El Concepto De Integral Y Algunas Aplicaciones

EL CONCEPTO DE INTEGRAL Y ALGUNAS APLICACIONES 1.- Una SUMA DE INFINITOS PRODUCTOS se abrevia utilizando la letra griega ∞

SIGMA

∑ f (t )∆x

de la siguiente manera:

i =1

i

i

La variable i es un contador o índice que

adquirir valores Naturales consecutivos determina cada sumando de la suma o SUMATORIA. El producto f (t i ) ⋅ ∆xi se denomina TERMINO GENERAL de la sumatoria. 2.- Así, por ejemplo, la sumatoria se expresa: ∞

∑ (t ) i =1

3

i

∆xi = (t1 ) 3 ∆x1 + (t 2 ) 3 ∆x 2 + (t 3 ) 3 ∆x3 + (t 4 ) 3 ∆x 4 + + + + + +

3.- . El producto f (t i ) ⋅ ∆xi puede representar una gran variedad de situaciones, lo cual implica que la ∞

∑(t ) i =1

i

3

∆xi permite representar y por ende calcular problemas de gran importancia. Por

ejemplo: Areas de figuras planas, longitudes de curvas, volúmenes de cuerpos situaciones, centro de gravedad 4.- Uno de los creadores del Cálculo Infinitesimal, el alemán G. Leibniz, propuso para ∞

denotar la suma

∑ f (t )∆x i

i =1

b

i

∫ f ( x)dx

el siguiente símbolo:

, llamándolo Integral

a

Definida. Tiene la ventaja de indicar expresamente la función y = f (x ) que se utiliza y el intervalo [a, b] en el cual ésta función se está definiendo. 5.-

Podemos afirmar entonces que: b

∫ a

∞

n

i =1

i =1

f ( x )dx = ∑ f (t i ) ∆x i = lim ∆x →0 ∑ f (t i )∆xi y su valor es un NUMERO.

6.- Teorema Fundamental del Cálculo (Teorema de Newton): Si f es una función b

continua en el intervalo [a, b] , entonces ∫ f ( x)dx

= g (b) − g (a ) , donde

a

dg ( x) = f ( x) dx

7.- El área de una región plana acotada por la función f(x), las rectas de ecuaciones x=a y b

x=b, y el eje X ; se calcula mediante la integral A= ∫ f ( x ) dx . a

8.- La longitud de una curva entre dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) se calcula mediante la b

2 integral L= ∫ (1 + f ' ( x ) ) dx

.

a

9.- El volumen de un cuerpo generado por la revolución de y=f(x) en torno al eje X es

V=

b

∫πf ( x)

2

dx .

a

10.- La superficie exterior de un cuerpo generado por la revolución de y=f(x) en torno al eje X es b

2 S= ∫ 2πf ( x ) (1 + f ' ( x) ) dx a