Ejercicios Unidad 3 Fase 3- David Carrero.docx

UNIDAD 3: TAREA 3 ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo presentado por: David Sebastián Carrero Sáenz 1049628281

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Centro de Educación de Adultos a Distancia (CEAD) Tunja Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería ECBTI Ingeniería electrónica III Semestre 2018

UNIDAD 3: TAREA 3 ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo presentado por: David Sebastián Carrero Sáenz 1049628281

Trabajo presentado a: Tutor Carlos Manuel Sarmiento

En el área de: Algebra Lineal

En el grupo: 208046_313

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Centro de Educación de Adultos a Distancia (CEAD) Tunja Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería ECBTI Ingeniería electrónica III Semestre 2018

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo pretende introducir al lector en el desarrollo de los ejercicios propuestos en la guía de actividades y rúbrica de evaluación de la unidad 3, tarea 3. En dichos ejercicios se abordará la temática de espacios vectoriales y matrices en su esencia.

En razón de ello, se elaboró el presente trabajo explicando los procedimientos con la pretensión de ser lo más entendible posible para que un esperado lector del presente pueda apropiarse de los conocimientos aquí contenidos y así, extender la dinámica de conocimiento que se experimento con el desarrollo de la presente.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

A continuación, encontrará 5 ejercicios que conformaran la tarea 3 esto se desarrollan individualmente, el ejercicio 6 es colaborativo. Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios Vectoriales Descripción del ejercicio 1: Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 3, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: c) Independencia y dependencia lineal

Ejercicio 2. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, axiomas de la suma y multiplicación. Descripción del ejercicio 2 2 Dados: a) X=<1,3,5>; Y=<2,4,5>; Z=<1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. Siendo X= (1,3,5) → X= x+3y+5z Y= (2,4,5) → Y= 2x+4y+5z Z= (1,0,2) → Z= x+2z

La ley conmutativa de la suma de vectores es expresada como: (x+3y+5z) + (2x+4y+5z) = (2x+4y+5z) + (x+3y+5z) X+Y=Y+X

x+3y+5z+2x+4y+5z = 2x+4y+5z+x+3y+5z 3x+7y+10z = 3x+7y+10z (2x+4y+5z) + (x+2z) = (x+2z) + (2x+4y+5z)

Y+Z=Z+Y

2x+4y+5z+x+2z = x+2z+2x+4y+5z 3x+4y+7z = 3x+4y+7z (x+3y+5z) + (x+2z) = (x+2z) + (x+3y+5z)

X+Z=Z+X

x+3y+5z+x+2z = x+2z+ x+3y+5z 2x+3y+7z = 2x+3y+7z (x+3y+5z) + (2x+4y+5z) + (x+2z) = + (x+2z) +(x+3y+5z) +(2x+4y+5z)

X+Y+Z = Z+Y+X

x+3y+5z+2x+4y+5z+ x+2z = x+2z+x+3y+5z+2x+4y+5z 4x+7y+12z = 4x+7y+12z

b) Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. α (X+Y+Z) = αX+ αY+ αZ (Primera Ley Distributiva) (α +β)X= αX + βX (Segunda Ley Distributiva)

Siendo X= (1,3,5) → X= x+3y+5z Y= (2,4,5) → Y= 2x+4y+5z Z= (1,0,2) → Z= x+2z α=3 β=4 Séptimo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar con respecto a la suma de vectores: Si α es cualquier número real y 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣 son vectores de V, entonces 𝛼 ∙ (𝑢 ⃗ + 𝑣) = 𝛼∙𝑢 ⃗ +𝛼∙𝑣 α (X+Y+Z) = αX+ αY+ αZ (Primera Ley Distributiva) 3(x + 3y + 5z + 2x + 4y + 5z + x + 2z) = 3(x + 3y + 5z) + 3(2x + 4y + 5z) + 3(x + 2z) α (X + Y + Z) = 3𝑥 + 9𝑦 + 15𝑧 + 6𝑥 + 12𝑦 + 15𝑧 + 3𝑥 + 6𝑧 α (X + Y + Z) = 12𝑥 + 21𝑦 + 36𝑧

Octavo axioma: Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: Si α y β son cualquier par de escalares y 𝑢 ⃗ es cualquier vector de V entonces (𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑢 ⃗ = 𝛼∙𝑢 ⃗ +𝛽∙𝑢 ⃗ (α +β)X= αX + βX (Segunda Ley Distributiva) (3 + 4)(x + 3y + 5z) = 3(x + 3y + 5z) + 4(x + 3y + 5z) (α + β)X = 3(x + 3y + 5z) + 4(x + 3y + 5z) (α + β)X = 3𝑥 + 9𝑦 + 15𝑧 + 4𝑥 + 12𝑦 + 20𝑧 (α + β)X = 7𝑥 + 21𝑦 + 35𝑧

Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combinación lineal. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, conjuntos generadores y combinación lineal. Descripción del ejercicio 3 a) Dado el conjunto 𝑠 = (𝑢1 , 𝑢2 ) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢1 = (5,1) 𝑦 𝑢2 = (−3, −2). Demostrar que S genera a R2. Se puede demostrar que S genera R2, si éste es linealmente independiente, entonces: 𝑠 = 𝑢1 𝛼 + 𝑢2 𝛽 𝑠 = 𝛼(5,1) + 𝛽(−3, −2) 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 (0) 𝑠 = (5𝛼, 1𝛼) + (−3𝛽, −2𝛽) 𝑠 = (5𝛼 − 3𝛽), (𝛼 − 2𝛽) Entonces se tiene que: (5𝛼 − 3𝛽) = 0 (𝛼 − 2𝛽) = 0

Multiplicar la segunda ecuación por -5 y sumar las ecuaciones 5𝛼 − 3𝛽 + 5𝛼 − 10𝛽 = 0 −3𝛽 − 10𝛽 = 0 −7𝛽 = 0 𝛽 = 0/−7 𝜷=𝟎 Si se sustituye 𝜷 = 𝟎 en la segunda expresión, tenemos que: 𝛼 − 2𝛽 = 0 𝛼 − 2(0) = 0 𝛼−0=0 𝜶=𝟎 Así, se comprueba que los vectores son linealmente independientes y por lo tanto generan a R2.

b) Dados los vectores 𝑢 = −6𝑖 + 9𝑗 y 𝑣 = −𝑖 + 9𝑗 ¿es correcto afirmar que el vector 𝑤 = −11𝑖 − 9𝑗 es una combinación lineal de u y v? Justificar la respuesta. Para saber si el vector w es combinación lineal de u y v, entonces: 𝑤 = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑣 𝑤 = 𝛼(−6𝑖 + 9𝑗 ) + 𝛽(−𝑖 + 9𝑗) 𝑤 = (−6𝑖𝛼 + 9𝑗𝛼) + (−𝑖𝛽 + 9𝑗𝛽) 𝑤 = (−6𝑖𝛼 + 9𝑗𝛼) + (−𝑖𝛽 + 9𝑗𝛽) −11𝑖 − 9𝑗 = (−6𝑖𝛼 − 𝑖𝛽, 9𝑗𝛼 + 9𝑗𝛽) −𝟏𝟏 = −𝟔𝜶 − 𝜷 −𝟗 = 𝟗𝜶 + 𝟗𝜷 Estas últimas expresiones corresponden a un sistema de ecuaciones, las cuales despejaremos para hallar los valores de 𝜶 𝒚 𝜷 −11 = −6𝛼 − 𝛽 −9 = 9𝛼 + 9𝛽 Entonces: −11 = −6𝛼 − 𝛽 −9 = 9𝛼 + 9𝛽  −1 = 𝛼 + 𝛽 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝜶 = −𝟏 − 𝜷 Se reemplaza 𝜶 = −𝟏 − 𝜷 en la primera expresión −11 = −6(−1 − 𝛽) − 𝛽 −11 = 6 + 6𝛽 − 𝛽 −11 = 6 + 5𝛽 −11 − 6 = 5𝛽 −17 = 5𝛽 −

𝟏𝟕 =𝜷 𝟓

Se reemplaza el valor de 𝛽 en la expresión 𝛼 = −1 − 𝛽 𝛼 = −1 − 𝛽

𝛼 = −1 − (− 𝜶=

17 ) 5

𝟏𝟐 𝟓

Comprobamos: −11 = −6𝛼 − 𝛽 −11 = −6 (

12 17 ) − (− ) 5 5

−11 = −11

−9 = 9𝛼 + 9𝛽 −9 = 9 (

12 17 ) + 9 (− ) 5 5

−9 = − 9 Ya que se comprueban que los valores de 𝛼 𝑦 𝛽 existen y son comprobables en el sistema de ecuaciones obtenido, entonces el vector w es combinación lineal de los vectores u y v. Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, dependencia e independencia lineal. Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, rango de una matriz, dependencia e independencia lineal. Descripción del ejercicio 4 De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule: 7 −9 |3 4 4 −13

−11 −1 | −10

a) Determinante 7 −9 𝑑𝑒𝑡 𝐷 = |3 4 4 −13 4 −13

𝐷𝑒𝑡 𝐷 = 7 ∙ 𝑑𝑒𝑡 (

−11 −1 | −10

−1 3 −1 3 4 ) − (−9) ∙ 𝑑𝑒𝑡 ( ) − 11 ∙ 𝑑𝑒𝑡 ( ) −10 4 −10 4 −13

det 𝐷 = [7 ∙ [(4 ∗ −10) − (−1 ∗ −13)]] − [(−9) ∙ [(3 ∗ −10) − (−1 ∗ 4)]] − [(−11) ∙ [(3 ∗ −13) − (4 ∗ 4)]]

det 𝐷 = 7(−53) − (−9)(−26) − 11(−55) det 𝐷 = −371 − 234 + 605 det 𝐷 = 0 El determinante de la matriz es igual a cero b) Rango y c) Matriz escalonada usando Gauss Jordan Se procede a hallar el rango de la matriz por medio de la reducción Gauss Jordan 7 −9 |3 4 4 −13

−11 −1 | −10

3

Se realiza 𝑅2 − (7 𝑅1 ) → 𝑅2 7

−9 55 |0 7 4 −13

−11 26 | 7 −10

7

−11 26 7 || 26 − 7

4

Se realiza 𝑅3 − (7 𝑅1 ) → 𝑅3 |0 | 0

−9 55 7 55 − 7

Se realiza 𝑅3 + (1𝑅2 ) → 𝑅3 7 −9 −11 55 26 |0 | 7 7 0 0 0 7

Se realiza (55 𝑅2 ) → 𝑅2 7 −9 −11 26 |0 1 | 55 0 0 0 Se realiza 𝑅1 + (9𝑅2 ) → 𝑅1

7 0 | |0 1 0 0

371 55 26 || 55 0

−

1

Se realiza (7 𝑅1 ) → 𝑅1 53 55 26 || 55 0

7 0 − | |0 1 0 0

El rango corresponde al número de filas que no son cero, por lo tanto, el rango es 2 c) Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal   

En el primer caso (determinante) hay dependencia lineal, ya que el determinante es igual a cero. En el segundo caso el rango es igual a 2 por lo que es linealmente dependiente. En el caso de la reducción Gauss Jordan, ya que la matriz no es posible reducirla como matriz escalonada, hay dependencia lineal.

Ejercicio 5 Demostraciones matemáticas a partir del uso de dependencia e independencia lineal Desarrollar los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 3 referentes a espacios vectoriales, dependencia e independencia lineal. Descripción del ejercicio 5 Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a) V1=(0,2,2) V2=(3,3,3) V3=(0,0,4) Para comprobar la independencia lineal de los vectores, es necesario cumplir con: 𝛼𝑉1 + 𝛽𝑉2 + 𝜃𝑉3 = 0 Para realizar dicha comprobación realizamos la eliminación de Gauss-Jordan 0 3 00 (2 3 0|0) 2 3 40

Realizamos 𝑅1 ↔ 𝑅2 2 3 00 (0 3 0|0) 2 3 40

Realizamos 𝑅3 → 𝑅3 − 𝑅1 2 3 00 (0 3 0|0) 0 0 40 1

Realizamos 𝑅3 → 𝑅3 4

2 3 00 (0 3 0|0) 0 0 10 1

Realizamos 𝑅2 → 3 𝑅2 2 3 00 (0 1 0|0) 0 0 10 Realizamos 𝑅1 → 𝑅1 − 3𝑅2 2 0 00 (0 1 0|0) 0 0 10 1

Realizamos 𝑅1 → 2 𝑅1 1 0 00 (0 1 0|0) 0 0 10

Como es posible obtener la matriz escalonada por medio de la eliminación Gauss Jordan, se concluye que los vectores son linealmente independientes.

b) V1=(6,-2,8) V2=(1/2,4,0) V3=(-10,6,2) V4=(2,1,4) Para comprobar la independencia lineal de los vectores, es necesario cumplir con: 𝛼𝑉1 + 𝛽𝑉2 + 𝜃𝑉3 = 0

Para realizar dicha comprobación realizamos la eliminación de Gauss-Jordan 1 6 2 (−2 4 8 0

−10 2 0 6 1|0) 2 40

Realizamos 𝑅1 ↔ 𝑅3 8 −2 ( 6

0 4 1 2

2 6

40 1|0)

−10 2 0

1

Realizamos 𝑅2 → 𝑅2 + 4 𝑅1 8 0 (6

0

2 13 2

4

0 4 2|0 1 0 2 −10 2 )

3

Realizamos 𝑅3 → 𝑅3 − 4 𝑅1 8 0

2 4 0 13 0 4 2 0 2 | 1 23 0 (0 2 − 2 −1 ) 1

Realizamos 𝑅3 → 𝑅3 − 8 𝑅2 8 0

2 13 0 4 2 197 (0 0 − 16

4

0 2 | 0 50 −4 )

16

Realizamos 𝑅3 → − 197 𝑅3 8 0 (0 Realizamos 𝑅2 → 𝑅2 −

13 2

𝑅3

0

2 13 4 2 0

1

4

0 2 |0 20 0 197 )

8 0 0 4 (0 0

2

4 264 0 0 197 |0 20 0 1 197 )

Realizamos 𝑅1 → 𝑅1 − 2𝑅3 8 0 0 4 (0 0

748 0 197 0 264| 0 0 197| 20 0 1 197 )

1

Realizamos 𝑅2 → 4 𝑅2 8 0 0 1 (0 0

748 0 197 0 66 | 0 197 0 | 20 0 1 197 )

1

Realizamos 𝑅1 → 8 𝑅1 1 0 0 1 (0 0

187 0 394 0 66 | 0 197 0 | 20 0 1 197 )

Como no es posible obtener la matriz escalonada por medio de la eliminación Gauss Jordan, se concluye que los vectores son linealmente dependientes. Ejercicio 6. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. Descripción del ejercicio 6 Demostrar lo siguiente: Si A y B son matrices, demuestre las siguientes propiedades y comprobar mediante ejemplo: a. Rango (AB)= rango (BtAt) tenga presente el orden de las matrices.

8 5 6 )y𝐵=( 13 7 8

26 ) 12

Sea 𝐴 = ( Entonces

((5 ∗ 8) + (6 ∗ 13)) 26 )=( ((7 ∗ 8) + (8 ∗ 13)) 12

5 6 8 )( 7 8 13

𝐴𝐵 = (

𝐴𝐵 = ( 

118 160

Rango (AB)=Rango (

118 160

202 ) 278

202 ) 278

Realizamos 𝑅1 ↔ 𝑅2 160 118

278 ) 202

( 59

Realizamos 𝑅2 → 𝑅2 − 80 𝑅1 160 (

0

278 121) − 40

40

Realizamos 𝑅2 → − 121 𝑅2 160 0

(

278 ) 1

Realizamos 𝑅1 → 𝑅1 − 278𝑅2 160 ( 0

0 ) 1

1

Realizamos 𝑅1 → 160 𝑅1 1 0 ) 0 1

( El Rango de AB es igual a 2 

Rango (BtAt)

8 5 6 )y𝐵=( 13 7 8 5 7 Transpuesta 𝐴 = ( ) 6 8 Sea 𝐴 = (

8 13 Transpuesta 𝐵 = ( ) 26 12

26 ) 12

((5 ∗ 26) + (6 ∗ 12)) ) ((7 ∗ 26) + (8 ∗ 12))

𝐵 𝑡 𝐴𝑡 = (

5 7 8 )( 6 8 26

((5 ∗ 8) + (7 ∗ 26)) 13 )=( ((6 ∗ 8) + (8 ∗ 26)) 12 222 256

𝐵 𝑡 𝐴𝑡 = (

222 256

Rango (𝐵 𝑡 𝐴𝑡 )=Rango(

((5 ∗ 13) + (7 ∗ 12)) ) ((6 ∗ 13) + (8 ∗ 12))

149 ) 174

149 ) 174

Realizamos 𝑅1 ↔ 𝑅2 256 222

174 ) 149

( Realizamos 𝑅2 → 𝑅2 −

111 28

𝑅1 256 (

0

174 121) − 64

64

Realizamos 𝑅2 → − 121 𝑅2 256 0

(

174 ) 1

Realizamos 𝑅1 → 𝑅1 − 174𝑅2 256 ( 0

0 ) 1

1

Realizamos 𝑅1 → 256 𝑅1 1 0 ) 0 1

( El Rango de 𝐵 𝑡 𝐴𝑡 es igual a 2

Por lo tanto, se comprueba que Rango (AB)= rango (BtAt). b. Si A no es una matriz cuadrada, los vectores fila o los vectores de columna de A serán linealmente dependientes. 5 13 6 22

Sea 𝐴 = (

26 ) 12

Entonces los vectores columna serán: 𝛼𝑉1 + 𝛽𝑉2 + 𝜃𝑉3 = 0 𝛼(5,6) + 𝛽(13,22) + 𝜃(26,12) = (0,0)

(5𝛼, 6𝛼) + (13𝛽, 22𝛽) + (26𝜃, 12𝜃) = (0,0) El sistema de ecuaciones será: 5𝛼 + 13𝛽 + 26𝜃 = 0 6𝛼 + 22𝛽 + 12𝜃 = 0 Por otro lado, los vectores fila serán: 𝛼𝑉1 + 𝛽𝑉2 = 0 𝛼(5,13,26) + 𝛽(6,22,12) = (0,0,0) (5𝛼, 13𝛼, 26𝛼) + (6𝛽, 22𝛽, 12𝛽) = (0,0,0) El sistema de ecuaciones será: 5𝛼 + 6𝛽 = 0 13𝛼 + 22𝛽 = 0 26𝛼 + 12𝛽 = 0 En ambos casos, los vectores son linealmente dependientes ya que existen infinitas soluciones ya que, por ejemplo, no existen el mismo número de ecuaciones como de incógnitas

CONCLUSIONES



Del presente trabajo se puede concluir que principalmente que los espacios vectoriales son el principal objeto de estudio de la rama de la matemática llamada “Algebra lineal”, siendo éste el foco de atención del presente curso.



Los espacios vectoriales poseen elementos denominados “Vectores”. Con los mismos, se pueden realizar dos operaciones siendo estas “la multiplicación por escalares y la adición”.



Un vector puede tener diversas dimensiones, a los unidimensionales se les conoce con su nombre (Vector), mientras que a los multidimensionales se les llama “Matriz”, éstas, son a su vez un arreglo de vectores que permiten comprender de manera más profunda ciertos fenómenos matemáticos.



Las matices son conformadas por “elementos” (Cada uno de los números que la conforman) y un elemento difiere del otro por la posición que ocupa dentro de la matriz, así pues, el valor numérico por sí mismo puede ser el mismo pero se operará de acuerdo a su posición.

BIBLIOGRAFÍA



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

Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual UNAD. Páginas 72 a la 90. Recuperado

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