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Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-L Nombre: Josué Silva Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias NRC: 3625

Aplicaciones Geométricas

Ejercicio 21, página 190, Ecuaciones Diferenciales, Espinoza Ramos  Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

Datos: 𝑚 𝑇 = 𝑛𝑚 Desarrollo:

𝑚𝑂𝑃 =

𝑦−0 𝑦 = 𝑥−0 𝑥

𝑚𝑇 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto arbitrario de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) sea 𝑇 la recta tangente a ella en 𝑃.

La pendiente de la recta tangente 𝑇 es 𝑚 𝑇 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦

Si 𝑚 es la pendiente del segmento de recta 𝑂𝑃, entonces 𝑚 = 𝑥 .

Como la pendiente 𝑚 𝑇 es 𝑛 veces la pendiente m, entonces 𝑚 𝑇 = 𝑛𝑚 ⇒

𝑑𝑦 𝑦 = 𝑛( ) 𝑑𝑥 𝑥

Que es una ecuación diferencial que resolvemos separando variables

𝑑𝑦 𝑦 = 𝑛( ) 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑛( ) 𝑦 𝑥 EDO Variable Separable ∫

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑛∫ 𝑦 𝑥

ln 𝑦 = 𝑛 ln 𝑥 + 𝐶 ln 𝑦 = ln 𝑥 𝑛 + 𝐶 𝑒 ln 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥

𝑛 +𝐶

𝑛

𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 𝑒 𝐶 = 𝑥 𝑛 𝐶 Respuesta: 𝑦 = 𝑥𝑛𝐶

Aplicaciones Geométricas Ejercicio 48, Página 193, Ecuaciones Diferenciales, Espinoza Ramos

 Encontrar las curvas para las cuales cada normal y su intersección con X tiene la misma longitud.

Datos: La normal posee la misma longitud con su intersección con el eje X.

Desarrollo: Distancia entre el punto y el punto M:

𝑀 = 𝐸𝑗𝑒 𝑥 ∩ 𝑛 1 𝑦 − 𝑦𝑜 = − ′ (𝑥 − 𝑥𝑜) 𝑦 { } 𝑦=0 𝑀(𝑥𝑜 + 𝑦𝑜 ∗ 𝑦 ′ , 0) Longitud de la Normal del punto P(x,y) hasta el punto M.

|𝑃𝑀| = 𝑦√1 + 𝑦′

(𝑦 −

𝑚𝑥 𝑥 2 + 𝑥𝑚 )= 𝑦 𝑦

𝑦′ =

𝑦2 − 𝑥2 2𝑥𝑦

Es una EDO Reducible Homogénea

2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = (𝑦 2 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥

(∗)

Sustituir: 𝑦 = 𝑢𝑥

(1)

𝑑𝑦 = 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢

(2)

Reemplazar (1) y (2) en (*)

2𝑢𝑥 2 (𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢) = (𝑢2 𝑥 2 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2𝑢𝑥 3 𝑑𝑢 = (𝑢2 𝑥 2 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 Es una EDO Homogénea: −∫

2𝑢 1 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 𝑢2 + 1 𝑥

− ln(𝑢2 + 1) = ln(𝑥) − ln (

𝑦2 + 𝑥2 ) + 𝐶 = ln(𝑥) 𝑥2 𝐶 ∗ 𝑥2 =𝑥 𝑦2 + 𝑥2

Respuesta: 𝐶𝑥 = 𝑥 2 + 𝑦 2

Aplicaciones Geométricas

Ejercicio 75, página 196, Ecuaciones Diferenciales, Espinoza Ramos  Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4,8) y es tal que: “La tangente de la curva en un punto P (x, y) cualquiera de ella corta al eje X en un punto M equidistante del punto P y del punto A (0,4).” Datos: 𝐿𝑇 =′ 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒′ 𝑑 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑀 𝐿𝑇 = 𝑑 Desarrollo: Punto M, intersección con el eje X: 𝑀 = 𝐸𝑗𝑒 𝑥 ∩ 𝑡 𝑦 − 𝑦𝑜 = −𝑦′(𝑥 − 𝑥𝑜) { } 𝑦=0 𝑀(𝑥𝑜 −

𝑦𝑜 , 0) 𝑦′

Longitud del punto A (0,4) y el Punto M: 𝑑 = √(𝑥 −

𝑦 2 ) + (4)2 𝑦′

Longitud de la Tangente respecto al eje X: 𝐿𝑇 =

𝑦 √1 + 𝑦′2 𝑦′

Aplicando las condiciones: 𝐿𝑇 = 𝑑 𝑦 𝑦 2 √1 + 𝑦′2 = √(𝑥 − ) + (4)2 𝑦′ 𝑦′ Despejamos 𝑦′:

𝑦2

𝑦 2 (1 + 𝑦′ ) = (𝑥 − ) + (4)2 𝑦′ 𝑦 ′2 2

𝑦2 𝑦

(1 + 𝑦′2 ) = ′2

(𝑥𝑦 ′ − 𝑦)2 + 16 𝑦 ′2

2

𝑦 2 (1 + 𝑦 ′ ) = (𝑥𝑦 ′ − 𝑦)2 + 16𝑦 ′2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑦 ′2 = 𝑥 2 𝑦 ′2 − 2𝑥𝑦𝑦 ′ + 𝑦 2 + 16𝑦 ′2 𝑦 ′ (𝑦 ′ 𝑦 2 ) = 𝑦 ′ (𝑥 2 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 + 16𝑦 ′ ) 𝑦′ =

𝑥2

2𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 16

Separamos la ecuación diferencial de la forma: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (−𝑥 2 + 𝑦 2 − 16)𝑑𝑦 = 0 Comprobar si es una EDO Exacta: 𝑑𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 𝑑𝑦 ∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷𝑂 𝐸𝑥𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑁(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 } 𝑑𝑥 Determinamos el factor Integrante: 𝑢(𝑦) = 𝑒 𝑢(𝑦) = 𝑒

1 𝑑𝑁 𝑑𝑀 ∫(𝑀)( 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 )𝑑𝑦

1 ∫(2𝑥𝑦)(−2𝑥−2𝑥)𝑑𝑦

𝑢(𝑦) =

−2 ∫( 𝑦 )𝑑𝑦 𝑒

𝑢(𝑦) = 𝑒 −2 ln(𝑦) 𝑢(𝑦) =

1 𝑦2

Multiplicamos el factor Integrante a toda la ecuación diferencial: 1 ∗ [(2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (−𝑥 2 + 𝑦 2 − 16)𝑑𝑦 = 0] 𝑦2 2𝑥 𝑥2 16 𝑑𝑥 + (− 2 + 1 − 2 ) 𝑑𝑦 = 0 𝑦 𝑦 𝑦 Comprobar si es una EDO Exacta:

𝑑𝑀(𝑥, 𝑦) 2𝑥 =− 2 𝑑𝑦 𝑦 ∴ 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷𝑂 𝐸𝑥𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑁(𝑥, 𝑦) 2𝑥 =− 2 𝑑𝑥 𝑦 } Resolver mediante la forma alternativa: → ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 =∫ =

→ ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

2𝑥 𝑑𝑥 𝑦

𝑥2 16 = ∫ (− 2 + 1 − 2 ) 𝑑𝑥 𝑦 𝑦

𝑥2 𝑦

= 𝑥2 16 𝐶= +𝑦+ 𝑦 𝑦

Evaluando en el punto (4,8): 𝐶=

(4)2 16 +8+ 8 8 𝐶 = 12

Reemplazando el valor de C: 12 =

𝑥2 16 +𝑦+ 𝑦 𝑦

Respuesta: 𝑥 2 = 12𝑦 − 𝑦 2 − 16

𝑥2 16 +𝑦+ 𝑦 𝑦

Trayectorias Ortogonales Ejercicio 21, Página 204, Ecuaciones Diferenciales, Espinoza Ramos  Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto P(2,1) y para lo cual el área del triángulo que forman con el eje X, la tangente a la curva en cualquiera de sus puntos y el radio vector de dicho punto es una constante e igual a k(u^2).

Datos: Área=Longitud de la Tangente*Radio vector = k(u^2) Desarrollo: Longitud de la normal: 𝐿𝑛=

𝑦 √1 + (𝑦 ′ )2 𝑦′

Aplicando Condiciones: 𝑘𝑢2 = (𝑥 −

𝑦 ) (𝑦 − 𝑦 ′ 𝑥) 𝑦′

𝑘𝑢2 = 𝑥𝑦 −

𝑦2 − 𝑥 2 𝑦′ + 𝑥𝑦 𝑦′

𝑘𝑢2 = 𝑥𝑦 −

𝑦2 𝑦2 2 − 𝑥 𝑦′ + 𝑦′ 𝑦′

𝑘𝑢2 = 𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦′ 𝑘𝑢2 = 𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦′

𝑘𝑢2 = 𝑥𝑦 − 𝑥 2

𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑥2

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 − 𝑏2 = 0 𝑑𝑥

𝑑𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑏 2 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 −𝑏 2 − = 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥

Es una EDO Lineal de la forma: 𝑑𝑦 − 𝑝(𝑥) ∗ 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥

Determinamos el Factor Integrante: 𝑢(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥

−1

𝑢(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑢(𝑥) = 𝑒 −ln(𝑥) Factor Integrante: 𝑢(𝑥) =

1 𝑥

Forma Alternativa: (𝐹. 𝐼. ) ∗ (𝑦) = ∫(𝐹. 𝐼. ) ∗ 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 1 1 −𝑏 2 ∗ (𝑦) = ∫ ∗ 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 𝑥 −2 ∗ (𝑦) = 𝑏 2 ∗ +𝐶 𝑥 2

Evaluamos en el Punto (2,1)

1 (2)−2 2 ∗ (1) = 𝑏 ∗ 2 2 𝑏2 = 4 𝑏=2 Respuesta:

𝐶=

𝑦 2 − 𝑥 𝑥2

Reacciones Químicas Ejercicio 27, Página 221, Ecuaciones Diferenciales Espinoza Ramos  Se mezclan “a” gr. De sustancia A y “b” gr. De sustancia B para formar un compuesto X con m partes en peso de A y n partes de B. Encontrar la cantidad de X formado durante el tiempo t.

Datos: 𝑥(𝑡) = ‘𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑋 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡’ 𝛼 = 𝑎 → 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝛽 = 𝑏 → 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵 𝑝(𝑡) = 𝑚 → 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐴 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 𝑞(𝑡) = 𝑛 → 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐵 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 Pregunta: 𝑥(𝑡) = ? → ‘𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑋 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡’ Desarrollo: Ecuación Diferencial de Reacciones Químicas: 𝑥 ′ (𝑡) = 𝐾[𝛼 − 𝑝(𝑡)][𝛽 − 𝑞(𝑡)] La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante t coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B.

{𝑥(𝑡) = 𝑝(𝑡) + 𝑞(𝑡) Por otra parte, sabemos que la cantidad usada de sustancia A en el instante t es “m” y que la cantidad usada de sustancia B en el instante t es “n”. 𝑝(𝑡) = 𝑚 𝑥(𝑡) = 𝑝(𝑡) + 𝑛 { − −> { 𝑞(𝑡) = 𝑛 𝑥(𝑡) = 𝑚 + 𝑞(𝑡) Despejando los valores para p(t) y q(t): 𝑝(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑛 { 𝑞(𝑡) = −𝑚 + 𝑞(𝑡) Reemplazando los valores en la Ecuación Diferencial de Reacciones Químicas: 𝑥 ′ (𝑡) = 𝐾[𝛼 − 𝑝(𝑡)][𝛽 − 𝑞(𝑡)] 𝑥 ′ (𝑡) = 𝐾[𝑎 − 𝑥(𝑡) + 𝑛][𝑏 − 𝑥(𝑡) + 𝑚]

𝑧 =𝑎+𝑛 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟: { 𝑤 =𝑏+𝑚 𝑥 ′ (𝑡) = 𝐾[𝑧 − 𝑥(𝑡)][𝑤 − 𝑥(𝑡)] 𝑑𝑥 = 𝐾[𝑧 − 𝑥(𝑡)][𝑤 − 𝑥(𝑡)] 𝑑𝑡 Separamos la EDO, por el método de variable Separable: 𝑑𝑥 = 𝐾 𝑑𝑡 [𝑧 − 𝑥(𝑡)][𝑤 − 𝑥(𝑡)] Integramos: ∫

𝑑𝑥 = ∫ 𝐾 𝑑𝑡 [𝑧 − 𝑥][𝑤 − 𝑥]

Para resolver la siguiente integral, se debe utilizar el método de integral por partes: ∫

𝑑𝑥 𝐴 𝐵 = ∫( + ) 𝑑𝑡 [𝑧 − 𝑥][𝑤 − 𝑥] 𝑧−𝑥 𝑤−𝑥

𝑑𝑥 𝐴 𝐵 = + [𝑧 − 𝑥][𝑤 − 𝑥] 𝑧 − 𝑥 𝑤 − 𝑥 1 = 𝐴𝑤 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑧 − 𝐵𝑥 1 = (−𝐴 − 𝐵)𝑥 + (𝐴𝑤 + 𝐵𝑧) −𝐴 − 𝐵 = 0 { 𝐴𝑤 + 𝐵𝑧 = 1 Resolviendo las ecuaciones: 𝐴=

1 𝑤−𝑧

𝐵=

1 𝑧−𝑤

Reemplazar los valores de A y B en la Integral: 𝐴 𝐵 ∫( + ) 𝑑𝑡 = ∫ 𝐾 𝑑𝑡 𝑧−𝑥 𝑤−𝑥 1 1 1 1 ∫( ∗ + ∗ ) 𝑑𝑡 = ∫ 𝐾 𝑑𝑡 𝑤−𝑧 𝑧−𝑥 𝑧−𝑤 𝑤−𝑥 −

−

1 1 ln(𝑧 − 𝑥) − ln(𝑤 − 𝑥) = 𝐾𝑡 + 𝐶 𝑤−𝑧 𝑧−𝑤 1 1 ln(𝑧 − 𝑥) + ln(𝑤 − 𝑥) = 𝐾𝑡 + 𝐶 𝑤−𝑧 𝑤−𝑧 − ln(𝑧 − 𝑥) + ln(𝑤 − 𝑥) = 𝐾𝑡 + 𝐶 𝑤−𝑧

− ln(𝑧 − 𝑥) + ln(𝑤 − 𝑥) = (𝑤 − 𝑧)(𝐾𝑡 + 𝐶) − ln(𝑧 − 𝑥) + ln(𝑤 − 𝑥) = (𝑤 − 𝑧)(𝐾𝑡 + 𝐶) 𝑤−𝑥 = 𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) 𝑧−𝑥 𝑧 ∗ 𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) − 𝑥𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) + 𝑥 − 𝑤 = 0 𝑥(1 − 𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) ) = 𝑤 − 𝑧 ∗ 𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) 𝑤 − 𝑧 ∗ 𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) 𝑥= 1 − 𝑒 (𝑤−𝑧)(𝐾𝑡+𝐶) Reemplazando los valores de “z” y “w”:

𝑏 + 𝑚 − (𝑎 + 𝑛) ∗ 𝑒 (𝑏+𝑚−𝑎−𝑛)(𝐾𝑡+𝐶) 𝑥= 1 − 𝑒 (𝑏+𝑚−𝑎−𝑛)(𝐾𝑡+𝐶)

Conclusión: La cantidad de X formado durante el tiempo t, está dada por: 𝑥=

𝑏 + 𝑚 − (𝑎 + 𝑛) ∗ 𝑒 (𝑏+𝑚−𝑎−𝑛)(𝐾𝑡+𝐶) 1 − 𝑒 (𝑏+𝑚−𝑎−𝑛)(𝐾𝑡+𝐶)

Aplicaciones a la Economía Ejercicio 24, Página 255, Ecuaciones Diferenciales Espinoza Ramos 𝑑𝑦

100

 La productividad marginal de un proceso está dado por 𝑑𝑥 = 32−4𝑥, donde x representa la inversión (en miles de dólares). Encuentre la productividad para cada una de las siguientes inversiones si la productividad es de 100 unidades cuando la inversión es de $1000. a) $3000 b) $5000 c) ¿Pueden las inversiones alcanzar $8000 de acuerdo con este modelo? ¿Por qué? Datos: 𝑥 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛(𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) 𝑦 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙:

𝑦(100) = 1

Pregunta: a) 𝑦(3) = ? b) 𝑦(5) = ? c) ¿Pueden las inversiones alcanzar $8000 de acuerdo con este modelo? ¿Por qué? Desarrollo: Ecuación del modelo: 𝑑𝑦 100 = 𝑑𝑥 32 − 4𝑥

Separamos la EDO, por el método de variable Separable:

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 100 32 − 4𝑥 Integrar: ∫

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =∫ 100 32 − 4𝑥

𝑦 1 = − ln(32 − 4𝑥) + 𝐶 100 4 𝑦 = −25 ln(32 − 4𝑥) + 𝐶 Aplicando Condiciones Iniciales: {𝑦(1) = 100 100 = −25 ln(32 − 4(1)) + 𝐶 𝐶 = 100 + 25ln(28) Reemplazando el valor de C: 𝑦 = −25 ln(32 − 4𝑥) + 𝐶 𝑦 = −25 ln(32 − 4𝑥) + 100 + 25ln(28) 𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 (

28 ) 32 − 4𝑥

𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 (

28 ) 32 − 4𝑥

a) 𝑦(3) = ?

𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 (

28 ) 32 − 4(3)

28 𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 ( ) 20 𝑦 = 108.411 b) 𝑦(5) = ?

𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 ( 𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 (

28 ) 32 − 4𝑥

28 ) 32 − 4(5)

28 𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 ( ) 12 𝑦 = 121.18244 c) ¿Pueden las inversiones alcanzar $8000 de acuerdo con este modelo? ¿Por qué? 28

𝑦 = 100 + 25 ∗ 𝑙𝑛 (32−4𝑥) 28 >0 32 − 4𝑥 En donde el denominador tiene que ser mayor que cero. 32 − 4𝑥 > 0 32 > 4𝑥 8>𝑥

Conclusión: a) Cuando la inversión es de $3000 su productividad es de 108.41. b) Cuando la inversión es de $5000 su productividad es de 121.18. c) No se puede alcanzar una inversión de $8000 de acuerdo con este modelo. Porque su inversión tiene que ser menor a $8000.

Crecimiento y Decrecimiento Ejercicio 2, Página 89, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis Zill, Novena Edición  Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10000 después de tres años. ¿Cuál era la Población Inicial 𝑃0 ? ¿Cuál será su población en 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t = 10? Datos: 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑃(3) = 10000 La Población en función del tiempo del problema 1 es: 𝑡

𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜 ∗ 𝑒 5ln(2) 𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑃0 = 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Pregunta: a) 𝑃(0) = ? b) 𝑃(10) =? c) 𝑃′ (10) = ? Desarrollo: a) Ecuación de la población en función del tiempo: 𝑡

𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜 ∗ 𝑒 5ln(2) 𝑃 = 10000 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:

{ 𝑡=3

3

10000 = 𝑃𝑜 ∗ 𝑒 5ln(2) Despejando 𝑃0 :

𝑃0 =

10000 3

𝑒 5ln(2)

Respuesta: 𝑃0 = 6597.53 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

b) Ecuación de la Población en función del tiempo, reemplazando 𝑃0 : 𝑡

𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜 ∗ 𝑒 5ln(2) 𝑡

𝑃(𝑡) = 659.53 ∗ 𝑒 5ln(2)

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∶

{𝑃(10) = ?

10

𝑃(10) = 659.53 ∗ 𝑒 5 ln(2) Respuesta: 𝑃(10) = 26390.15 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

c) 𝑃′ (10) = ? 𝑡

𝑃(𝑡) = 659.53 ∗ 𝑒 5ln(2)

Derivar: 𝑡 1 𝑃′(𝑡) = 659.53 ∗ 𝑒 5 ln(2) ∗ ln(2) 5

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∶ 10

𝑃′(10) = 659.53 ∗ 𝑒 5

ln(2)

{𝑃′(10) = ?

1 ∗ ln(2) 5

Respuesta: 𝑃′ (10) = 3658.45 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠/𝑎ñ𝑜

Conclusión: a) La Población Inicial es de 6597.53 personas. b) La Población dentro de 10 años es de 26390.15 personas. c) La rapidez de crecimiento de la población dentro de 10 años es de 3658.45 personas/año.

Circuitos en Serie Ejercicio 31, Página 91, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis Zill, Novena Edición  Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 Ohms y la capacitancia es de 10−4 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q (0) = 0. Encuentre la corriente i(t). Datos: 𝐸 = 100 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑅 = 200Ω − −→ 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶 = 10−4 farads − −→ 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑄(𝑡) = ′𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎′ 𝐼(𝑡) = ′𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒′ 𝐸𝑅 = ′𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎′ 𝐸𝐶 = ′𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎′ 𝐸 =′ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧′ 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: Pregunta:

𝑞(0) = 0

𝑄(𝑡) = ? 𝐼(𝑡) = ? Desarrollo: Aplicando la Segunda Ley de Kirchhoff: “La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito cerrado es cero.” 𝐸𝑅 + 𝐸𝐶 − 𝐸 = 0 𝐸𝑅 + 𝐸𝐶 = 𝐸 𝑅𝐼 + 𝑅

𝑄 =𝐸 𝐶

𝑑𝑄 𝑄 + =𝐸 𝑑𝑡 𝐶

Es una Ecuación Diferencial Lineal: 𝑑𝑄 𝑄 𝐸 + = 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑅 Reemplazando valores de los datos: 𝑑𝑄 𝑄 100 + = −4 𝑑𝑡 200 ∗ 10 200

𝑑𝑄 1 + 50 𝑄 = 𝑑𝑡 2 Es una ecuación de la forma: 𝑑𝑄 + 𝑝(𝑡) 𝑄 = 𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 Determinamos el factor integrante (F.I.): 𝑢(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑡) 𝑑𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒 ∫ 50 𝑑𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑒 50𝑡 Resolvemos la ecuación diferencial por el método alternativo: (𝐹. 𝐼. ) ∗ 𝑄 = ∫(𝐹. 𝐼. ) ∗ 𝑞(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 1 𝑒 50𝑡 ∗ 𝑄 = ∫ 𝑒 50𝑡 𝑑𝑡 2 𝑒 50𝑡 𝑄 = 𝑒 −50𝑡 ( + 𝐶) 100

𝑄=

1 + 𝐶𝑒 −50𝑡 100

𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 0=

𝑞(0) = 0

1 + 𝐶𝑒 −50∗(0) 100 𝐶=−

1 100

Reemplazando el valor de C: 𝑄=

1 𝑒 −50𝑡 − 100 100

Ecuación de la Carga en función del tiempo: 𝑄=

1 (1 − 𝑒 50𝑡 ) 100

Derivar para encontrar la Corriente en función del tiempo: 𝐼=

𝑒 −50𝑡 2

Conclusión: a) Ecuación de la Carga en función del tiempo: 𝑄=

1 (1 − 𝑒 50𝑡 ) 100

b) Ecuación de la Corriente en función del tiempo: 𝑒 −50𝑡 𝐼= 2