Eksperimen 7.docx

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI EKSPERIMEN VII PENGANTAR TRANSFORMASI FOURIER DAN FAST FOURIER TRANSFORM

OLEH : NAMA

: MAYA SAFITRI

NIM

: J1D115020

KELOMPOK : I (SATU) ASISTEN

: AKHMADI

KEMENTERIAN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA BANJARBARU 2017

LEMBAR PENGESAHAN LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI Nama

: Maya Safitri

NIM

: J1D115020

Shift

: I (Satu)

Judul Percobaan

: Penganatar Transformasi Fourier Dan Fast Fourier Transform

Tanggal Percobaan : 15 Mei 2017 Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahan Alam

Program studi

: Fisika

Asisten

: Akhmadi

Nilai

Banjarbaru, Asisten,

(Akhmadi)

2017

PENGANTAR TRANSFORMASI FOURIER DAN FAST FOURIER TRANSFORM Maya Safitri1, Akhmadi2, Ade Agung Hernawan, S.Si, M.Sc2 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru, Indonesia [email protected] , [email protected] , [email protected] Abstrak Praktikum kali ini membahas tentang pengantar transformasi fourier dan fast fourier transform yang bertujuan untuk menjelaskan Discrete Fourier Transform, menjelaskan Fast Fourier Transform, dan mengamati gelombang yang dibuat dengan metode DFT dan FFT. Transformasi fourier adalah alat mentrasnformasikan bentuk gelombang (fungsi atau sinyal) ke dalam sebuah representasi alternatif, dan digunakan untuk menunjukkan sinyal yang kontinyu dan bersifat tidak periodik sebagai superposisi dari gelombang sinus kompleks, untuk mentransformasikan sinyal dalam bentuk domain waktu menuju domain frekuensi, sehingga transformasi ini dapat memberikan informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu atau tidak. Fast fourier transform adalah algoritma cepat khusus yang telah dikembangkan untuk mempercepat perhitungan secara keseluruhan, merupakan metode yang sangat efisien untuk menghitung koefisien dari Fourier diskrit ke suatu finite sekuen dari data yang komplek Kata kunci: Transformasi Fourier, Fast Fourier Transform

Abstrack In this experiment, we discuss the introduction of fourier transform and fast fourier transform, that has a purpose to explain Discrete Fourier Transform, explain Fast Fourier Trasnform and to observe the wave from DFT and FFT method. The Fourier transform is a means of transforming the waveform (function or signal) into an alternative representation, and is used to denote continuous and periodic signals as superpositions of complex sine waves, to transform a signal from time domain to frequency domain, so the transformation can give an information about is a signal has a certain frequency or doesn’t have the certain frequency. Fast Fourier transform is a special fast algorithm that has been developed to speed up the overall calculation, is a very efficient methore to calculate a coefficient from discrete fourier to a sekuen finite from a complex data. Keyword: Fourier Transform, Fast Fourier Transform

PENDAHULUAN Masalah yang menyangkut vibrasi atau osilasi sering terjadi pada fisika dan teknik. Banyak contoh yang sering kita temui pada kehidupan sehari-hari seperti

getaran

garpu

tala,

bandul,

massa

yang

digantungkan

pada

pegas,gelombang air, gelombang suara, arus listrik AC, dan sebagainya. Akan lebih banyak contoh yang akan kita ketahui jika kita belajar fisika lebih dalam lagi seperti konduksi panas, medan listrik dan magnet, yang tak cukup hanya diselesaikan dengan metode dasar tetapi membutuhkan metode yang lebih tinggi tingkatannya serta melibatkan fungsi sinus dan cosinus untuk mendeskripsikan gerak harmonic sederhana dan gelombang. Kita dapat menggunakan deret pangkat untuk memperkirakan hasil dari fungsi yang rumit. Pada beberapa kasus, ada yang disebut dengan deret Fourier (Fourier Series) yang suku-sukunya terdiri dari sinus dan cosinus. Biasanya sebuah fungsi digambarkan dalam domain waktu. Artinya yang diukur dari fungsi tersebut adalah waktu. Dengan kata lain, jika kita gambarkan fungsi tersebut pada sumbu simetri, maka sumbu x (sebagai variabel bebas) mewakili waktu, dan sumbu y (sebagai variabel tak bebas) mewakili nilai pada waktu t tertentu, atau nilai amplitudo-nya. Jika kita menggambar fungsi dalam domain waktu, maka kita akan memperoleh representasi waktu-amplitudo fungsi tersebut. Pada aplikasinya, representasi ini tidak selalu merupakan representasi terbaik. Pada banyak kasus, informasi khusus tersembunyi pada nilai frekuensinya. Spektrum frekuensi dari sebuah fungsi memperlihatkan frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut. Transformasi Fourier (Fourier Transform atau FT) dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke dalam domain frekuensi. Jika kita menerapkan FT pada sebuah fungsi dalam domain waktu, maka kita akan mendapatkan repesentasi frekuensi-amplitudo fungsi tersebut. Dengan transformasi fourier, sebuah fungsi dapat digambarkan dalam sumbu x yang menunjukkan spektrum frekuensi dan sumbu y menunjukkan amplitudo. Gambar FT menunjukkan berapa banyak frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut.

Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi periodik yang rumit dapat dianalisis secara sederhana dengan cara menguraikannya ke dalam suatu deret fungsi periodic sederhana yang dibangun oleh fungsi sin x dan cos x atau fungsi eksponensial eix. Uraian deret fungsi periodik ini disebut uraian deret Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa matematikawan Perancis Joseph Fourier, yang pertama kali merumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenai hantaran panas, yang dilaporkannya kepada akademi ilmu pengetahuan Perancis pada tahun 1807. Selain adanya deret fourier, juga dikenal adanya transformasi fourier (Fourier Transform-FT). Joseph Fourier mengemukakan bahwa sebuah fungsi periodik dapat direpresentasikan dengan mengkombinasikan penjumlahan tak hingga dari fungsi sinus dan cosinus. Representasi fungsi inilah yang kemudian dikenal sebagai Deret Fourier. Beberapa tahun setelah penemuan ini, deret fourier dikembangkan menjadi bentuk yang lebih umum sehingga dapat diterapkan pada fungsi yang non-periodik, bentuk yang lebih umum ini yang kemudian dikenal sebagai Transformasi Fourier (FT). Sejak penemuan ini, transformasi fourier menjadi metoda yang sangat cocok untuk menganalisis fungsi atau sinyal 1, karena transformasi fourier dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke domain frekuensi. KASUS FISIS Deret Fourier dari fungsi periodik Misalkan f(𝜃) adalah sebuah fungsi yang bernilai kompleks yang terdefinisi pada R sedemikian sehingga

Yakni f periodik dengan periode 2π. Asumsikan pula bahwa f terintegralkan Riemann pada sebarang interval terbatas (ini dipenuhi bila, misalnya, f terbatas dan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik pada sembarang interval terbatas). Kita ingin mengetahui kapankah f dapat diuraikan sebagai deret

1

1

Disini 2ao merupakan koefisien fungsi konstan 1 = cos 0ɵ, dan faktor 2 sengaja diikutsertakan untuk kemudahan yanga akan kita lihat nanti. Tidak ada bo karena sin0ɵ = 0. Menggunakan rumus diatas , persamaan tadi dapat dituliskan sebagai

dengan

atau

(Gunawan, 2001) Untuk menjawab pertanyaan diatas, kita mencoba terlebih dahulu mencari syarat perlunya. Jika kita mempunyai persamaan diatas, bagaiman koefisien cn dapat dihitung dalam f. Dengan mengalikan kedua ruas dengan 𝑒 −𝑖𝑘𝜃 (𝑘 ∈ 𝒁), kemudian integralkan dari –π sampai π, kita peroleh (dengan menganggap bahwa integral deret sama dengan deret integral)

Tetapi untuk 𝑛 ≠ 𝑘

Sementara untuk 𝑛 = 𝑘

Jadi satu-satunya suku yang bertahan dalam deret tadi adalah suku ke-k, sehingga kita dapatkan

Dengan menamai kembali k sebagai n, kita peroleh rumus untuk koefisien cn, yakni

Dari sini kita peroleh

Dan untuk n = 1,2,3,...

Perhatikan bahwa rumus untuk an berlaku pula untuk n = 0 karena faktor

1 2

yang

sengaja telah kita ikutsertakan sejak awal (Gunawan, 2001) Setiap fungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan cos ωt yang periodik dengan periode T = 1/f = 2π/ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus perdetik (Hz) dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian/det. Gambar dibawah ini menunjukkan fungsi periodik, dengan To = 2π/ωo : Periode fundamental. ωo = frekuensi fundamental.

Suatu isyarat periodis dengan periode To dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyarat-isyarat cosinus dan sinus dengan periode-periode kelipatan dari To

Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k = 0, ±1, ±2,... . Untuk k = 0 maka ak disebut komponen dc. Untuk k = ±1 maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk k = ±2, ±3,... maka ak disebut komponen harmonik ke-k. Ketika k = 0 dikeluarkan dri sigma, dan k hanya dituliskan dari +1 → ∞, maka persamaan menjadi

Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*-k = ak atau a*k = a-k. Sehingga persamaan menjadi

Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan

(Hidayat, 2014). Fast Fourier Transform (FFT) adalah suatu transformasi yang mengubah data digital ke domain frekuensi. FFT merupakan salah satu algoritma yang paling sering digunakan dalam menganalisis dan manipulasi data digital. Penelitian (Rockmore, 2000) menunjukkan bahwa FFT dapat diterapkan untuk banyak hal, seperti electroacoustic music dan pengolahan sinyal audio, pengolahan citra, medical imaging, pattern recognition, computational chemistry, dan lain-lain. FFT merupakan perhitungan DFT (Discrete Fourier Transform) yang lebih efisien. DFT didefinisikan dengan persamaan:

Dimana

.

Persamaan terebut dapat dilihat sebagai matriks dari perkalian titik vektor WNjk dengan X. Invers dari DFT didefinisikan sebagai :

Maka, DFT akan membutuhkan perhitungan sebanyak N2, sedangkan dengan menggunakan FFT perhitungan yang dilakukan hanya sebanyak (N log2 N) (Harahap, 2016).

METODE KOMPUTASI DAN LISTING PROGRAM A. Algoritma Algoritma programnya adalah sebagai berikut : 1. Pembentukan Transformasi Fourier dengan wxMaxima 1) Memulai program 2) Memasukkan data 3) Memproses data 4) Menampilkan hasil 5) Mengakhiri program

B. Flowchart

START

Memasukkan data

Memproses data

Menampilkan hasil grafik

LISTING PROGRAM END A. Program Pembentukan Transformasi Fourier dengan WXMaxima //pulsa cosinus h(x):=unit_step (%pi/2+x)*cos(x)*(1-unit_step(x-%pi/2)); plot2d(h(x),[x,-%pi,%pi],[y,-1,2]); //bentuk transformasi fourier dari pulsa cosinus integrate(cos(x)*exp(-%i*2*%pi*(y*x)),x,(-%pi)/2,%pi/2); tfrpc : realpart(%); plot2d(tfrpc, [y,-%pi,%pi]); plot2d(tfrpc, [y,-2*%pi, 2*%pi]); //unit impulse h(x):=unit_step (x+(1/2))-unit_step (x-(1/2));

plot2d(h(x),[x,-10,10],[y,-1,2]); plot2d(h(x),[x,-2,2],[y,-0.1,1.2]); //bentuk transformasi fourier dari unit impulse integrate(l*exp(-%i*2*%pi*(y*x)),x,-1/2,1/2); tfri:realpart(%); plot2d(tfri, [y,-50,50]); plot2d(tfri, [y,-5,5]); //fungsi periodik e-0, 1x^2cos(2*3.14*3x)sin(2*3.14*5x) h(x):=exp(-(x^2)*0.1)*(cos(2*%pi*3*x)*cos(2*%pi*5*x)); plot2d(h(x), [x,-10,10]); plot2d(h(x), [x,-5,5]); plot2d(h(X), [x,-1,1]); //bentuk transformasi fourier dari fungsi e-0,1x^2cos(2*3.14*3x)sin*2*3.14*5x) integrate(h(x)*exp(-%i*2*%pi*(y*x)),x,-inf,inf); tfrp : realpart(%); plot2d(tfrp, [y,-20,20]); plot2d(tfrp, [y,-5,5]); //fungsi periodik kotak h(x):=sum(sin(%pi*(2*n+1)*x)/(2*n+1),n,0,10);; plot2d(h(x), [x,-5,5]); plot2d(h(x), [x,-1,1]); //bentuk transformasi fourier dari fungsi periodik kotak integrate(h(x)*exp(-(x^2)*0.1)*exp(-%i*2*%pi*(y*x)),x,-inf,inf); tfpk:cabs(%); plot2d(tfpk, [y,-5,5]); //fungsi periodik gergaji h(x):=-2*(sum((-1)^n*sin(%pi*n*x)/n,n,1,10))/%pi; plot2d(h(x), [x,-5,5]); plot2d(h(x), [x,-1,1]); //bentuk transformasi fourier dari fungsi periodik gergaji integrate(h(x)*exp(-(x^2)*0.1)*exp(-%1*2*%pi*(y*x)),x,-inf,inf); tfpg:cabs(%); plot2d(tfpg, [y,-5,5]); B. Program Perhitungan FFT Dengan C++ //program untuk menghitung nilai dari fungsi log2 #include #include #define max 200 using namespace std; #define m_pi 3.1415926535897932384 int log(int n) /*function to calculate the log2(.) of int numbers*/ { int k = n, i = 0; while(k) { k >>= 1; i++; } return 1 - 1; } int check(int n) //chcking if the number of element is a power of 2 { return n > 0 && (n & (n-1)) ==0; }

int reverse(int n, int n) //calculating revers number { int j, p = 0; for(j = 1; j <== log2(n); j++) { if(n & (1 << (log2(n) - j))) p |= 1 << (j-1); } return p; } void ordina (complex<double>* f1, int n) //using the reverse order in the array { complex<double> f2[max]; for (int i = 0; i < n; i++) f2[1] = f1[reverse(n, 1)]; f1[j] = f2[j]; } void transform(complex<double>* f, int n) // { ordina (f,n); //first: reverse order complex<double> *w; w = (complex<double> *)malloc(n / 2 * sizeof(complex<double>)); w[1] = polar(1., -2. * m_pi / n); w[0] = 1; for(int i = 2; i < n / 2; 1++) w[1] = pow(w[1], i); int n = 1; int a = n / 2; for(int j = 0; j < log2(n); j++) { for(int i = 0; i < n; i++) { if(1(i & n)) { complex<double> temp = f [i]; complex<double> temp = w[(i * a) % (n * a)] * f[i + n]; f[i] = temp + temp; f[i + n] = temp - temp; } } n *= 2; a = a / 2; } } void fft (complex<double>* f, int n, double d) { transform(f, n); for(int i = 0; i < n; i++) f[i] *=d; //multiplying by step } int main() { int n; do { cout << "specify array dimension (must be power of 2)" << endl; cin >> n; } while(!check(n));

double d; cout << "specify sampling step" << endl; //just write 1 in order to have the same results of matlab fft(.) cin >> d; complex<double> vec[max]; cout << "specify the array" <<endl; cin >> vec[i]; } fft (vec, n, d); cout << "...printing the fft of the array specified" << endl; for(int j = 0; j < n; j++) cout << vec[j] << endl; return 0; } C. Program Pebentukan Bnetk Gelombnag dengan FFT /******************************************************************* * copyright (c) 2007, paul lutus * * free software foundation,inc., * * 59 temple place-suite 330, boston, ma 02111-1307, usa. * *******************************************************************/ /* sumber http://arachnoid.com/maxima/fourier_analysis,html */ /* fungsi-fungsi berikut digunakan untuk merubah bentuk gelombang analog menjadi digital dalam domain waktu */ wxplot_size : [600,400]; load (fft); /**** deklarasi variabel dan konstanta fft ****/ Pi2:2.0*float (%pi); /* 2 pi */ n:2048; /* ukuran array fft, harus pangkat 2 */ sf : 1.0/n; /*atep pembangkitan sinyal */ cf : 500; /* frekuensi pembawa */ mf : 40; /* frekuensi modulasi */ hf : 4; /* frekuensi harmonik pembanding */ /* fungsi sinyal generator */ /* t = variabel waktu (s) cf = variabel frekuensi pembawa mf = variabel frekuensi modulasi sf = variabel skala perhitungan fft nl = variabel level tingkat noise */ fcm (t, cf, mf, sf, nl) := ( r : (random (2.0)-1.0)*nl, cos (pi2*cf*sf*t)* (1+r+cos (pi2*mf*sf*t))) ; /* fungsi untuk plot sinyal bergantung waktu */ fpt () := ( plot2d (fcm (i,cf,mf,sf,0), [i,0,256], [gnuplot_preamble, “unset key; set xlabel ‘waktu’;set ylabel ‘amplitudo’; set title ‘modulasi amplitudo—domain waktu’;”])); /* fungsi set fft */ fft_setup () ;= ( array (ra,float,n-1), /* real value array */ array (ia,float,n-1) /*imaginary value array */ ); /* perhitungan fft dan plot */

fft_perform () := ( fft (ra,ia), recttopolar (ra,ia), lira:makelist (ra [i],i,0,(n/2))); /* plot set data fourier*/ fft_plot () := ( xindexlist:makelist (i,i,0,length (liral)), plot2d ([discrete, xindexlist, lira], [gnuplot_preamble, “unset key; set xrange [0:1024]; set xlabel ‘frekuensi’; set ylabel ‘amplitudo’; set title ‘modulasi amplitudo – domain frekuensi’;”])); /*plot the frequency domain signal */ fpf () := ( fft_setup (), /* fill the fft data arrays */ For i : 0 thru n-1 do ( ra [i];fcm (i,cf,mf,sf,2), ia [i] : 0.0 ), fft_perform (), fft_plot () ); /* ** fungsi-fungsi tampilan dan pembangkit waveform *** */ /* t = waktu (s) f = frekuensi (hertz) m = jumlah nilai yang ditampilkan */ /* pembangkit jumlahan gelombang kotak */ fsq(t,f,m) := ((4/%pi)*sum((d:2*n-1, sin(2*%pi*f*t*d)/d),n,1,m)); /* pembangkit jumlahan gelombang segitiga */ ftri(t,f,m) := ((8/%pi^2)*sum((d:2*n-1,q:(-1)^(n+1)/d^2, sin(2*%pi*f*t*d)*q),n,1,m)); /* pembangkit jumlahan gelombang gergaji */ fsaw(t,f,m) := ((2/%pi)*sum(sin(2*%pi*f*t*n)/n,n,1,m)); /* pembangkit jumlahan gelombang sinus yang diratakan (terpolarisasi positif) */ frec(t,f,m) := ((2/%pi) + (4/%pi) * sum((q:)((-1)^(n+1))/(4*n^2-1),cos(2*%pi*f*t*2*n)*q),n,1,m)); /* fungsi umum plot tunggal */ fpq(m,fn) := (if(is(m <= 0)) then print(“error: argumen harus positif.”) else plot2d(fn(t,10,m),[t,0,0.21]) ); /* fungsi plot tunggal spesifik, m=jumlah total */ fqsq(m) := fpq(m,fsq); fptr (m) := fpq(m,ftri); fpsaw (m) :=fpq(m,fsaw); fprec (m) :=fpq(m,frec);

/* fungsi umum multiple-plot */ fgenmult(m,fn) := ( if(is(m <= 0)) then print (“error: argument harus positif.”) else (t1:makelist(fn(t,4,i),i,1,m), plot2d(t1,[t,0,.25], [gnuplot_preamble, “kunci belum ditentukan;”])) ); /*nfungsi spesifik multiple-plot m=jumlah grafik yang akan ditampilkan */ fsqmult(m) := fgenmult (m,fsq); ftrimult(m) :=fgenmult (m,ftri); fsawmult(m) :=fgenmult(m,fsaw); frecmult(m) :=fgenmult(m,frec); /* *** fungsi-fungsi pembanding harmonik *** */ /* pembangkit gelombang kotak lojik (tidak dapat diplot) */ flsq (t,f) := ( v:cos(2*pi*f*t), if(is(<0)) then -1 else 1 ); /* menampilkan pembanding harmonic yang baik */ fancy_print(i,y) := ( if(is(y>.08)) then print(printf(false,”~4d”,i), “=”,printf(false,”~8,4f”,y)) ); /* prediksi amplitudo gelombang harmonik kotak */ fph() := ( for n:1 thru 24 do ( d:2*n-1, x:hf*d, y:float((4/%pi)/d), fancy_print(x,y) ) ); /* membuat, mengonversi, kemudian menampilkan gelombang harmonik kotak */ fch() := ( fft_setup(), for i:0 thru n-1 do ( ra[i]:flsq(i*sf,hf), ia[i]:0.0 ), fft_perform(), for n:1 thru length(lira)-1 do ( y:lira[n]*2, fancy_print (n-1,y) ) ); =>kemudian tulislah printah berikut untuk menggambarkan bentuk awal gelombang : simpn hasil gelombangnya :

i. ii. iii.

fpsq(m), fptri(m),fpsaw(m),frec(m);dimana m diisi dengan nilai 1 - ~, mulailah m diisi dengan 1,2,...20. carilah nilai yang mendekati bentuk gelombnag yang ideal dari gelombang sinus tersebut sehingga menjadi gelombang kotak,segitiga,gergaji dan sinus yang rata. fsqmult(m),ftrimult(m),fsawmult(m),frecmult(m); dimana m adalah jumlah gelombang yang akan digambar mulai dari m=1 sampao m yang dimaksud.

HASIL KOMPUTASI DAN PEMBAHASAN A. Hasil 1. Tugas Eksperimen 1 a) Pembentukan Transformasi Fourier dengan wxMaxima Grafik 4.1 Pulsa Cosinus

Grafik 4.2 Bentuk Transformasi Fourier dari Pulsa Cosinus

Grafik 4.3 Unit Impulse

Grafik 4.4 Bentuk Trasnformasi Fourier dari Unit Impulse

Grafik 4.5 Bentuk fungsi periodik e-0, 1x^2cos(2*3.14*3x)sin(2*3.14*5x)

Grafik 4.6 Bentuk transformasi fourier fungsi periodik e-0, 1x^2cos(2*3.14*3x)sin(2*3.14*5x)

Grafik 4.7 Fungsi Periodik Kotak

Grafik 4.8 Bentuk Tranformasi Fourier dari Fungsi Periodik Kotak

Grafik 4.9 Fungsi Periodik Gigi Gergaji

Grafik 4.8 Bentuk Transformasi Fourier Dari Fungsi Periodik Gergaji

2.

Tugas Eksperimen 3 Mencari Transformasi Fourier dari sinyal segitiga Perhatikan bahwa fungsi tersebut (sebutlah f) merupakan fungsi genap karena simetris terhadap sumbu Y, sehingga deret fouriernya ∞

𝑎0 𝑛𝜋𝑥 𝑓(𝑥) = + ∑ an cos 2 𝐿 𝑛=1

Dimana an =

𝐿 𝑛𝜋𝑥 ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 2

Sekarang perhatikan bahwa persamaan garis f melalui titik (0,L) dan (L,0) adalah 𝑦−0 𝑥−𝐿 = 𝐿−0 0−𝐿 y = -x + L sehingga f(x) = -x + L dan an =

2

𝐿

∫ (−𝑥 + 𝐿) cos 𝐿 0

𝑛𝜋𝑥 𝐿

𝑑𝑥

2

= (− 𝐿

=−

𝐿2 (cos(𝑛𝜋)−1

𝜋 2 𝑛2 2𝐿 (cos(𝜋𝑛)−1)

)

𝜋 2 𝑛2 2𝐿 (cos(𝜋𝑛)−1) 𝑛𝜋𝑥 ∑ (− )cos 2 2 𝜋 𝑛 𝐿 𝑛=1 ∞

jadi 𝑓(𝑥) = 𝐿 +

PEMBAHASAN Pada praktikum kali ini, yaitu tentang percobaan pengantar transformasi fourier dan fast fourier transform. Transformasi fourier dapat didefinisikan sebagai sebuah alat untuk mentransformasikan suatu bentuk gelombang (Fungsi atau sinyal) ke dalam sebuah sebuah representasi alternatif, dan dideskripsikan menggunakan bentuk gelombang. Sinyal pada osiloskop merupakan virualisasi sinyal dalam bentuk ranah waktu (Time Domain), sumbu horizontalnya waktu (t) dan sumbu vertikalnya adalah amplitudo (A). Sedangkan dengan menggunakan transformasi ini maka sinyal difirtualisasikan dalam ranah frekuensi. Perhitungan transformasi

digunakan

Discrate

Fourier

Transformation

dan

algoritma

perhiungan yang lebih cepat digunakan Fast Fourier Transformation yang dapat diterapkan pada alat-alat digital elektronik dan pemrosesan sinyal digital. Untuk perbedaan Discrete Fourier Tranformation dan Fast Fourier Transformation adalah untuk Discrete Fourier Transformation memungkinkan untuk menganalisis, memanipulasi dan mensintesis sinyal dengan cara yang tidak mungkin dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog. Discrate Fourier Transformation ini pula digunakan untuk menentukan harmonik atau frekuensi yang merupakan isi dari urutan sinyal diskrit. Sedangkan untuk Fast Fourier Transformation adalah suatu algoritma yang efisien untuk menghitung transformasi fourier diskrit (DFT) dan inversnya. Biasanya sebuah fungsi digambarkan dalam domain waktu. Artinya yag diukur dari fungsi tersebut adalah waktu. Dengan kata lain, jika kita gambarkan fungsi tersebut pada sumbu simetri, maka sumbu x (Sebagai variabel bebas) mewakili waktu, dan sumbu y (Sebagai variabel tak bebas) mewakili nilai pada waktu t tertentu, atau nilai amplitudonya. Jika digambarkan fungsi dalam domain waktu, maka akan diperoleh representasi waktu-amplitudo fungsi tersebut. Pada

aplikasinya, representasi ini tidak selalu merupakan representasi terbaik. Pada banyak kasus, informasi khusus tersembunyi pada nilai frekuensinya. Spektrum frekuensi dari sebuah fungsi memperlihatkan frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut. Transformasi Fourier (Fourier Transform/FT) dapat mengubah fungsi sinyal atau dalam domain waktu ke dalam domain frekuensi. Jika menerapkan FT dalam sebuah fungsi domain waktu, maka akan didapat representasi fekuensiamplitudo fungsi tersebut. Dengan transformasi fourier, sebuah fungsi dapat digambarkan dalam sumbu x yang menunjukkan amplitudo. Gamabr FT menunjukkan berapa banyak frekuensi yang termuat pada frekuensi tersebut. Pada tugas eksperimen 1, yaitu salin dan mengamati setiap gelombang yang dihasilkan oleh seluruh program, namun program yang dapat dijalankan hanyalah program A yaitu program pembentukan transformasi fourier dengan wxMaxima. Pada program ini, diperoleh transformasi gelombang dari pulsa cosinus, unit impulse, fungsi periodik, periodik kotak dan periodik gergaji. Diperoleh sebanyak 17 gelombang. Pada tugas eksperimen 3, yaitu mencari transformasi dari sinyal segitiga. Pada sinyal tersebut, diperoleh bahwa garis f melalui titik (0,L) dan (L,0) dengan persamaan y = -x + L. Dengan transformasi fourier, diperoleh hasil 𝑓(𝑥) = 𝐿 + ∞

∑

(−

𝑛=1

2𝐿 (cos(𝜋𝑛)−1) 𝑛𝜋𝑥 )cos . 2 2 𝜋 𝑛 𝐿

KESIMPULAN Adapun kesimpulan pada praktikum ini yaitu sebagai berikut. 1. Discrete Fourier Transform (DFT) adalah prosedur powerful yang digunakan dalam pemrosesan sinyal digital dan filterisasi digital 2. Fast Fourier transform (FFT) adalah suatu algoritma yang efisien untuk menghitung transformasi Fourier diskrit (DFT) dan inversenya. 3. Fourier Transformation adalah sebuah alat untuk mentransformasikan suatu sinyal dalam domain waktu menuju domain frekuensi.

SARAN Adapun saran untuk praktikum ini yaitu, agar praktikum berjalan lancer, sebaiknya seluruh peserta memperhatikan terlebih dahulu apa yang disampaikan asisten kemudian mempraktikannya.

DAFTAR PUSTAKA Gunawan, Hendra. 2001. Analisa Fourier Dan Wavelet. Bandung Teknologi Bandung

: Institut

Harahap, H dkk. 2016. Implementasi Teknik Watermarking Menggunakan Fft Dan Spread Spectrum Watermark Pada Data Audio Digital. Bandung : Universitas Telkom Hidayat, Risanuri. 2014. Deret Dan Transformasi Fourier. Yogyakarta Universitas Gajah Mada

:

LAMPIRAN