Ejercicios Tema 4 - Limites Y Continuidad.pdf
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ETS DE INGENIEROS DE MONTES PRIMER CURSO GRUPO B EJERCICIOS DEL TEMA 4 Límites y Continuidad de Funciones reales de una variable real
©Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.
Ejercicios del Tema 4. Límites y continuidad de funciones reales de una variable real. Ejercicio 1. Calcula los límites siguientes: 1.1. lim1
84 −43 +22 −3+1 166 −165 +84 −163 +172 −7+1
1.2. lim1
84 −43 +22 −3+1 165 −164 +83 −82 +5−1
→ 2
→ 2
1.3.
lim + →( 12 )
(sol.: @).
84 −43 +22 −3+1 165 −164 +83 −82 +5−1 4
3
(sol.: +∞).
2
−4 +2 −3+1 lim − 1658 −164 +83 −82 +5−1 →( 12 ) √ ¡√ ¢ 4 4 + 1 − 3 3 − 1 1.5. lim
1.4.
(sol.: −∞). (sol.: 0).
→+∞
1−cos 2 →0 ( −1)
(sol.:
1.6. lim
1
1.7. lim (cos ) arccos , →0 sen cos
1.8. lim
→0
1 2 ).
(sol.: 1).
→0
1.9. lim
con ∈ [− 4 3 4 ]
¡ +3 + ¢ 1 6
1.12.
→+∞
lim
→+∞
√ ¡√ ¢ 3 3 + 2 − 3 3 − 2 ³
2 +1 2 ++1
1.13. lim tanh →0
1.14. lim tanh →0
1.15. lim
→
¡1¢
´
1 ||
2 3 ).
(sol.: 1).
sen −sen −
(sol.: cos ).
tan() sen() →0 tan() sen()
(sol.: 1).
1.16. lim
→1
(sol.:
(sol.: @).
´
1.17. lim ( − 1) · sen
(sol.: @).
(sol.: −1 ).
³
2 ).
(sol.: 2 ).
→0
lim
(sol.:
, con 0 0 y 0
¡ ¡ ¢¢csc 1.10. lim tan + 4 1.11.
(sol.: +∞).
³
−1
´
(sol.: 0).
1
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1.18.
lim log − +
(sol.: −2).
→+∞
|| →0
(sol.: @).
1.19. lim
1.20. lim
|sen |
1.21. lim
− − ,
→0
→
³ 1.22. lim lim
(sol.: @). (sol.: −1 ).
con ∈ N
→0 (1+) −1 +2
´
con ∈ N
1.23. lim ( + 1) +1
(sol.: 0).
(sol.: @).
→−1
1
1.24. lim (22 + 1) 2
(sol.: 2 ).
→0
√ +1−1 →0 −1
(sol.:
1.25. lim
1 2 log ).
2 sen√ cos − cos 2 →0
(sol.: 2).
1.27. lim
(sen +tan )2 1−cos2
(sol.: 4).
1.28. lim
³
1.26. lim
→0
→0
(sen 2)2 sen 3·tan
2 ´ 1−cos
(sol.:
16 9 ).
Ejercicio 2. Probar que la función : R → R, definida mediante ½ 0, ≤ 0 () = 1, 0 no es continua en el punto = 0: a) Aplicando la definición de continuidad por sucesiones. b) Aplicando la definición − de continuidad. c) Calculando los límites laterales y el valor de la función en el punto = 0. Una solución. a) Tomando la sucesión de término general = 1 , es evidente que lim = ¡1¢ 0, pero lim ( ) = lim = 1 6= (0) = 0. Por tanto, no es continua en el punto = 0. 2
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b) Tomando = 12 , cualquier intervalo de la forma (0 − 0 + ), con 0, contiene puntos ∈ R (pertenecientes al subintervalo (0 )) para los cuales () = 1, por lo cual no se verifica que | ()− (0)| = | ()−0| = | ()| para todos los puntos de dicho intervalo (en realidad, tampoco se verifica dicha propiedad para cualquier tal que 0 ≤ 1). Por tanto, no es continua en el punto = 0. c) Dado que lim− () = 0 6= lim+ () = 1, no existe lim (), por lo que →0
→0
→0
no es continua en = 0.
Ejercicio 3. Dada la función : R → R, definida mediante () = 2 , se pide a) Aplicando la definición − de continuidad, prueba que es continua en el punto = 2. b) Tomando, en dicha definición −, el valor = 01, obtén (con la ayuda de una calculadora) el mayor valor de para el cual se verifica dicha condición de continuidad de en el punto = 2. ¿Cuál es este resultado cuando = 001?¿Y cuando = 0001? Una solución. a) Es evidente que la función es continua en = 2. Para demostrarlo, utilizando la definición − de continuidad, tenemos que probar que ∀ 0 algún 0 tal que para todo ∈ R con | − 2| se verifica que ¯ ¯existe ¯2 − 4¯ . Partiendo de la siguiente franja horizontal del plano − , centrada en = (2) = 4, 4− 4+
esta franja, al intersecar a la gráfica de la función () = 2 , se proyecta sobre el eje de abscisas dando lugar a la la franja vertical centrada en =2 √ √ 2− 4− 4+−2 que sugiere tomar como valor de , para que se verifique la condición dada de continuidad en = 2, el siguiente: √ √ ª © = min 2 − 4 − 4 + − 2 .
b) Utilizando el anterior resultado, se obtienen los siguientes valores de : √ √ ª © = 01 → = min 2 − 4 − 01 4 + 01 − 2 ' 00248456 √ √ ª © = 001 → = min 2 − 4 − 001 4 + 001 − 2 ' 000249843 √ √ ª © = 0001 → = min 2 − 4 − 0001 4 + 0001 − 2 ' 0000249984 3
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Ejercicio 4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones (en todos los casos, los parámetros son reales): ⎧ 1 ⎨ || 1 si 6= 0 a) () = 1+ || ⎩ 1 si = 0 1+()
b) () = ( − ()) ½ 1 ( − 1) · sen −1 si 6= 1 c) () = 0 si = 1 ½ ¯ sen ¯ ¯ si 6= 0 ¯ d) () = 1 si = 0 ( 1+|| 1−|| si 6= ±1 e) () = 0 si = ±1 ⎧ ⎨ −4 sen si ≤ − 2 · sen + si − 2 2 f) () = ⎩ cos , si ≥ 2 ( − 1 (1−)2 si 6= 1 g) () = 0 si = 1 ( 1 si 6= 0 2+− h) () = 1 2 si = 0 ¤ £ ½ sen cos ∀ ∈ − 2 2 \{0} 1−cos i) () = 2 si = 0 ½ 3 4+4tan ∀ ∈ (0 ) \{ 2 } j) () = 0 si = 2 ⎧ si ∈ (−2 0) ⎨ −√ ¯ + ¯ si ∈ [0 1] k) () = ⎩ ¯ 2 − 4¯ , si ∈ (1 3] ⎧ ⎨ · + si ∈ [0 2) si ¯= 2 l) () = ⎩ ¯¯ 4 − 2 ¯ , si ∈ (2 3] ½ 4 − 2 si ∈ Q m) () = 2 − 4 si ∈ R\Q
4
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n) () = ñ) () =
½
½
− 2 si ∈ Q 2 − si ∈ R\Q √
2
+ si 6= 0 1 si = 0
Una solución. a) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R (en particular, observa que nunca se anula el denominador, 1 es decir, 1 + || 6= 0 ∀ ∈ R) salvo, eventualmente, el punto = 0. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: 1
lim− () = lim−
→0
→0
lim () = lim+
→0+
→0
− 1 1+− 1 1
1+
= lim− →0
= lim+ →0
1 1 −1
1 +1
1 1
+1
= 1.
= 1.
(0) = 1. Por tanto, también es continua en = 0. En definitiva, es continua en R. b) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R, salvo, eventualmente, los puntos de la forma = , con ∈ Z. Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: lim () = lim− (1)1+ = 1. →− → ½ 0 si 6= −2 lim+ () = lim+ (0)2+ = . @ si = −2 → → Por tanto, no es continua en estos puntos de la forma = , con ∈ Z. c) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 1. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: 1 = 0. lim () = lim ( − 1) · sen −1 →1
→1
(1) = 0. Por tanto, también es continua en = 1. En definitiva, es continua en R.
d) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 0. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: sen = 1. lim− () = lim− − − →0
→0
lim+ () = lim+
→0
→0
sen
= 1.
(0) = 1. Por tanto, también es continua en = 0. En definitiva, es continua en R. 5
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e) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, los puntos = ±1. Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: 1+ = +∞. lim− () = lim− 1− →1
→1
lim+ () = lim+
→1
→1
1+ 1−
= −∞.
Por tanto, no es continua en = 1. lim − () = lim − 1− 1+ = −∞.
→−1
→−1
lim + () = lim +
→−1
→−1
1− 1+
= +∞.
Por tanto, no es continua en = −1. f) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, los puntos = ± 2 . Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: lim − −4 sen = 4. lim − () = →(− →(− 2) 2) lim + ( · sen + ) = − + . lim + () = →(− →(− 2) 2) (− 2 ) = 4. Por tanto, para que sea continua en = − 2 , ha de ser − + = 4. lim − () = lim − ( · sen + ) = + . →( →( 2) 2) lim + () = lim + cos = 0. →( →( 2) 2) ( 2 ) = 0. Por tanto, para que sea continua en = 2 , ha de ser + = 0. Entonces, si se verifica que − + = 4 y que + = 0, es decir, = − = −2, es continua en R. g) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 1. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: − 1 lim− () = lim− (1−)2 = 0. →1
→1
1 − (1−) 2
lim+ () = lim+
→1
→1
= 0.
(1) = 0. Por tanto, también es continua en = 1. En definitiva, es continua en R. h) Aplicando las propiedades de las funciones continuas (en particular, ob serva que nunca se anula el denominador, es decir, 2 + − 6= 0 ∀ ∈ R), es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 0. Observamos que la continuidad en este punto podría depender de los valores de . Por tanto, consideraremos tres casos: (1) 0: lim− () = lim− 1− = 12 . →0
→0
2+
6
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lim () = lim+
→0+
→0
1 2+−
= 0.
(0) = 12 . Por tanto, para 0, no es continua en = 0. (2) 0: lim− () = lim− 1− = 0. →0
→0
lim+ () = lim+
→0
→0
2+ 1 2+−
= 12 .
(0) = 12 . Por tanto, para 0, no es continua en = 0. (3) = 0: En este caso, la función es () = 12 ∀ ∈ R, por lo que es continua en R. i) Aplicando las£ propiedades de las funciones continuas, es evidente que es ¤ continua en £ − 2 2¤ salvo, eventualmente, el punto = 0 (observa que, cuando ∈ − 2 2 , se verifica que 1 − cos = 0 sii = 0). Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: cos = lim ··1 = 2. lim () = lim sen 2 1−cos →0
→0
→0
2
(0) = 2. Por£ tanto,¤ también es continua en = 0. En definitiva, es continua en − 2 2 .
j) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en (0 ) salvo, eventualmente, el punto = 2 (observa que, cuando ∈ (0 ), se verifica que 4 + 4tan 6= 0). Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: lim () = lim 4+43tan = 0. − − →( →( 2) 2) lim + () = lim + 4+43tan = 34 . →( →( 2) 2) Por tanto, no es continua en = 2 . k) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en (−2 3] salvo, eventualmente, los puntos = 0 y = 1. Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: lim () = lim ( − ) = −. →0− →0− √ lim+ () = lim+ ( + ) = . →0
→0
(0) = . Por tanto, para que sea √ continua en = 0, ha de ser − = . lim− () = lim− ( + ) = + 1. →1 →1 ¯ ¯ lim () = lim ¯2 − 4¯ = 3. →1+
→1+
(1) = + 1. Por tanto, para que sea continua en = 1, ha de ser + 1 = 3 ⇒ = 2. Entonces, si se verifica que = −2 y que = 2, es continua en (−2 3]. 7
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l) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en [0 3] salvo, eventualmente, el punto = 2. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: lim () = lim− ( · + ) = + 2. →2− →2 ¯ ¯ lim () = lim ¯4 − 2 ¯ = 0. →2+
→2+
(2) = . Por tanto, para que sea continua en = 2, ha de ser + 2 = 0 = , es decir, = = 0.
m) La Figura 1 bosqueja la gráfica de la función .
Figura 1 Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que solo es continua en los puntos = −2 y = 2, en los cuales se verifica que lim () = lim+ () =
→2−
→2
lim
→(−2)−
() =
lim
→(−2)+
() = (2) =
= (−2) = 0 n) Observamos que la continuidad de esta función podría depender de los valores de . Consideraremos tres casos:
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(1) 0: En la Figura 2 se bosqueja la gráfica de en este caso
Figura 2 Es evidente que, cuando 0, la función no es continua en ningún punto. (2) 0: Teniendo en cuenta los resultados del apartado 0, la √ √ m), cuando función solo es continua en los puntos = y = − . (3) = 0: En este caso, es evidente que la función solo es continua en = 0. ½ √ + || 2 si 6= 0 , por lo ñ) Dado que = ||, es evidente que () = 1 si = 0 que, aplicando las propiedades de las funciones continuas, es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 0. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: lim− () = lim− ( − 1) = −1. →0
→0
lim+ () = lim+ ( + 1) = 1.
→0
→0
(0) = 1. Por tanto, no es continua en = 0. Ejercicio 5. Prueba que las siguientes ecuaciones tienen raíces pertenecientes a los intervalos que en cada caso se indican y (utilizando una calculadora) halla intervalos de amplitud 01 que contengan a dichas raíces: a) 3 + 2 − 7 + 1 = 0 : tres raíces que pertenecen respectivamente a los intervalos: [−4 −3], [0 1] y [2 3]. b) + sen − 8 = 0 : una raíz que pertenece al intervalo [7 8]. 9
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c) + = 0 : una raíz que pertenece al intervalo [−1 0]. d) − cos = 0 : una raíz que pertenece al intervalo [0 1]. e) tan − = 0 : tres raíces que pertenecen respectivamente a los intervalos: 3 5 5 7 [ 2 + 01 3 2 − 01], [ 2 + 01 2 − 01] y [ 2 + 01 2 − 01]. Una solución. a) La función : R → R definida mediante () = 3 + 2 − 7 + 1 es continua en R, por ser un polinomio. En particular, es continua en los intervalos [−4 −3], [0 1] y [2 3]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dichos intervalos), dado que 1) (−4)· (−3) = −19·4 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (−4 −3). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (−33 −32). 2) (0) · (1) = 1 · (−4) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (0 1). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (01 02). 3) (2) · (3) = −1 · 16 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (2 3). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (21 22). b) La función : R → R definida mediante () = +sen −8 es continua en R, por ser combinación lineal de funciones continuas en R. En particular, es continua en el intervalo [7 8]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dicho intervalo), dado que (7) · (8) = ( 0) · ( 0) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (7 8). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (72 73). c) La función : R → R definida mediante () = + es continua en R, por ser combinación lineal de funciones continuas en R. En particular, es continua en el intervalo [−1 0]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dicho intervalo), dado que (−1) · (0) = (−1 + 1 ) · (1) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (−1 0). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los
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signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (−06 −05). d) La función : R → R definida mediante () = − cos es continua en R, por ser combinación lineal de funciones continuas en R. En particular, es continua en el intervalo [0 1]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dicho intervalo), dado que (0) · (1) = (−1) · (1 − cos 1) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (0 1). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (07 08). e) La función definida mediante () = tan − es continua en los inter3 5 5 7 valos [ 2 +01 3 2 −01], [ 2 +01 2 −01] y [ 2 +01 2 −01]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dichos intervalos), dado que 1) ( 2 + 01) · ( 3 2 − 01) = (¡0) · ( 0) 0, se¢ verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo 2 + 01 3 2 − 01 . Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (44 45). 5 0, se verifica que tiene 2) ( 3 2 + 01) · ( 2 − 01) = ( 0) ¢ ¡ · ( 0) 5 al menos una raíz en el intervalo 3 2 + 01 2 − 01 . Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (77 78). 7 0, se verifica que tiene 3) ( 5 2 + 01) · ( 2 − 01) = ( 0) ¢ ¡ · ( 0) 7 al menos una raíz en el intervalo 5 2 + 01 2 − 01 . Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (109 11). Ejercicio 6. a) Sea : R → R una función continua en R tal que lim () = −∞ y
→−∞
lim () = +∞.
→+∞
Prueba que ∀ ∈ R, existe ∈ R tal que () = . b) Sean 0 1 2 números reales, con 6= 0. Prueba que si ∈ N es impar, entonces la ecuación + −1 −1 + + 0 = 0 tiene al menos una raíz real. 11
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c) Sean 0 1 2 números reales.Prueba que si ∈ N es par y 0, entonces existe al menos un ∈ R tal que, ∀ ∈ R se verifica que + −1 −1 + + 0 ≤ + −1 −1 + + 0 d) Sean 0 1 2 números reales.Prueba que si ∈ N es par y 0, entonces existe al menos un ∈ R tal que, ∀ ∈ R se verifica que + −1 −1 + + 0 ≤ + −1 −1 + + 0 Una solución. a) Sea ∈ R un número real cualquiera. Dado que
lim () = −∞, se
→−∞
verifica que existe 0 tal que () . Del mismo modo, dado que lim () = +∞, se verifica que existe 0 tal que () . Al ser
→+∞
continua en el intervalo [ ], y cumplirse que () (), aplicando el Teorema de Darboux, se verifica que existe al menos un punto ∈ ( ) tal que () = . b) Supongamos que 0. Dado que todo polinomio es una función continua en R y que, al ser ∈ N impar y 0, se verifica que lim ( + + 0 ) = −∞ y
→−∞
lim ( + + 0 ) = +∞,
→+∞
aplicando el resultado del apartado a) al caso = 0, se cumple que existe ∈ R tal que + −1 −1 + + 0 = 0. El caso 0 se discute del mismo modo. c) Sea () = + −1 −1 + + 0 . Si ∈ N es par y 0, entonces lim ( + + 0 ) = lim ( + + 0 ) = +∞.
→−∞
→+∞
Aplicando las definiciones de límite infinito cuando → −∞ y cuando → +∞, se verifica que existen ∈ R, con 0 , tales que () 0 , para todo ≤ y para todo ≥ . Dado que todo polinomio es una función continua en R (en particular en [ ]), aplicando el Teorema de Weierstrass en [ ] (que es un conjunto compacto), se verifica que el polinomio () = +−1 −1 ++0 alcanza sus extremos absolutos en ( ). En particular, dicho polinomio alcanza su mínimo absoluto en ( ), por lo que existe ∈ ( ) tal que, ∀ ∈ ( ) se verifica que () = + −1 −1 + + 0 ≤ + −1 −1 + + 0 = () Veamos que este mínimo absoluto de en ( ) también lo es en todo R. En efecto, teniendo en cuenta que 0 ∈ ( ) y que, si ∈ ( ), por la 12
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mencionadas definiciones de límite infinito, se verifica que () 0 , para todo ≤ y para todo ≥ , se concluye que, incluso para ≤ y para ≥ , se cumple que () ≤ (0) = 0 (). d) Esta ¢ de la anterior (se puede tomar () = ¡ propiedad es consecuencia − + −1 −1 + + 0 , y aplicar c)). Ejercicio 7. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 7.1. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces ∃ 0 tal que es continua en todos los puntos de la forma = ± . 7.2. Si : ⊆ R → R, es continua en = ∈ , entonces existe un entorno de = tal que es continua ∀ ∈ . 7.3. Si : ⊆ R → R no son funciones continuas en = ∈ , entonces + no es continua en = ∈ . 7.4. Si : ⊆ R → R son funciones tales que + es continua en = ∈ , entonces y son continuas en = ∈ . 7.5. Si : ⊆ R → R son funciones tales que · es continua en = ∈ , entonces y son continuas en = ∈ . ¯ ¯ ¯ ¯ 7.6. Sean : ⊆ R → R funciones y ∈ . Si ¯ lim ()¯ 1, entonces →
lim ( ())() = 0.
→
7.7. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ y en = ∈ , y ∀ ∈ ( ) se verifica que () () (), entonces es continua en ( ). 7.8. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces existe lim (). →
7.9. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ 0 (con 0 = Conjunto de puntos de acumulación de ), entonces existe lim () y se →
verifica que () = lim (). →
7.10. Si : [ ] ⊆ R → R, con , es una función continua en = ∈ = [ ], entonces existen lim− (), lim+ (), y se verifica que lim− () = →
→
→
lim+ () = ().
→
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7.11. Sea : ( ) ⊆ R → R, con , una función. Si no existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ ( ), entonces no es continua en ( ). 7.12. Sea : [ ] ⊆ R → R, con , una función. Si no existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ [ ], entonces no es continua en [ ]. 7.13. Sea : [ ] ⊆ R → R, con , una función. Si es continua en [ ], entonces existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ [ ]. 7.14. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces · es una función continua en = ∈ . 7.15. Si : ⊆ R → R es una función tal que · es continua en = ∈ , entonces es una función continua en = ∈ . 7.16. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces ◦ = 2 es una función continua en = ∈ . 7.17. Si : ⊆ R → R es una función tal que ◦ es continua en = ∈ , entonces es una función continua en = ∈ . 7.18. Si : R → R son funciones que no son continuas en ningún punto, entonces + no es continua en ningún punto. 7.19. Si : R → R son funciones que no son continuas en ningún punto, entonces · no es continua en ningún punto. 7.20. Si : R → R es una función que no es continua en ningún punto, entonces · no es continua en ningún punto. 7.21. Si : R → R es una función que no es continua en ningún punto, entonces | | no es continua en ningún punto. Una solución. 7.1. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse cualquier función : ⊆ R → R definida en = , siendo ∈ un punto aislado. 7.2. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : R → R definida mediante ½ 2 ,∈Q () = 0, ∈ R\Q que es continua solamente en = 0. Este ejemplo muestra que una función puede ser continua en un punto no aislado y no serlo en ningún otro de cualquier entorno de dicho punto.
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7.3. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse las funciones : R → R definidas mediante ½ ½ 0, ≤ 0 1, 0 () = , () = , 1, 0 0, ≥ 0 que no son continuas en el punto = 0, pero, al ser ( +)() = 1 ∀ ∈ R, se verifica que + es continua en todo R, en particular en = 0. 7.4. Falso. Como contraejemplo, se puede tomar el del apartado anterior, aplicado al punto = 0. 7.5. Falso. Como contraejemplo, se puede tomar las funciones : R → R definidas mediante ½ ½ 1 , 6= 0 , 6= 0 , () = , () = 1, = 0 1, = 0 que son ambas discontinuas en = 0, pero, al ser ( · ) () = 1 ∀ ∈ R, se verifica que · es continua en todo R, en particular en = 0. 7.6. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse () = cualquier número real.
1+2 3+22 ,
() = y
7.7. Falso. Como contraejemplo puede tomarse cualquier función estrictamente creciente en ( ), continua en = y en = y discontinua en algún punto de ( ). 7.8. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse cualquier función : ⊆ R → R definida en = , siendo ∈ un punto aislado. 7.9. Verdadero. Es consecuencia de la definición de continuidad (en un punto de acumulación). 7.10. Falso, ya que no existen lim− () ni lim+ (). →
→
7.11. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : (0 1) → R definida mediante () = 1 , para la cual no existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ ( ), pero es continua en (0 1). 7.12. Verdadero. Se trata de aplicar la proposición contrarecíproca de la dada en la primera parte del Teorema de Weierstrass: si es continua en un compacto, por ejemplo [ ], entonces está acotada en [ ]. 7.13. Verdadero. Se trata de la primera parte del Teorema de Weierstrass (ver apdo. anterior). 7.14. Verdadero. Es consecuencia de las propiedades de las funciones continuas.
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7.15. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse el de la función definida mediante ½ −1, ≤ 0 () = , 1, 0 que es tal que · = 1 ∀ ∈ R, y no es continua en el punto = 0. 7.16. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : [0 +∞) → R definida mediante ⎧ −1 ⎨ −1 , ∈ [0 1) , () = 2, = 1 ⎩ 1 , ∈ (1 +∞)
que es continua en = 0, pero ◦ , que cuando → 0+ está definida por ( ◦ ) () = 1 − , no es continua en = 0, donde 2 (0) = ( ◦ ) (0) = ( (0)) = (1) = 2.
7.17. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : R → R definida mediante ½ 1 , 6= 0 , () = 0, = 0 que no es continua en = 0, pero ◦ , que está definida por ( ◦ ) () = ∀ ∈ R, es continua en = 0. 7.18. Falso. Como contraejemplo, pueden tomarse las variantes de la función de Dirichlet definidas mediante ½ ½ 1, ∈ Q −1, ∈ Q () = , () = −1, ∈ R\Q 1, ∈ R\Q que no son continuas en ningún punto, pero ( + ) () = 0 ∀ ∈ R es continua en todo R. 7.19. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse el del anterior apartado, en el cual ( · ) () = −1 ∀ ∈ R, que es continua en todo R. 7.20. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función del apartado 7.18., para la cual ( · ) () = 1 ∀ ∈ R, que es continua en todo R. 7.21. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función del apartado 7.18., para la cual (| |)() = 1 ∀ ∈ R, que es continua en todo R. Ejercicio 8. Supongamos que, para cada unidad de tiempo, la temperatura a lo largo del ecuador (paralelo 0 ) se puede representar mediante una función continua = (), en la que es la longitud (p.e., expresada en radianes). Prueba que
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existen dos puntos opuestos (uno en la antípoda del otro), en los cuales, en cada instante dado, se alcanza la misma temperatura. Una solución. Dado que () = ( + 2) se verifica que la función es periódica de período 2. Se trata de probar que existen puntos tales que () = ( + ). Para ello, introducimos la función auxiliar definida mediante () = () − ( + ) que es continua en el ecuador, por serlo . Además, esta función verifica que (0) = (0) − () () = () − (2) = () − (0) = −(0) es decir, (0) · () 0. Aplicando el Teorema de Bolzano, existe un punto ∈ (0 ) para el cual () = 0, es decir, () = ( + ), por lo que existen dos puntos opuestos (uno en la antípoda del otro), en los cuales, en cada instante dado, se alcanza la misma temperatura. Ejercicio 9. Sean ∈ R, con . Se dice que una función : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ] si existe una constante real positiva tal que para cualquiera que sean ∈ [ ], se verifica que | () − ()| ≤ · | − | Se pide: a) Prueba que la función : [0 1] → [0 1] definida mediante () = 3 es Lipschitziana en [0 1]. b) Prueba que si : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ], entonces es continua en [ ]. c) Prueba que si : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ], entonces es uniformemente continua en [ ]. d) Prueba que si : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ] y además 0 1 (en tal caso, se dice que es contractiva), entonces la sucesión definida por la ley de recurrencia +1 = ( ), es convergente. Sea = lim . Prueba que ∈ [ ] y que es el único punto fijo de ( ).
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Una solución. a) Dado que, para cualquiera que sean ∈ [0 1], se verifica que () ∈ [0 1] y que ¯ ¯ ¯ ¯ | () − ()| = ¯3 − 3 ¯ = ¯(2 + + 2 )( − )¯ ≤ 3 · | − | resulta que () = 3 es Lipschitziana en [0 1].
b) Sea ∈ [ ]. Por ser : [ ] → R Lipschitziana en [ ], se verifica que lim | () − ()| ≤ lim · | − | = 0
→
→
por lo que lim () = () y resulta que es continua en [ ]. →
c) Dado que [ ] es compacto y es continua en [ ], aplicando el Teorema de Heine, resulta que es uniformemente continua en [ ]. d) Por ser : [ ] → [ ] Lipschitziana en [ ], se verifica que |+1 − | = | ( ) − (−1 )| ≤ · | − −1 | Reiterando esta propiedad − 1 veces, |+1 − | ≤ · | − −1 | ≤ 2 · |−1 − −2 | ≤ ≤ −1 · |2 − 1 | Por tanto, ∀ ∈ N con , al ser 0 1, se verifica que | − | ≤ | − −1 | + |−1 − −2 | + + |+1 − | ≤ ³ ´ ≤ −2 + −3 + + −1 · |2 − 1 | ≤ ⎞ ⎛ ∞ X −1 ⎠ · |2 − 1 | = · |2 − 1 | ≤⎝ 1 − =−1
En consecuencia, resulta que ∀ 0, existe 0 ∈ N tal que ∀ ≥ 0 se verifica que · (1 − ) −1 |2 − 1 | de donde se sigue que ∀ ∈ N, con ≥ 0 , se verifica que | − | . Esto prueba que ( ) es una sucesión de Cauchy, de donde se deduce que ( ) es una sucesión convergente. Sea lim = . Entonces, pasando al límite en la fórmula de la ley de recurrencia, se verifica que = (), por lo que es un punto fijo de . Además, al estar definida : [ ] → [ ] y ser [ ] un conjunto cerrado, se verifica que ∈ [ ]. Finalmente, veamos 18
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que es único. De existir otro punto fijo para en [ ], por ejemplo ∈ [ ] tal que () = y 6= , al ser Lipschitziana y contractiva en [ ], se verifica que 0 | − | = | () − ()| ≤ · | − | | − | lo cual es absurdo. Por tanto, es único.
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Ejercicios del Tema 4. Límites y continuidad de funciones reales de una variable real. Ejercicio 1. Calcula los límites siguientes: 1.1. lim1
84 −43 +22 −3+1 166 −165 +84 −163 +172 −7+1
1.2. lim1
84 −43 +22 −3+1 165 −164 +83 −82 +5−1
→ 2
→ 2
1.3.
lim + →( 12 )
(sol.: @).
84 −43 +22 −3+1 165 −164 +83 −82 +5−1 4
3
(sol.: +∞).
2
−4 +2 −3+1 lim − 1658 −164 +83 −82 +5−1 →( 12 ) √ ¡√ ¢ 4 4 + 1 − 3 3 − 1 1.5. lim
1.4.
(sol.: −∞). (sol.: 0).
→+∞
1−cos 2 →0 ( −1)
(sol.:
1.6. lim
1
1.7. lim (cos ) arccos , →0 sen cos
1.8. lim
→0
1 2 ).
(sol.: 1).
→0
1.9. lim
con ∈ [− 4 3 4 ]
¡ +3 + ¢ 1 6
1.12.
→+∞
lim
→+∞
√ ¡√ ¢ 3 3 + 2 − 3 3 − 2 ³
2 +1 2 ++1
1.13. lim tanh →0
1.14. lim tanh →0
1.15. lim
→
¡1¢
´
1 ||
2 3 ).
(sol.: 1).
sen −sen −
(sol.: cos ).
tan() sen() →0 tan() sen()
(sol.: 1).
1.16. lim
→1
(sol.:
(sol.: @).
´
1.17. lim ( − 1) · sen
(sol.: @).
(sol.: −1 ).
³
2 ).
(sol.: 2 ).
→0
lim
(sol.:
, con 0 0 y 0
¡ ¡ ¢¢csc 1.10. lim tan + 4 1.11.
(sol.: +∞).
³
−1
´
(sol.: 0).
1
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1.18.
lim log − +
(sol.: −2).
→+∞
|| →0
(sol.: @).
1.19. lim
1.20. lim
|sen |
1.21. lim
− − ,
→0
→
³ 1.22. lim lim
(sol.: @). (sol.: −1 ).
con ∈ N
→0 (1+) −1 +2
´
con ∈ N
1.23. lim ( + 1) +1
(sol.: 0).
(sol.: @).
→−1
1
1.24. lim (22 + 1) 2
(sol.: 2 ).
→0
√ +1−1 →0 −1
(sol.:
1.25. lim
1 2 log ).
2 sen√ cos − cos 2 →0
(sol.: 2).
1.27. lim
(sen +tan )2 1−cos2
(sol.: 4).
1.28. lim
³
1.26. lim
→0
→0
(sen 2)2 sen 3·tan
2 ´ 1−cos
(sol.:
16 9 ).
Ejercicio 2. Probar que la función : R → R, definida mediante ½ 0, ≤ 0 () = 1, 0 no es continua en el punto = 0: a) Aplicando la definición de continuidad por sucesiones. b) Aplicando la definición − de continuidad. c) Calculando los límites laterales y el valor de la función en el punto = 0. Una solución. a) Tomando la sucesión de término general = 1 , es evidente que lim = ¡1¢ 0, pero lim ( ) = lim = 1 6= (0) = 0. Por tanto, no es continua en el punto = 0. 2
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b) Tomando = 12 , cualquier intervalo de la forma (0 − 0 + ), con 0, contiene puntos ∈ R (pertenecientes al subintervalo (0 )) para los cuales () = 1, por lo cual no se verifica que | ()− (0)| = | ()−0| = | ()| para todos los puntos de dicho intervalo (en realidad, tampoco se verifica dicha propiedad para cualquier tal que 0 ≤ 1). Por tanto, no es continua en el punto = 0. c) Dado que lim− () = 0 6= lim+ () = 1, no existe lim (), por lo que →0
→0
→0
no es continua en = 0.
Ejercicio 3. Dada la función : R → R, definida mediante () = 2 , se pide a) Aplicando la definición − de continuidad, prueba que es continua en el punto = 2. b) Tomando, en dicha definición −, el valor = 01, obtén (con la ayuda de una calculadora) el mayor valor de para el cual se verifica dicha condición de continuidad de en el punto = 2. ¿Cuál es este resultado cuando = 001?¿Y cuando = 0001? Una solución. a) Es evidente que la función es continua en = 2. Para demostrarlo, utilizando la definición − de continuidad, tenemos que probar que ∀ 0 algún 0 tal que para todo ∈ R con | − 2| se verifica que ¯ ¯existe ¯2 − 4¯ . Partiendo de la siguiente franja horizontal del plano − , centrada en = (2) = 4, 4− 4+
esta franja, al intersecar a la gráfica de la función () = 2 , se proyecta sobre el eje de abscisas dando lugar a la la franja vertical centrada en =2 √ √ 2− 4− 4+−2 que sugiere tomar como valor de , para que se verifique la condición dada de continuidad en = 2, el siguiente: √ √ ª © = min 2 − 4 − 4 + − 2 .
b) Utilizando el anterior resultado, se obtienen los siguientes valores de : √ √ ª © = 01 → = min 2 − 4 − 01 4 + 01 − 2 ' 00248456 √ √ ª © = 001 → = min 2 − 4 − 001 4 + 001 − 2 ' 000249843 √ √ ª © = 0001 → = min 2 − 4 − 0001 4 + 0001 − 2 ' 0000249984 3
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Ejercicio 4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones (en todos los casos, los parámetros son reales): ⎧ 1 ⎨ || 1 si 6= 0 a) () = 1+ || ⎩ 1 si = 0 1+()
b) () = ( − ()) ½ 1 ( − 1) · sen −1 si 6= 1 c) () = 0 si = 1 ½ ¯ sen ¯ ¯ si 6= 0 ¯ d) () = 1 si = 0 ( 1+|| 1−|| si 6= ±1 e) () = 0 si = ±1 ⎧ ⎨ −4 sen si ≤ − 2 · sen + si − 2 2 f) () = ⎩ cos , si ≥ 2 ( − 1 (1−)2 si 6= 1 g) () = 0 si = 1 ( 1 si 6= 0 2+− h) () = 1 2 si = 0 ¤ £ ½ sen cos ∀ ∈ − 2 2 \{0} 1−cos i) () = 2 si = 0 ½ 3 4+4tan ∀ ∈ (0 ) \{ 2 } j) () = 0 si = 2 ⎧ si ∈ (−2 0) ⎨ −√ ¯ + ¯ si ∈ [0 1] k) () = ⎩ ¯ 2 − 4¯ , si ∈ (1 3] ⎧ ⎨ · + si ∈ [0 2) si ¯= 2 l) () = ⎩ ¯¯ 4 − 2 ¯ , si ∈ (2 3] ½ 4 − 2 si ∈ Q m) () = 2 − 4 si ∈ R\Q
4
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n) () = ñ) () =
½
½
− 2 si ∈ Q 2 − si ∈ R\Q √
2
+ si 6= 0 1 si = 0
Una solución. a) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R (en particular, observa que nunca se anula el denominador, 1 es decir, 1 + || 6= 0 ∀ ∈ R) salvo, eventualmente, el punto = 0. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: 1
lim− () = lim−
→0
→0
lim () = lim+
→0+
→0
− 1 1+− 1 1
1+
= lim− →0
= lim+ →0
1 1 −1
1 +1
1 1
+1
= 1.
= 1.
(0) = 1. Por tanto, también es continua en = 0. En definitiva, es continua en R. b) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R, salvo, eventualmente, los puntos de la forma = , con ∈ Z. Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: lim () = lim− (1)1+ = 1. →− → ½ 0 si 6= −2 lim+ () = lim+ (0)2+ = . @ si = −2 → → Por tanto, no es continua en estos puntos de la forma = , con ∈ Z. c) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 1. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: 1 = 0. lim () = lim ( − 1) · sen −1 →1
→1
(1) = 0. Por tanto, también es continua en = 1. En definitiva, es continua en R.
d) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 0. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: sen = 1. lim− () = lim− − − →0
→0
lim+ () = lim+
→0
→0
sen
= 1.
(0) = 1. Por tanto, también es continua en = 0. En definitiva, es continua en R. 5
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e) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, los puntos = ±1. Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: 1+ = +∞. lim− () = lim− 1− →1
→1
lim+ () = lim+
→1
→1
1+ 1−
= −∞.
Por tanto, no es continua en = 1. lim − () = lim − 1− 1+ = −∞.
→−1
→−1
lim + () = lim +
→−1
→−1
1− 1+
= +∞.
Por tanto, no es continua en = −1. f) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, los puntos = ± 2 . Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: lim − −4 sen = 4. lim − () = →(− →(− 2) 2) lim + ( · sen + ) = − + . lim + () = →(− →(− 2) 2) (− 2 ) = 4. Por tanto, para que sea continua en = − 2 , ha de ser − + = 4. lim − () = lim − ( · sen + ) = + . →( →( 2) 2) lim + () = lim + cos = 0. →( →( 2) 2) ( 2 ) = 0. Por tanto, para que sea continua en = 2 , ha de ser + = 0. Entonces, si se verifica que − + = 4 y que + = 0, es decir, = − = −2, es continua en R. g) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 1. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: − 1 lim− () = lim− (1−)2 = 0. →1
→1
1 − (1−) 2
lim+ () = lim+
→1
→1
= 0.
(1) = 0. Por tanto, también es continua en = 1. En definitiva, es continua en R. h) Aplicando las propiedades de las funciones continuas (en particular, ob serva que nunca se anula el denominador, es decir, 2 + − 6= 0 ∀ ∈ R), es evidente que es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 0. Observamos que la continuidad en este punto podría depender de los valores de . Por tanto, consideraremos tres casos: (1) 0: lim− () = lim− 1− = 12 . →0
→0
2+
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lim () = lim+
→0+
→0
1 2+−
= 0.
(0) = 12 . Por tanto, para 0, no es continua en = 0. (2) 0: lim− () = lim− 1− = 0. →0
→0
lim+ () = lim+
→0
→0
2+ 1 2+−
= 12 .
(0) = 12 . Por tanto, para 0, no es continua en = 0. (3) = 0: En este caso, la función es () = 12 ∀ ∈ R, por lo que es continua en R. i) Aplicando las£ propiedades de las funciones continuas, es evidente que es ¤ continua en £ − 2 2¤ salvo, eventualmente, el punto = 0 (observa que, cuando ∈ − 2 2 , se verifica que 1 − cos = 0 sii = 0). Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: cos = lim ··1 = 2. lim () = lim sen 2 1−cos →0
→0
→0
2
(0) = 2. Por£ tanto,¤ también es continua en = 0. En definitiva, es continua en − 2 2 .
j) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en (0 ) salvo, eventualmente, el punto = 2 (observa que, cuando ∈ (0 ), se verifica que 4 + 4tan 6= 0). Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: lim () = lim 4+43tan = 0. − − →( →( 2) 2) lim + () = lim + 4+43tan = 34 . →( →( 2) 2) Por tanto, no es continua en = 2 . k) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en (−2 3] salvo, eventualmente, los puntos = 0 y = 1. Para estudiar la continuidad en estos puntos, vemos que: lim () = lim ( − ) = −. →0− →0− √ lim+ () = lim+ ( + ) = . →0
→0
(0) = . Por tanto, para que sea √ continua en = 0, ha de ser − = . lim− () = lim− ( + ) = + 1. →1 →1 ¯ ¯ lim () = lim ¯2 − 4¯ = 3. →1+
→1+
(1) = + 1. Por tanto, para que sea continua en = 1, ha de ser + 1 = 3 ⇒ = 2. Entonces, si se verifica que = −2 y que = 2, es continua en (−2 3]. 7
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l) Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que es continua en [0 3] salvo, eventualmente, el punto = 2. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: lim () = lim− ( · + ) = + 2. →2− →2 ¯ ¯ lim () = lim ¯4 − 2 ¯ = 0. →2+
→2+
(2) = . Por tanto, para que sea continua en = 2, ha de ser + 2 = 0 = , es decir, = = 0.
m) La Figura 1 bosqueja la gráfica de la función .
Figura 1 Aplicando las propiedades de las funciones continuas, es evidente que solo es continua en los puntos = −2 y = 2, en los cuales se verifica que lim () = lim+ () =
→2−
→2
lim
→(−2)−
() =
lim
→(−2)+
() = (2) =
= (−2) = 0 n) Observamos que la continuidad de esta función podría depender de los valores de . Consideraremos tres casos:
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(1) 0: En la Figura 2 se bosqueja la gráfica de en este caso
Figura 2 Es evidente que, cuando 0, la función no es continua en ningún punto. (2) 0: Teniendo en cuenta los resultados del apartado 0, la √ √ m), cuando función solo es continua en los puntos = y = − . (3) = 0: En este caso, es evidente que la función solo es continua en = 0. ½ √ + || 2 si 6= 0 , por lo ñ) Dado que = ||, es evidente que () = 1 si = 0 que, aplicando las propiedades de las funciones continuas, es continua en R salvo, eventualmente, el punto = 0. Para estudiar la continuidad en este punto, vemos que: lim− () = lim− ( − 1) = −1. →0
→0
lim+ () = lim+ ( + 1) = 1.
→0
→0
(0) = 1. Por tanto, no es continua en = 0. Ejercicio 5. Prueba que las siguientes ecuaciones tienen raíces pertenecientes a los intervalos que en cada caso se indican y (utilizando una calculadora) halla intervalos de amplitud 01 que contengan a dichas raíces: a) 3 + 2 − 7 + 1 = 0 : tres raíces que pertenecen respectivamente a los intervalos: [−4 −3], [0 1] y [2 3]. b) + sen − 8 = 0 : una raíz que pertenece al intervalo [7 8]. 9
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c) + = 0 : una raíz que pertenece al intervalo [−1 0]. d) − cos = 0 : una raíz que pertenece al intervalo [0 1]. e) tan − = 0 : tres raíces que pertenecen respectivamente a los intervalos: 3 5 5 7 [ 2 + 01 3 2 − 01], [ 2 + 01 2 − 01] y [ 2 + 01 2 − 01]. Una solución. a) La función : R → R definida mediante () = 3 + 2 − 7 + 1 es continua en R, por ser un polinomio. En particular, es continua en los intervalos [−4 −3], [0 1] y [2 3]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dichos intervalos), dado que 1) (−4)· (−3) = −19·4 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (−4 −3). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (−33 −32). 2) (0) · (1) = 1 · (−4) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (0 1). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (01 02). 3) (2) · (3) = −1 · 16 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (2 3). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (21 22). b) La función : R → R definida mediante () = +sen −8 es continua en R, por ser combinación lineal de funciones continuas en R. En particular, es continua en el intervalo [7 8]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dicho intervalo), dado que (7) · (8) = ( 0) · ( 0) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (7 8). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (72 73). c) La función : R → R definida mediante () = + es continua en R, por ser combinación lineal de funciones continuas en R. En particular, es continua en el intervalo [−1 0]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dicho intervalo), dado que (−1) · (0) = (−1 + 1 ) · (1) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (−1 0). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los
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signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (−06 −05). d) La función : R → R definida mediante () = − cos es continua en R, por ser combinación lineal de funciones continuas en R. En particular, es continua en el intervalo [0 1]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dicho intervalo), dado que (0) · (1) = (−1) · (1 − cos 1) 0, se verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo (0 1). Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano (método de bisección), resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (07 08). e) La función definida mediante () = tan − es continua en los inter3 5 5 7 valos [ 2 +01 3 2 −01], [ 2 +01 2 −01] y [ 2 +01 2 −01]. Aplicando el Teorema de Bolzano (a la función en dichos intervalos), dado que 1) ( 2 + 01) · ( 3 2 − 01) = (¡0) · ( 0) 0, se¢ verifica que tiene al menos una raíz en el intervalo 2 + 01 3 2 − 01 . Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (44 45). 5 0, se verifica que tiene 2) ( 3 2 + 01) · ( 2 − 01) = ( 0) ¢ ¡ · ( 0) 5 al menos una raíz en el intervalo 3 2 + 01 2 − 01 . Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (77 78). 7 0, se verifica que tiene 3) ( 5 2 + 01) · ( 2 − 01) = ( 0) ¢ ¡ · ( 0) 7 al menos una raíz en el intervalo 5 2 + 01 2 − 01 . Tanteando (con la ayuda de una calculadora) los signos de para valores de dicho intervalo, y aplicando de nuevo el Teorema de Bolzano, resulta que dicha raíz pertenece al intervalo (109 11). Ejercicio 6. a) Sea : R → R una función continua en R tal que lim () = −∞ y
→−∞
lim () = +∞.
→+∞
Prueba que ∀ ∈ R, existe ∈ R tal que () = . b) Sean 0 1 2 números reales, con 6= 0. Prueba que si ∈ N es impar, entonces la ecuación + −1 −1 + + 0 = 0 tiene al menos una raíz real. 11
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c) Sean 0 1 2 números reales.Prueba que si ∈ N es par y 0, entonces existe al menos un ∈ R tal que, ∀ ∈ R se verifica que + −1 −1 + + 0 ≤ + −1 −1 + + 0 d) Sean 0 1 2 números reales.Prueba que si ∈ N es par y 0, entonces existe al menos un ∈ R tal que, ∀ ∈ R se verifica que + −1 −1 + + 0 ≤ + −1 −1 + + 0 Una solución. a) Sea ∈ R un número real cualquiera. Dado que
lim () = −∞, se
→−∞
verifica que existe 0 tal que () . Del mismo modo, dado que lim () = +∞, se verifica que existe 0 tal que () . Al ser
→+∞
continua en el intervalo [ ], y cumplirse que () (), aplicando el Teorema de Darboux, se verifica que existe al menos un punto ∈ ( ) tal que () = . b) Supongamos que 0. Dado que todo polinomio es una función continua en R y que, al ser ∈ N impar y 0, se verifica que lim ( + + 0 ) = −∞ y
→−∞
lim ( + + 0 ) = +∞,
→+∞
aplicando el resultado del apartado a) al caso = 0, se cumple que existe ∈ R tal que + −1 −1 + + 0 = 0. El caso 0 se discute del mismo modo. c) Sea () = + −1 −1 + + 0 . Si ∈ N es par y 0, entonces lim ( + + 0 ) = lim ( + + 0 ) = +∞.
→−∞
→+∞
Aplicando las definiciones de límite infinito cuando → −∞ y cuando → +∞, se verifica que existen ∈ R, con 0 , tales que () 0 , para todo ≤ y para todo ≥ . Dado que todo polinomio es una función continua en R (en particular en [ ]), aplicando el Teorema de Weierstrass en [ ] (que es un conjunto compacto), se verifica que el polinomio () = +−1 −1 ++0 alcanza sus extremos absolutos en ( ). En particular, dicho polinomio alcanza su mínimo absoluto en ( ), por lo que existe ∈ ( ) tal que, ∀ ∈ ( ) se verifica que () = + −1 −1 + + 0 ≤ + −1 −1 + + 0 = () Veamos que este mínimo absoluto de en ( ) también lo es en todo R. En efecto, teniendo en cuenta que 0 ∈ ( ) y que, si ∈ ( ), por la 12
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mencionadas definiciones de límite infinito, se verifica que () 0 , para todo ≤ y para todo ≥ , se concluye que, incluso para ≤ y para ≥ , se cumple que () ≤ (0) = 0 (). d) Esta ¢ de la anterior (se puede tomar () = ¡ propiedad es consecuencia − + −1 −1 + + 0 , y aplicar c)). Ejercicio 7. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 7.1. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces ∃ 0 tal que es continua en todos los puntos de la forma = ± . 7.2. Si : ⊆ R → R, es continua en = ∈ , entonces existe un entorno de = tal que es continua ∀ ∈ . 7.3. Si : ⊆ R → R no son funciones continuas en = ∈ , entonces + no es continua en = ∈ . 7.4. Si : ⊆ R → R son funciones tales que + es continua en = ∈ , entonces y son continuas en = ∈ . 7.5. Si : ⊆ R → R son funciones tales que · es continua en = ∈ , entonces y son continuas en = ∈ . ¯ ¯ ¯ ¯ 7.6. Sean : ⊆ R → R funciones y ∈ . Si ¯ lim ()¯ 1, entonces →
lim ( ())() = 0.
→
7.7. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ y en = ∈ , y ∀ ∈ ( ) se verifica que () () (), entonces es continua en ( ). 7.8. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces existe lim (). →
7.9. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ 0 (con 0 = Conjunto de puntos de acumulación de ), entonces existe lim () y se →
verifica que () = lim (). →
7.10. Si : [ ] ⊆ R → R, con , es una función continua en = ∈ = [ ], entonces existen lim− (), lim+ (), y se verifica que lim− () = →
→
→
lim+ () = ().
→
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7.11. Sea : ( ) ⊆ R → R, con , una función. Si no existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ ( ), entonces no es continua en ( ). 7.12. Sea : [ ] ⊆ R → R, con , una función. Si no existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ [ ], entonces no es continua en [ ]. 7.13. Sea : [ ] ⊆ R → R, con , una función. Si es continua en [ ], entonces existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ [ ]. 7.14. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces · es una función continua en = ∈ . 7.15. Si : ⊆ R → R es una función tal que · es continua en = ∈ , entonces es una función continua en = ∈ . 7.16. Si : ⊆ R → R es una función continua en = ∈ , entonces ◦ = 2 es una función continua en = ∈ . 7.17. Si : ⊆ R → R es una función tal que ◦ es continua en = ∈ , entonces es una función continua en = ∈ . 7.18. Si : R → R son funciones que no son continuas en ningún punto, entonces + no es continua en ningún punto. 7.19. Si : R → R son funciones que no son continuas en ningún punto, entonces · no es continua en ningún punto. 7.20. Si : R → R es una función que no es continua en ningún punto, entonces · no es continua en ningún punto. 7.21. Si : R → R es una función que no es continua en ningún punto, entonces | | no es continua en ningún punto. Una solución. 7.1. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse cualquier función : ⊆ R → R definida en = , siendo ∈ un punto aislado. 7.2. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : R → R definida mediante ½ 2 ,∈Q () = 0, ∈ R\Q que es continua solamente en = 0. Este ejemplo muestra que una función puede ser continua en un punto no aislado y no serlo en ningún otro de cualquier entorno de dicho punto.
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7.3. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse las funciones : R → R definidas mediante ½ ½ 0, ≤ 0 1, 0 () = , () = , 1, 0 0, ≥ 0 que no son continuas en el punto = 0, pero, al ser ( +)() = 1 ∀ ∈ R, se verifica que + es continua en todo R, en particular en = 0. 7.4. Falso. Como contraejemplo, se puede tomar el del apartado anterior, aplicado al punto = 0. 7.5. Falso. Como contraejemplo, se puede tomar las funciones : R → R definidas mediante ½ ½ 1 , 6= 0 , 6= 0 , () = , () = 1, = 0 1, = 0 que son ambas discontinuas en = 0, pero, al ser ( · ) () = 1 ∀ ∈ R, se verifica que · es continua en todo R, en particular en = 0. 7.6. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse () = cualquier número real.
1+2 3+22 ,
() = y
7.7. Falso. Como contraejemplo puede tomarse cualquier función estrictamente creciente en ( ), continua en = y en = y discontinua en algún punto de ( ). 7.8. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse cualquier función : ⊆ R → R definida en = , siendo ∈ un punto aislado. 7.9. Verdadero. Es consecuencia de la definición de continuidad (en un punto de acumulación). 7.10. Falso, ya que no existen lim− () ni lim+ (). →
→
7.11. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : (0 1) → R definida mediante () = 1 , para la cual no existe 0 tal que | ()| ≤ ∀ ∈ ( ), pero es continua en (0 1). 7.12. Verdadero. Se trata de aplicar la proposición contrarecíproca de la dada en la primera parte del Teorema de Weierstrass: si es continua en un compacto, por ejemplo [ ], entonces está acotada en [ ]. 7.13. Verdadero. Se trata de la primera parte del Teorema de Weierstrass (ver apdo. anterior). 7.14. Verdadero. Es consecuencia de las propiedades de las funciones continuas.
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7.15. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse el de la función definida mediante ½ −1, ≤ 0 () = , 1, 0 que es tal que · = 1 ∀ ∈ R, y no es continua en el punto = 0. 7.16. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : [0 +∞) → R definida mediante ⎧ −1 ⎨ −1 , ∈ [0 1) , () = 2, = 1 ⎩ 1 , ∈ (1 +∞)
que es continua en = 0, pero ◦ , que cuando → 0+ está definida por ( ◦ ) () = 1 − , no es continua en = 0, donde 2 (0) = ( ◦ ) (0) = ( (0)) = (1) = 2.
7.17. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función : R → R definida mediante ½ 1 , 6= 0 , () = 0, = 0 que no es continua en = 0, pero ◦ , que está definida por ( ◦ ) () = ∀ ∈ R, es continua en = 0. 7.18. Falso. Como contraejemplo, pueden tomarse las variantes de la función de Dirichlet definidas mediante ½ ½ 1, ∈ Q −1, ∈ Q () = , () = −1, ∈ R\Q 1, ∈ R\Q que no son continuas en ningún punto, pero ( + ) () = 0 ∀ ∈ R es continua en todo R. 7.19. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse el del anterior apartado, en el cual ( · ) () = −1 ∀ ∈ R, que es continua en todo R. 7.20. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función del apartado 7.18., para la cual ( · ) () = 1 ∀ ∈ R, que es continua en todo R. 7.21. Falso. Como contraejemplo, puede tomarse la función del apartado 7.18., para la cual (| |)() = 1 ∀ ∈ R, que es continua en todo R. Ejercicio 8. Supongamos que, para cada unidad de tiempo, la temperatura a lo largo del ecuador (paralelo 0 ) se puede representar mediante una función continua = (), en la que es la longitud (p.e., expresada en radianes). Prueba que
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existen dos puntos opuestos (uno en la antípoda del otro), en los cuales, en cada instante dado, se alcanza la misma temperatura. Una solución. Dado que () = ( + 2) se verifica que la función es periódica de período 2. Se trata de probar que existen puntos tales que () = ( + ). Para ello, introducimos la función auxiliar definida mediante () = () − ( + ) que es continua en el ecuador, por serlo . Además, esta función verifica que (0) = (0) − () () = () − (2) = () − (0) = −(0) es decir, (0) · () 0. Aplicando el Teorema de Bolzano, existe un punto ∈ (0 ) para el cual () = 0, es decir, () = ( + ), por lo que existen dos puntos opuestos (uno en la antípoda del otro), en los cuales, en cada instante dado, se alcanza la misma temperatura. Ejercicio 9. Sean ∈ R, con . Se dice que una función : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ] si existe una constante real positiva tal que para cualquiera que sean ∈ [ ], se verifica que | () − ()| ≤ · | − | Se pide: a) Prueba que la función : [0 1] → [0 1] definida mediante () = 3 es Lipschitziana en [0 1]. b) Prueba que si : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ], entonces es continua en [ ]. c) Prueba que si : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ], entonces es uniformemente continua en [ ]. d) Prueba que si : [ ] → [ ] es Lipschitziana en [ ] y además 0 1 (en tal caso, se dice que es contractiva), entonces la sucesión definida por la ley de recurrencia +1 = ( ), es convergente. Sea = lim . Prueba que ∈ [ ] y que es el único punto fijo de ( ).
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Una solución. a) Dado que, para cualquiera que sean ∈ [0 1], se verifica que () ∈ [0 1] y que ¯ ¯ ¯ ¯ | () − ()| = ¯3 − 3 ¯ = ¯(2 + + 2 )( − )¯ ≤ 3 · | − | resulta que () = 3 es Lipschitziana en [0 1].
b) Sea ∈ [ ]. Por ser : [ ] → R Lipschitziana en [ ], se verifica que lim | () − ()| ≤ lim · | − | = 0
→
→
por lo que lim () = () y resulta que es continua en [ ]. →
c) Dado que [ ] es compacto y es continua en [ ], aplicando el Teorema de Heine, resulta que es uniformemente continua en [ ]. d) Por ser : [ ] → [ ] Lipschitziana en [ ], se verifica que |+1 − | = | ( ) − (−1 )| ≤ · | − −1 | Reiterando esta propiedad − 1 veces, |+1 − | ≤ · | − −1 | ≤ 2 · |−1 − −2 | ≤ ≤ −1 · |2 − 1 | Por tanto, ∀ ∈ N con , al ser 0 1, se verifica que | − | ≤ | − −1 | + |−1 − −2 | + + |+1 − | ≤ ³ ´ ≤ −2 + −3 + + −1 · |2 − 1 | ≤ ⎞ ⎛ ∞ X −1 ⎠ · |2 − 1 | = · |2 − 1 | ≤⎝ 1 − =−1
En consecuencia, resulta que ∀ 0, existe 0 ∈ N tal que ∀ ≥ 0 se verifica que · (1 − ) −1 |2 − 1 | de donde se sigue que ∀ ∈ N, con ≥ 0 , se verifica que | − | . Esto prueba que ( ) es una sucesión de Cauchy, de donde se deduce que ( ) es una sucesión convergente. Sea lim = . Entonces, pasando al límite en la fórmula de la ley de recurrencia, se verifica que = (), por lo que es un punto fijo de . Además, al estar definida : [ ] → [ ] y ser [ ] un conjunto cerrado, se verifica que ∈ [ ]. Finalmente, veamos 18
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que es único. De existir otro punto fijo para en [ ], por ejemplo ∈ [ ] tal que () = y 6= , al ser Lipschitziana y contractiva en [ ], se verifica que 0 | − | = | () − ()| ≤ · | − | | − | lo cual es absurdo. Por tanto, es único.
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