Ejercicios_liliana Sarmiento (1).docx

TAREA 1 – VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES ALGEBRA LINEAL

ADMINISTRACION DE MEPRESAS

AUTOR: LILIANA SARMIENTO COD: 1 233 897 856

TUTOR: JOHN ALEXANDER GUEVARA

GRUPO: 100408_127

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD JOSE ACEVEDO GOMEZ SOACHA-CUNDINAMARCA, OCTUBRE 2018

INTRODUCCION

Este trabajo tiene como fin de dar a conocer los diferentes tipos de ejercicios mediante sucesiones que se presentan en diferentes contextos y la importancia en algebra lineal mediante los temas de vectores, matrices y determinantes a partir de la parte práctica teniendo en cuenta las estrategias, con ello también tener en cuenta la utilización de reglas y técnicas determinando un correcto uso del tema, bajo la utilización de normas APA.

OBJETIVO Lograr describir y analizar los diversos ejercicios a través del estudio teórico en análisis de casos convencionales logrando plantear diferentes alternativas de solución identificando sus propiedades, pero así mismo aplicándolo en la actualidad.

EJERCICIOS Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. Tema: Matrices- operaciones sobre matrices, matrices elementales.

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 2: Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones. a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:

Fig. 1. Representación gráfica de un vector. B) Dados los siguientes vectores en forma polar:

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

C) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: ● 2i + 9j y = -6i – 4j D) Encuentre la distancia entre los puntos: ● (3,-4, 7); (3,-4,9) E) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k

Solución: Punto A: Modulo: ⃗⃗⃗ |𝐴| Dirección: Líneas imaginarias pasando por O y A Sentido: Va desde O hasta A en sentido transversal.

Punto B:

|𝑢| = 2 𝑢=2 𝑢 = −2 𝑢1 = −2, 𝑢2 = 2

|𝑣| = 3 𝑣=3 𝑣 = −3 𝑣1 = −3, 𝑣2 = 3

Punto C: 𝑣 = 2𝑖 + 9𝑗

cos 𝑥

𝑦

𝑣 = 6𝑖 − 4𝑗

𝑣1(𝑣1) + 𝑣2(𝑣2) √𝑣12 + 𝑣22 ∗ √𝑣12 + 𝑣22 2(6) + 9(−4)

cos 𝑥 =

√(2)2 + (9)2 ∗ √(6)2 − (4)2

cos 𝑥 =

cos 𝑥 =

−24 √85 ∗ √20

=

12 − 36 √4 + 81 ∗ √36 − 16

−24 −24 = = −0.5829 9,21 (4,47) 41,1687

𝑥 = cos −0,5829 𝑥 = 125,65°

Punto E: U= -7i + 9j- 8k V= 9i + 3j -8k 𝐼 𝐽 𝑚 ⃗⃗ ∗ 𝑛⃗ −7 9 9 3

𝑚 ⃗⃗ ∗ 𝑛⃗ =

𝐾 −8 −8

9 −8 −7 −8 −7 9 ⃗ 𝑖− = 𝑗+= 𝑘 3 −8 6 −1 6 −10

⃗ 𝑚 ⃗⃗ ∗ 𝑛⃗ = [9(−8) − 3(8)] 𝑖 − [(−7)(−1) − 6(−8)] 𝑗 + [−7(−10) − 6(9)]𝑘

⃗ 𝑚 ⃗⃗ ∗ 𝑚 ⃗⃗ = [−72 + 24] 𝑖 − [7 + 48] 𝑗 + [70 − 54]𝑘

⃗ 𝑚 ⃗⃗ ∗ 𝑛⃗ = −48𝑖 − 55𝑗 + 16𝑘

𝑚 ⃗⃗ ∗ 𝑛⃗ =< −48, −55, +16 > Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3: Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

Solución: A) Las componentes de cada desplazamiento 4.13m SO

−(4.13 𝑐𝑜𝑠45°) 𝑖 − (4.13 𝑠𝑒𝑛 45°) 𝑗 = −4.13

√2 √2 𝑖 − 4.13 𝑗 = 2.92 𝑖 − 2.92 𝑗 2 2

5.26m E 5,26𝑖

5.94m (5.94 cos 64°) 𝑖 + (5.94 𝑠𝑒𝑛 64°) 𝑗 = 2,60𝑖 + 5,34𝑗 B) Las componentes del desplazamiento resultante Sumamos todos los vectores hallados −2.92𝑖 − 2.92𝑗 + 5.26𝑖 + 2.60𝑖 + 5.34𝑗 = (−2.92 + 5.26 + 2.60)𝑖 + (−2.92 + 5.34)𝑗 = 4.94𝑖 + 2.42𝑗 C) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante Magnitud: √4.942 + 2.422 = √30,26 = 5.50𝑚 Dirección: (

4.94 2.42

) = (0.49) = 26°

D) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque El punto inicial del vector opuesto este será la posición actual, ya que el punto de arranque fue el origen: −(4.94𝑖 + 2.42𝑗) = −4.94𝑖 − 2.42𝑗

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Descripción del ejercicio 4: A) Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:

Compruebe sus respuestas en Geogebra. Solución: Método 1: 2 1 4 1 1 𝐴 = (1 3 5) 𝐹1 𝐹 → (1 −2 1 5 −2 7 5

2 2 3 5) −2 7

𝐹2 → 𝐹2 − 1𝐹1 1 −1(1) = 0 1 2 3 −1(2) = 1 → (0 1 5 2 5 −1(2) = 3

2 3) 7

𝐹3 → 𝐹3 − 5𝐹1 5 −5(1) = 0 1 2 −5(2) = 12 → (0 0 7 −5(2) = 3

2 2 1 3) −12 3

𝐹3 → 𝐹3 − 12𝐹2 0 +12(0) = −12 +12(1) = 3 +12(3) = 𝐹3 →

1 𝐹 39 3

1 2 0 1 0 0

2 3 1

0 1 2 0 → (0 1 0 0 39

2 3) 39

Método 2: 2 1 4 1 𝐴 = (1 3 5) 𝐹2 → 𝐹1 → (2 5 −2 7 5 𝐹2 → 𝐹2 − 2𝐹1 2 −2(1) = 0 1 3 5 1 −2(3) = 5 → (0 5 6) 5 −2 7 4 −2(5) = 6

3 5 1 4) −2 7

𝐹2 =

1 𝐹 5 2

1 3 5 (0 1 6/5) 5 −2 7 𝐹3 → 𝐹3 − 5𝐹1 5 −5(1) = −2 −5(3) = 7 −5(5) =

0 1 3 −17 → (0 1 18 0 −17

5 6/5) 18

𝐹3 → 𝐹3 + 17𝐹2 −17 18

5 +17(1) = 0 1 3 6/5 ) 6 174 (0 1 +17 ( ) = 5 5 0 0 174/5

𝐹3 →

5 𝐹 174 3

1 3 0 1 0 0

5 6/5 1

B) Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus

Determinante de A + -2 0 0 0

-

+ -10 -5 -10 0

7 4 0 0

0 1 0 6

+ -2 0 0 0

-

+ -10 -5 -10 0

7 4 0 0

0−0+0−0

-

+ -2 0 0 0

7 4 0 0

#

+

0 1 0 6

-5 # 0

+

-

-2 0 0 0

7 4 0 0

-10 -5 -10 0

−480 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0

+

-2 0 0 0

+ -10 -5 -10 0

0 1 0 6

+ 7 4 0 0

-2 0 0 0

+ -10 -5 -10 0

0 1 0 6

𝐷𝐸𝑇(𝐴) = −480 Determinante de B 1 |0 2

0 3 1 4| 1 0

1 | 0

0 3 | 1 4

𝐷𝑒𝑡 𝐵 = (1)(1)(0) + (0)(1)(3) + (2)(0)(4) −(3)(1)(2) + (4)(1)(1) + (0)(0)(0) (0 + 0 + 0) − (6 + 4 + 0) 0 − 10 = −10 𝐷𝐸𝑇(𝐵) = −10 Determinante de C 7 9 −5 |9 3 1| −8 −8 10 7 9 | 9 3

−5 | 1

𝐷𝑒𝑡 𝐶 = (7)(3)(10) + (9)(−8)(−5) +(8)(9)(1) − (−5)(3)(−8) +(1)(−8)(7) + (10)(9)(9)

= 210 + 360 + 72 = 120 + (−56) + 810 = 642 − 874 𝐷𝐸𝑇(𝐶) = −232

Y realice las siguientes operaciones si es posible: a) B*C B 1 |0 2

C 0 3 1 4| 1 0

7 9 −5 |9 3 1| −8 −8 10

11

12

-17

-15

21

22

-23

-29

31

32

23

21

13

25 23

41 33

-9

𝑓1𝑎 𝑐13 = (7) + (0) + (−24) = −17 𝑓1𝑐2 = 9 + 0 + (−24) = −15 𝑓1𝐶3 = −5 + 0 + 30 = 25 𝑓2𝑐1 = 0 + 9 − 32 = −23 𝑓2𝑐2 = 0 + 3 − 32 = −29 𝑓2𝑐3 = 0 + 1 + 10 = 41 𝑓3𝑐1 = 149 + 0 = 23 𝑓3𝑐2 = 18 + 3 + 0 = 21 𝑓3𝑐3 = −10 + 1 + 0 = −9 −17 −15 𝐵𝐶 = −23 −29 23 21

25 41 −9

c) 3 * A -2

-10

7

0

0

-5

4

-1

0

-10

0

0

0

0

0

6

=

-6

-30

21

0

0

-15

12

-3

0

-30

0

0

0

0

0

18

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 3: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. Solución: Tenemos que organizar los datos en una matriz, ya que así se facilita encontrar las cantidades en gramos. 𝑀 40 𝑅 160 𝐶𝑎 80

120 120 120

150 80 80

*

𝐴 50 𝐵 80 𝐶 100

𝑀 =𝑅 𝐶𝑎

20 25 21

600 600 600

Cantidades expresadas en kilogramos 𝑀 26.6 26 600 1 ∗ 25 600 = 𝑅 25,6 1000 21 600 𝐶𝑎 21,6

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6: Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2.

En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros/kg. ● Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula.

● Compruebe todas las respuestas en Geogebra Solución: