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´ noma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco Universidad Auto Departamento de Energ´ıa 2 ´ Area de Ingenier´ıa Energ´ etica y Electromagn´ etica∇

Ejercicios Tipo Examen: Transformadores y M´aquinas S´ıncronas (1131074)

22 de agosto de 2016

1. Un generador s´ıncrono conectado en Y de 9 kVA, 208 V, 1200 rpm y 60 Hz tiene una resistencia en el devanado del campo de 4.5 Ω. La impedancia del devanado de armadura es de 0.3 + j5 Ω/fase. Cuando el generador opera a plena carga con un fp= 0.8(-), la corriente en el devanado de campo If es de 5 A. La p´erdida por rotaci´ on es de 500 W. Determinar: a) el n´ umero de polos del generador, b) La inductancia mutua de devanado de campo a armadura Laf , c) el voltaje generado y su ´ angulo de fase δ, d) la RV %, e) la eficiencia η del generador utilizando el diagrama de flujos de potencia, f) la velocidad angular del impulsor primario (primo-motor) y g) el par aplicado por el impulsor primario. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. La m´ aquina trabaja como generador. Se recomienda dibujar el circuito equivalente de la m´ aquina s´ıncrona como generador. Para el inciso a) s´ olo se necesita sustituir los datos en la ecuaci´ on correspondiente. Para el inciso b), es necesario plantear la ecuaci´ on de malla del circuito. Se debe utilizar fasores y considerar que el voltaje en las terminales del generador es referencia y su valor es el nominal. Adem´as, se debe calcular la magnitud y fase (con base en el fp) de la corriente de armadura. Para el inciso c), s´ olo basta sustituir los datos en la ecuaci´ on correspondiente. Para el inciso d) se debe identificar adecuamente el voltaje sin carga y el voltaje a plena carga de la m´ aquina.

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Para calcular la eficiencia es necesario conocer todas las p´erdidas, tanto mec´ anicas como el´ectricas, en el generador. Para ello, es imprescindible dibujar el diagrama de flujos de potencia de la m´ aquina s´ıncrona como generador. Para resolver los incisos que restan s´ olo es necesario sustituir valores en las ecuaciones correspondientes. Ecuaciones fundamentales: Ns =

120 f P olos

(1)

Eaf =

Laf ωe If √ 2

(2)

RV % =

η=

Vsc − Vpc × 100 Vpc

(3)

Pout × 100 Pin

(4)

P = τω

(5)

donde: Ns = velocidad s´ıncrona en [rpm]. P olos = n´ umero de polos de la m´ aquina s´ıncrona. f = frecuencia [Hz]. Eaf = voltaje generado en el devanado de armadura. Laf = inductancia mutua entre el devanado de campo y devanado de armadura. ωe = frecuencia angular. If = corriente de campo. Vsc = voltaje sin carga. Vpc = voltaje a plena carga. η = eficiencia. Pout = potencia de salida. Pin = potencia de entrada. P = potencia. τ = par mec´ anico. ω = velocidad angular en [rad/s].

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2. En el problema 1, si la p´erdida por rotaci´ on es de 5 % de la potencia desarrollada Pd . Calcular: a) la eficiencia η utilizando el diagrama de flujos de potencia, b) la velocidad angular del impulsor primario (primo-motor) y c) el par aplicado por el impulsor primario (primo-motor). Observaciones: Las recomendaciones y ecuaciones para ´este problema son las mismas que el problema 1. Ecuaciones fundamentales:

Ns =

RV % =

η=

120 f P olos

(6)

Vsc − Vpc × 100 Vpc

(7)

Pout × 100 Pin

(8)

P = τω

(9)

donde: Ns = velocidad s´ıncrona en [rpm]. P olos = n´ umero de polos de la m´ aquina s´ıncrona. f = frecuencia [Hz]. Eaf = voltaje generado en el devanado de armadura. Laf = inductancia mutua entre el devanado de campo y devanado de armadura. ωe = frecuencia angular. If = corriente de campo. Vsc = voltaje sin carga. Vpc = voltaje a plena carga. η = eficiencia. Pout = potencia de salida. Pin = potencia de entrada. P = potencia. τ = par mec´ anico. ω = velocidad angular en [rad/s].

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3. Un motor s´ıncrono conectado en Y de 10 hp, 230 V, 60 Hz opera a plena carga con un fp=0.707(+). La Xs = j5 Ω/fase. La p´erdida por rotaci´ on es de 230 W y la p´erdida en el devanado de campo es de 70 W. Despreciar la resistencia del devanado de armadura. Calcular: a) el voltaje generado y b) la eficiencia η del motor utilizando el diagrama de flujos de potencia. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. La m´ aquina trabaja como motor. Se recomienda dibujar el circuito equivalente de la m´ aquina s´ıncrona como motor. Se debe considerar que, para ´este problema en particular la resistencia se desprecia. Para el inciso a), es necesario plantear la ecuaci´ on de malla del circuito. Se debe utilizar fasores y considerar que el voltaje en las terminales del motor es referencia y su valor es el nominal. Adem´as, se debe calcular la magnitud y fase (con base en el fp) de la corriente de la armadura. Para calcular la eficiencia es necesario conocer todas las p´erdidas, tanto mec´ anicas como el´ectricas, en el motor. Para ello, es imprescindible dibujar el diagrama de flujos de potencia de la m´ aquina s´ıncrona como motor. Ecuaciones fundamentales:

η=

Pout × 100 Pin

(10)

donde: η = eficiencia. Pout = potencia de salida. Pin = potencia de entrada.

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4. Un motor s´ıncrono de conectado en Y, 60 Hz, presenta un voltaje en las terminales de la armadura de 460 V, una corriente de armadura de 120 A y un fp=0.95(-). La corriente en el devanado de campo para estas condiciones de operaci´ on es de 47 A. La Xs = j1.68 Ω/fase y Ra =0. Calcular: a) el voltaje generado y su ´ angulo de fase δ, b) La inductancia mutua de devanado de campo a armadura Laf , c) la entrada de potencia el´ectrica al motor en kW y en hp y d) la corriente de campo que se requiere para alcanzar un fp=1 en las terminales del motor. Observaciones: Los incisos se deben resolver de manera secuencial. La m´ aquina trabaja como motor. Se recomienda dibujar el circuito equivalente de la m´ aquina s´ıncrona como motor. Para el inciso a), es necesario plantear la ecuaci´ on de malla del circuito. Se debe utilizar fasores y considerar que el voltaje en las terminales del motor es referencia y su valor es el nominal. Adem´as, se debe calcular la magnitud y fase (con base en el fp) de la corriente de armadura. Para el inciso b), s´ olo basta sustituir los datos en la ecuaci´ on correspondiente. Para calcular la entrada de potencia el´ectrica al motor s´ olo es necesario conocer la magnitud del voltaje, la corriente y el fp en las terminales del motor. Para resolver el inciso d) se debe calcular la corriente en las terminales del motor para un fp=1. Posteriormente, se calcula la magnitud del voltaje generado Eaf y los valores obtenidos se sustituyen en la ecuaci´ on correspondiente. Ecuaciones fundamentales: Laf ωe If √ 2

(11)

Pout × 100 Pin

(12)

Eaf =

η=

donde: Eaf = voltaje generado en el devanado de armadura. Laf = inductancia mutua entre el devanado de campo y devanado de armadura. ωe = frecuencia angular. If = corriente de campo. η = eficiencia. Pout = potencia de salida. Pin = potencia de entrada.

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5. Un generador s´ıncrono conectado en Y de 1000 kVA, 60 Hz y 1500 V cuya resistencia por fase es de 0.18 Ω/fase, ha sido sometido a unos ensayos de circuito abierto y cortocircuito. Los resultados se muestran en la Tabla ??. Calcular: a) el ´ındice SCR, b) el valor no saturado de la impedancia s´ıncrona en Ω/fase y en p.u. y c) el valor saturado de la impedancia s´ıncrona en Ω/fase y en p.u. Tabla 1: Lecturas de las pruebas. If [A] Ia [A] Va [V] Vag [V]

0 0 0 0

10 150 433 433

20 300 850 850

25.66 385 1090.55 1090.55

30 450 1250 1290

40 600 1500 1715

50 750 1680 2143.7

60 900 1820 2572.4

70 1050 1920 3001.1

80 1200 2000 3429.8

90 1350 2060 3858.5

100 1500 2100 4287.2

Observaciones: Se recomienda graficar las mediciones de cada prueba. Para resolver el inciso a) se debe encontrar, con base en la caracter´ıstica de circuito abierto (CCA), la corriente de campo con la cual se obtiene el voltaje nominal y, la corriente de campo, con base en la caracter´ıstica de cortocircuito (CCC), con la se tiene la corriente nominal. Para encontrar la impedancia s´ıncrona no saturada se puede utilizar cualquier voltaje por fase de la l´ınea del entrehierro y dividirlo por su correspondiente corriente de armadura a la misma corriente de campo. Para encontrar la impedancia s´ıncrona saturada se tiene que utilizar el voltaje por fase obtenido de la CCA y dividirlo por su correspondiente corriente de armadura a la misma corriente de campo. Para resolver los incisos restantes se debe calcular la impedancia base y utilizarla para encontrar los valores en por unidad de las impedancias s´ıncronas. Ecuaciones fundamentales: SCR =

If @Vn−CCA If @In−CCC

(13)

Vn−ag Ia @Vn−ag

(14)

Vn−CCA Ia @Vn−CCA

(15)

Zs−ns =

Zs−s = donde: SCR = relaci´ on de cortocircuito. Zs−ns = impedancia s´ıncrona no saturada. Zs−s = impedancia s´ıncrona saturada. If = corriente en el devanado de campo.

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Vn−CCA = voltaje nominal por fase de la caracter´ıstica de circuito abierto. Vn−ag = voltaje nominal por fase de la l´ınea del entrehierro. Ia = corriente de armadura.

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6. Las siguientes lecturas se tomaron a partir de los resultados de una prueba de circuito abierto y de cortocircuito que se realiz´ o en un turboalternador de 800 MVA, 60 Hz, Ra =0 y 26 kV conectado en Y. Calcular: a) el ´ındice SCR, b) el valor no saturado de la reactancia s´ıncrona en Ω/fase y en p.u. y c) el valor saturado de la reactancia s´ıncrona en Ω/fase y en p.u. Tabla 2: Mediciones de las prueba. Corriente de campo [A] 1540 Corriente de armadura CCC [A] 9260 Voltaje de l´ınea a l´ınea CCA [V] 26000 Voltaje de l´ınea a l´ınea, entrehierro [V] 29600

2960 17800 31800 56900

Observaciones: Para resolver el inciso a) se debe encontrar, con base en la caracter´ıstica de circuito abierto (CCA), la corriente de campo con la cual se obtiene el voltaje nominal y, la corriente de campo, con base en la caracter´ıstica de cortocircuito (CCC), con la se tiene la corriente nominal. La resistencia de armadura es despreciable. Para encontrar la reactancia s´ıncrona no saturada se puede utilizar cualquier voltaje por fase de la l´ınea del entrehierro y dividirlo por su correspondiente corriente de armadura a la misma corriente de campo. Para encontrar la reactancia s´ıncrona saturada se tiene que utilizar el voltaje por fase obtenido de la CCA y dividirlo por su correspondiente corriente de armadura a la misma corriente de campo. Para resolver los incisos restantes se debe calcular la impedancia base y utilizarla para encontrar los valores en por unidad de las reactancias s´ıncronas. Ecuaciones fundamentales: SCR =

If @Vn−CCA If @In−CCC

(16)

Vn−ag Ia @Vn−ag

(17)

Vn−CCA Ia @Vn−CCA

(18)

Zs−ns =

Zs−s = donde: SCR = relaci´ on de cortocircuito. Zs−ns = impedancia s´ıncrona no saturada. Zs−s = impedancia s´ıncrona saturada.

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If = corriente en el devanado de campo. Vn−CCA = voltaje nominal por fase de la caracter´ıstica de circuito abierto. Vn−ag = voltaje nominal por fase de la l´ınea del entrehierro. Ia = corriente de armadura.

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7. Un generador s´ıncrono de polos salientes de 70 MVA, 13.8 kV, 60 Hz y conectado en Y, tiene Xd = 1.83 Ω y Xq =1.21 Ω. Alimenta a la carga especificada con un fp=0.8(-). La Ra=0. Calcular: a) el voltaje ˜af , b) la RV %, c) la potencia desarrollada Pd por el generador y d) trazar el diagrama generado E fasorial. Observaciones: Un rotor de polos salientes tiene un entrehierro no uniforme: m´ as grande en la regi´ on interpolar (eje de cuadratura) que en el eje polar (eje directo). El eje de cuadratura precede al eje directo en 90◦ . ˜af recae a lo largo del eje de cuadratura. El voltaje E Las reluctancias en la regi´ on polar e interpolar difieren de manera significativa. ˜ La Ia se divide en dos componentes: I˜d e I˜q . La Xs se divide en dos reactancias a lo largo del eje directo y eje de cuadratura: Xd y Xq , respectivamente. ˜af , ya que con ello la El punto clave en el an´ alisis de los diagramas fasoriales es encontrar a E ubicaci´ on de ambos ejes de determina de manera inmediata. Para resolver el inciso a) es necesario dibujar el diagrama fasorial del generador s´ıncrono de polos salientes y considerar que Ra =0 que el voltaje en las terminales del generador es referencia y su valor es el nominal. Con base en el diagrama fasorial planteado, se debe proponer una expresi´ on para calcular el ´ angulo δ. Tambi´en, se debe calcular la magnitud y fase (con base en el fp) de la corriente de armadura. Una vez que se conoce la corriente de armadura y el ´angulo δ, es posible calcular las corrientes en el eje q y d. Por u ´ltimo, se debe plantear la ecuaci´ on de malla del generador s´ıncrono de polos salientes. Para el inciso b) se debe identificar adecuamente el voltaje sin carga y el voltaje a plena carga del generador. Para el inciso c) es necesario elaborar el diagrama de flujos de potencia de la m´ aquina operando como generador. Ecuaciones fundamentales:

˜af = V˜t + I˜a Ra + j I˜d Xd + j I˜q Xq E

(19)

Id = I˜a sin(δ − φ)

(20)

Iq = I˜a cos(δ − φ)

(21)

I˜d = Id ∠90 − δ

(22)

10

I˜q = Iq ∠δ

tan δ =

Ia Xq cos φ Vt + Ia Xq sin φ

(23)

(24)

11