Eksperimen 6.docx

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI EKSPERIMEN VI PENGANTAR MONTE CARLO

OLEH : NAMA NIM KELOMPOK ASISTEN

: : : :

MAYA SAFITRI J1D115020 I (SATU) GIA EKA NEGARA

KEMENTERIAN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA BANJARBARU 2017 LEMBAR PENGESAHAN LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI Nama NIM Shift Judul Percobaan

: : : :

Maya Safitri J1D115020 I (Satu) Pengantar Montecarlo

Tanggal Percobaan : Fakultas : Program studi : Asisten :

Nilai

08 Mei 2017 Matematika dan Ilmu Pengetahan Alam Fisika Gia Eka Negara

Banjarbaru,

2017

Asisten,

(Gia Eka Negara)

PENGANTAR MONTE CARLO Indah Febrianti , Rolly Ega Suganda2, Ade Agung Hernawan,S.Si,M.Sc2 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru, Indonesia [email protected], [email protected], [email protected] 1

Abstrak Salah satu kegunaan RNG adalah dalam metode Metode Carlo. Metode Monte Carlo sendiri adalah metode yang digunakan untuk menghitung atau memperkirakan nilai atau solusi menggunakan angka acak, probabilitas, dan statistik. Salah satu aplikasi dari metode ini misalnya program untuk memperkirakan sebuah nilai, misalnya π. Hal yang dibutuhkan antara lain kemampuan untuk menghasilkan angka acak dan mengaplikasikannya ke

kemungkinan statistik. Sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan seringkali menarik perhatian di fisika. Gambaran sistem seperti ini seringkali melibatkan (atau bisa direduksi menjadi) evaluasi terhadap integral dimensi tinggi. Praktikum pengantar Montecarlo ini bertujuan agar praktikan dapat menjelaskan strategi dan konsep dasar dari metode Monte Carlo, menjelaskan kedudukan bilangan acak (random) dan cara membangkitkannya dalam metode Monte Carlo serta dapat mengimplementasikan metode Monte Carlo dalam program terkait kasus-kasus sederhana integral lipat yang di tangani. Kata Kunci: Metode monte Carlo, bilangan acak, integral lipat Abstract One method uses a RNG is the Carlo method. Monte Carlo method itself is the method used to calculate or estimate the value or solution using random numbers, probability, and statistics. One application of this method for example, a program to estimate a value, such as π. It required, among others, the ability to generate random numbers and apply them to the statistical probability. Systems with large number of degrees of freedom are often attracted attention in physics. Overview of such systems often involve (or can be reduced to) an evaluation of highdimensional integrals. Montecarlo introductory practicum is intended that the practitioner can explain the strategy and the basic concepts of the Monte Carlo method, explained the position of random numbers (random) and how to raise it in the methods of Monte Carlo and the Monte Carlo method can implement the related programs simpler cases handled integral folding. Keywords: Monte Carlo method, random numbers, integral folding

PENDAHULUAN Saat ini makin banyak bidang di kehidupan di mana hasil yang tidak terduga (unpredictable) dibutuhkan. Misalnya pengambilan sampel statistik, simulasi komputer, sistem keamanan, dan kriptografi. Dalam bidang-bidang tersebut, random number generator (penghasil angka acak, biasa disingkat RNG) bisa diaplikasikan. Dalam ilmu komputer, RNG memiliki peranan penting dan merupakan sesuatu yang umum karena bisa diaplikasikan dalam berbagai aspek. Hal ini bisa dilihat dalam bidang kriptografi yang membutuhkan ketidakteraturan (randomness) tingkat tinggi. Semakin tinggi tingkat ketidakteraturan berarti semakin susah pula ditebak polanya. Lain halnya dengan pengaplikasian ketidakteraturan di permainan komputer, misalnya untuk menentukan langkah

mana yang akan diambil oleh komputer. Hal tersebut tidak terlalu membutuhkan ketidakteraturan tingkat tinggi. Metode Monte Carlo dapat digambarkan sebagai metode statistik untuk simulasi data. Dan simulasi didefinisikan menjadi metode yang menggunakan urutan dari nomor random sebagai data. Metode Monte Carlo menyediakan solusi untuk berbagai macam problem matematik dengan menggunakan eksperimen statistikal sampling pada komputer. Metode Monte Carlo sangat berguna untuk menyelesaikan problem yang tidak dapat dipecahkn menggunakan means normal. Salah satu kegunaan RNG adalah dalam metode Metode Carlo. Metode Monte Carlo sendiri adalah metode yang digunakan untuk menghitung atau memperkirakan nilai atau solusi menggunakan angka acak, probabilitas, dan statistik. Salah satu aplikasi dari metode ini misalnya program untuk memperkirakan sebuah nilai, misalnya π. Hal yang dibutuhkan antara lain kemampuan untuk menghasilkan angka acak dan mengaplikasikannya ke kemungkinan statistik. Kita bisa menemukan pengaplikasian Metode Monte Carlo di banyak bidang mulai dari bidang ekonomi hingga ilmu nuklir. Bahkan bidang kimia pun menggunakan metode ini. Tapi pada dasarnya, eksperimen dengan menggunakan metode Monte Carlo berarti menggunakan angka acak untuk memeriksa permasalahan yang akan dipecahkan. Metode Monte Carlo berhubungan dengan bidang probabilitas dan statistika karena pengaplikasian metode ini membutuhkan sampel acak. Selain itu metode Monte Carlo yang memang dapat diaplikasikan ke berbagai bidang juga dapat diterapkan di bidang teknologi informasi. KASUS FISIS Ide pertama dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930an. Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis. Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di komputer. Metode tersebut dilakukan secara untunguntungan. Takut hasil karyanya dicontek orang, metode tersebut diberi kode nama Monte Carlo. Nama Monte Carlo kemudian akhirnya menjadi populer oleh Enrico Fermi, Stanislaw Ulam, dan rekan-rekan mereka sesama peneliti fisika. Nama Monte Carlo merujuk kepada sebuah kasino terkenal di Monako. Di sanalah paman dari Stanislaw Ulam sering meminjam uang untuk berjudi. Kegunaan dari ketidakteraturan dan proses yang berulang memiliki kesamaan dengan aktivitas di kasino. Hal yang berbeda dari simulasi Monte Carlo adalah ia membalikkan bentuk simulasi yang umum. Metode ini akan mencari kemungkinan terlebih dahulu sebelum memahami permasalahan yang ada. Sementara umumnya

menggunakan simulasi untuk menguji masalah yang sebelumnya telah dipahami. Walaupun pendekatan terbalik ini sudah ada sejak lama, namun baru setelah metode Monte Carlo populer pendekatan ini diakui (Munir, 2010). Metode Monte Carlo dapat didefinisikan sebagai suatu metode yang digunakan untuk mensimulasikan berbagai pola atau prilaku dari sistem secara fisis dan matematis. Metode Monte Carlo digunakan untuk menemukan solusi ke dari problem matematis dengan banyak variabel yang tidak bias dengan mudah dipecahkan, sebagai contoh, dengan hitungan integral, atau metode numeris lainnya. Untuk berbagai jenis permasalahan, tingkat efisiensinya berkaitan antara peningkatan metode numeris dengan peningkatan dari dimensi permasalahan. Monte Carlo merupakan metode simulasi stokastik yang dapat diterapkan untuk beberapa keperluan yang pada umumnya berkaitan dengan penggunaan angkaangka acak dan sampling dengan distribusi peluang yang dapat diketahui dan ditentukan. Pada beberapa kasus metode ini menggunakan proses iterasi yang melibatkan sejumlah kalkulasi besar guna meningkatkan reabilitas hasil simulasi secara statistik. Metode Monte Carlo dapat diterapkan pada kasus-kasus yang berkaitan dengan data pengamatan kontinyu maupun diskrit. Fenomena perubahan lahan adalah problema stokastik yang dalam hal ini model prediksi yang di buat bersifat diskrit (Akbar, 2008). Sistem Banyak Derajat Kebebasan Sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan seringkali menarik perhatian di fisika. Gambaran sistem seperti ini seringkali melibatkan (atau bisa direduksi menjadi) evaluasi terhadap integral dimensi tinggi. Sebagai contoh, fungsi partisi klasik untuk sejumlah A atom-atom gas, pada temperatur 1/â yang berinteraksi melalui potensial v adalah sebanding dengan integral 3A dimensi

… (1) Dalam bidang fisika, integral lipat dua dan lipat tiga atau bahkan integral untuk dimensi yang lebih tinggi lagi sering dijumpai. Proses perhitungan integral semacam ini akan memakan waktu yang sangat lama jika dikerjakan untuk h yang kecil sedangkan batas integrasi yang harus dihitung cukup besar. Sebagai contoh, untuk memahami bentuk penyelesaian integral pada persamaan (1), berarti harus ditinjau bahwa integral meliputi tiap koordinat untuk mengambil 10 nilai berbeda, sehingga integrand harus mengevaluasi sebanyak 103A titik. Misal sederhananya nilai A=20 dan sebuah komputer yang super cepat mampu melakukan 107 evaluasi perdetik, maka proses ini akan memakan waktu 1053 detik, lebih dari 1034 kali umur alam semesta. Untuk mengatasi hal ini metode Monte Carlo dapat dipakai untuk mempercepat hitungan (Akbar, 2008). Strategi Dasar Metode Monte Carlo

Meskipun kekuatan metode Monte Carlo adalah mengevaluasi integral multi dimensi, tetapi metode ini bisa memberikan ilustrasi ide dasar pada situasi 1 dimensi dengan sangat mudah. Tinjau suatu bentuk integral sebagai berikut:

… (2) untuk fungsi sebarang f. Salah satu alternatif penyelesaiannya adalah rata-rata f pada interval [a,b], dengan formula

… (3) dimana xi terdistibusi mera ta antara x=a dan x=b, dan dalam hal ini ada N buah xi yang diambil secara acak sebagai sampel dalam perhitungan integrasi tersebut. Jika diambil interval [0,1] formula (3) memberikan hasil

… (4) Untuk memperkirakan ketidakpastian berkaitan dengan formula integrasi ini, bisa ditinjau f i º f( x i) sebagai variabel acak dan memenuhi teorema batas pusat untuk N yang besar. Dari hukum statistik, kita dapatkan bahwa

… (5) (Akbar, 2008). Simulasi Monte Carlo dikenal dengan intilah sampling simulation atau Monte Carlo Samling Technique. Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasi nuclear fission. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) dan telah diketahui distribusi datanya. Monte Carlo digunakan untuk membuat model system yang mengandung elemen yang mengikut sertakan faktor kemungkinan. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini terbagi dalam 5 tahapan, yaitu: 1.

Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting

2.

Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap pertama

3.

Menentukan interval angka random untuk tiap variable

4.

Membuat angka random

5.

Membuat simulasi dari rangkaian percobaan

(Munir, 2003). Ide pertama dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930an. Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis.Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di komputer. Metode tersebut dilakukan secara untung-untungan. Takut hasil karyanya dicontek orang, metode tersebut diberi kode nama ―Monte Carlo. Nama ―Monte Carlo‖ kemudian akhirnya menjadi populer oleh Enrico Fermi, Stanislaw Ulam, dan rekan-rekan mereka sesama peneliti fisika. Nama ―Monte Carlo‖ merujuk kepada sebuah kasino terkenal di Monako. Di sanalah paman dari Stanislaw Ulam sering meminjam uang untuk berjudi. Kegunaan dari ketidakteraturan dan proses yang berulang memiliki kesamaan dengan aktivitas di kasino. Hal yang berbeda dari simulasi Monte Carlo adalah ia ―membalikkan‖ bentuk simulasi yang umum. Metode ini akan mencari kemungkinan terlebih dahulu sebelum memahami permasalahan yang ada. Sementara umumnya menggunakan simulasi untuk menguji masalah yang sebelumnya telah dipahami. Walaupun pendekatan terbalik ini sudah ada sejak lama, namun baru setelah metode Monte Carlo populer pendekatan ini ―diakui‖. Penggunaan metode paling awal diketahui digunakan oleh Enrico Fermi di tahun 1930. Pada waktu itu beliau menggunakan metode acak untuk menghitung sifat dari neutron yang baru ditemukan. Baru setelah komputer pertama diperkenalkan sekitar tahun 1945 metode Monte Carlo mulai dipelajari lebih lanjut. Metode ini telah digunakan di bidang fisika, kimia fisika, dan lain-lain. Rand Corporation dan U.S. Air Force merupakan sponsor utama dalam pengembangan metode Monte Carlo pada waktu itu dan metode ini semakin berkembang di berbagai bidang. Penggunaan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah besar angka acak sehingga seiring dengan berkembangnya metode ini, berkembang pula pseudorandom number generator yang ternyata lebih efektif digunakan daripada tabel angka acak yang terlah sebelumnya sering digunakan untuk pengambilan sampel statistic (Nadinastiti, 2011). Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan

menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya. Penggunaan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah besar angka acak sehingga seiring dengan berkembangnya metode ini, berkembang pula pseudorandom number generator yang ternyata lebih efektif digunakan daripada tabel angka acak yang terlah sebelumnya sering digunakan untuk pengambilan sampel statistic. Aplikasi metode Monte Carlo 

Grafis, terutama untuk ray tracing



Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis / multi-layered tissues (MCML)



Metode Monte Carlo dalam bidang finansial



Simulasi prediksi struktur protein



Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus



Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL

(Garcia, 2000). METODE KOMPUTASI DAN LISTING PROGRAM ALGORITME PROGRAM a. Program Integrasi 1D Monte Carlo (Pada latihan program) 1. Memasukkan fungsi f(x). 2. Memasukkan fungsi untuk melakukan metode Monte Carlo. 3. Masukkan fungsi header iostream, iomanip, cmath, cstdlib dn ctime. 4. Memasukkan nilai phi=3,1415926. 5. Masukkan keluaran ios::fixed l ios :: showpoint. 6. Memasukkan a = 0.0 untuk point kiri. 7. Memasukkan b = 3; untuk point kanan. 8. Memasukkan n = 2; untuk menjelaskan nomor yang di interpalkan. 9. Memasukkan fungsi integral dn errornya. 10. Memasukkan fungsi integral dengan banyak variasi. 11. Memasukkan fungsi u = 1.0*rand. 12. Memasukkan fungsi x = a=(b-a)u. 13. Memasukkan fungsi f2s = f2s + f(x)* f(x).

14. Memasukkan fungsi r = fs* + (b-a) /n. 15. Memasukkan rumus errest = (b-a)*sqrt((f2s-fs*fs)/n). 16. Menjalankan program. 17. Hasil dari program b. Program Integrasi Multi Dimensi Monte Carlo (Pada latihan program) 1. Memasukkan fungsi iostream, iomanip, cmath, cstdlib dan ctime. 2. Memasukkan fungsi double a dan b. 3. Memasukkan keluaran ios::fixed l ios :: showpoint. 4. Memasukkan rumus y = pow ((x[0]+x[2]+x[3]+x[4],2). 5. Memasukkan fungsi kalkulator faktor p= p*(b[j]-a[j]). 6. Memasukkan fungsi integrasi fungsi j = a[j]+(b[j]-a[j])*rand. 7. Memasukkan fungsi r = r+fn (x,n). 8. Menjalankan program. 9. Hasil dari program. FLOWCHART a. Program Integrasi 1D Monte Carlo (Pada latihan program) Start

phi=3,1415926

1.

u = 1.0*rand; x = a=(b-a)u f2s = f2s + f(x)* f(x) r = fs* + (b-a) /n errest = (b-a)*sqrt((f2s-fs*fs)/n)

Menjalakan program dengan data yang ada

End

b. Program Integrasi Multi Dimensi Monte Carlo (Pada latihan program) Start

y=pow ((x[0]+x[2]+ x[3]+x[4],2)

p= p*(b[j]-a[j]) j = a[j]+(b[j]-a[j])*rand r = r+fn (x,n)

Menjaankan Program End

LISTING PROGRAM a. Program Integrasi 1D Monte Carlo (Pada latihan program) /* Integration of a function f(x) on [a,b] Method: Monta Carlo Integration AG (February 2007) */ #include #include #include #include #include using namespace std; double int_mcl (double(*)(double),double&, double, double, int); double f(double); int main () { double a, b, mc, errest; int i, n; int ntimes; const double pi = 3.1415926; cout.precision (6); cout.setf(ios::fixed | ios::showpoint); /* initial information */ a = 0.0; //left endpoint b = 3; //right endpoint n = 2; //intial number of intervals ntimes = 16; //number of interval doubleinge with nmax=2^ntimes cout<<" points "<<"integral"<<"error"<< endl; /*step 2: integration for various number of random points*/

for (i=0; i <=ntimes; i=i+1) { mc = int_mcl (f, errest, a, b, n); cout << setw (10) << n << setw (12) << mc << setw (12) << errest <<endl; n=n*2; } system ("pause"); return 0; } /* * Function for integration */ double f (double x) { const double pi = 3.1415926; double y; y = x*x; return y; } double int_mcl(double(*f)(double), double& errest, double a, double b, int n) { double r, x, u, f2s, fs; /*variables fs and f2s are used to estimate an error of integration */ srand (time (NULL)); /*initial seed value (use system time)*/ fs = 0.0; f2s = 0.0; for (int i = 1; i<= n; i=i+1) { u = 1.0*rand()/(RAND_MAX+1);/* random number between 0.0 and 1.0*/ x = a + (b-a)*u; fs = fs + f(x); f2s= f2s + f(x)*f(x); } r = fs*(b-a)/n; /*evaluate integration error*/ fs = fs/n; f2s = f2s/n; errest = (b-a)*sqrt((f2s-fs*fs)/n); return r

b. Program Integrasi Multi Dimensi Monte Carlo (Pada latihan program) /*Muti Dimension integration using monte carlo method integration of f(x1, x2, ...xn) on (a [i], b[i],) (i=1,n) intervals

AG: february 2007 */ #include #include #include #include #include #include using namespace std; double f(double[], int); double int_mcnd (double(*)(double[], int),double[], double[], int, int); main () { const int n = 3; /*define how many integrals*/ // const int m = 1000000; /* define how many points*/ double a[n] = {0, 1, 1}; /* left end-points*/ double b[n] = {2, 2, 4}; /* right end-points*/ double result; int i, m; int ntimes; cout.precision(6); cout.setf(ios::fixed | ios::showpoint); // current time in seconds (begin calculations) time_t seconds_i; seconds_i = time (NULL); m = 2; //initial number of intervals ntimes = 20; //number of interval doublings with nmax=2^ntimes cout << setw (12) << n <<"D Integral" << result <<endl; for (i=0; i <=ntimes; i=i+1) { result = int_mcnd(f, a, b, n, m); cout << setw (10) <<m<< setw (12) << result <<endl; m = m*2; } // cout << " " << n <<"D Integral=" << result <<endl; //current time in secodes (end of calculations) time_t seconds_f; seconds_f = time (NULL); cout << endl << "total elapsed time = " << seconds_f seconds_i << " seconds" << endl << endl; system ("pause"); return 0; } /* * Fuction f(x1, x2, ....xk) */

double f(double x[], int n) { double y; int j; y = 6*x[1]; /* a user may define the function explicitly like below */ // y = pow ( (x[0] + x[1]+x[2]+x[3]+x[4]), 2); /* or for a specific function like (x1 + x2 + ...xn)^2 use a loop over n */ return y; } double int_mcnd (double(*fn)(double[], int), double a[], double b[], int n, int m) { double r, x[n], p; int i, j; srand (time (NULL)); /* initial seed value (use system time) */ r = 0.0; p = 1.0; //step 1: calculate the common factor p for (j=0; j
HASIL KOMPUTASI DAN PEMBAHASAN HASIL KOMPUTASI a. Program Integrasi 1D Monte Carlo (Pada Tugas Praktikum 1)

b. Program Integrasi Multi Dimensi Monte Carlo (Pada Tugas Praktikum 2)

5

6

1

c. Mengevaluasi fungsi integral lipat dua berikut ∫𝑥=2 ∫𝑦=1 𝑥 3 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 dengan jumlah titik sampel N = 100, selanjutnya di cek dengan nilai analitiknya (pada tugas eksperimen nomor 1). Hasil analitiknya dapat ditentukan dengan menggunakn program WXMaxima. Yang mana hasilnya adalah sebagai berikut.

d. Menghitung

integral

lipat

3 5 4 10 ∫𝑥=0 ∫𝑦=1 ∫𝑧=1 2𝑥 2 𝑦 −4 𝑧 4 𝑑𝑦𝑑𝑧

tiga

berikut

dengan

montecarlo

dengan N = 10, 20 dan 40, selanjutnya di cek

dengan nilai analitiknya (Pada tugas eksperimen nomor 2) Hasil analitiknya dapat ditentukan dengan menggunakn program WXMaxima. Yang mana hasilnya adalah sebagai berikut.

PEMBAHASAN Pada praktikum kali ini, yaitu tentang percobaan pengantar Monte Carlo. Metode Monte Carlo dapat didefinisikan sebagai suatu metode yang digunakan untuk mensimulasikan berbagai pola atau prilaku dari sistem secara fisis dan matematis. Metode Monte Carlo digunakan untuk menemukan solusi ke dari problem matematis dengan banyak variabel yang tidak bias dengan mudah dipecahkan, sebagai contoh, dengan hitungan integral, atau metode numeris lainnya. Untuk berbagai jenis permasalahan, tingkat efisiensinya berkaitan antara peningkatan metode numeris dengan peningkatan dari dimensi permasalahan. Monte Carlo merupakan metode simulasi stokastik yang dapat diterapkan untuk beberapa keperluan yang pada umumnya berkaitan dengan penggunaan angka-angka acak dan sampling dengan distribusi peluang yang dapat diketahui dan ditentukan. Pada beberapa kasus metode ini menggunakan proses iterasi yang melibatkan sejumlah kalkulasi besar guna meningkatkan reabilitas hasil simulasi secara statistik. Metode Monte Carlo dapat diterapkan pada kasus-kasus yang berkaitan dengan data pengamatan kontinyu maupun diskrit. Fenomena perubahan lahan adalah problema stokastik yang dalam hal ini model prediksi yang di buat bersifat diskrit.

Praktikum Monte Carlo ini memiliki beberapa tujuan, yaitu agar praktikan dapat menjelaskan strategi dan konsep dasar dari metode Monte carlo, menjelaskan kedudukan bilangan acak (random) dan cara membangkitkannya dalam metode Monte Carlo serta dapat mengimplementasikan metode Monte Carlo dalam program terkait kasus-kasus sederhana integral lipat yang di tangani. Sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan seringkali menarik perhatian di fisika. Gambaran sistem seperti ini seringkali melibatkan evaluasi terhadap integral dimensi tinggi. Dalam bidang fisika, integral lipat dua dan lipat tiga atau bahkan integral untuk dimensi yang lebih tinggi lagi sering di jumpai. Proses perhitungan integral semacam ini akan memakan waktu yang sangat lama jika dikerjakan untuk h yang kecil sedangkan batas integrasi yang harus di hitung cukup besar. Meskipun kekuatan metode Monte Carlo adalah mengevaluasi integral multi dimensi, tetapi metode ini bias memberikan ilustrasi ide dasar pada situasi satu dimensi dengan sangat mudah. Pada latihan program yang pertama, yaitu membuat pogram integrasi 1D monte carlo dimana listing programnya di buat dengan memasukkan banyak fungsi, seperti fungsi #include , #include , #include , #include , dan #include . Program ini di buat dengan memasukkan fungsi f(x) dan memasukkan nilai phi. Selain nilai phi, fungsi x, f2s dan r pun juga dimasukkan. Setelah program dijalankan, mka hasil compile akan menampilkan nilai integrasi 1D monte carlo. Hasil compile tersebut dapat di lihat pada hasil komputasi di atas.Pada latihan program yang kedua, yaitu membuat program integrasi multi dimensi monte carlo. Fungsi yang dimasukkan sama dengan fungsi pada latihan program yang pertama. Hasil compile juga dapat di lihat pada hasil komputasi di atas. Sedangkan hasil tugas eksperimen nomor satu dan nomor dua yaitu menghitung nilai integral lipat dua dan lipat tiga, hasilnya juga dapat di lihat pada hasil komputasi di atas, di mana nilai integral di hitung dengan menggunakan cara analitik serta dengan menggunakan nilai N. KESIMPULAN Metode Monte Carlo dapat didefinisikan sebagai suatu metode yang digunakan untuk mensimulasikan berbagai pola atau prilaku dari sistem secara fisis dan matematis. Metode Monte Carlo digunakan untuk menemukan solusi ke dari problem matematis dengan banyak variabel yang tidak bias dengan mudah dipecahkan, sebagai contoh, dengan hitungan integral, atau metode numeris lainnya. Untuk berbagai jenis permasalahan, tingkat efisiensinya berkaitan antara peningkatan metode numeris dengan peningkatan dari dimensi permasalahan. Monte Carlo merupakan metode simulasi stokastik yang dapat diterapkan untuk beberapa keperluan yang pada umumnya berkaitan dengan penggunaan angka-angka acak dan sampling dengan distribusi peluang yang dapat diketahui dan ditentukan. Pada beberapa kasus metode ini menggunakan proses iterasi yang melibatkan sejumlah kalkulasi besar guna meningkatkan reabilitas hasil simulasi

secara statistik. Metode Monte Carlo dapat diterapkan pada kasus-kasus yang berkaitan dengan data pengamatan kontinyu maupun diskrit. Fenomena perubahan lahan adalah problema stokastik yang dalam hal ini model prediksi yang di buat bersifat diskrit.Dengan adanya metode monte carlo ini, permasalahan-permasalah yang ada dalam praktikum kali ini dapat terselesaikan.

DAFTAR PUSTAKA Akbar, Rahmat. 2008. Monte Carlo. Bandung : Institut Teknologi Bandung Garcia A. L. 2000. Numerical Methods for Physics. Prentice Hall: New Jersey. Munir, Rinaldi.2003. Metode Numerik.informatika : Bandung

Munir, Rinaldi. 2010. Metode Monte carlo. Bandung Bandung

: Institut Teknologi

Nadinastiti. 2011. Metode Monte Carlo. Bandung : Institut Teknologi Bandung

LAMPIRAN a. Program Integrasi 1D Monte Carlo (Pada latihan program)

b. Program Integrasi Multi Dimensi Monte Carlo (Pada latihan program)