Ejercicios Sobre Funciones Logaritmo Y Trigonometricas

Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo diferencial

A

PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO CAMPUS FRATERNIDAD TALLER 2 FUNCIÓN LOGARITMO Y TRIGONOMÉTRICA CALCULO DIFERENCIAL 2008-II ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo.

COMPETENCIA: Analizar La función logarítmica, exponencial y trigonométrica INDICADORES DE LOGRO Identificar y diferenciar la función logarítmica y exponencial Conocer las gráficas de las funciones trigonométricas, diferenciar sus dominios y formas Asegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las definiciones para evitar ideas erróneas. Función exponencial. f (X ) = ax a > 0 a ≠1 Observa las dos funciones exponenciales en la siguiente gráfica: Si observa bien estas funciones son simétricas con respecto al eje Y. Si observa bien ambas gráficas pasan por el punto (0,1) x 1 f (X ) = 2x f (X ) =   2

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x Todas las funciones exponenciales de la forma f ( X ) = a

a > 0 a ≠ 1 pasan

por el punto (0,1) porque todo número distinto de cero y de uno elevado a la cero nos da uno. Recuerda que el dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, en este caso la variable X y que el rango es el conjunto de los valores que puede tomar la variable dependiente Y. El dominio es el conjunto de los números reales

Dom{ x / x ∈ R} ¿Por qué?

{

}

Ran x / x ∈ R + ¿Por qué? El Rango es el conjunto de los reales positivos Como un caso especial de la función exponencial está la función exponencial natural que tiene como base el importantísimo número e ≈ 2.71828182... f ( x) = e x ¿Cuál es la forma de su gráfica? Se expresa así: ¿Será su gráfica creciente o decreciente? Función logarítmica Sea a un número positivo con a ≠ 1 la función logarítmica con base a, denotada por log a x se define como: log a x = y ⇔ ay = x Su gráfica está dada por la gráfica f de abajo

¿Cuál es el dominio y cual el rango?

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Si observa bien la figura, se puede encontrar una simetría con respecto a la recta Y=X. De estas funciones se puede decir que una es la inversa de la otra. Cuando el logaritmo es en base e se le llama logaritmo natural y se representa: ln x Así: ln x = y ⇔ e y = x (Esto significa que toda ecuación logarítmica se puede escribir también de forma exponencial y viceversa) PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Sea a un número positivo, con a ≠ 1 . Sean A, B y C números reales cualesquiera con A > 0 y B > 0 Recuerda que: 1) Log a ( AB ) = Log a A + Log a B Ejemplo. Log10 ( 3 × 4) = Log10 3 + Log10 4  A 2) Log a   = Log a A − Log a B B 3 Ejemplo. Log10   = Log10 3 − Log10 4 4 c 3) Log a ( A ) = CLog a A 2 Ejemplo. Log10 3 = 2 Log10 3

Cambio de Base Log b x =

Log a x Log a b

ln 20 ln 10 ¿Por qué puede ser útil cambiar de base los logaritmos?... Dado que la mayoría de calculadoras sólo maneja dos logaritmos (el decimal Log x y el 10 natural Ln(x) la fórmula de cambio de base permite calcular aquéllos que no es posible directamente con la calculadora. Por ejemplo, si se quiere saber el resultado de Log 13 e, la mayoría de calculadoras no tienen tecla para este Ejemplo. Log10 20 =

5

logaritmo, entonces se puede calcular mediante la equivalencia a base 10 o a ln 13 base e(las que sí están en la calculadora) así: Log 513 = ln 5 Además las propiedades de los logaritmos naturales. 4) ln 1 = 0 3/2

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ln e = 1 ln e x = x e ln x = x a loga x = x

5) 6) 7) 8)

Apliquemos ahora las leyes de los exponentes y de los logaritmos a la solución de ecuaciones. Recuerde que una ecuación se puede ver como una balanza equilibrada y que si se hacen operaciones de la misma forma en ambos lados de la igualdad la igualdad se conserva. Ejemplo 1) 2 x = 7 Ecuación dada ln 2 x = ln 7 Aplicamos ln ambos lados, luego la igualdad se conserva x ln 2 = ln 7 Propiedad 3 ln 7 x= Despejamos x ln 2 x = 2.807

Ejemplo 2) e 3−2 x = 4 Ecuación dada ln e 3−2 x = ln 4 Aplicamos ln ambos lados 3 − 2 x = ln 4 Propiedad 3 − 2 x = ln 4 − 3 Despejando x ln 4 − 3 3 − ln 4 x= = −2 2

(

)

Ejemplo 3) Log 2 ( x + 2 ) = 5 Ecuación dada 2 log2 ( x+ 2 ) = 25 Aplicamos propiedad 8 x + 2 = 32 Despejamos x x = 32 − 2 = 30 EJERCICIOS PROPUESTOS

10 x = 25 Respuesta x = 1,3979 3e x = 10 Respuesta x = 1,2040 4 + 35 x = 8 Respuesta 0,2524 23 x +1 = 3 x −2 Respuesta x = −2,9469 95 5) Log10 ( 3 x + 5) = 2 Respuesta x = 3 1) 2) 3) 4)

6) Log 5 ( x + 1) − Log 5 ( x − 1) = z Respuesta x =

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7) 2 − ln ( 3 − x ) = 0 Respuesta x = 3 − e 2

Otros ejercicios Resolver para x. 1.

( log x )

2.

−1

= log x −1

R/

Sin solución.

(log x) 2 = log x 2

R/

1 y 100

3.

log a ( x + 1) = 1 + log a x

R/

4.

− log

x 5 = log 2x − 3 2x + 3

R/

5.

log( x − 2 ) − log x = log 2

R/

1 a −1 9 , −1 4 Sin solución.

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA La Función Seno

La Función Coseno

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1. Realizar en un mismo plano cartesiano la gráfica de las siguientes funciones: a. f ( x) = 2sen( x ) 1 sen( x ) 2 c. f ( x) = sen( x) b. f ( x) =

2. Qué puede concluir de la gráfica realizada en el numeral 1. 3. Realizar en un mismo plano cartesiano la gráfica de las siguientes funciones: f ( x) = sen( x) f ( x) = sen(2 x) f ( x) = sen( 12 x) 4. Qué puede concluir de de la gráfica realizada en el numeral. 5. Realizar en un mismo plano cartesiano la gráfica de las siguientes funciones: f ( x) = sen( x) f ( x) = sen( x + π2 ) f ( x) = cos( x) 6. Qué puede concluir de la gráfica realizada en el numeral 5. 7. Para las siguientes funciones periódicas determine la amplitud, el periódo y la frecuencia.

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1) f ( x ) = 2sen(3 x) 2) f ( x) = −3sen(5 x) 1 3) f ( x ) = cos(12 x) 2 1 4) f ( x) = −2 + cos(12 x ) 2 1 5) f ( x ) = − 3 cos(10 x) 2 1 6) f ( x ) = + 5sen(10 x ) 2

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