Ejercicios#3.docx

5. Del total de profesores de la UNAD se ha tomado una muestra de 335 maestros y se tienen los siguientes datos: 215 son de tiempo completo, 190 hablan el inglés, 255 tienen por lo menos maestría, 70 son de tiempo completo y hablan inglés, 110 hablan el inglés y tienen por lo menos una maestría, 145 son de tiempo completo y tienen por lo menos maestría; y todos tienen al menos una de las características. Hallar el número de maestros que tengan las tres características anteriores. Solución Del Enunciado podemos expresar U = 335 maestros A = Maestros de Tiempo Completo = 215 B = Maestros de Ingles = 190 C = Maestros por lo menos con Maestría = 255 A ∩ B = 70 B ∩ C = 110 A ∩ C = 145

DIAGRAMA DE VENN

Vemos claramente que no hay intercepción entre los conjuntos A, B y C que corresponde al número de maestros que presenten las tres características anteriores. Por lo tanto no hay maestros que cumplan las tres características.

8. Un número es divisible por 2 si la última cifra de dicho número es múltiplo de 2. Un número es divisible por 3 si la suma de las cifras de dicho número es múltiplo de 3. Pero dicho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las cifras de un número no es un múltiplo de 3 si la última cifra de un número es múltiplo de 2. Solución Definimos nuestras proposiciones según el problema. 𝑝 = “divisible por 2” 𝑞 = “múltiplo de 2” 𝑟 = “divisible por 3” 𝑠 = “múltiplo de 3” Por tanto nuestra expresión quedaría: (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑟 ∧ 𝑠) ∧ (∼ 𝑞 ∨∼ 𝑟) → (∼ 𝑟 ∧ 𝑞) 𝑝

𝑞

𝑟

T T T T T T T T F F F F F F F

T T T T F F F F T T T T F F F

T T F F T T F F T T F F T T F

𝑠

(𝑝 ∧ 𝑞)

T T F T T T F T T F F F T F F F T F F F T F F F T F F F T F TAUTOLOGIA

(𝑟 ∧ 𝑠)

(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑟 ∧ 𝑠) ∧ (∼ 𝑞 ∨∼ 𝑟)

T F F F T F F F T F F F T F F

F F F F F F F F F F F F F F F

(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑟 ∧ 𝑠) ∧ (∼ 𝑞 ∨∼ 𝑟) → (∼ 𝑟 ∧ 𝑞) T T T T T T T T T T T T T T T

13. Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso.

Solución Definimos nuestras proposiciones según el problema.

𝑝 = “El rector pudo dar el discurso” 𝑞 = “Los diplomas llegan a tiempos” 𝑟 = “La fiesta se cancelaría” 𝑠 = “Estudiantes se enojarían” 𝑡 = “devolver el dinero”

{[(~p∨~q) →(r∧s)]∧[(r →t)∧~t]} →p

1)

(~p v ~q) → (r ^ s)

2)

r →t

3)

~t

C)

p

Donde C) es la conclusión Se cumple ~t, entonces por tollendo tollens sobre 2) tenemos ~r. Entonces el consecuente de 1) (r ^s) es falso, luego por tollendo tollens sobre 1 se cumple ~(~p v ~q) Por las leyes de Morgan ~ (~p) ^ ~(~q) Por la doble negación p^q

Por simplificación p Luego el argumento está bien, se verifica la conclusión.

p q r s T (~p∨~q) (r∧s) [(~p∨~q) →(r∧s)] (r [(r [(~p∨~q) →(r∧s)]∧[(r {[(~p∨~q) →(r∧s)]∧[(r →t) →t)∧~t] →t)∧~t] →t)∧~t]} →p T T T T T T T T T T T T T T T T F F F F F F F F F F F F F F F F

T T T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T F F F F F F F F

T T T T F F F F T T T T F F F F T T T T F F F F T T T T F F F F

T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F

T F T F F T T F F F F F T F F F F F T F F F F F T T T F T T T T F F T F T T F F T F T T F F T F T T T F T T T T F F T F T T F F T F T T F F T F T T T F T T T T F F T F T T F F T F T T F F T F TAUTOLOGIA

T T T T T T T T T T F F F F F F T T F F F F F F T T F F F F F F

T F T F T T T T T F T F T T T T T F T F T T T T T F T F T T T T

F T F T F T T F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T

F T F T F T T F F T T T T T T T T T T T T T T T F T T T T T T T

T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T

14. “El alza en los precios del petróleo es imparable. Esto obligará a disminuir los niveles de consumo mundial de petróleo o a incrementar la producción de biocombustibles. Todo indica, sin embargo, que el mundo no está dispuesto a disminuir los niveles de consumo de petróleo. La otra cara de la moneda es que el incremento en la producción de biocombustibles obliga a dedicar cada vez más tierras a cultivos aprovechables para producción de biocombustibles. Esto traerá como consecuencia alzas exageradas en los precios de alimentos básicos para consumo humano. Lo anterior muestra que el mundo experimentará alzas exageradas en los precios de los alimentos básicos para la especie humana”. Solución

Definimos nuestras proposiciones según el problema. p: “El alza en los precios del petróleo es imparable” q: “Disminución de los niveles de consumo mundial de petróleo” r: “incremento de la producción de biocombustibles” s: “dedicar cada vez más tierras a cultivos aprovechables para producción de biocombustibles”. t: “Esto traerá como consecuencia alzas exageradas en los precios de alimentos básicos para consumo humano”.

1. p → (q ∨ r) 2. ∼q 3. (r → s) → t

De (1) podemos concluir (p ∧ -q) -> r tenemos (4) De (4) y (3) obtenemos (p ∧ -q) -> t (5) De (5) podemos expresar -q --> r (6) De (6) y (2) obtenemos = r. (7) De (7) y (3) t = (8)

Conclusión habrá alzas exageradas en los precios de alimentos básicos para consumo humano.

16. Todos los artistas son ególatras. Algunos artistas son indigentes. Por lo tanto, algunos indigentes son ególatras. Solución

𝑝 = “Artistas ególatras” 𝑞 = “Artistas indigentes” 𝑟 = “indigentes son artistas”

Todos los artistas son ególatras. S = “Artistas” P = “Ególatras”

Algunos artistas son indigentes. S = “Artistas” P = “Indigentes”

Por lo tanto, algunos indigentes son ególatras. S = “Indigentes” P = “Ególatras”

21. Juan ha prometido a su novia, que no va a beber alcohol, para no meterse en líos. Sus amigos le dicen que beba, para no aburrirse, insistiendo en que se lo monta muy bien, cuando bebe. ¿Qué tipo de falacia están usando los amigos de Juan, para convencerle de que beba?

La falacia del antecedente.