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Ejercicios: Límite indeterminado por racionalización: √𝑥

𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞ √

𝑥 + √𝑥

𝑥 𝑙𝑖𝑚 √ 𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑥→∞ 𝑥 + √𝑥 1 𝑙𝑖𝑚 √ ∗ 𝑥 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥→∞ 𝑥 + √𝑥 1 𝑥 𝑥

𝑙𝑖𝑚 √

𝑥→∞

𝑥 𝑥 𝑥 √𝑥 𝑥+ 𝑥

𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

𝑙𝑖𝑚 √

𝑥→∞

𝑙𝑖𝑚

1

𝑥→∞√

𝑥 1+√ 2 𝑥

𝑥→∞√

𝑙𝑖𝑚

1 1 1 + √𝑥

𝑥→∞√

𝑥→∞√

√𝑥 1+ 𝑥

𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑥 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧, 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑒 1 𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑙𝑖𝑚

𝑙𝑖𝑚

1

1 1 1 + √𝑥

=√

1 1 1 + √𝑥

𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

=

1 √

1 1 + √∞

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒

1 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 1+0

1 = √ = 1 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑢𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑥→∞√ 1 1 1 + √𝑥 𝑙𝑖𝑚

1

√𝑥

𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞ √

=1

𝑥 + √𝑥

Gráficas: a) 𝑓(𝑥) = {

𝑥 + 2𝑎 − 2 𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑥 2 + 3 𝑆𝑖 𝑥  2

Se creó un deslizador para la variable a, y así poder darle diferentes valores a la variable y encontrar para qué valor se hace continúa la función. Cuando se deslizó el valor de a, cuando llega a 3.5, como se puede ver en la imagen, la función se vuelve continúa. Para encontrar el valor de ‘a’ matemáticamente se debe primero calcular el valor de la función cuando se acerca a 2 por la izquierda. 𝑓(2− ) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7

𝑓(2) = 7 Para que sea continúa, la función cuando se acerca a 2 por la derecha su valor debe ser 7. 𝑓(2+ ) = 2 + 2𝑎 − 2 = 7 2𝑎 = 7 𝑎 = 3.5 Solución: para que la función sea continúa, el valor es. a = 3.5 b) 𝑓(𝑥) = {

𝑥 + 2𝑎 𝑥 4

+2

𝑆𝑖 𝑥 < 𝑆𝑖 𝑥 

3 2

3 2

Se creó un deslizador para la variable a, y así poder darle diferentes valores a la variable y encontrar para qué valor se hace continúa la función. Cuando se deslizó el valor de a, cuando llega a 0.44, como se puede ver en la imagen, la función se vuelve continúa, pero este valor no es exacto ya que puede tener más decimales, para encontrar el valor exacto se debe calcular matemáticamente. Para encontrar el valor de ‘a’ matemáticamente se debe primero calcular el valor de la función cuando se acerca a 3/2 por la izquierda.

3 3− 3 3 + 16 19 𝑓( ) = 2 +2 = +2 = = 2 4 8 8 8 − 3 19 𝑓( ) = 2 8 3+ Para que sea continúa, la función cuando se acerca a 2 por la derecha su valor debe ser 19/8.

3+ 3 19 𝑓 ( ) = + 2𝑎 = 2 2 8 19 3 2𝑎 = − 8 2 19 − 12 2𝑎 = 8 2𝑎 = 𝑎=

7 8

7 8∗2

7 = 0.4375 16

𝑎=

7

Solución: para que la función sea continúa, el valor de 𝑎 = 16 = 0.4375

Problemas Límites y continuidad: Limites 𝑦=

𝑡2 − 1 𝑡3 + 3 − 𝑡−3 𝑡2

a) Determine el peso del cultivo transcurridos 50 minutos. Se debe convertir 50 minutos en horas 50 min ∗

1 ℎ𝑜𝑟𝑎 5 = ℎ𝑜𝑟𝑎 60 𝑚𝑖𝑛 6

Se tiene que 50 minutos es función:

5 6

ℎ𝑜𝑟𝑎, este valor se reemplaza en la

52 53 − 1 +3 5 𝐹( ) = 6 − 6 2 = −5.0123 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 5 6 5 −3 6 6

b) ¿Cuál será el peso de este cuando el número de horas crece indefinidamente? lim

𝑡2 − 1

𝑡→∞ 𝑡 − 3

lim

𝑡2 − 1

𝑡→∞ 𝑡 − 3

−

𝑡3 + 3

lim

𝑡2

−

𝑡3 + 3 𝑡2

(𝑡2 − 1)𝑡2 − (𝑡 − 3)(𝑡3 + 3) = 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 ( 𝑡 − 3) 𝑡 2

𝑡4 − 𝑡2 − 𝑡4 + 3𝑡3 − 3𝑡 + 9 𝑡3 − 3𝑡2

𝑡→∞

lim

𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠

3𝑡3 − 𝑡2 − 3𝑡 + 9 𝑡3 − 3𝑡2

𝑡→∞

Cada término se divide por la variable con mayor exponente, en este caso 𝑡 3 3𝑡3 𝑡2 3𝑡 9 3 − 3 − 3 + 3 𝑡 𝑡 𝑡 lim 𝑡 3 2 𝑡 3𝑡 𝑡→∞ − 3 𝑡3 𝑡

Cancelando y restando los exponentes en la división:

lim

3−

𝑡→∞

1 3 9 − + 𝑡 𝑡2 𝑡3 3 1− 𝑡

Ahora se evalúa en infinito y se tiene que cuando hay una constante sobre infinito, esta tiende a cero. lim

𝑡→∞

3−

1 3 9 − + 𝑡 𝑡2 𝑡3 3 1− 𝑡

=

3−0−0+0 3 = =3 1−0 1

Se tiene que cuando el tiempo del cultivo es infinito, el peso de población será 3 gramos. Continuidad 3𝑉 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 |𝑉 − 5| 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 6 𝑓(𝑉) = 2 𝑉 + 3𝑉 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 6 { 𝑉+4 Para determinar si la función es continúa, primero se gráfica la función.

En la gráfica se puede evidenciar que la función no es continúa en todos los puntos. Matemáticamente se puede verificar, hallando la función cuando se acerca por izquierda y derecha a los puntos: 𝑓(0+ ) = 3𝑉 2 + 1 = 3 ∗ 02 + 1 = 1 Para que sea continua, cuando se acerca por la izquierda el valor debe ser igual. 𝑓(0− ) = |𝑉 − 5| = |0 − 5| = 5 Se encuentra que los dos valores son diferentes, por lo tanto la función no es continúa en el punto 0. Para verificar la continuidad en el punto 6, se debe probar igualmente los dos límites, tanto por izquierda como por derecha. 𝑓(6+ ) = |𝑉 − 5| = |6 − 5| = 1 Para que sea continua, cuando se acerca por la izquierda el valor debe ser igual. 𝑉 2 + 3𝑉 62 + 3 ∗ 6 36 + 18 54 𝑓(6− ) = = = = = 5.4 𝑉+4 6+4 10 10 Se encuentra que los dos valores son diferentes, por lo tanto la función no es continúa en el punto 6. La función es discontinúa en los puntos 0 y 6.