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Matemáticas Avanzadas Ejercicios voluntarios Tema 1 1.- Un fabricante que tiene derechos exclusivos sobre una nueva máquina industrial compleja planea vender un número limitado de máquinas a mercados nacionales y extranjeros. El precio que el fabricante espera fijar a las máquinas dependerá del número de máquinas que estén disponibles. Se estima que si el fabricante suministra x máquinas al mercado nacional e y máquinas al mercado extranjero, las máquinas se x 5

venderán a 60 − + 50 −

y miles de dólares cada una en el mercado nacional y a 20

y x miles de dólares en el extranjero. + 10 20

a) Exprese el ingreso R del fabricante como una función de x e y. b) Calcule el ingreso total del fabricante en el caso que suministre 100 máquinas al mercado nacional y 50 máquinas al extranjero.

2.- Dada la función f ( x, y ) = ( x − 3)( y + 2) ,

halle las curvas de nivel correspondientes a C=-5, C=-1, C=0, C=1 y C=5. Represéntelas.

3.- Dada la función f ( x, y ) =

ln( x + y ) , x2 − y2

a) Halle su dominio y represéntelo. b) Evalúe la función anterior en el punto P(3,2). c) Obtenga sus derivadas parciales y evalúa su gradiente en el punto P(3,2). d) Obtenga todas sus derivadas parciales segundas (incluidas las cruzadas) y evalúa su matriz hessiana en el punto P(3,2). e) Calcule sus derivadas direccionales en el punto P(3,2) y en las direcciones de los vectores u=(1,1) y v=(3,4).

4.- Dada la función de producción en forma implícita K 2L +1 = 0 , Q ∂Q   ∂Q  calcule las productividades marginales del capital  = QK  y del trabajo  = QL  .  ∂K   ∂L  F (Q, K , L) = ln(Q) −

5.- Dada la función de utilidad U (q1 , q2 ) = 2q1q23 , halle la tasa marginal de sustitución  Q2    para q1 = 3 , q2 = 2 . Interprete económicamente el resultado.  Q1 