Ejercicios Resueltos
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Capítulo 9
Exemplos Diversos Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios.
9.1 Limites
[1] Determine o valor da constante limite.
para que exista
e calcule o
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
% $ "# $ ! "# $ ! & "' ( +-, * ) ! . /0 1"# $(32 +-, ! 4 51"# $( 1"# $ (76
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, ; então:
!9 8
: 5 . ! !
; 1"# $( < 6 A ) 3 = @ > ? [2] Calcule: : 2CINMOBEDEBAFHDEGJF ILGJK ILK . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: =%3>@? A$A ! X QSRUT V W V W 6 =P>H? S Q U R T V V FazendoZ\ Y [ ! QSRUT W , temos que Y ! QURST W . Por outro lado observamos que se Z [ , e: então Y =% 3>@? AA $ ! X Y ! C 6 =3>@? Y Y 333
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
334
A 3 = @ > ? ) X X X
2CINMOBEDEBAFHDEGJF ILGJK ILK ! : Y 8 !
Y Y 8 ! > 8 6 V ) Y A$ 2 W . [3] Calcule: $ Y A$ , temos ! Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo Y A ! X Y e que Y
Y , $ ! +, Y A A $ ! , Y 6 Y Z\[ Y Z Por outro lado observamos que se , então Y e: V W + A ) ) ) + ! > ! ! 6 2 2 M Y Y
Y 2 2 8 : : [4] Determine as constantes tais que 8 ( ( [ ) "! #$#$#5 2 ! 6 Logo:
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: #$#$# $ # $ # # $ # $ # #
) " 8 ( ( 2 ! 8 ( ( " 8 ( ( ! 8 ( ( #$ #$# #$#$# 6 % A [ se ' ( & *) ' +( % . Logo, ! [ e ! [ , ou seja ! e Sabemos que "! & A ! [ ! . [5] Calcule:
"!
,
.- " % 6
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
,
/ .- % ! ) , .- " % 2 ) - . - ./ ./ " / " ! - " / ! - " / " , 0 - 8 ! 1 0 0 ! 6 , 5 8 - 8 2
2
9.1. LIMITES
335
Logo:
"!
,
- % ! "!
5 ,
,
8
8 -
8 2 #
! ,6
[6] Determine a função definida por:
A $ ! , T . [ 6
"! [ , entãoT E[ ! [ ; T se ! T , temos: Solução : Observe que, se ! , ! , , T C , ! , ,/, , T ! , , 6
"!
"! T T T T T [ C , Se , temos: F ! [ , T !
5 F T T T ) , T T, A $ [ [ C ! se logo . Agora estudemos o caso : F
"! , T ! "! - 5 F ! "! - 5 ! 6 T T T T T T T Então:
[ [ C , se A ! , , se ! , ), 6 se
[7] Calcule:
"!
"!
-
1 8 6@6@6H6@6@6 % ? 6 T % 8 T T
Solução : Dividindo os polinômios:
8 6@6@6 6@6@6 1% ? ! A % A$ T , T T ' -, C T C % A ? ? . Logo: ! T 8 T 6@6@6 ? onde T T 8 6@6@6H6@6@6 1 ? ! % A ! % 6 T 8 T T 8 T T V 5 C , X ' , # W % ? ? ! T T 8 . ! 6@6@6H6@6@6 ? Por outro lado, T A C A/ =P>H? , ,. [8] Calcule: : =
336
A $ ! = A/ =P>H? A . Se ! = A$ . Se [
! A: A A$ ! =
Solução : Seja , logo . Se
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
: =3>@? A$ [ e =P>H? A ! [ [ , então A$ e =P>H? A ! [ , logo então 3 = @ > ? ! , então =P>H? ! e ! : . Logo
= A$ se C [ [ C A$ ! = A$ se : se ! 6
Então
A A$
A$ !
= A #! , ! 6
M !
M = Consequentemente,
= A& =3>@? A$ não existe. [9] Calcule: " 3 = @ > ? Y A/ Y A$ 6 Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador: =3>@? ! =P>H? A = =3>@? = A$ ! , ) = A& =P>H? A 2 A ) A P = H > ? ! , 2 Y
A ! [ , então: pois =3>@? " A Y A$/ A P = H > ? 3 = @ > ? P = H > ? Y A$ Y A$ ! , A A& A ! , A A$ 6 Y
Y
Y
Y
Y
Logo:
A$ 3 = @ > ? 3 = @ > ? A & A : ! ! , Y , Y A Y A$ ; 6 Y
9.2 Continuidade
V W QURS T
! [ [6 se !
Analise a continuidade das seguintes funções:
A $ ! [1]
se
Solução : Claramente, o problema é determinar se
V W A$ ! QURUT V W
QURUT
[
é contínua em . Reescrevamos a função: se se se
[ ! [ )[
6
9.2. CONTINUIDADE Logo,
Então
337
A$ : = 3 @ > ? A $ ! !
M
e
[
A = P H > ? A : !
! 6
não é contínua em . 1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
,8 A $ ! ,8 [2]
Figura 9.1: Gráfico de .
# .
Solução : Reescrevamos a função:
A ! ,, 8 8
! e
Sabendo que
8 ! M , A $ ) + ! ,
M
M 8 # 2 ! [ Então, não é contínua em .
, 8 # -, + , 8 ! 8 ! , temos: : e A$ !
,
,8 6
, ) X ,
8 2 ! 6
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
A $ ! " ! ( > > [3]
Figura 9.2: Gráfico de
A $ ! I 8 . I 8
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
338
[ , então, > ! [ e > !
"!
"! ! L > > ! [ 6 "
Solução : Se
. Logo,
) [ , então: Se L5 5 L > ! > ! > > ! Y > 5 > ! > > ! > > ! Y Logo: L5 " 8 > ! 5 > ! " ! 8 D I ! 6 " D , [ [ Se ! , então " ! > ! . Reescrevendo a função:
A ! [ se ) [ [ 6 se Então, é contínua em .
L 5 > >6
3
-3
3
Figura 9.3: Gráfico de . Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
" se ' A$ ! = se C [1] ? " se ) 6 , então ! = ! . Por outro lado: Solução : Se ! : A $ A ! = ! 6 ! e M !
9.2. CONTINUIDADE
! = ! : : A $ = ! ! M
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que então . Por outro lado:
e
339
! : , isto é, ! . Se ! , 6 A$ ! ? " ! ? e : ! , isto é, ? ! . Logo: Como os limites laterais devem ser iguais, temos que ?
' se A$ ! = se C se ) 6
1
-3
3
-1
V 8(8 ( W QSRUT A $ ! 2 0 [2] 2
Figura 9.4: Gráfico de .
se se se
, ! , ) ,6
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
O, A , A ; ! A , A 6 V 8(8 ( W ! 8(V 8 V W W -, , temos que Z , , então Y Z\[ , Por outro lado: , fazendo Y ! W U Q S R T QSRUT O-,O, e: =3>@? % ! =P>H? + OA A-, - , ( ! =3>@? O Y ! O ) =P>H? O O Y 2 6 Y Y , , ! . Logo: Se ! , então O A -, ( O ) =3>@? O Y O 3 = @ > ? A M ! M +A - , O, !
M O Y 2 O! A ! . 5 ; ! ! 6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
340
! (8 8
Então,
V 8(8 ( W A ! QURS8(T 8 2 2 0
e:
se se se
, ! , ) ,6
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
5
6
Figura 9.5: Gráfico de .
[ 8 se B E E D H F J G L I K [C A$ ! R = ? [3] se 2 2 8(8 # 0 0 8 se ) 6 8 Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: O A A O ; < ! A A C, 6 [ , então E[ ! ? , e: Se ! V W C V W )U=3>@? A > ) > A : M A !
M QSRUT $$!
M QU=3RST >@? A$ 2 2 ! = ?! ? : ! : ? ! . Se ! , então ! ? , e: logo, ? A$ M ! M A = A ? O ! ; A ! A A C, ! "C, !
? ! ; . Então, temos o sistema:
? ! ? ! ; e ? ! . que tem soluções !
[ 8 se A B E D F J G L I K [ A$ ! R V W se 2 2 8(8 Q # 0 0 8 se ) 6 8 logo,
9.2. CONTINUIDADE
341 4
3
2
1
-2
0 V W V 8(8 W A $ ! V W [4]
2
4
6
Figura 9.6: Gráfico de .
C[ [ se ! VQURS8 T 8 T ( W se )C[ 6 [ , então E[ ! . Logo, necessáriamente devemos ter que: Solução : Se ! ; E[ A $ ! !
M ! ; . Por outro lado: isto é, ! ? $ ) ? ) 3 = @ > ? ) A ? ! ! @ O [ & [ $ 2
@[O[&$ 2 : : ? 2 ! ? : ) @[O[& 2 6 # @ O [ & [ $ @[O[&I ! > 8 ( ! @[O[ , temos, A ! @?O[ [ ; ! Como: :
A I ! E[ , temos que ? ! I [O[ e: por outro lado, :
0 V [ 8
se W 8(8 se ! [ A ! VQSRUT8 V 8 ( ( W W se )[ 6
se
-0.1
-0.05
0.05
Figura 9.7: Gráfico de .
0.1
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
342
9.3 Derivada
A $ ! = , N E[ ! E[ ! E [ ! V W E [ ! [ e que determine 0 e ? . E[ ! Solução : Primeiramente note que obtemos o sistema:
[1] Considere a função
= ; , onde
! A
. Sabendo que , pode ser escrita na forma , ,
A ! 3= >@? T
?
, E[ ! ; e ! ; logo, ! [ ! ; ! [
8 e ! 8 ; então: cuja solução é ! , ! A ! < = , , $ = < ; $ 6 ; ! , = , & e = , $ ! X, =P>H? A , logo: Por outro lado, = A ! < = , , = < ; = , = , ! ; , ; A ! =3>@? 6 8 , ! 8 e ? ! ; . Então ! , ! 8 ' =P>H? [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva ! no ponto onde a curva intersecta o eixo dos . [ , temos: Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se ! ' =P>H? % , ! [ % , ! [ ! 6 [ Logo, o único ponto de interseção é . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
8!
! C , ! ! / X C,
! , 8 ! , 6
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
! , A ! ,+AC
%-, ! , ! ,6 ? A , que é paralela à reta , & , ! [ . [3] Determine a equação da reta normal à curva !
9.3. DERIVADA
343
, -, ! [
!8 ! ! 5 ? A 6 , isto é: Como as retas são paralelas, temos que 8 ! 5 A ! ? A ! , ! > ? , > . A equação da reta normal à curva que passa pelo logo, temos que ! > ? > ! , > é: ponto > C, > ! % > ! > 6 Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
0.6
0.4
0.2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
-0.2
-0.4
! > . tais que a parábola ! e * : [
Figura 9.8: A reta
!
: [ Solução : Como o ponto
[4] Determine os parâmetros , no ponto de abscissa e passe pelo ponto
tangencie a reta
.
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
!
!
! [6
!
Como a parábola deve tangenciar a reta no ponto de abscissa , temos que se , então . Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
, ! 6 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é O coeficiente angular da reta é ,8 ! , ! ! : ! , logo . Como 8 ! , ! 6
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
[ ! !
,
!
344 cuja solução é:
! ! 8
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS e
! 8 . 2
1
1
Figura 9.9: Exemplo [4].
! + , [ *
O
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação , sendo . Um caçador, munido de um rifle está localizado no segura? ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará
@[O[
A , [!
% Solução : Denotemos por o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo % onde a reta que liga caçador, situado no ponto . A fauna estará a salvo, além do ponto à colina seja tangente à mesma.
, [
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
! , # , é o#coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo, ! e a equação da reta tangente é: , OA 6 ! , [ Como a reta passa por , temos: ! , # O , 6 % O ponto também pertence à parábola; então: , ! X 6
Observe que % no ponto , temos
9.3. DERIVADA
345
Igualando (1) e (2):
; O, ! A < A ; ! [ ! < e ! 6 < e a fauna estará a salvo a partir de ) < . % Então, ! X , no ponto , é também tangente à curva em [6] A reta tangente à curva ! um outro ponto. Ache este ponto. ; ; , como , Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é ! ! . A equação da reta tangente que passa é um ponto comum à reta e a curva, temos , ! pelo ponto é: . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente, resolvemos o sistema:
! + , "# ! -, ! A ! [ e ! . O ponto procurado é : [ . obtendo 2
-1
!
1
Figura 9.11: Exemplo [6]
% pertence à parábola [7] O ponto & % tais que a normal em passe por
! ;
. Determine todos os pontos
&
da parábola
!
& Solução : Um ponto arbitrário da parábola é e o coeficiente angular da reta normal & à curva é: . A equação da reta normal à curva no ponto é:
!8 8 !
Mas a normal passa pelo ponto
; ! , A 6
, logo:
; ! , , < ; < ! ; ; , & ! , e & ! & Os pontos procurados são 8 !
, ; ! [ 6 .
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
346
9
4 1 -4
-2
6
Figura 9.12: Exemplo[7].
' ! [
! ;
com a curva , traçam-se as [8] Nos pontos de interseção da reta normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende os referidos pontos de interseção. Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
! [
com a curva:
! " ; 6 ! + ; ! A A ; ! [ ; então ! e ! ; ; logo temos os pontos % ! , Obtemos ; . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por: 8 % e ! ! ! , ; ! 8 e ; ! 8 . As equações das normais em % e % , são respectivamente: 8 , ! ; ! , ; 6
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
, ! " ; ! + ", ;
! ! . Seja % ! # . A área do triângulo de vértices % 8 , % e % ! ; ! , , ! , ! ; (66
# obtemos e , onde:
é dada por
9.3. DERIVADA
347
6
4
2
1
4
6
Figura 9.13: Exemplo [8].
! A .
[9] Esboce o gráfico da curva
! [ A $ ! " ! !
Solução : Primeiramente observamos que se mudamos por , a equação da curva não muda; logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Por outro lado, , logo . Se , então e se , então ou . A curva e . Determinemos os pontos críticos, intersecta os eixos coordenados nos pontos derivando e igualando a zero:
! ! A
!
! E[ [ [ ! [ [
+A , [ ! , " !
! ,6
!
!
Note que não existe e é contínua em ; como , no ponto a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal de ao redor do ponto : ) )
!
! ,
[ [
! ,
' , ' ,
, . Pela simetria em relação ao eixo dos , se ! , , é de máximo. A curva não possui pontos de
! + "
logo, é ponto de mínimo local e consideramos , o ponto inflexão ou assíntotas.
2
1
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 9.14: Exemplo [9]. [10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a soma desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
348 Solução : y
y x
r
Figura 9.15: Exemplo [9].
! ,
! , A ! + , ! [ '
!
!
A ! ,
' ; então ' Com as notações do desenho, . O comprimento da corda é ; logo ' . Logo, a função que devemos maximizar é: ' . Derivando e igualando a zero:
, !
A ! , ' ' ! é ponto de máximo e
/ '
! '
! ' 6
[6 ' ! ; '
Derivando novamente:
' . [11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone circular reto. Logo,
Solução : A
D
y x B
E
C
Figura 9.16: Seção bidimensional do problema. Com as notações do desenho, sejam ' e o raio e a altura do cone, respectivamente; é semelhante ao ; temos: a altura do cilindro. Por outro lado, o
!
! ' '
!
'
'
6
e o raio
9.3. DERIVADA
! ; logo, de temos que a função a maximizar é: A$ ! ' 6 '
O volume do cilindro é
349
Derivando e igualando a zero:
A$ ! , ' ! [ ! [ ou ! , ' 6 ' [ , : como ! , o único ponto crítico é ! . Estudemos o sinal de ' , ' ) [ [ C , ' , ' [ ) , ' 6 Então ! é ponto inscrito num cone tem , de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo raio da base igual a do raio da base do cone e altura igual a da altura do cone.
[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio ' . Solução : y
D
x
C
h
n A
B
2r
Figura 9.17:
! , , ?
' O triângulo é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que . Sabemos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre a hipotenusa; logo:
! ,'?
Então, o perímetro
%
%
? ! ,
e
'
, , , ! ' ? ! ' ' 6
, é:
A ! , C, ' C , '
Derivando e igualando a zero:
%
'
A$ ! , C , ! [ '
A ! ; ' C, 6 ' %
! '6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
350 Derivando novamente:
A ! , '
!
%
%
' [ 6
% ' . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio Logo, ' tem base maior igual a ' , base menor igual a ' e lados não paralelos iguais a ' .
,
9.4 Integração
A$ Y
[1] Calcule ! =3>@? A = A . A Solução : Fazendo : ( ! Y
! UQ R V V W W ( ! V W V W . Então: Y A QURST Q ( ! , ! , 6
(
! ( ( =3>@? A = A ! 5 =3>@? A . [2] Calcule A Y ! = A$ . Então: Solução : Fazendo : Y ! =P>H? Y Y ' Y =3>@? A$ Y Y ' ! 5 Y Y ! Y ! , ! , 6 Y . [3] Calcule ! - 5 / 1 / . ! 1 ' ! 1 . H , Solução : Note que então; - 5 / ! / - / 6 Agora, fazendo: ( ! / 5 . ( ! logo,
[4] Calcule
!
! ( ( ! , ( ! , - / 5 6 ' Y A$ ? A .
Solução : Integramos por partes:
(
! ? A # ' Y A$ !
(
, ! A ! 6 ' Y
9.4. INTEGRAÇÃO
' Y A$ . Para achar , novamente integramos por partes: 8! ' Y A ( ! 1 . ( ! ! ! , 6
Denotemos por
Logo:
8! !
Voltando a :
Então:
351
(
' Y A$ X 1. ! , , 1. ) % A$ A ' Y A$ , , ,6 2! ' Y
' Y A 2 ! ' Y A& e: 8 ' Y A& ( ! 8
Y A , ,
'
Y A ,
'
! 8 )AA
) A& ) A /C A ! ! , 2 ? 2 ' Y
6 ' Y
=3>@? A$ ! [5] Calcule = OA . Y , ! Y ; se ! [ , então Y ! e se ! , então Y ! [ . Por ouro Solução : Fazendo ! lado: =P>H? A Y =P>H? Y Y =P>H? Y 5 = A ! = O Y ! 5 = Y 6 (
Logo:
(
A ! 5 Y =3= >@ ? Y Y Y ! : =P>H ? = OY Y Y , ! : =P>H ? = OA 6 ( ! = A , Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo =P>H? A e: então ( ! , ! 8 ( ! 8 5 ( ! ) ' Y / ' Y : 2 ! , 6 ( ( 8 8 Logo ! . [6] Verifique que: , ? 8 T ! S, T? ? 6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
352
[ [ e se ! , então Y ! . Por 8 Y Y ! Y , então: X ! =3! >@? XY , =P>H? ! Y = Y = Y ;Y se Y ! ! ,= então T T T 8 X = T 8 Y Y ! ! T T integrando por partes: C , ? = T 8 Y =3>@? Y Y ! = T Y =P>H? Y T , -, ! ? = T8 Y Y ? = T Y Y , ! ? = T 8 Y Y -, ? T ,? ! , ? 8 , como ! = Y Y ! , logo: isto é T T , , , 8 ! ; ! ! , ; ! 8 ! , ; ! ! , ; < < ! ! Solução : Fazendo outro lado,
.. .
*, ; @6 6@6 , ? -, *, ? ! 6@6@6 - , ? C - , ? 6 T , ; - , ? , , ? @ 6 @ 6 6 , Multipliquemos por ; 6@6@6 - , ? , , ? , então: , , , , , ; 6@6@6 ,+ ? , ? ! , ; - , -, , , T , , ; 6@6@6 6@6@6 ? ? ?? ? ! T , # ? , ? ! , T? 6 ! , e ! , onde . [7] Determine a área da região limitada pelas curvas + , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em Solução : Se mudamos por
relação ao eixo dos . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se
9.4. INTEGRAÇÃO
! [ , então ! [
! [
! [
353
! [
e ; se , então ; logo os pontos pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:
! 2 !
E[ [ e E[ são os ! e ! 2 ,
C, ! [
C ,
[ e ! . Note que ( ( ( ! ! donde, ; fazendo temos ! [ é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para
a outra curva é um ponto de máximo.
Figura 9.18: Região do exemplo [7]. Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por 2:
(
) , ! . . , ! , 2 6 6 ! [ e pelos eixos coordenados. [8] Determine a área da região limitada pela curva por X e por , a equação não muda, logo a curva é simétrica Solução : Se mudamos em relação ao eixo dos e dos . Determinemos os pontos de interseção da curva com os: eixos [ [ [ A [ E [ [ [ ! ! ! ! coordenados. Se , então e se , então ; logo os pontos , [ são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos ! X ; logo e : . Não é difícil ver que em ! [ a curva possui um ponto de mínimo local e que ! são pontos de máximo local. 0.4
-1
1
Figura 9.19: Região do exemplo [8].
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
354
,
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por . /
! , 8 X 6 = Y Y e X ! =3>@? Y = Y Y ; então: Fazendo ! =3>@? Y , então ! , , ! =3>@? Y = Y Y ! , =P>H? Y = Y Y , (X ; = Y Y ! , =3>@? Y Y ! ; ! < ( 6 6 < ! [ , ; ! [ , [9] Determine a área da região limitada pelas curvas C [ ! e o eixo dos . Solução : Determinemos as interseções das curvas:
; ! ! , logo De obtemos ! , logo ! .
< , ! ; de , obtemos
! < ; ! ! ! ! @[ , logo ! e de obtemos ! ,
10 9
5 4
1
2
3
4
5
6
Figura 9.20: Região do exemplo [9]. Logo:
, ! /
; 8
/
[10] Determine o volume da calota esférica de altura
#
8 /
! ,[ ( 6 6
se a esfera tem raio
.
9.4. INTEGRAÇÃO
355
R
h
Figura 9.21: Região do exemplo [10]. Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos seguinte região:
! .
ea
R-h R
Figura 9.22: Logo:
) ( 6 6 ! 2 ! ! ! 2 é o volume da semi-esfera de raio ; se ! , então Em particular, se ! , então ! ! 2 é o volume da esfera de raio . [11] Calcule o volume revolução gerado pela rotação da região limitada pelas , ! do> sólido # edeo eixo curvas ! > dos , em torno do eixo dos .
/
Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:
! > ! >
> > , ! [
> ! ,
! ? , 6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
356
3
2
1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
Figura 9.23: Região do exemplo [11]. Logo:
7 ) > C, > 2 > > ! V W > ! V W O T T ! ; ( 6 6 situado dentro do círculo ! . [12] Calcule o comprimento de arco da curvas ! Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas:
! ! ! ! [ ! 6
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 9.24: Região do exemplo [12]. Pela simetria da curva, consideremos
Fazendo (
, obtemos: !
<
! , derivando ! 8 ; então: 8 , ; , ! ; 6
! ; 8
8
(
(
; ! , (66
9.4. INTEGRAÇÃO [13] Calcule a área da região determinada por
! 2
e sua assíntota,
! [ .
357
Solução : Se mudamos por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Figura 9.25: Região do exemplo [13]. A equação da assíntota é
! ,
, !
; então consideramos
!
-
2
e:
, , , ! ( , 6 M , =P>H? Y , temos que ! ; =3>@? Y = Y Y . Por outro lado: Fazendo ! , < , ! , ! =3>@? Y Y 6 [ Y ! [ e ! =3>@? Y ! ; se Z\, Y ! . Então: Temos, ! , , , ! , ) =P>H? ; Y & < =P>H? , Y H, Y 2 ) ; / < , #H, ! , =P>H? =P>H? 26 ) ; / < , #H, =P>H? 2 ! ( 6 . Logo: ! ( , =P>H? ' [14] Calcule a área da região limitada pela curva ! &A , e o eixo dos .
,
Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
358
Figura 9.26: Região do exemplo [14]. Logo:
. /A # ! "! /A 8 8 5 ! "! ! " ! 7) ? 8 X , ) ) ( ? 2 ! "! ? ! "! ? ! X ? , ( 6 6 !
"!
/ ? , 2 ? ? , 2
Exemplos Diversos Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios.
9.1 Limites
[1] Determine o valor da constante limite.
para que exista
e calcule o
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
% $ "# $ ! "# $ ! & "' ( +-, * ) ! . /0 1"# $(32 +-, ! 4 51"# $( 1"# $ (76
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, ; então:
!9 8
: 5 . ! !
; 1"# $( < 6 A ) 3 = @ > ? [2] Calcule: : 2CINMOBEDEBAFHDEGJF ILGJK ILK . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: =%3>@? A$A ! X QSRUT V W V W 6 =P>H? S Q U R T V V FazendoZ\ Y [ ! QSRUT W , temos que Y ! QURST W . Por outro lado observamos que se Z [ , e: então Y =% 3>@? AA $ ! X Y ! C 6 =3>@? Y Y 333
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
334
A 3 = @ > ? ) X X X
2CINMOBEDEBAFHDEGJF ILGJK ILK ! : Y 8 !
Y Y 8 ! > 8 6 V ) Y A$ 2 W . [3] Calcule: $ Y A$ , temos ! Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo Y A ! X Y e que Y
Y , $ ! +, Y A A $ ! , Y 6 Y Z\[ Y Z Por outro lado observamos que se , então Y e: V W + A ) ) ) + ! > ! ! 6 2 2 M Y Y
Y 2 2 8 : : [4] Determine as constantes tais que 8 ( ( [ ) "! #$#$#5 2 ! 6 Logo:
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: #$#$# $ # $ # # $ # $ # #
) " 8 ( ( 2 ! 8 ( ( " 8 ( ( ! 8 ( ( #$ #$# #$#$# 6 % A [ se ' ( & *) ' +( % . Logo, ! [ e ! [ , ou seja ! e Sabemos que "! & A ! [ ! . [5] Calcule:
"!
,
.- " % 6
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
,
/ .- % ! ) , .- " % 2 ) - . - ./ ./ " / " ! - " / ! - " / " , 0 - 8 ! 1 0 0 ! 6 , 5 8 - 8 2
2
9.1. LIMITES
335
Logo:
"!
,
- % ! "!
5 ,
,
8
8 -
8 2 #
! ,6
[6] Determine a função definida por:
A $ ! , T . [ 6
"! [ , entãoT E[ ! [ ; T se ! T , temos: Solução : Observe que, se ! , ! , , T C , ! , ,/, , T ! , , 6
"!
"! T T T T T [ C , Se , temos: F ! [ , T !
5 F T T T ) , T T, A $ [ [ C ! se logo . Agora estudemos o caso : F
"! , T ! "! - 5 F ! "! - 5 ! 6 T T T T T T T Então:
[ [ C , se A ! , , se ! , ), 6 se
[7] Calcule:
"!
"!
-
1 8 6@6@6H6@6@6 % ? 6 T % 8 T T
Solução : Dividindo os polinômios:
8 6@6@6 6@6@6 1% ? ! A % A$ T , T T ' -, C T C % A ? ? . Logo: ! T 8 T 6@6@6 ? onde T T 8 6@6@6H6@6@6 1 ? ! % A ! % 6 T 8 T T 8 T T V 5 C , X ' , # W % ? ? ! T T 8 . ! 6@6@6H6@6@6 ? Por outro lado, T A C A/ =P>H? , ,. [8] Calcule: : =
336
A $ ! = A/ =P>H? A . Se ! = A$ . Se [
! A: A A$ ! =
Solução : Seja , logo . Se
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
: =3>@? A$ [ e =P>H? A ! [ [ , então A$ e =P>H? A ! [ , logo então 3 = @ > ? ! , então =P>H? ! e ! : . Logo
= A$ se C [ [ C A$ ! = A$ se : se ! 6
Então
A A$
A$ !
= A #! , ! 6
M !
M = Consequentemente,
= A& =3>@? A$ não existe. [9] Calcule: " 3 = @ > ? Y A/ Y A$ 6 Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador: =3>@? ! =P>H? A = =3>@? = A$ ! , ) = A& =P>H? A 2 A ) A P = H > ? ! , 2 Y
A ! [ , então: pois =3>@? " A Y A$/ A P = H > ? 3 = @ > ? P = H > ? Y A$ Y A$ ! , A A& A ! , A A$ 6 Y
Y
Y
Y
Y
Logo:
A$ 3 = @ > ? 3 = @ > ? A & A : ! ! , Y , Y A Y A$ ; 6 Y
9.2 Continuidade
V W QURS T
! [ [6 se !
Analise a continuidade das seguintes funções:
A $ ! [1]
se
Solução : Claramente, o problema é determinar se
V W A$ ! QURUT V W
QURUT
[
é contínua em . Reescrevamos a função: se se se
[ ! [ )[
6
9.2. CONTINUIDADE Logo,
Então
337
A$ : = 3 @ > ? A $ ! !
M
e
[
A = P H > ? A : !
! 6
não é contínua em . 1
0.5
-6
-4
-2
2
4
6
-0.5
-1
,8 A $ ! ,8 [2]
Figura 9.1: Gráfico de .
# .
Solução : Reescrevamos a função:
A ! ,, 8 8
! e
Sabendo que
8 ! M , A $ ) + ! ,
M
M 8 # 2 ! [ Então, não é contínua em .
, 8 # -, + , 8 ! 8 ! , temos: : e A$ !
,
,8 6
, ) X ,
8 2 ! 6
1
0.5
-2
-1
1
2
-0.5
-1
A $ ! " ! ( > > [3]
Figura 9.2: Gráfico de
A $ ! I 8 . I 8
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
338
[ , então, > ! [ e > !
"!
"! ! L > > ! [ 6 "
Solução : Se
. Logo,
) [ , então: Se L5 5 L > ! > ! > > ! Y > 5 > ! > > ! > > ! Y Logo: L5 " 8 > ! 5 > ! " ! 8 D I ! 6 " D , [ [ Se ! , então " ! > ! . Reescrevendo a função:
A ! [ se ) [ [ 6 se Então, é contínua em .
L 5 > >6
3
-3
3
Figura 9.3: Gráfico de . Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
" se ' A$ ! = se C [1] ? " se ) 6 , então ! = ! . Por outro lado: Solução : Se ! : A $ A ! = ! 6 ! e M !
9.2. CONTINUIDADE
! = ! : : A $ = ! ! M
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que então . Por outro lado:
e
339
! : , isto é, ! . Se ! , 6 A$ ! ? " ! ? e : ! , isto é, ? ! . Logo: Como os limites laterais devem ser iguais, temos que ?
' se A$ ! = se C se ) 6
1
-3
3
-1
V 8(8 ( W QSRUT A $ ! 2 0 [2] 2
Figura 9.4: Gráfico de .
se se se
, ! , ) ,6
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
O, A , A ; ! A , A 6 V 8(8 ( W ! 8(V 8 V W W -, , temos que Z , , então Y Z\[ , Por outro lado: , fazendo Y ! W U Q S R T QSRUT O-,O, e: =3>@? % ! =P>H? + OA A-, - , ( ! =3>@? O Y ! O ) =P>H? O O Y 2 6 Y Y , , ! . Logo: Se ! , então O A -, ( O ) =3>@? O Y O 3 = @ > ? A M ! M +A - , O, !
M O Y 2 O! A ! . 5 ; ! ! 6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
340
! (8 8
Então,
V 8(8 ( W A ! QURS8(T 8 2 2 0
e:
se se se
, ! , ) ,6
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
5
6
Figura 9.5: Gráfico de .
[ 8 se B E E D H F J G L I K [C A$ ! R = ? [3] se 2 2 8(8 # 0 0 8 se ) 6 8 Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: O A A O ; < ! A A C, 6 [ , então E[ ! ? , e: Se ! V W C V W )U=3>@? A > ) > A : M A !
M QSRUT $$!
M QU=3RST >@? A$ 2 2 ! = ?! ? : ! : ? ! . Se ! , então ! ? , e: logo, ? A$ M ! M A = A ? O ! ; A ! A A C, ! "C, !
? ! ; . Então, temos o sistema:
? ! ? ! ; e ? ! . que tem soluções !
[ 8 se A B E D F J G L I K [ A$ ! R V W se 2 2 8(8 Q # 0 0 8 se ) 6 8 logo,
9.2. CONTINUIDADE
341 4
3
2
1
-2
0 V W V 8(8 W A $ ! V W [4]
2
4
6
Figura 9.6: Gráfico de .
C[ [ se ! VQURS8 T 8 T ( W se )C[ 6 [ , então E[ ! . Logo, necessáriamente devemos ter que: Solução : Se ! ; E[ A $ ! !
M ! ; . Por outro lado: isto é, ! ? $ ) ? ) 3 = @ > ? ) A ? ! ! @ O [ & [ $ 2
@[O[&$ 2 : : ? 2 ! ? : ) @[O[& 2 6 # @ O [ & [ $ @[O[&I ! > 8 ( ! @[O[ , temos, A ! @?O[ [ ; ! Como: :
A I ! E[ , temos que ? ! I [O[ e: por outro lado, :
0 V [ 8
se W 8(8 se ! [ A ! VQSRUT8 V 8 ( ( W W se )[ 6
se
-0.1
-0.05
0.05
Figura 9.7: Gráfico de .
0.1
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
342
9.3 Derivada
A $ ! = , N E[ ! E[ ! E [ ! V W E [ ! [ e que determine 0 e ? . E[ ! Solução : Primeiramente note que obtemos o sistema:
[1] Considere a função
= ; , onde
! A
. Sabendo que , pode ser escrita na forma , ,
A ! 3= >@? T
?
, E[ ! ; e ! ; logo, ! [ ! ; ! [
8 e ! 8 ; então: cuja solução é ! , ! A ! < = , , $ = < ; $ 6 ; ! , = , & e = , $ ! X, =P>H? A , logo: Por outro lado, = A ! < = , , = < ; = , = , ! ; , ; A ! =3>@? 6 8 , ! 8 e ? ! ; . Então ! , ! 8 ' =P>H? [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva ! no ponto onde a curva intersecta o eixo dos . [ , temos: Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se ! ' =P>H? % , ! [ % , ! [ ! 6 [ Logo, o único ponto de interseção é . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
8!
! C , ! ! / X C,
! , 8 ! , 6
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
! , A ! ,+AC
%-, ! , ! ,6 ? A , que é paralela à reta , & , ! [ . [3] Determine a equação da reta normal à curva !
9.3. DERIVADA
343
, -, ! [
!8 ! ! 5 ? A 6 , isto é: Como as retas são paralelas, temos que 8 ! 5 A ! ? A ! , ! > ? , > . A equação da reta normal à curva que passa pelo logo, temos que ! > ? > ! , > é: ponto > C, > ! % > ! > 6 Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
0.6
0.4
0.2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
-0.2
-0.4
! > . tais que a parábola ! e * : [
Figura 9.8: A reta
!
: [ Solução : Como o ponto
[4] Determine os parâmetros , no ponto de abscissa e passe pelo ponto
tangencie a reta
.
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
!
!
! [6
!
Como a parábola deve tangenciar a reta no ponto de abscissa , temos que se , então . Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
, ! 6 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é O coeficiente angular da reta é ,8 ! , ! ! : ! , logo . Como 8 ! , ! 6
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
[ ! !
,
!
344 cuja solução é:
! ! 8
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS e
! 8 . 2
1
1
Figura 9.9: Exemplo [4].
! + , [ *
O
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação , sendo . Um caçador, munido de um rifle está localizado no segura? ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará
@[O[
A , [!
% Solução : Denotemos por o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo % onde a reta que liga caçador, situado no ponto . A fauna estará a salvo, além do ponto à colina seja tangente à mesma.
, [
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
! , # , é o#coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo, ! e a equação da reta tangente é: , OA 6 ! , [ Como a reta passa por , temos: ! , # O , 6 % O ponto também pertence à parábola; então: , ! X 6
Observe que % no ponto , temos
9.3. DERIVADA
345
Igualando (1) e (2):
; O, ! A < A ; ! [ ! < e ! 6 < e a fauna estará a salvo a partir de ) < . % Então, ! X , no ponto , é também tangente à curva em [6] A reta tangente à curva ! um outro ponto. Ache este ponto. ; ; , como , Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é ! ! . A equação da reta tangente que passa é um ponto comum à reta e a curva, temos , ! pelo ponto é: . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente, resolvemos o sistema:
! + , "# ! -, ! A ! [ e ! . O ponto procurado é : [ . obtendo 2
-1
!
1
Figura 9.11: Exemplo [6]
% pertence à parábola [7] O ponto & % tais que a normal em passe por
! ;
. Determine todos os pontos
&
da parábola
!
& Solução : Um ponto arbitrário da parábola é e o coeficiente angular da reta normal & à curva é: . A equação da reta normal à curva no ponto é:
!8 8 !
Mas a normal passa pelo ponto
; ! , A 6
, logo:
; ! , , < ; < ! ; ; , & ! , e & ! & Os pontos procurados são 8 !
, ; ! [ 6 .
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
346
9
4 1 -4
-2
6
Figura 9.12: Exemplo[7].
' ! [
! ;
com a curva , traçam-se as [8] Nos pontos de interseção da reta normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende os referidos pontos de interseção. Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
! [
com a curva:
! " ; 6 ! + ; ! A A ; ! [ ; então ! e ! ; ; logo temos os pontos % ! , Obtemos ; . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por: 8 % e ! ! ! , ; ! 8 e ; ! 8 . As equações das normais em % e % , são respectivamente: 8 , ! ; ! , ; 6
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
, ! " ; ! + ", ;
! ! . Seja % ! # . A área do triângulo de vértices % 8 , % e % ! ; ! , , ! , ! ; (66
# obtemos e , onde:
é dada por
9.3. DERIVADA
347
6
4
2
1
4
6
Figura 9.13: Exemplo [8].
! A .
[9] Esboce o gráfico da curva
! [ A $ ! " ! !
Solução : Primeiramente observamos que se mudamos por , a equação da curva não muda; logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Por outro lado, , logo . Se , então e se , então ou . A curva e . Determinemos os pontos críticos, intersecta os eixos coordenados nos pontos derivando e igualando a zero:
! ! A
!
! E[ [ [ ! [ [
+A , [ ! , " !
! ,6
!
!
Note que não existe e é contínua em ; como , no ponto a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal de ao redor do ponto : ) )
!
! ,
[ [
! ,
' , ' ,
, . Pela simetria em relação ao eixo dos , se ! , , é de máximo. A curva não possui pontos de
! + "
logo, é ponto de mínimo local e consideramos , o ponto inflexão ou assíntotas.
2
1
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 9.14: Exemplo [9]. [10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a soma desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
348 Solução : y
y x
r
Figura 9.15: Exemplo [9].
! ,
! , A ! + , ! [ '
!
!
A ! ,
' ; então ' Com as notações do desenho, . O comprimento da corda é ; logo ' . Logo, a função que devemos maximizar é: ' . Derivando e igualando a zero:
, !
A ! , ' ' ! é ponto de máximo e
/ '
! '
! ' 6
[6 ' ! ; '
Derivando novamente:
' . [11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone circular reto. Logo,
Solução : A
D
y x B
E
C
Figura 9.16: Seção bidimensional do problema. Com as notações do desenho, sejam ' e o raio e a altura do cone, respectivamente; é semelhante ao ; temos: a altura do cilindro. Por outro lado, o
!
! ' '
!
'
'
6
e o raio
9.3. DERIVADA
! ; logo, de temos que a função a maximizar é: A$ ! ' 6 '
O volume do cilindro é
349
Derivando e igualando a zero:
A$ ! , ' ! [ ! [ ou ! , ' 6 ' [ , : como ! , o único ponto crítico é ! . Estudemos o sinal de ' , ' ) [ [ C , ' , ' [ ) , ' 6 Então ! é ponto inscrito num cone tem , de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo raio da base igual a do raio da base do cone e altura igual a da altura do cone.
[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio ' . Solução : y
D
x
C
h
n A
B
2r
Figura 9.17:
! , , ?
' O triângulo é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que . Sabemos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre a hipotenusa; logo:
! ,'?
Então, o perímetro
%
%
? ! ,
e
'
, , , ! ' ? ! ' ' 6
, é:
A ! , C, ' C , '
Derivando e igualando a zero:
%
'
A$ ! , C , ! [ '
A ! ; ' C, 6 ' %
! '6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
350 Derivando novamente:
A ! , '
!
%
%
' [ 6
% ' . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio Logo, ' tem base maior igual a ' , base menor igual a ' e lados não paralelos iguais a ' .
,
9.4 Integração
A$ Y
[1] Calcule ! =3>@? A = A . A Solução : Fazendo : ( ! Y
! UQ R V V W W ( ! V W V W . Então: Y A QURST Q ( ! , ! , 6
(
! ( ( =3>@? A = A ! 5 =3>@? A . [2] Calcule A Y ! = A$ . Então: Solução : Fazendo : Y ! =P>H? Y Y ' Y =3>@? A$ Y Y ' ! 5 Y Y ! Y ! , ! , 6 Y . [3] Calcule ! - 5 / 1 / . ! 1 ' ! 1 . H , Solução : Note que então; - 5 / ! / - / 6 Agora, fazendo: ( ! / 5 . ( ! logo,
[4] Calcule
!
! ( ( ! , ( ! , - / 5 6 ' Y A$ ? A .
Solução : Integramos por partes:
(
! ? A # ' Y A$ !
(
, ! A ! 6 ' Y
9.4. INTEGRAÇÃO
' Y A$ . Para achar , novamente integramos por partes: 8! ' Y A ( ! 1 . ( ! ! ! , 6
Denotemos por
Logo:
8! !
Voltando a :
Então:
351
(
' Y A$ X 1. ! , , 1. ) % A$ A ' Y A$ , , ,6 2! ' Y
' Y A 2 ! ' Y A& e: 8 ' Y A& ( ! 8
Y A , ,
'
Y A ,
'
! 8 )AA
) A& ) A /C A ! ! , 2 ? 2 ' Y
6 ' Y
=3>@? A$ ! [5] Calcule = OA . Y , ! Y ; se ! [ , então Y ! e se ! , então Y ! [ . Por ouro Solução : Fazendo ! lado: =P>H? A Y =P>H? Y Y =P>H? Y 5 = A ! = O Y ! 5 = Y 6 (
Logo:
(
A ! 5 Y =3= >@ ? Y Y Y ! : =P>H ? = OY Y Y , ! : =P>H ? = OA 6 ( ! = A , Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo =P>H? A e: então ( ! , ! 8 ( ! 8 5 ( ! ) ' Y / ' Y : 2 ! , 6 ( ( 8 8 Logo ! . [6] Verifique que: , ? 8 T ! S, T? ? 6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
352
[ [ e se ! , então Y ! . Por 8 Y Y ! Y , então: X ! =3! >@? XY , =P>H? ! Y = Y = Y ;Y se Y ! ! ,= então T T T 8 X = T 8 Y Y ! ! T T integrando por partes: C , ? = T 8 Y =3>@? Y Y ! = T Y =P>H? Y T , -, ! ? = T8 Y Y ? = T Y Y , ! ? = T 8 Y Y -, ? T ,? ! , ? 8 , como ! = Y Y ! , logo: isto é T T , , , 8 ! ; ! ! , ; ! 8 ! , ; ! ! , ; < < ! ! Solução : Fazendo outro lado,
.. .
*, ; @6 6@6 , ? -, *, ? ! 6@6@6 - , ? C - , ? 6 T , ; - , ? , , ? @ 6 @ 6 6 , Multipliquemos por ; 6@6@6 - , ? , , ? , então: , , , , , ; 6@6@6 ,+ ? , ? ! , ; - , -, , , T , , ; 6@6@6 6@6@6 ? ? ?? ? ! T , # ? , ? ! , T? 6 ! , e ! , onde . [7] Determine a área da região limitada pelas curvas + , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em Solução : Se mudamos por
relação ao eixo dos . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se
9.4. INTEGRAÇÃO
! [ , então ! [
! [
! [
353
! [
e ; se , então ; logo os pontos pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:
! 2 !
E[ [ e E[ são os ! e ! 2 ,
C, ! [
C ,
[ e ! . Note que ( ( ( ! ! donde, ; fazendo temos ! [ é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para
a outra curva é um ponto de máximo.
Figura 9.18: Região do exemplo [7]. Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por 2:
(
) , ! . . , ! , 2 6 6 ! [ e pelos eixos coordenados. [8] Determine a área da região limitada pela curva por X e por , a equação não muda, logo a curva é simétrica Solução : Se mudamos em relação ao eixo dos e dos . Determinemos os pontos de interseção da curva com os: eixos [ [ [ A [ E [ [ [ ! ! ! ! coordenados. Se , então e se , então ; logo os pontos , [ são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos ! X ; logo e : . Não é difícil ver que em ! [ a curva possui um ponto de mínimo local e que ! são pontos de máximo local. 0.4
-1
1
Figura 9.19: Região do exemplo [8].
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
354
,
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por . /
! , 8 X 6 = Y Y e X ! =3>@? Y = Y Y ; então: Fazendo ! =3>@? Y , então ! , , ! =3>@? Y = Y Y ! , =P>H? Y = Y Y , (X ; = Y Y ! , =3>@? Y Y ! ; ! < ( 6 6 < ! [ , ; ! [ , [9] Determine a área da região limitada pelas curvas C [ ! e o eixo dos . Solução : Determinemos as interseções das curvas:
; ! ! , logo De obtemos ! , logo ! .
< , ! ; de , obtemos
! < ; ! ! ! ! @[ , logo ! e de obtemos ! ,
10 9
5 4
1
2
3
4
5
6
Figura 9.20: Região do exemplo [9]. Logo:
, ! /
; 8
/
[10] Determine o volume da calota esférica de altura
#
8 /
! ,[ ( 6 6
se a esfera tem raio
.
9.4. INTEGRAÇÃO
355
R
h
Figura 9.21: Região do exemplo [10]. Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos seguinte região:
! .
ea
R-h R
Figura 9.22: Logo:
) ( 6 6 ! 2 ! ! ! 2 é o volume da semi-esfera de raio ; se ! , então Em particular, se ! , então ! ! 2 é o volume da esfera de raio . [11] Calcule o volume revolução gerado pela rotação da região limitada pelas , ! do> sólido # edeo eixo curvas ! > dos , em torno do eixo dos .
/
Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:
! > ! >
> > , ! [
> ! ,
! ? , 6
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
356
3
2
1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
Figura 9.23: Região do exemplo [11]. Logo:
7 ) > C, > 2 > > ! V W > ! V W O T T ! ; ( 6 6 situado dentro do círculo ! . [12] Calcule o comprimento de arco da curvas ! Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas:
! ! ! ! [ ! 6
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
Figura 9.24: Região do exemplo [12]. Pela simetria da curva, consideremos
Fazendo (
, obtemos: !
<
! , derivando ! 8 ; então: 8 , ; , ! ; 6
! ; 8
8
(
(
; ! , (66
9.4. INTEGRAÇÃO [13] Calcule a área da região determinada por
! 2
e sua assíntota,
! [ .
357
Solução : Se mudamos por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Figura 9.25: Região do exemplo [13]. A equação da assíntota é
! ,
, !
; então consideramos
!
-
2
e:
, , , ! ( , 6 M , =P>H? Y , temos que ! ; =3>@? Y = Y Y . Por outro lado: Fazendo ! , < , ! , ! =3>@? Y Y 6 [ Y ! [ e ! =3>@? Y ! ; se Z\, Y ! . Então: Temos, ! , , , ! , ) =P>H? ; Y & < =P>H? , Y H, Y 2 ) ; / < , #H, ! , =P>H? =P>H? 26 ) ; / < , #H, =P>H? 2 ! ( 6 . Logo: ! ( , =P>H? ' [14] Calcule a área da região limitada pela curva ! &A , e o eixo dos .
,
Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
358
Figura 9.26: Região do exemplo [14]. Logo:
. /A # ! "! /A 8 8 5 ! "! ! " ! 7) ? 8 X , ) ) ( ? 2 ! "! ? ! "! ? ! X ? , ( 6 6 !
"!
/ ? , 2 ? ? , 2
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