dímeros (Figura 49, izquierda).

•

Agrupados en el centro de las caras dando origen a 60 unidades morfológicas compuestas por trímeros (Figura 49, centro).

•

Agrupadas en los vértices, de lo que resultan 20 exámeros y 12 pentámeros, para un total de 32 capsómeros (Figura 49, derecha).

Figura 49. Agrupación de las unidades de estructura en la cápsula del virus.

La Topología en Virus y Domos Geodésicos. Si nos hemos detenido en el relato de las investigaciones sobre la estructura de las cápsulas de las partículas virales ha sido para demostrar la interacción de tecnología, ciencia y naturaleza, en este caso paradigmática. Una solución puramente tecnológica aplicada al objetivo de cubrir espacios con el mínimo de materia ha dado la pista para comprender la interacción entre las proteínas que conforman la cubierta protectora de las partículas virales. Y a su vez, el estudio de estas estructuras ha servido para revelar nuevas posibilidades morfológicas para la concepción de estructuras geodésicas. Como hemos visto más arriba, ya en 1971 y en el marco de los estudios que venía financiando la NASA sobre estructuras geodésicas [7][8], Clinton había acuñado el término de “Clase” para distinguir entre las diferentes aproximaciones a la teselación triangular de la esfera. Así llamó Clase I a la partición de tipo “Alternate Breakdown”, Clase II a la que seguía el modelo “Triacon”. Pero los estudios en el campo de la virología habían revelado una nueva variante aún no explotada.

El Modelo Fuller. 39 Los Poliedros Multisimétricos de Goldberg. Era necesario sistematizar toda esta información y esa precisamente fue la tarea que acometió el destacado geómetra H. S. M. Coxeter. En su trabajo Virus Macromolecules and Geodesic Domes publicado en 1972 [19]. Aquí se proponía que “la clasificación de Golberg de los ‘poliedros multisimétricos’ suministra una manera conveniente para clasificar las formas posibles de las macromoléculas de los virus y de los domos geodésicos”36.

Figura 50. Coordenadas a,b según Goldberg. M. Goldberg introdujo en 1937 el concepto de “poliedros multisimétricos” [34] para describir una clase de poliedros compuestos por doce pentágonos, ocho cuadrados o cuatro triángulos y con el resto de sus caras hexagonales. Sus estudios revelaron el hecho de que “poliedros triédricos que poseen el mismo número de caras hexagonales además de 12 (8 ó 4) pentágonos (cuadriláteros o triángulos) dispuestos de manera regular y simétrica, pueden ser topológicamente diferentes… Topológicamente, la disposición de los hexágonos en un parche triangular es la misma que en un sector de 30º de una malla regular de hexágonos tipo panel de abejas (Figura 50)… Usando a,b como las coordenadas inclinadas (60º entre ejes) del vértice de un parche, el cuadrado de la distancia desde el centro del parche al vértice es igual a a 2 + ab + b 2 … el número total de caras que limitan al ‘poliedro’ es de 10 ( a 2 + ab + b 2 ) + 2 ;” para

el

sistema

icosaédrico,

4 ( a 2 + ab + b 2 ) + 2

para

el

sistema

octaédrico

y

2 ( a 2 + ab + b 2 ) + 2 para el sistema tetraédrico (citas tomadas de la referencia [16]).

36

“Goldberg’s classification of ‘multisymmetric poluhedra’ yields a convenient classification of possible shapes for virus macromulecules and geodesic domes”

40

Reinaldo Togores Fernández.

Notación de Coxeter. Es evidente que el objeto geométrico descrito por Goldberg se corresponde de manera exacta con los hallazgos de los virólogos que hemos reseñado en el apartado anterior. La notación propuesta por Coxeter es la de p, q + b,c donde p representa el tipo de polígono utilizado como cara y q es el número de caras que concurren en un vértice. Los subíndices b y c son contadores cuya suma b + c = γ equivale a la frecuencia de la subdivisión en relación con los ejes de simetría del poliedro base. Coxeter concluye su estudio con una recomendación expresa a R. B. Fuller para que enriqueciera su repertorio de formas con geometrías de este nuevo tipo.

[

]

Redefinición de las Clases según Wenninger. Las categorías propuestas por Clinton [7], [8] y [9] fueron redefinidas por Wenninger [57] aplicando la formulación de Coxeter e incorporando una nueva “Clase” que incluiría las topologías “sesgadas” que habían puesto de manifiesto las investigaciones en torno a la estructura de los virus. La definición de Wenninger es la siguiente: •

Clase I: El subíndice c es un entero y c es siempre 0 ó c es un entero y b es siempre 0. La líneas de la segmentación triangular de la cara del poliedro son paralelas a las aristas (Figura 51, izquierda).

•

Clase II: El subíndice b es un entero cualquiera y c es siempre igual a b. Las líneas de la segmentación de la cara del poliedro son perpendiculares a las aristas (Figura 51, centro).

•

Clase III: Los subíndices b y c pueden ser cualesquiera enteros siempre que b ≠ c y tanto b como c ≠ 0 . Las líneas de la segmentación triangular de la cara del poliedro se encuentran sesgadas (formando ángulos oblicuos) con las aristas (Figura 51, derecha).

El Modelo Fuller. 41

Figura 51. Particiones Clase I (izquierda), Clase II (centro) y Clase III (derecha). Esta formulación ha demostrado su valor práctico en relación con el cálculo computerizado de estas estructuras. Son muchos los programas de diseño asistido por computador para el cálculo de longitudes de barras, ángulos diedros, ángulos de cara, ángulos centrales y coordenadas de los vértices desarrollados a través de los años, pudiendo señalarse en especial los propuestos por Clinton [8], Kenner [37], Kitrick [38], Pavlov [47] y Tarnai [55]. Pero la mayoría de los programas existentes están escritos para geometrías Clase I y Clase II. Clinton [11] ha señalado la posibilidad de derivar los valores de coordenadas correspondientes al mismo método de subdivisión para geometrías Clase II y Clase III de los valores obtenidos para una partición de Clase I. La Figura 52 muestra el efecto de variar los valores de b y c, indicando las frecuencias y clases que de ellos se derivan [10].

[

Figura 52. p, q +

]

b ,c

42

Reinaldo Togores Fernández.

Procedimiento Unificado para generar las Geometrías. C. J. Kitrick, ha continuado el trabajo de sistematización iniciado por Clinton proponiendo un enfoque unificado para el cálculo de las propiedades geométricas de las particiones de la esfera correspondientes a las tres clases. Kitrick publicó en 1990 [39] un trabajo que reseña 10 métodos desarrollados según este enfoque. Algunos de estos métodos nunca habían sido publicados. Kitrick parte de la formulación propuesta por Coxeter, p, q + } b ,c y del hecho que el número de vértices, aristas y caras para cualquier par (b,c) es una

{

función de T, donde T = b 2 + bc + c 2 . Para el icosaedro, el número de vértices, aristas y caras estaría dado por: Vértices: V = 10T + 2 Aristas:

E = 20T

Caras:

F = 30T

Los métodos de Kitrick parten de la subdivisión del triángulo de Schwarz, al que siguiendo a Fuller, denomina LCD. Todos los vértices de la malla geodésica son descritos en relación a su posición dentro del triángulo LCD. Aunque en la referencia [39] la descripción se hace en relación al icosaedro, los métodos se aplican por igual al tetraedro y al octaedro.

Figura 53. Subdivisión inicial del LCD para una frecuencia 12. El LCD se subdivide modularmente en una retícula rectangular. El número de subdivisiones a lo largo de un lado corresponde la valor de la frecuencia. A cada par (b,c) corresponde una frecuencia tal que todos los vértices de la partición caigan en una intersección de la retícula. Se considera el LCD como la sexta parte de una cara plano del icosaedro (triángulo de 30º, 60º, 90º) donde todas las celdas de la retícula tienen el mismo tamaño y la 3 misma proporción ( a 1). 3

El Modelo Fuller. 43

Figura 54. Partición Clase I. Para las particiones Clase I la frecuencia es igual a b 2 y cada triángulo es de dos celdas de anchura y tres de altura. Las particiones Clase II tienen una frecuencia igual a b y cada triángulo es de una celda de anchura y dos de altura.

Figura 55. Parición Clase II. Las particiones de Clase III están sesgadas respecto a la retícula. Esto entraña una mayor dificultad a la hora de determinar la frecuencia de manera que todas los vértices caigan sobre intersecciones de la retícula. La figura muestra la situación típica en una partición Clase III.

44

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 56. Esquema de la condición básica para la Clase III. Los datos de partida son b, c, r = 1 y el ángulo de 120º. Las siguientes ecuaciones describen el procedimiento utilizado para determinar la frecuencia correcta (f) para cualquier par (b,c) de una partición de Clase III, así como los desplazamientos individuales (m, n, mb, mc, nb, nc) para un triángulo aislado (ver Figura 57).

Figura 57. Detalle del triángulo básico de la partición Clase III. Lado de la cara.

d=

(b

2

+ c 2 4 + bc + 3 4 c 2 )

El Modelo Fuller. 45 Coseno de B

cos B = ( b 2 + c ) d

Coseno de C

cos C = ( c 2 + b ) d

Seno de B

sen B =

( 3b )

2d

Seno de C

sen C =

( 3c )

2d

Incremento dx

dx = cos C − cos B

Incremento dy

dy =

m’ para b > c

m ' = cos C ( b − c ) dx

n’ para b > c

n ' = ( sen B + sen C )( b − c ) dy

m

m = m ' máximo común múltiplo ( m',n')

n

n = n ' máximo común múltiplo ( m',n')

µ

µ = cos C m

δ

δ=

mb

mb = cos B µ

mc

mc = cos C µ

nb

nb = sen B δ

nc

nc = sen C δ

Frecuencia f

f = ( bmc + cmb ) 2

3 dx 3

3 µ 3

46

Reinaldo Togores Fernández.

{

Figura 58. Partición Clase III, 3,5+ } . 2,1

Todas las intersecciones de la retícula se definen mediante un par de coordenadas (i,j) donde i + j < f . Cada método propuesto por Kitrick permite establecer una equivalencia entre

los pares (i,j) y las coordenadas (x,y,z). Por ejemplo, una partición [ 3,5]2,1 y f = 7 tiene sólo dos

coordenadas (i,j) únicas: (7,0) y (2,3) (ver Figura 58). Los demás vértices se determinan a partir de operaciones de rotación y reflexión. Métodos. Los métodos propuestos por Kitrick para transformar las coordenadas (i,j) en coordenadas (x,y,z) opera sobre el triángulo LCD esférico. Para nombrar estos métodos se utiliza la siguiente notación: Método aa(b) Donde la primera letra indica cuál lado del LCD es el que se divide de manera uniforma según f. La segunda letra indica el primer lado empleado para proyectar los arcos perpendiculares. La tercera letra (que sólo aparece en algunos) indica el último lado empleado para proyectar los arcos perpendiculares.

El Modelo Fuller. 47 La siguiente tabla muestra los métodos propuestos por Kitrick y su equivalencia con los publicados por otros autores. La numeración para los publicados por Clinton son los que aparecen en la referencia [8]. Métodos publicados por Kitrick [39] y sus equivalentes. Método aa

Autor

Descripción

Clase

Scheel Clinton

Método 6 [8]

Clase II Clase II

Stuart Tarnai Pavlov Clinton

[55] Método D Método 6 [8]

Clase II Clase I Clases I y II Clase II

Kitrick

[38]

Clinton

Métodos 1 y 4 [8]

ab aab

bb

bba ca cb

Clase II

cab radial

Clases I y II

El procedimiento para hallar (x,y,z) a partir de (i,j) consiste en primero determinar las coordenadas esféricas intermedias ( x o , y o ) y entonces convertirlas a ( x, y , z ) . La Figura 59 eje

muestran algunos de los esquemas de subdivisión según los métodos descritos más arriba..

48

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 59. Algunos de los métodos de subdivisión según Kitrick. Corte por Triedros Paralelos. Los métodos que usualmente se engloban dentro de lo que hemos llamado el modelo Fuller tienen como premisa el que todas las barras son cuerdas de arcos de círculo máximo de la esfera. Pero antes de Fuller, muchos autores habían abordado la triangulación estructural de la esfera a partir de lo que se han llamado [8] sistemas bipolares (en contraposición a los sistemas multipolares entre los que se incluirían las geometrías geodésicas. Los sistemas bipolares se comenzaron a desarrollar en el siglo XIX en Alemania, Francia y Suiza, pudiendo destacarse el trabajo precursor de Schwedler. Una gran difusión alcanzó la tipología que recibe el nombre de Lamella (o sistema laminar paralelo), inventada en 1906 por Zollinger, y desarrollada a partir de 1925 por Kiewitt [42]. Las ventajas de los sistemas multipolares estriba en evitar el gran número de barras que suelen concurrir la cúspide de las estructuras bipolares manteniendo un número constante de barras concurrentes en los nodos (pentavalentes y hexavalentes) y en obtener longitudes de barras muy parecidas. Pero estas ventajas no son exclusivas de las mallas tridireccionales distribuidas según círculos máximos. De hecho hemos visto cómo ya en la década de 1950 se introdujo la partición conocida como “Alternate Truncatable” que introducía barras dispuestas según círculos menores en torno al ecuador de la esfera para facilitar el corte de la misma en el plano horizontal de apoyo.

El Modelo Fuller. 49

Figura 60. Partición del tipo R1 según Triedros Paralelos. Un procedimiento multipolar que recurre tanto a arcos de círculo máximo como a arcos de círculos menores fue publicado por Otero [45] y por Álvaro y Otero [1] bajo el nombre de Corte por Triedros Paralelos (ver Figura 60) y que tiene como objetivo el lograr una distribución óptima de las barra y nodos según se demuestra en las referencias [45] y [46]. Aparte de sus méritos intrínsecos, tiene interés en esta tesis de doctorado por haber sido el punto de partida en el método empleado como para la optimización de nuestras estructuras poliédricas de Panel. El método de Corte por Triedros Paralelos parte de: 1. Considerar la esfera

{O, R} , circunscrita al icosaedro y del triángulo esférico ABC (ver

figura 1) con centro en O y cuyos vértices lo son también del icosaedro. Así se define el triedro OABC. El punto M sobre la esfera define un eje de simetría OM de orden 3 respecto al triángulo ABC. 2. Sean O1 , O 2 , etc. los vértices de nuevos triedros paralelos a OABC. Estos triedros definen

A1B1C1 , A 2 B2C 2 , etc. sobre el triángulo esférico ABC. Cada parche está delimitado por arcos A1B1 , A 2 B2 , etc. que forman parte de círculos menores nuevos parches esféricos

{

de la esfera O, R} .

3. La distribución de aristas será óptima si la longitud de de las aristas a lo largo del arco AB , A1B1 , A 2 B2 , etc. y sus simétricos en torno al eje OM responden a la expresión general

li = R i ⋅ α , donde α es el único grado de libertad, li es la longitud de la arista a lo largo del arco A i Bi y R i es el radio del círculos que contiene al arco A i Bi .Todas las barras en una cadena A i Bi tienen la misma longitud.

50

Reinaldo Togores Fernández.

4. A partir de estas condiciones se definen las distancias O O1 , O1O 2 , O 2O3 , etc. según las cuales se sitúan los vértices O1 , O 2 , O3 , etc. de los triedros paralelos.

» 5. El valor del parámetro α se relaciona con el número n de barras en que se subdivide AB de manera que α = arco ( AOB) n . lo que constituye el punto de partida para determinar los parámetros geométricos restantes. Las cantidades de barras en los arcos AB , A1B1 ,

A 2 B2 , etc. forman una progresión aritmética de razón −3 . El último arco A n Bn se cierra

con 1, 2 ó 3 barras según sea el valor inicial de n. Partiendo del icosaedro como poliedro base, la esfera se cubre mediante operaciones de simetría (rotación y reflexión). Para diferentes poliedros de base, se proponen esquemas de subdivisión diferentes que resultan en particiones óptimas. A los fines de esta tesis de doctorado se ha elegido el esquema identificado como R1 [45] [1], que de acuerdo a la nomenclatura propuesta por Clinton y desarrollada por Wenninger [57], corresponde a la Clase I. Este esquema posee los siguientes rasgos (ver figura): •

Característica I:

» con longitud R ⋅ α Barras de tipo a sobre AB

¼ Barras de tipo b sobre A 1B1 con longitud R 1 ⋅ α y así sucesivamente.

•

Característica II: n barras del tipo a, ( n − 3) barras del tipo b, ( n − 6 ) del tipo c, etc.

•

Característica III: La banda ABA1B1 contiene barras de los tipos a, b, x e y (igual que sus simétricos

» con otro nodo BCB1C1 y CAC1A1 ) Las barras del tipo x conectan un nodo de AB

¼ » en A 1B1 . Hay tres barras tipo y que conectan los nodos en los arcos principales AB , » y CA » . Lo mismo sucede en las bandas A B A B , etc. BC 1 1 2 2

•

Característica IV:

» ( BC ¼ » y CA » ); la de barras tipo b a A La cadena de barras tipo a aproxima a AB 1B1 , etc.

El Modelo Fuller. 51

Figura 61. Características de la subdivisión R1. Retícula Fundamental (FG). Como en la mayor parte de los métodos geométricos que hemos reseñado, la partición por triedros paralelos se limita a determinar la situación de los vértices en una parte del triángulo esférico para propagarlos después al resto del mismo mediante operaciones de simetría (reflexión y rotación). La operación se efectúa en este caso a partir de un tercio del triángulo esférico para obtener lo que Álvaro y Otero [1] denominan la Retícula Fundamental (Fundamental Grid o FG). El procedimiento es descrito como sigue (la explicación se refiere a la Figura 62):

AM que pasa por los puntos A y a1 y le aplicamos una rotación de Tomamos el arco ¼ valor α en torno al eje OE , perpendicular al plano OAB . De ello resulta un nuevo arco que pasa por a y b1 . Si reiteramos esta rotación, tendremos nuevos arcos que pasan por b y c1 , y así sucesivamente.

¼ y repetimos con él las operaciones antes descritas, esta vez Tomamos entonces BM con un valor de −α para la rotación. Las intersecciones de estas dos familias de arcos conforman los vértices de FG que cubre un tercio de la cara del icosaedro esférico. Este procedimiento que hemos descrito para una cara triangular puede generalizarse para otras formas de cara, teniendo en cuenta que la porción de la cara cubierta por la FG dependerá del orden de simetría de la cara (un tercio para el triángulo, un cuarto para el cuadrado, etc.).

52

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 62. Retícula Fundamental (FG).

Optimización de las Estructuras Reticuladas mediante Procedimientos Numéricos. Los métodos reseñados hasta ahora recurren a esquemas de subdivisión determinados según métodos geométricos que resultan calculables de manera directa. Pero los objetivos de optimización como lo que citamos más arriba, enunciados entre otros por Makai y Tarnai [41] han dado pie a una serie de investigaciones que se hicieron posibles a raiz de la generalización de sistemas de computación de alto rendimiento y de técnicas matemáticas que aprovechan estos recursos. No estaría completa esta sección sin una referencia a los trabajos de R. E. McConnel [43] y del mencionado Tarnai en busca de procedimientos para el cálculo de “mallas optimizadas”37.

McConnel El procedimiento parte de las simetrías que ofrece la superficie a triangular (ya que este método no es de exclusiva aplicación a esferas), lo que en el caso de la esfera nos remite de nuevo al icosaedro. Sobre el triángulo esférico se procede a situar nudos de la solución según el método de prueba y error38 procurando el cumplimiento de las siguientes condiciones:

37

En la descripción del procedimiento McConnel seguimos las explicaciones dadas por Otero en la referencia [45]

38

En inglés “trial and error”.

El Modelo Fuller. 53 •

Que se conozcan tres distancias del nudo a situar respecto a otros tantos puntos conocidos (en el caso de la esfera una de las distancias es el radio).

•

Que del nodo incógnita se conozca la distancia a otro ya fijado (en una esfera, su centro) y se sepa que equidista de otros tres (siendo la distancia también desconocida) cuya situación se conoce.

•

Que se conozcan sus distancias a 2 puntos ya situados, y además un plano que lo contiene (sobre la esfera una de las distancias es el radio).

•

Que se conozca su distancia a un punto y una recta que lo contiene.

Este estudio se aplica sólo a lo que hemos llamado triángulo de Schwarz, es decir, 1/120 de la cara del icosaedro. El procedimiento McConnel exige como puede verse una capacidad de procesamiento notable, y es un ejemplo de las posibilidades derivadas del uso del computador, cosa bien distante de las posibilidades de que disponían en su momento los precursores, tanto Bauersfeld como Fuller. Como ejemplo de los resultados del procedimiento empleado por McConnel podemos comparar los valores obtenidos a partir de su procedimiento con los valores que se obtienen a partir de un método geométrico Clase I equivalente sin optimizar. Estos resultados se han aplicado en la práctica para el diseño de estructuras geodésicas mediante el sistema MERO [22]. Tabla 1. Comparación de Resultados. Diseño

Barras

Nudos

Paneles

No optimizado

20

12

22

McConnel

N=8

N+

N −3 =9 3

N+

N −1 = 10 3

Es de hacer notar que el concepto mismo de optimización puede estar sujeto a discusión. Veremos como Tarnai propone un criterio de mínima diferencia entre longitudes de barras y no el de minimizar el número de barras diferentes. De hecho, los métodos geométricos usuales para una topología Clase I tienen como virtud el de minimizar estas diferencias mientras que, como desventaja tienen la de incrementar el número de barras distintas. Tarnai. Tibor Tarnai ha estudiado un método para la optimización de redes geodésicas que tiene un carácter marcadamente matemático, en el que se analiza la topología de red y se estudian los grados de libertad de un diseño óptimo. La descripción de Tarnai parte del análisis de los grados de libertad de los nodos en relación con su ubicación relativa dentro del triángulo

54

Reinaldo Togores Fernández.

esférico tomado como base para el esquema de partición, usualmente el que corresponde al icosaedro. Ahí distingue tres clases de nodos: •

Situado en un vértice, centro de cara o centro de arista. Su posición está totalmente determinada. Grado de libertad: 0.

•

Situado sobre uno de los 15 círculos máximos que contienen los lados de los triángulos esféricos. Posee dos condiciones implícitas. Grado de libertad =1.

•

No corresponde a ninguna de los anteriores. Una sola condición, pertenecer a la esfera. Grados de libertad: 2.

El grado de libertad correspondiente a una solución se calcula para el triángulo de Schwarz. El número de barras diferentes para una frecuencia dada tiene un límite máximo, calculado también para este recinto. Este máximo parte de suponer que todas las barras dentro del recinto poseen diferente longitud. El número de grados de libertad permite incorporar otras tantas relaciones arbitrarias de manera que la solución resulte determinada. Estableciendo como objetivo la igualdad en longitudes de barras, la cantidad de ellas diferentes resulta de la diferencia entre el máximo para esa frecuencia menos los grados de libertad. Para una topología Clase I, de frecuencia 8 la cantidad de barras diferentes se reduciría a 20 − 10 = 10 . En términos generales, para un valor de frecuencia i, con n como máximo posible de barras y f grados de libertad, la solución óptima poseería m = n − f barras diferentes. Este valor m es un máximo, ya que no puede descartarse que de inicio haya más barras iguales según el método de subdivisión elegido (o sea que el valor real de n sea menor). Una consecuencia de la hipótesis de partida es la de procurar minimizar los nodos con uno o dos grados de libertad y maximizar los de tres. Esto lleva a Tarnai a apostar por las topologías de Clase III, donde la orientación sesgada de la malla tridireccional evita los nodos situados sobre los círculos máximos de la subdivisión geodésica. Criterios de Optimización. Como hemos visto, varios autores se han dedicado a la búsqueda de soluciones óptimas para las estructuras de malla esféricas. Pero sería necesaria una definición previa del criterio a considerar para evaluar las diferentes soluciones. Para Fuller en la U. S. Patent 2,682,235 [33] la justificación para la elección de la malla geodésica estaba en el peso de la estructura por unidad de superficie cubierta. Pero es un hecho comprobado que la estructura más ligera no es necesariamente la más económica. Una optimización en términos de menor costo resulta mucho más compleja. Makowski cita los estudios realizados en la Universidad de Surrey, que comparan soluciones de mallas geodésicas esféricas con mallas que responden a varios otros tipos constructivos. Los estudios referidos por Makowski abarcan numerosos parámetros, que van más allá de los criterios puramente geométricos que centran nuestro interés en la presente Tesis. Desde el punto de vista de la repercusión de los parámetros geométricos, se suelen

El Modelo Fuller. 55 considerar mejores aquéllas soluciones que poseen una menor cantidad de elementos diferentes, o en que la variación entre parámetros de sus diversos componentes es mínima. Cuando se trata de mallas compuestas de barras y nudos, los parámetros más usualmente considerados son la longitud de las barras y los ángulos en que éstas concurren en los nudos.

η , el Coeficiente de Tarnai. Un estudio que se ubica más dentro de la línea de trabajo de esta tesis de doctorado es el realizado por T. Tarnai [55] que se centra en las propiedades geométricas de las mallas que se obtienen a través de los diversos métodos de partición de la esfera. “Una esfera pudiera ser dividida en el mayor número de triángulos esféricos con un número reducido de longitudes de lado diferentes de tal manera que la división fuera tan uniforme como sea posible”. Su criterio de optimización se orienta también al aspecto económico, pero fundamentándose en propiedades geométricas. Según Tarnai, “la estructura debiera consistir en muchas unidades iguales de unos pocos tipos diferentes para asegurar la economía de la prefabricación.” Su atención se centra en las longitudes de las barras, teniendo en cuenta que “las dimensiones de estas unidades deben diferir muy poco entre ellas para asegurar una apariencia uniforme y dar un aspecto agradable a la estructura, además de hacer posible que la estructura pueda ser construida a partir de barras de igual longitud, asegurando las necesarias diferencias con la ayuda de los conectores”. Trabajando junto a E. Makai, propuso un coeficiente que relaciona la longitud máxima y mínima de barra a la que debe tender como límite la estructura óptima cuando la frecuencia se acerca al infinito. Este valor ideal es de η = 2sen 60° o lo que es igual, 1,1755705. En los estudios de Makai y Tarnai no se encuentra un método que se aproxime a este valor. Lo más cercano es el publicado en la referencia [41], donde se obtiene un valor de η igual a 1,480. Otros autores han continuado investigando en esta dirección encontrándose en la literatura consultada métodos como los propuestos por Kitrick [38], Clinton [8] y Rebielak que según sus autores se aproximan al valor ideal de η . Estos métodos poseen en común el tratarse de variantes de la topología de Clase I. La Figura 63 muestra un gráfico de los valores del coeficiente η n determinados por Clinton para el método 3 (según la referencia [8]) de la Clase

{

I, 3, 5+ } , y su comparación con los resultados obtenidos para topologías de la Clase III, b ,0

{3, 5 } {3, 5 } +

+

b ,b

b,c

superponibles a esta partición [11]. La abcisa representa los valores de

t = b 2 + bc + c 2 y la ordenada el coeficiente η . Los pares b,c para cada punto se indican en el gráfico.

56

Reinaldo Togores Fernández.

Figura 63. Gráfico de los valores de η n para distintas frecuencias y métodos. Del análisis de este gráfico se deduce que el grupo de valores η n para el esquema de subdivisión

{3, 5 } +

b ,0

se acercan al límite de manera uniforme. Sin embargo, los valoes

correspondientes a los grupos

{3, 5 } +

b ,b

{

y 3, 5+ }

b,c

parecen desviarse de la curva que tiende a

2sen 36° como límite. No obstante las curvas parecen ser uniformes dentro de cada subgrupo. En estos resultados debe tenerse en cuenta que no se están comparando las soluciones calculadas a partir del procedimiento de Tarnai antes descrito, sino que se trata de soluciones desarrolladas por Clinton con la restricción de que exista una superposición de determinados vértices de ambas particiones.

Resumen. Para concluir este capítulo de nuestra investigación sobre las estructuras geodésicas que corresponden a lo que hemos llamado el modelo Fuller podemos resaltar los siguientes aspectos. Se trata de desarrollar una forma poliédrica de caras triangulares lo más parecidas que sea posible, unidas en nodos hexavalentes y según el poliedro tomado como base, un número fijo de nodos con otra composición (pentavalentes en el icosaedro, tetravalentes en el octaedro y trivalentes en el tetraedro).

El Modelo Fuller. 57 Para lograr este objetivo se han desarrollado y publicado una cantidad considerable de métodos que sirven de base para el cálculo de los parámetros geométricos de dichas formas poliédricas. El presente estudio reseña los que mayor difusión han alcanzado y que pudiéramos calificar de clásicos (ver referencias [8] y [9]) así como otros que pretenden alcanzar un mayor grado de generalización y sistematicidad [39]. También se describe el método que se incorpora como parte de los procedimientos que esta Tesis propone como aporte al tema que nos ocupa. Para poner en contexto estos métodos se reseñan las investigaciones que en diversos campos tan diversos como la cartografía, las matemáticas y la virología contribuyeron al estado actual del conocimiento. Por último se describen los criterios y metodologías tendientes a la optimización de los resultados que el desarrollo de las modernas técnicas de computación han hecho posibles.

58

Reinaldo Togores Fernández.

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