El Campo De Velocidad.docx

El campo de velocidad El concepto de campo de velocidad se requiere en el estudio del flujo para evitar identificar cada partícula fluida por un nombre, como se procede cuando se identifica con un sub índice . A cambio de ese nombre se identificará la partícula fluida por la posición que ocupa en el espacio y el instante en el cual se describe la partícula. Esta forma de referirse a una partícula exige la adopción de un sistema de coordenadas espaciales adecuado, acompañado de un sistema de medición del tiempo. Los sistemas de coordenadas usuales son el cartesiano, el cilíndrico y el de línea. Para medir el tiempo se usa el sistema sexagesimal. Cuando se describe el campo de velocidad lo que se describe es el valor de la velocidad para la partícula que ocupa un determinado sitio en el espacio, en un instante dado. A esa posición se le otorgan coordenadas espacio-temporales e independientemente del enfoque que se adopte y se puede escribir así: V=V(x, y, z, t) Que por supuesto contendrá las componentes rectangulares correspondientes: Vx=Vx(x, y, z, t) Vy=Vy(x, y, z, t) Vz=Vz(x, y, z, t) Las funciones escalares para las componentes de velocidad son, en general, diferentes entre sí. Cada componente de la velocidad depende de la posición en el espacio y del instante que se describe. Por ejemplo: a) Si el sistema adoptado es el cartesiano: V = axi + byj + ctk ; con a = b = 6 s-1; c = 7 m/s2 Observe que este campo es independiente de z, pero tiene componentes en las tres direcciones espaciales. Los coeficientes deben ser tales que se conserve la homogeneidad dimensional b) Si el sistema adoptado es el cartesiano: V = axi + byj + c(d-z)k ; con a = -1s-1; b = 2 s-1; c = -1 s-1; d = 5 m Observe que este campo es independiente del tiempo c) Si el sistema adoptado es cilíndrico, un campo de velocidades podrá ser:

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d) Si el sistema adoptado es el de línea: V=V(s, t)

CAMPO DE ACELERACIÓN El campo vectorial de las aceleraciones es una consecuencia derivada de las velocidades, dado que el vector aceleración de una partícula fluida en un punto sedefine como la variación temporal de la velocidad en ese punto. Empleando las variables de Lagrange, tendríamos que la velocidad de una partícula fluida estaría en función de X, Y, Z, t; es decir (x, y, z, t) no permanece constante sino que varía en forma continua y dan en cada instante la posición de la partícula que estudiamos. Dado esto la aceleración de la partícula será:

Estas son las componentes de la velocidad en los tres ejes ortogonales x, y, z respectivamente; por lo que la ecuación anterior podemos escribirla como:

Esta ecuación es la derivada tomada con respecto al tiempo siguiendo el movimientodel punto, y como podemos apreciar no tiene dirección como en el caso de la velocidad. A esta derivada se la conoce como la dedicada total y corresponde a la aceleración de las partículas fluidas, que puede asumirse como la superposición de dos efectos. a.

En el instante

“t”, supuesto el campo permanente. La partícula, bajo estas

circunstancias, cambiará de posición en éste campo permanente. Así su velocidad sufrirá variaciones en los diversos puntos del campo que, en general, serán diferentes de un instante a otro. Esta aceleración debida al cambio de posición es llamada aceleración convectiva o de transporte. b.

Si consideramos, que la aceleración no proviene del cambio de posición ocupada por la partícula fluida, sino de la variación de la velocidad, en la posición ocupada por la partícula, por el tiempo, tenemos que la aceleración es la aceleración local y corresponde al porcentaje local de variación de velocidad debido a la no-permanencia del flujo. 2

En ciertos análisis es muy útil emplear el sistema de coordenadas en el que un conjunto de líneas de corriente formen parte del mismo. Para tal caso podemos partir de la velocidad V=V (s, t); de donde podemos deducir que la aceleración de la partícula fluida vendrá dada por:

Consideremos el caso de flujo permanente, en el que, la configuración de las líneas de corriente es fija en el tiempo y además, son coincidentes las trayectorias en dos componentes escalares no nulas, una de ellas tangente a la trayectoria que llamamos aceleración normal. Por lo tanto la aceleración será:

Donde an es la aceleración normal y at es la aceleración tangencial; estas pueden representarse de acuerdo a lo estudiado en la física del cuerpo solidó por:

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Campo de rotación Analíticamente se encuentra que esto queda expresado por el vector vorticidad que no es más que la aplicación del operador rotacional al campo de velocidades:

Flujo rotacional, si la vorticidad es diferente de cero Flujo irrotacional, si la vorticidad es nula

Se considera una partícula fluida que se somete al ensayo de rotación descrito:

Ahora se observará la partícula fluida proyectada sobre el plano yz, de manera que el eje x sale de la figura hacia el observador:

Los puntos del segmento AB se mueven con diferentes velocidades, y en sus extremos esas velocidades son:

Bajo la acción de esas velocidades el segmento AB se desplaza y además puede rotar. Para el estudio de los giros de la partícula se puede ignorar el desplazamiento lineal en el espacio.

Esa rotación del segmento AB ocurrirá con una velocidad angular positiva respecto al eje x, y se puede expresar así:

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Los puntos del segmento AC también se mueven con diferentes velocidades, y en sus extremos esas velocidades son:

Bajo la acción de esas velocidades el segmento AB se desplaza y además puede rotar.

Esa rotación del segmento AC ocurrirá con una velocidad angular negativa respecto al eje x, y se puede expresar así: Además, se puede demostrar que la velocidad angular de la partícula alrededor del eje x es igual al promedio de las velocidades angulares de dos segmentos ortogonales entre si (como AB y AC en este caso) y perpendiculares al eje de interés (x en este caso), de manera que:

Se obtiene la velocidad angular de la partícula alrededor del eje x como:

De manera similar se obtiene, para las velocidades angulares sobre los tres ejes coordenados:

La velocidada angular de la partícula fluida se puede escribir como:

Se reemplazan los valores encontrados para cada componente y se obtiene:

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Si la vorticidad es nula el flujo es irrotacional, en caso contrario el flujo es rotacional. En términos operativos el rotacional del vector velocidad, en coordenadas cartesianas, se puede obtener así:

Determine si son o no rotacionales los campos de velocidades: v=

gsenq 2 2 (h - z )i 2m

v = vo.(z/e)i v = voi v = kxi - kyj v = -(k/r2)mr

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LINEAS DE CORRIENTE DE UN FLUIDO Las líneas de corriente son curvas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de este en los diversos puntos del flujo fluido. La tangente en un punto de la curva representa la dirección instantánea de la velocidad de las partículas fluidas en dicho punto. Las tangentes a las líneas de corriente pueden representar de esta forma la dirección media de la velocidad. Como la componente de la velocidad normal a la línea de corriente es nula, que da claro que no existe en ninguno de sus puntos flujo perpendicular a la línea de la corriente

TUBO DE CORRIENTE la definición de línea de corriente se puede definir, para flujos laminares, el concepto de tubo de corriente, como la superficie formada por las líneas de flujo que parten de una curva cerrada. En casos no estacionarios, aunque la línea cerrada no varía, el tubo de corriente y las líneas de corriente sí lo hacen. Por el contrario, para el caso estacionario el tubo de corriente permanece fijo en el espacio a lo largo del tiempo.

Corolario 1: No hay flujo a través de la superficie del tubo de corriente. Corolario 2: Solo hay tubo de corriente si V es diferente de 0.

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ÁREA O SECCIÓN DE CONTROL Es la frontera del volumen de control. Las fronteras de un sistema forman una superficie cerrada que puede variar con el tiempo de manera que contenga la misma masa durante cambios en su condición. Por ejemplo: 1 Kg. de gas puede estar confinado en un cilindro y comprimirse por el movimiento de un pistón. La frontera del sistema que coincide con el extremo del pistón se mueve entonces con el pistón. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una finita grande de fluidez y sólidos a voluntad del investigador.

VOLUMEN DE CONTROL Para aplicar las leyes físicas al flujo de un fluido es necesario definir los conceptos de volumen de control y de sistema. Se entiende por volumen de control una región fija en el espacio donde puede existir flujo de fluido a través de sus fronteras. Por esta razón, en diferentes instantes, se pueden tener diferentes partículas en el interior del volumen del control. Sistema se refiere a un conjunto de partículas en el cual permanecen siempre las mismas. Es decir, se está observando siempre una cantidad fija de materia.

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Bibliografía &ROW, H. (1970). MECANICA DE FLUIDOS Y MAQUINAS HIDRAULICAS. En H. &ROW, MECANICA DE FLUIDOS Y MAQUINAS HIDRAULICAS. C.MATAIX. hansen. (1971). dinamica de los fluidos . limusa. http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente. (19 de sepiembre de 2014). Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_corriente. http://fluidos.eia.edu.co/fluidos/cinematica/rotacion.htm. (2000). Obtenido de http://fluidos.eia.edu.co/fluidos/cinematica/rotacion.htm. http://www.cuevadelcivil.com/2011/01/campos-de-flujo.html. (2011). Obtenido de http://www.cuevadelcivil.com/2011/01/campos-de-flujo.html. I.SHAMES. (1962). MECANICA DE FLUIDOS . En I.SHAMES, MECANICA DE FLUIDOS. MC.GRAW HILL. muller, p. o. (s.f.). http://www.monografias.com/trabajos10/resumen/resumen.shtml. Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos10/resumen/resumen.shtml.

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