Ejercicos Ef.docx

5.1 INTRODUCTION Los capítulos 2, 3 y 4 introdujeron algunos de los conceptos básicos del elemento finito método en términos de los llamados elementos de línea. El resorte elástico lineal, la barra elemento y el elemento de flexión son elementos de línea debido a las propiedades estructurales se puede describir en términos de una sola variable espacial que identifica la posición a lo largo de el eje longitudinal del elemento. Las relaciones de fuerza de desplazamiento para la línea los elementos son simples, ya que estas relaciones se describen fácilmente utilizando solo los conceptos de fuerza elemental de los materiales. Para extender el método de finito análisis de elementos a situaciones más generales, particularmente aplicaciones no estructurales, Se requieren técnicas matemáticas adicionales. En este capítulo, el método de residuos ponderados se describe en general y el método de Galerkin de se enfatiza los residuos ponderados [1] como una herramienta para la formulación de elementos finitos para esencialmente cualquier problema de campo gobernado por una ecuación diferencial.

5.2 MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS Es un hecho básico que la mayoría de los problemas prácticos en la ingeniería se rigen por ecuaciones diferenciales. Debido a las complejidades de la geometría y la carga, rara vez son soluciones exactas a las ecuaciones gobernantes posibles. Por lo tanto, aproximado las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales son indispensables en ingeniería análisis. De hecho, el método de elementos finitos es una técnica de este tipo. sin embargo, el método de elementos finitos se basa en varios otros, más fundamentales, aproximados técnicas, una de las cuales se discute en detalle en esta sección y posteriormente aplicado a la formulación de elementos finitos. El método de residuos ponderados (MWR) es una técnica aproximada para resolver problemas de valores límite que utilizan funciones de prueba que satisfacen

CAPÍTULO 5 Método de residuos ponderados Condiciones de contorno prescritas y una formulación integral para minimizar el error, en un sentido promedio, sobre el dominio del problema. El concepto general se describe aquí en términos del caso unidimensional, pero, como se muestra en capítulos posteriores, la extensión a dos y tres dimensiones es relativamente sencilla. Dado un ecuación diferencial de la forma general D [y (x), x] = 0 a <x
(5.1)

Sujeto a condiciones de frontera homogéneas y (a) = y (b) = 0

(5.2)

El método de residuos ponderados busca una solución aproximada en la forma

(5.3)

Donde y * es la solución aproximada expresada como el producto de ci desconocido, parámetros constantes a determinar y funciones de prueba de Ni (x). El mayor requisito impuesto a las funciones de prueba es que sean funciones admisibles; es decir, las funciones de prueba son continuas en el dominio de interés y satisfacen las condiciones de contorno especificadas exactamente. Además, las funciones de prueba deberían ser seleccionado para satisfacer la "física" del problema en un sentido general. Dados estos condiciones algo laxas, es muy poco probable que la solución representada por La ecuación 5.3 es exacta. En cambio, en la sustitución de la solución asumida en el Ecuación diferencial 5.1, un error residual (en lo sucesivo simplemente llamado residual) resultados tales que R (x) = D [y * (x), x] = 0

(5.4)

Donde R (x) es el residual. Tenga en cuenta que el residuo también es una función de los parámetros desconocidos ci. El método de residuos ponderados requiere que el parámetros desconocidos pueden ser evaluados de tal manera que

(5.5)

Donde wi (x) representa n funciones de ponderación arbitrarias. Observamos que, en integración, Ecuación 5.5 resulta en n ecuaciones algebraicas, que pueden ser resueltas para los n valores de ci. La ecuación 5.5 expresa que la suma (integral) de la ponderación el error residual sobre el dominio del problema es cero. Debido a los requisitos colocado en las funciones de prueba, la solución es exacta en los puntos finales (el límite condiciones deben ser satisfechas) pero, en general, en cualquier punto interior el residuo el error es distinto de cero. Como se discutió posteriormente, el MWR puede capturar el exacto solución bajo ciertas condiciones, pero esta ocurrencia es la excepción en lugar de la regla. Varias variaciones de MWR existen y las técnicas varían principalmente en cómo los factores de ponderación están determinados o seleccionados. Las técnicas más comunes son la colocación de puntos, la colocación de subdominios, los mínimos cuadrados, y Galerkin

5.2 Método de residuos ponderados 133 Método 1]. Como es bastante simple de usar y fácilmente adaptable al elemento finito método, solo discutimos el método de Galerkin. En el método residual ponderado de Galerkin, se eligen las funciones de ponderación ser idéntico a las funciones de prueba; es decir, wi (x) = Ni (x) i = 1, n

(5.6)

Por lo tanto, los parámetros desconocidos se determinan a través de

(5.7) Nuevamente resultando en n ecuaciones algebraicas para la evaluación de los parámetros desconocidos. Los siguientes ejemplos ilustran detalles del procedimiento.

EJEMPLO 5.1 Utilice el método de residuos ponderados de Galerkin para obtener una solución aproximada del ecuación diferencial

Con condiciones de contorno y (0) = y (1) = 0. ■ Solución La presencia del término cuadrático en la ecuación diferencial sugiere que las funciones de prueba en forma polinómica son adecuados. Para condiciones de contorno homogéneas en x = a y x = b, la forma general N (x) = (x - xa) p (x - xb) q Con p y q siendo enteros positivos mayores que cero, automáticamente cumple el límite condiciones y es continuo en xa ≤ x ≤ xb. Usando una única función de prueba, la más simple la forma que satisfaga las condiciones de contorno establecidas es N1 (x) = x (x - 1) Usando esta función de prueba, la solución aproximada según la Ecuación 5.3 es y * (x) = c1x (x - 1) y el primer y segundo derivados son

Respectivamente. (Vemos, en este punto, que la solución de prueba seleccionada no satisface la física del problema, ya que hemos obtenido una segunda derivada constante. El diferencial La ecuación es tal que la segunda derivada debe ser una función cuadrática de x. Sin embargo, continuamos el ejemplo para ilustrar el procedimiento).

CAPÍTULO 5 Método de residuos ponderados La sustitución de la segunda derivada de y * (x) en la ecuación diferencial produce el residual como R (x; c1) = 2c1 - 10x 2 – 5 Que es claramente distinto de cero. La sustitución en la ecuación 5.7 da

Que después de la integración produce c1 = 4, por lo que la solución aproximada se obtiene como y * (x) = 4x (x - 1) Para este ejemplo relativamente simple, podemos comparar el resultado aproximado de la solución con la solución exacta, obtenida al integrar la ecuación diferencial dos veces de la siguiente manera:

Aplicando la condición de frontera y (0) = 0 da C2 = 0, mientras que la condición y (1) = 0 se convierte

De donde C1 = -10/3. Por lo tanto, la solución exacta está dada por

Una comparación gráfica de las dos soluciones se muestra en la Figura 5.1, que muestra que la solución aproximada está en acuerdo razonable con la solución exacta. Sin embargo, tenga en cuenta que la solución aproximada de un solo término es simétrica durante el intervalo de interés. Que esto no es correcto se puede ver al examinar la ecuación diferencial. El primer conducir "fuerza" es el término cuadrático en x; por lo tanto, es poco probable que la solución sea simétrico. El siguiente ejemplo amplía la solución y muestra cómo el método se acerca a la solución exacta.