Ejercicios Resueltos De Derivadas

Ejercicios de derivadas e integrales

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Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´ o Operativa Universitat de Val` encia

Derivadas Reglas de derivaci´ on

Suma

Producto

d [f (x) + g(x)] = f 0 (x) + g 0 (x) dx d [kf (x)] = kf 0 (x) dx d [f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) dx

Cociente

Regla de la cadena

· ¸ d f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) = dx g(x) g(x)2 d {f [g(x)]} = f 0 [g(x)]g 0 (x) dx d {f (g[h(x)])} = f 0 (g[h(x)])g 0 [h(x)]h0 (x) dx

Potencia

d k (x ) = kxk−1 dx

d [f (x)k ] = kf (x)k−1 f 0 (x) dx

d √ d 1/2 1 ( x) = (x ) = √ dx dx 2 x

d p f 0 (x) [ f (x)] = p dx 2 f (x)

d dx

µ ¶ 1 d −1 1 = (x ) = − 2 x dx x

· ¸ d 1 f 0 (x) =− dx f (x) f (x)2

2

Reglas de derivaci´ on (continuaci´ on)

Trigonom´ etricas

Funciones de arco

Exponenciales

d (sin x) = cos x dx

d [sin f (x)] = cos f (x)f 0 (x) dx

d (cos x) = − sin x dx

d [cos f (x)] = − sin f (x)f 0 (x) dx

d (tan x) = 1 + tan2 x dx

d [tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f 0 (x) dx

d 1 (arcsin x) = √ dx 1 − x2

d f 0 (x) [arcsin f (x)] = p dx 1 − f (x)2

d −1 (arc cos x) = √ dx 1 − x2

d −f 0 (x) [arc cos f (x)] = p dx 1 − f (x)2

d 1 (arctan x) = dx 1 + x2

d f 0 (x) [arctan f (x)] = dx 1 + f (x)2

d x (e ) = ex dx

d f (x) (e ) = ef (x) f 0 (x) dx

d x (a ) = ax ln a dx

d f (x) (a ) = af (x) ln af 0 (x) dx

d 1 (ln x) = dx x

d f 0 (x) (ln f (x)) = dx f (x)

d 1 1 (lg x) = dx a x ln a

d f 0 (x) 1 (lga f (x)) = dx f (x) ln a

Logar´ıtmicas

3

Ejercicios de derivadas 1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´ on.- a) 3/4, b) 3. 2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´ on.- a) -4, b) -1. 3. Hallar la derivada de la funci´on y = x4 + 3x2 − 6. Soluci´ on.- y 0 = 4x3 + 6x. 4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x3 − x2 . Soluci´ on.- y 0 = 18x2 − 2x. 5. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

5x4 a+b

−

x2 a−b .

−

2x a−b .

6. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

x5 a+b

x3 −x2 +1 . 5

3x2 −2x . 5

7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax3 − 0

x2 b

+ c.

2x b .

2

Soluci´ on.- y = 6ax −

5

7

8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x. 5

3

Soluci´ on.- y 0 = 21x 2 + 10x 2 + 2. 9. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

√ √3 2 x

+

3

1 √ 3 2 x

−

3(x+1)2 (x−1) 5

2x 2

1 2 √ 3 3x

−

x + x1 .

(x+1)3 3

x2

.

√ 3

√ x2 − 2 x + 5.

√1 . x

12. Hallar la derivada de la funci´on y = 2

√ 3

.

11. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

3x +

1 x2 .

10. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

√

5

2 ax √ 3 x

+

b √ x x

−

√ 3 √x . x

7

Soluci´ on.- y 0 = 53 ax 3 − 23 bx− 2 + 16 x− 6 . 13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ). Soluci´ on.- y 0 = 4x(1 + 3x + 10x3 ). 14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2). Soluci´ on.- y 0 = 2(9x2 + x − 1).

4

15. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3). Soluci´ on.- y 0 = 6x2 − 26x + 12. 16. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

2x4 b2 −x2 .

4x3 (2b2 −x2 ) (b2 −x2 )2 .

17. Hallar la derivada de la funci´on y =

a−x a+x .

2a Soluci´ on.- y 0 = − (a+x) 2.

18. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t2 (3+t2 (1+t2 )2 .

Soluci´ on.- f 0 (t) =

19. Hallar la derivada de la funci´on f (s) = Soluci´ on.- f 0 (s) =

(s+4)2 s+3 .

(s+2)(s+4) (s+3)2 .

20. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

t3 1+t2 .

x3 +1 x2 −x−2 .

x4 −2x3 −6x2 −2x+1 . (x2 −x−2)2

21. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x2 − 3)2 . Soluci´ on.- y 0 = 8x(2x2 − 3). 22. Hallar la derivada de la funci´on y = (x2 + a2 )5 . Soluci´ on.- y 0 = 10x(x2 + a2 )4 . 23. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

√

x2 + a2 .

√ x . x2 +a2

√ 24. Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x) a − x. Soluci´ on.- y 0 =

a−3x √ . 2 a−x

q 25. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

1 √ . (1−x) 1−x2

26. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

1+x 1−x .

1+4x2

3 x2 (1+x2 ) 2

.

27. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 = √ 3 3

2 2x √ −1 . x 1+x2

√ 3

x2 + x + 1.

2x+1 . (x2 +x+1)2

28. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + ´2 ³ 1 . Soluci´ on.- y 0 = 1 + √ 3 x

√ 3

x)3 .

5

29. Hallar la derivada de la funci´on y = sin2 x. Soluci´ on.- y 0 = sin 2x. 30. Hallar la derivada de la funci´on y = 2 sin x + cos 3x. Soluci´ on.- y 0 = 2 cos x − 3 sin 3x. 31. Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b). Soluci´ on.- y 0 =

a cos2 (ax+b) .

32. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

sin x 1+cos x .

1 1+cos x .

33. Hallar la derivada de la funci´on y = sin 2x cos 3x. Soluci´ on.- y 0 = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x. 34. Hallar la derivada de la funci´on y = cot2 5x. Soluci´ on.- y 0 = −10 cot 5x csc2 5x. 35. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t sin t + cos t. Soluci´ on.- f 0 (t) = t cos t. 36. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = sin3 t cos t. Soluci´ on.- f 0 (t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t). √ 37. Hallar la derivada de la funci´on y = a cos 2x. a sin 2x . Soluci´ on.- y 0 = − √ cos 2x

38. Hallar la derivada de la funci´on y =

1 2

tan2 x.

Soluci´ on.- y 0 = tan x sec2 x. 39. Hallar la derivada de la funci´on y = ln cos x. Soluci´ on.- y 0 = − tan x. 40. Hallar la derivada de la funci´on y = ln tan x. Soluci´ on.- y 0 =

2 sin 2x .

41. Hallar la derivada de la funci´on y = ln sin2 x. Soluci´ on.- y 0 = 2 cot x. 42. Hallar la derivada de la funci´on y =

tan x−1 sec x .

Soluci´ on.- y 0 = sin x + cos x. q 43. Hallar la derivada de la funci´on y = ln Soluci´ on.- y 0 =

1+sin x 1−sin x .

1 cos x .

44. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(ln x). Soluci´ on.- f 0 (x) =

cos(ln x) . x

6

45. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = tan(ln x). Soluci´ on.- f 0 (x) =

sec2 (ln x) . x

46. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(cos x). Soluci´ on.- f 0 (x) = − sin x cos(cos x). 1+x 47. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1−x .

Soluci´ on.- y 0 =

2 1−x2 .

48. Hallar la derivada de la funci´on y = log3 (x2 − sin x). Soluci´ on.- y 0 =

2x−cos x (x2 −sin x) ln 3 . 2

1+x 49. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1−x 2.

Soluci´ on.- y 0 =

4x 1−x4 .

50. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x2 + x). Soluci´ on.- y 0 =

2x+1 x2 +x .

51. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x3 − 2x + 5). Soluci´ on.- y 0 =

3x2 −2 x3 −2x+5 .

52. Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x. Soluci´ on.- y 0 = ln x + 1. 53. Hallar la derivada de la funci´on y = ln3 x. Soluci´ on.- y 0 =

3 ln2 x x .

54. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x + Soluci´ on.- y 0 =

√

1 + x2 ).

√ 1 . 1+x2

55. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(ln x). Soluci´ on.- y 0 =

1 x ln x .

56. Hallar la derivada de la funci´on y = e(4x+5) . Soluci´ on.- y 0 = 4e(4x+5) . 2

57. Hallar la derivada de la funci´on y = ax . 2

Soluci´ on.- y 0 = 2xax ln a. 58. Hallar la derivada de la funci´on y = 7(x 0

2

(x +2x)

Soluci´ on.- y = 2(x + 1)7

2

+2x)

.

ln 7.

59. Hallar la derivada de la funci´on y = ex (1 − x2 ). Soluci´ on.- y 0 = ex (1 − 2x − x2 ). 60. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´ on.- y 0 =

2ex (ex +1)2 .

ex −1 ex +1 .

7

61. Hallar la derivada de la funci´on y = esin x . Soluci´ on.- y 0 = esin x cos x. 62. Hallar la derivada de la funci´on y = atan nx . Soluci´ on.- y 0 = natan nx sec2 nx ln a. 63. Hallar la derivada de la funci´on y = ecos x sin x. Soluci´ on.- y 0 = ecos x (cos x − sin2 x). 64. Hallar la derivada de la funci´on y = ex ln(sin x). Soluci´ on.- y 0 = ex (cot x + ln(sin x)). 1

65. Hallar la derivada de la funci´on y = x x . ¢ 1 ¡ x Soluci´ on.- y 0 = x x 1−ln . x2 66. Hallar la derivada de la funci´on y = xln x . Soluci´ on.- y 0 = xln x−1 ln x2 . 67. Hallar la derivada de la funci´on y = xx . Soluci´ on.- y 0 = xx (1 + ln x). x

68. Hallar la derivada de la funci´on y = ex . x

Soluci´ on.- y 0 = ex (1 + ln x)xx .

8

Integrales Tabla de integrales inmediatas Z xp dx = Z

xp+1 +C p+1

Z f (x)p f 0 (x)dx =

(p 6= −1)

1 dx = ln |x| + C x

Z

Z

Z

Z

f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)

f 0 (x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C Z f 0 (x) cos f (x)dx = sin f (x) + C

cos xdx = sin x + C

Z

(p 6= −1)

Z sin xdx = − cos x + C

Z

f (x)p+1 +C p+1

1 dx = tan x + C cos2 x 1 dx = − cot x + C sin2 x 1 dx = arctan x + C 1 + x2

Z √

1 dx = arcsin x + C 1 − x2

Z

Z

Z

f 0 (x) dx = tan f (x) + C cos2 f (x) f 0 (x) dx = − cot f (x) + C sin2 f (x) f 0 (x) dx = arctan f (x) + C 1 + f (x)2

Z

f 0 (x)

p

1 − f (x)2

dx = arcsin f (x) + C

10

Tabla de integrales inmediatas (continuaci´ on) Z

−1 √ dx = arc cos x + C 1 − x2

Z

Z

−f 0 (x)

p

1 − f (x)2

dx = arc cos f (x) + C

Z ex dx = ex + C

Z ax dx =

ax +C ln a

f 0 (x)ef (x) dx = ef (x) + C Z f 0 (x)af (x) dx =

Ejercicios de integrales indefinidas 1. Calcular la integral

R

x5 dx.

x6 + C. 6 R √ 2. Calcular la integral (x + x)dx. √ x2 2x x Soluci´ on.+ + C. 2 3 µ √ ¶ R x x 3 √ − dx. 3. Calcular la integral 4 x √ 1 √ Soluci´ on.- 6 x − x2 x + C. 10 Soluci´ on.-

4. Calcular la integral

R x2 √ dx. x

2 2√ x x + C. 5 µ ¶ R 1 4 √ + 5. Calcular la integral + 2 dx. x2 x x 8 1 Soluci´ on.- − − √ + 2x + C. x x Soluci´ on.-

6. Calcular la integral Soluci´ on.-

R 1 √ dx. 4 x

4√ 4 x3 + C. 3

af (x) +C ln a

11 R 7. Calcular la integral e5x dx. 1 Soluci´ on.- e5x + C. 5 R 8. Calcular la integral cos 5xdx. sin 5x + C. 5 R 9. Calcular la integral sin axdx. cos ax + C. Soluci´ on.- − a Soluci´ on.-

10. Calcular la integral Soluci´ on.-

1 2 ln x + C. 2

11. Calcular la integral Soluci´ on.- −

1 dx. sin2 3x

R

1 dx. cos2 7x

tan 7x + C. 7

13. Calcular la integral Soluci´ on.-

R

cot 3x + C. 3

12. Calcular la integral Soluci´ on.-

R ln x dx. x

R

1 dx. 3x − 7

1 ln |3x − 7| + C. 3 R

1 dx. 1−x Soluci´ on.- − ln |1 − x| + C.

14. Calcular la integral

15. Calcular la integral

R

1 dx. 5 − 2x

1 Soluci´ on.- − ln |5 − 2x| + C. 2 R 16. Calcular la integral tan 2xdx. 1 Soluci´ on.- − ln | cos 2x| + C. 2 R 17. Calcular la integral sin2 x cos xdx. sin3 x + C. 3 R 18. Calcular la integral cos3 x sin xdx. Soluci´ on.-

Soluci´ on.- −

cos4 x + C. 4

12 R √ 19. Calcular la integral x x2 + 1dx. 1p 2 Soluci´ on.(x + 1)3 + C. 3 R x dx. 20. Calcular la integral √ 2x2 + 3 1p 2 Soluci´ on.2x + 3 + C. 2 R cos x 21. Calcular la integral dx. sin2 x 1 Soluci´ on.- − + C. sin x 22. Calcular la integral Soluci´ on.-

1 + C. 2 cos2 x

23. Calcular la integral Soluci´ on.-

R sin x dx. cos3 x

R tan x dx. cos2 x

tan2 x + C. 2

24. Calcular la integral Soluci´ on.- −

R cot x dx. sin2 x

cot2 x + C. 2

25. Calcular la integral

R ln(x + 1) dx. x+1

ln2 (x + 1) + C. 2 R cos x 26. Calcular la integral √ dx. 2 sin x + 1 √ Soluci´ on.- 2 sin x + 1 + C. Soluci´ on.-

27. Calcular la integral Soluci´ on.-

R

sin 2x dx. (1 + cos 2x)2

1 + C. 2(1 + cos 2x)

28. Calcular la integral p

R

p

sin 2x 1 + sin2 x

dx.

1 + sin2 x + C. √ R tan x + 1 29. Calcular la integral dx. cos2 x 2p Soluci´ on.(tan x + 1)3 + C. 3 Soluci´ on.- 2

13

30. Calcular la integral Soluci´ on.-

R ln2 x dx. x

ln3 x + C. 3

31. Calcular la integral

R arcsin x √ dx. 1 − x2

arcsin2 x + C. 2 R x dx. Calcular la integral x2 + 1 1 Soluci´ on.- ln(x2 + 1) + C. 2 R x+1 Calcular la integral dx. x2 + 2x + 3 1 Soluci´ on.- ln(x2 + 2x + 3) + C. 2 R Calcular la integral e2x dx. 1 Soluci´ on.- e2x + C. 2 R x Calcular la integral e 2 dx. Soluci´ on.-

32.

33.

34.

35.

x

Soluci´ on.- 2e 2 + C. R 36. Calcular la integral esin x cos xdx. Soluci´ on.- esin x + C. R 37. Calcular la integral 3x ex dx. 3x ex + C. ln 3 + 1 R 38. Calcular la integral e−3x dx. 1 Soluci´ on.- − e−3x + C. 3 R 2 39. Calcular la integral ex +4x+3 (x + 2)dx. 1 2 Soluci´ on.- ex +4x+3 + C. 2 R 1 40. Calcular la integral dx. 1 + 2x2 √ 1 Soluci´ on.- √ arctan( 2x) + C. 2 Soluci´ on.-

R

1 dx. 1 − 3x2 √ 1 Soluci´ on.- √ arcsin( 3x) + C. 3

41. Calcular la integral

√

14

42. Calcular la integral

R

√

1 dx. 9 − x2

x + C. 3 R 1 43. Calcular la integral dx. 4 + x2 x 1 Soluci´ on.- arctan + C. 2 2 Soluci´ on.- arcsin

15

Integraci´ on por partes Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones d [u(x)v(x)] = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x), dx que expresada bajo forma de diferencial da lugar a d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)]. De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)]. Integrando ahora ambos miembros tendremos Z Z u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)], que se escribe tambi´en en forma abreviada, Z Z udv = uv − vdu.

(1)

Esta expresi´on es conocida como la f´ ormula de la integraci´ on por partes y esR de gran utilidad para la resoluci´ o n de integrales. Se aplica a la resoluci´ o n de las integrales udv a partir de R la integral vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1) exige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral Z x3 ln xdx, observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos u = ln x y dv = x3 dx, tendremos du = si integramos ahora Z

dx x

y

v=

x4 + C1 , 4

· µ 4 ¶¸ x ln x d + C1 4 µ 4 ¶ ¶ Z µ 4 x x dx + C1 ln x − + C1 4 4 x ¶ ¶ µ 4 Z µ 3 x C1 x + C1 ln x − + dx 4 4 x Z

3

x ln xdx = = =

x4 x4 ln x − + C. 4 16 Observemos que la primera constante de integraci´ on C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x− C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´ actica, nunca incluimos una constante de integraci´ on en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x). =

16

Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes R

R

R

R

xn ex dx

u = xn

dv = ex dx

xn cos xdx

u = xn

dv = cos xdx

arctan xdx

u = arctan x

dv = dx

ln xdx

u = ln x

dv = dx

R

R

R

xn sin xdx

u = xn

dv = sin xdx

xn ln xdx

u = ln x

dv = xn dx

arcsin xdx u = arcsin x

Ejercicios de integraci´ on por partes 1. Calcular la integral

R

xex dx.

Soluci´ on.- xex − ex + C. R 2. Calcular la integral ln xdx. Soluci´ on.- x ln x − x + C. R 3. Calcular la integral x2 e3x dx. µ 2 ¶ x 2x 2 3x Soluci´ on.- e − + + C. 3 9 27 R 4. Calcular la integral x3 e−x dx. ¡ ¢ Soluci´ on.- −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C. R 5. Calcular la integral x sin xdx. Soluci´ on.- −x cos x + sin x + C. R 6. Calcular la integral x2 cos 2xdx. x2 sin 2x x cos 2x 1 + − sin 2x + C. 2 2 4 R x 7. Calcular la integral e sin xdx. −ex cos x + ex sin x Soluci´ on.+ C. 2 R 3 8. Calcular la integral x5 ex dx. Soluci´ on.-

3

Soluci´ on.-

ex (x3 − 1) + C. 3

dv = dx

17

Ejercicios de integrales definidas y c´ alculo de ´ areas 1. Calcular la integral definida 1 Soluci´ on.- . 5 2. Calcular la integral definida

R1 0

R1 0

x4 dx.

ex dx.

Soluci´ on.- e − 1. 3. Calcular la integral definida

R

π 2

0

sin xdx.

Soluci´ on.- 1. 4. Calcular la integral definida Soluci´ on.-

π . 4

R1 0

1 dx. 1 + x2

5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje X. 2 Soluci´ on.- 10 . 3 6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y 2 = 9x e y = 3x. 1 Soluci´ on.- . 2 7. Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a2 , el eje X y las rectas x = a y x = 2a. Soluci´ on.- a2 ln 2.