Ejercicios Propuestos Io 2011-ii

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES

RESOLVER:

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROGRAMA LINEAL Página 05 jap 1) Maximizar Z = X2 – 0.75 X1 s.a. X1 – X2 >= 0 - - - - - - (1) -0.5 X1 + X2 <= 1 - - - - - - (2) X1,X2 >= 0 2) Minimizar Z = X1 – 10X2 s.a. X1 – 0.5X2 >= 0 - - - - - - (1) X1 - 5X2 >= -5 - - - - - - (2) X1,X2 >= 0 3) Maximizar Z = 3X1 + 2X2 – X3 s.a. X1 + 2X2 + X3 >= 10 - - - - - - (1) X1 + X2 + 2X3 >= 9 - - - - - - (2) 2X1 - X3 >= 12 - - - - - - (3) X1,X2,X3 >= 0 4) Maximizar Z = 2X1 + 3X2 s.a. X1 + X2 = 8 - - - - - - (1) 2X1+ 3X2 >= 12 - - - - - - (2) X1,X2 >= 0 5) Maximizar Z = 3X1 + 2X2 s.a. X1 + X2 >= 1 - - - - - - (1) X2 – 5X1 <= 0 - - - - - - (2) 5X2 – X1 >= 0 - - - - - - (3) X1 – X2 >= -1 - - - - - (4) X1 + X2 <= 6 - - - - - - (5) X1 <= 3 - - - - - - (6) X1,X2 >= 0 UN PROBLEMA DE PRODUCCIÓN

La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de concentrado. Dichas minas están localizadas en distintas partes del país y, en consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la calidad de su concentrado. Después de ser tratado el mineral de cabeza en la Planta Concentradora, el concentrado se clasifica en tres clases dependiendo de la calidad: alta, mediana y baja. Ebel ha sido contratada para suministrar concentrado de mineral semanalmente a la Planta de Fundición de su compañía matriz, por lo menos 12, 8 y 24 toneladas de Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES concentrado de alta calidad, calidad mediana y calidad baja respectivamente. A Ebel le cuesta US$ 20 000 diarios operar la primera mina y US$ 16 000 la segunda. Sin embargo, en un día de operación, la primera mina produce 6 toneladas de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4 toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días de la semana tendría que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la manera más económica posible?. CÁLCULO DE MEZCLA DE MINERAL (CABECEO) Página 108 jap Según el informe mensual de operaciones mineras, los Tajeos 10 y 30 del Nivel 600 de una mina subterránea, se pueden explotar combinando (cabeceando) en mejor proporción, de manera que se obtenga mayores beneficios económicos. Los resultados obtenidos según el informe son: Tajeo 10: 580 TCS, 16.1 onz Ag/TCS, 9338 onzas finas de Ag, 88 tareas, 6.6 TCS/tarea, 3.4 pies/TCS, etc. Tajeo 30: 1180 TCS, 8.8 onz Ag/TCS, 10384 onzas finas de Ag, 148 tareas, 8.0 TCS/tarea, 3.0 pies/TCS, etc. Valor de la producción: V.P. = Ley x Recuperación x Factor x Cotización Tajeo 10 = 16.1 onz/TCS x 0.885 x 0.85 x 5.91 $/onz = 71.58 $/TCS Tajeo 30 = 8.8 onz/TCS x 0.885 x 0.85 x 5.91 $/onz = 39.12 $/TCS Para efectos de este problema, solamente se denominará MARGEN ECONÓMICO, a la diferencia entre el valor de la producción y los costos variables, de manera que: Tajeo 10 = 71.58 - 31.25 = 40.33 $/TCS Tajeo 30 = 39.12 - 31.25 = 7.87 $/TCS Haciendo una evaluación de los factores de producción de los tajeos citados: El tajeo 10, eficientemente puede producir hasta 1000 TCS/mes, y el Tajeo 30, hasta 950 TCS/mes. Con la combinación actual, el margen económico es como sigue: Tajeo 10: 40.33 x 580 = 23391.4 $/mes Tajeo 30: 7.87 x 1180 = 9286.6 $/mes TOTAL: 32678.0 $/mes Es preocupación del Departamento de Planeamiento y Operaciones, mejorar el MARGEN ECONÓMICO, y para ello es necesario efectuar la mejor combinación de los Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES recursos disponibles, elevando los rendimientos, y básicamente realizar una combinación adecuada de los minerales de cabeza de los dos tajeos; en otras palabras, es fundamental determinar la relación de los tonelajes que factibilicen obtener el máximo margen económico. UN PROBLEMA DE ESTABLECIMIENTO DEL HORARIO DE TRABAJO Microsoft Excel – Solver: 5x2 Investigación de Operaciones WAYNE L. WINSTON (Página 83) La unidad minera Poracota de la Cía de Minas Buenaventura S.A.A. necesita un número diferente de trabajadores a tiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de trabajadores a tiempo completo requeridos para cada día, se da en la tabla siguiente. Según las negociaciones colectivas efectuadas en el mes de enero del presente año, entre los trabajadores y el empleador; señalan que cada trabajador a tiempo completo, tiene que trabajar durante cinco días consecutivos y, después, descansar dos días. Por ejemplo, un trabajador que labora de lunes a viernes, tiene que descansar el sábado y domingo. La unidad minera requiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar solamente trabajadores a tiempo completos. Formule un PL que pueda utilizar la unidad minera para minimizar el número de trabajadores a tiempo completo que hay que contratar. Tabla: Requisitos para el ejemplo de la unidad minera Poracota Día 1 = lunes Día 2 = martes Día 3 = miércoles Día 4 = jueves Día 5 = viernes Día 6 = sábado Día 7 = domingo

NÚMERO DE TRABAJADORES A TIEMPO COMPLETO REQUERIDOS 17 13 15 19 14 16 11

SOLUCIÓN.La clave para formular correctamente este problema es darse cuenta de que la decisión principal de la unidad minera no es cuántas personas trabajan cada día, sino cuántas personas empiezan a trabajar cada día de la semana. Tomando esto en cuenta, definimos Xi = número de trabajadores que empiezan a trabajar el día i por ejemplo, x1 es el número de personas que empiezan a trabajar el lunes (estas personas trabajan de lunes a viernes). Con la definición adecuada de las variables es fácil determinar correctamente la función objetivo y las restricciones. Para determinar la función objetivo, obsérvese que (número de trabajadores a tiempo completo) = (número de trabajadores que empiezan a trabajar el lunes) + (número de trabajadores que empiezan a trabajar el día martes) + …. + (número de trabajadores que empiezan a trabajar el día domingo). Ya que cada trabajador empieza a trabajar exactamente un día de la semana, esta expresión no cuenta dos veces a los trabajadores. Por lo tanto, con la definición correcta de las variables, la función objetivo es: Minimizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES La unidad minera tiene que asegurar que hay suficientes trabadores mineros laborando cada día de la semana. Por ejemplo, por lo menos 17 trabajadores tienen que trabajar el lunes. ¿Quién está trabajando el lunes? Todos, menos los trabajadores mineros que empiezan a laborar el martes o el miércoles (ellos descansan el domingo y el lunes, y el lunes y el martes, respectivamente). Esto significa que el número de trabajadores mineros que laboran el lunes, está dado por x1 + x4 + x5 + x6 + x7. Para asegurar que por lo menos 17 trabajadores mineros laboran el lunes, se tiene que satisfacer la restricción X1 + X4 + X5 + X6 + X7  17 Al añadir restricciones similares para otros seis días de la semana y las restricciones del signo xi  0 (i = 1,2,….,7), se obtiene la siguiente formulación del problema de la oficina de correos: Minimizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 s.a. X1 + X4 + X5 + X6 + X7  17 Rest del lunes X1 + X2 + X5 + X6 + X7  13 Rest del martes

X1 + X1 + X1 +

X2 + X2 + X2 + X2 +

X3 + X3 + X3 + X3 + X3 +

X6 +

X7 X7

X4 + X4 + X5 + X4 + X5 + X6 X4 + X5 + X6 + X7 Xi  0 (i = 1,2, …7)

 15  19  14  16  11

Rest del miércoles Rest del jueves Rest del viernes Rest del sábado Rest del domingo

DETERMINACIÓN DE PROGRAMAS DE PRODUCCIÓN EN MINA TAJO ABIERTO Microsoft Excel – Solver: OpenPit Programación Lineal jap (Página 100) Un tajo abierto está produciendo dos minerales diferentes “A” y “B”; debido a las restricciones de la Planta Concentradora las producciones por semana no deben pasar de 60 000 TMS del “A” y 50 000 TMS del “B”. Por otro lado, se requieren 0.002 horas para producir una TMS del mineral “A”, y 0.003 horas para el “B”, y hay 160 horas de trabajo por semana. Las ganancias por tonelada son 2 $/TMS del “A” y 4 $/TMS del “B”. Se pregunta ¿Cuál será la producción óptima de los dos minerales para obtener la máxima ganancia?.

Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES VETA MARIA Y VETA CHABUCA Microsoft Excel – Solver: MinaSubt Programación Lineal pJAP (Página 107) Se tienen dos vetas para explotar, para lo cual se debe maximizar las utilidades con los siguientes supuestos: Precio de la Plata: 5 $/Onz Precio del Plomo: 39 ctv/Lb. Capacidad de la Planta: 95 TM/día. VETAS Veta María Veta Chabuca

LEYES Ag (Onz/TM) 16 4

Pb (%) 11.5 3.5

COSTO ($/TM)

TONELAJE A EXTRAER (TM/día)

9 7

X1 X2

Se desea determinar qué cantidad de mineral se debe extraer de cada labor, considerando que la ley de Plata resultante debe estar entre 6 y 8 Onz/TM. 2 ALEACIONES COMO PRODUCTO DE 4 METALES DIFERENTES Microsoft Excel – Solver: Aleaciones Investigación de Operaciones 1, Solucionario TAHA (Página 52)

Dos aleaciones, A y B, están hechas de cuatro metales diferentes: I, II, III y IV, según las especificaciones siguientes: ALEACIÓN

ESPECIFICACIONES

A

Cuando mucho el 80% de I Cuando mucho el 30% de II Por lo menos el 50% de IV Entre el 40% y el 60% de II Cuando menos el 30% de II A lo más el 70% de IV

B

Los cuatro metales se extraen de tres minerales metálicos diferentes: MINERAL 1 2 3

CANTIDAD MÁXIMA CONSTITUYENTES (%) PRECIO (ton) I II III IV OTROS ($/ton) 1 000 20 10 30 30 10 30 2 000 10 20 30 30 10 40 3 000 5 5 70 20 0 50

Suponiendo que los precios de venta de las aleaciones A y B son $200 y $300 por tonelada, formule el problema como un modelo de Programación Lineal, y analice los resultados.

Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES COMBINACIÓN DE ACEITES Y COMBUSTIBLES Una corporación produce gasolina y aceite (De lujo, Estándar y Económico) desde tres productos destilados de petróleo (A, B y C). La compañía combina de acuerdo a especificaciones de máximos y mínimos porcentajes. Precio de Máximo % Mínimo % de A de C Venta ($/galón) De lujo 60 20 7.9 Estándar 15 60 6.9 Económico 50 5.0 Mezcla

Los destilados son: Destilados A B C

Máxima cantidad Costo disponible por día (galón) $/galón 4000 0.60 5000 0.52 2500 0.48

Formular un programa lineal para maximizar la utilidad. Sugerencia: Xij = Cantidad asignada del destilado “i” a la mezcla “j”. SOLUCIÓN.-

Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES Sea Xij = la cantidad asignada del destilado “i” al producto “j”. Max Z = Ingresos – Costos Max Z = 7.9 (X11 + X21 + X31) + 6.9 (X12 + X22 + X32) + 5.0 (X13 + X23 + X33) – 0.60 (X11 + X12 + X13) – 0.52 (X21 + X22 + X23) – 0.48(X31 + X32 + X33) DISPONIBILIDAD DE DESTILADOS X11 + X12 + X13 <= 4000 X21 + X22 + X23 <= 5000 X31 + X32 + X33 <= 2500 MÁXI MOS PORCENTAJES X11 <= 0.60 (X11 + X21 + X31) X12 <= 0.15 (X12 + X22 + X32) MÍNIMOS PORCENTAJES X31 >= 0.20 (X11 + X21 + X31) X32 >= 0.60 (X12 + X22 + X32) X33 >= 0.50 (X13 + X23 + X33) ASIGNACIÓN DE PUESTOS DE TRABAJO Una empresa minera tiene 4 puestos de trabajo para profesionales que acaban de concluir sus estudios superiores en la especialidad de minas, cuyo desempeño requiere de los conocimientos adquiridos en la Universidad Peruana. Se han presentado 8 candidatos que han sido sometidos a pruebas especiales de selección para cada empleo, habiendo obtenido los siguientes puntajes: Candidatos Aguilar Delgado García Meza Molina Reátegui Sáenz Tinoco

EMPLEOS Jefe de Sección Mina Planeamiento Seguridad Medio Ambiente 46 50 28 33 33 34 10 12 42 39 42 32 45 80 41 65 62 83 48 65 61 79 27 14 69 97 81 68 71 68 70 65

Se trata de seleccionar 4 candidatos de los 8 examinados, para ocupar los cuatro puestos. El equipo seleccionado debe ser aquel que tenga, en conjunto, la puntuación máxima, considerando la calificación que haya obtenido cada candidato en el puesto al que se decida asignarla. REQUERIMIENTO DE SERVICIOS LABORAES “El Monte” S.A.A. es una empresa minera subterránea que opera en la sierra central del Perú. El número de horas de trabajo especializado que requiere “El Monte” S.A.A. durante los próximos cinco meses, se da a continuación: Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES Mes de Enero 2009: Mes de Febrero 2009: Mes de Marzo 2009: Mes de Abril 2009: Mes de Mayo 2009:

6 000 horas 7 000 horas 8 000 horas 9 500 horas 11 000 horas

Al principio de Enero 2009, 50 técnicos especializados trabajan para “El Monte” S.A.A. Cada técnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas de concentrado de Zinc, hay que capacitar a nuevos técnicos. La capacitación de un nuevo técnico dura un mes. Un técnico experimentado tiene que supervisas al aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada técnico experimentado se le pagan mensualmente 2 000 dólares (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento, se paga al aprendiz 1000 dólares al mes. Al final de cada mes, 5% de los técnicos experimentados de “El Monte” S.A.A., cambian de trabajo, para irse con “Pierina” S.A.A. Formule un Programa Lineal cuya solución permitirá a “El Monte” S.A.A. minimizar los costos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicio durante los próximos meses. ASIGNACIÓN DE PUESTOS DE TRABAJO Una empresa minera tiene 5 puestos de trabajo para profesionales que acaban de concluir sus estudios superiores en la especialidad de minas, cuyo desempeño requiere de los conocimientos adquiridos en la Universidad Peruana. Se han presentado 7 candidatos que han sido sometidos a pruebas especiales de selección para cada empleo, habiendo obtenido los siguientes puntajes: EMPLEOS Relleno Jefe Asistente Asistente Candidatos Topografía Hidráulico Guardia Seguridad Planeamiento Balbín Lifonso 69 97 81 68 96 Campos Jesús 61 79 27 14 38 Galvez Paucar 62 83 48 65 94 Hilario Alvarez 45 80 41 65 70 Palomino Morales 42 39 42 32 83 Peña Ramos 33 34 10 12 17 Santiani Aliaga 46 50 28 33 92

Se trata de seleccionar 5 candidatos de los 7 examinados, para ocupar los cinco puestos. El equipo seleccionado debe ser aquel que tenga, en conjunto, la puntuación máxima, considerando la calificación que haya obtenido cada candidato en el puesto al que se decida asignarla. DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA Microsoft Excel – Solver: TransporteElectricidad Investigación de Operaciones 1, Solucionario TAHA (Página 434) Tres plantas generadoras de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilowatts-hora (KWH), suministran electricidad a tres ciudades cuyas Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES demandas máximas son de 30, 35 y 25 millones de KWH. El costo en unidades monetarias (u.m.) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades, por millón de KWH, es como sigue:

PLANTA GENERADORA

1 2 3

1 600 320 500

CIUDAD 2 700 300 480

3 400 350 450

Durante el mes de Agosto se incrementa un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda, la compañía eléctrica debe comparar electricidad adicional de otra red, a un precio de 1000 u.m. por millón de KWH. Sin embargo, esta red no está conectada a la ciudad 3. Formule y solucione el problema como uno de transporte, con el fin de establecer el plan de distribución más económico, desde el punto de vista de la compañía eléctrica. MODELO DE ASIGNACIÓN Microsoft Excel – Solver: Empresa Alfa Investigación de Operaciones, E. Raffo Lecca (Página 206) La empresa Alfa, planea iniciar la producción de tres nuevos productos. Tiene cinco plantas, tres de las cuales deben ser seleccionadas para producir los nuevos productos. Las tablas siguientes dan los costos de producción y de distribución estimados por unidad de producto según fuera la planta. COSTOS DE PRODUCCIÓN UNITARIOS ($) 1 2 3

PRODUCTO

1 10 4 2

2 15 20 4

PLANTA 3 20 3 1

4 7 20 1

5 20 20 5

COSTOS DE DISTRIBUCIÓN UNITARIOS ($) 1 2 3

PRODUCTO

1 10 3 2

2 30 50 2

PLANTA 3 10 3 2

4 3 15 7

5 5 30 3

Los planes en materia de la siguiente producción anual de cada producto y de precios se dan a continuación: PRODUCTO 1 2 3

PRODUCCIÓN PRECIO PLANEADA PLANEADO ($) 3 000 30 15 000 25 2 000 16

Hallar la utilidad óptima mediante un modelo de asignación. Docente:

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Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES FUNDICIÓN DOE RUN PERÚ – LA OROYA La Doe Run Perú – la Oroya, va fundir concentrados procedentes de cuatro Unidades de Producción Minera diferentes: Carahuacra, San Cristóbal, Andaychagua y Cerro de Pasco, todas ellas pertenecientes a la Cía de Minas Volcan S.A.A. La mezcla de éstos servirá para fabricar BANDAS para un nuevo producto, el Tractor Oruga de tamaño medio, el modelo E-6, diseñado por Caterpillar para competir en el mercado internacional. Los análisis han demostrado que para producir una BANDA con las especificaciones necesarias de tensión y compresión, la mezcla debe contener tres elementos básicos que para abreviar designaremos como “A”, “B” y “C”. En particular, cada tonelada de mezcla debe contener por lo menos 5 Libras del elemento básico “A”, por lo menos 100 Libras del elemento “B” y al menos 30 Libras del elemento “C”. El concentrado de cada una de las minas contienen los tres elementos básicos, pero en diferentes proporciones. Sus composiciones se dan a continuación. COMPOSICIÓN DE CADA CONCENTRADO (Libras/tonelada) ELEMENTO BÁSICO A B C

UNIDADES DE PRODUCCIÓN MINERA – CÍA DE MINAS VOLCAN S.A.A. Carahuacra San Cristóbal Andaychagua Cerro de Pasco 10 3 8 2 90 150 75 175 45 25 20 37

Los concentrados de cada una de las minas tienen diferentes costos, que se dan a continuación: COSTO (Dólares/tonelada) MINA Carahuacra San Cristóbal Andaychagua Cerro de Pasco

COSTO 800 400 600 500

El objetivo del ingeniero responsable de la producción de Doe Run Perú, es encontrar una mezcla factible de costo mínimo. PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA OPTIMIZACIÓN DEL MODELO DE PLE Considere el siguiente problema: Maximizar Z = 18x1 + 6x2 s.a. x1 + x2 >= 5 42.8x1 + 100x2 <= 800 20x1 + 6x2 <= 142 30x1 + 10x2 >= 135 x1 3x2 <= 0 x1, x2>= 0 y enteros

(1) (2) (3) (4) (5)

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PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA BINARIA PRESUPUESTO DE CAPITAL: UNA DECISIÓN SOBRE EXPANSIÓN La junta de directores de PROTRAC observa los datos resumidos en la Tabla adjunta. Las sumas monetarias de esta tabla están expresadas en miles de dólares. Los directores deben seleccionar una o más alternativas. Si deciden expandir la planta en Bélgica, el valor presente del rendimiento neto para la firma es $400 000. Este proyecto requiere $100 000 de capital en el primer año, $50 000 en el segundo, y así sucesivamente. La junta directiva ha presupuestado con anterioridad hasta $500 000 para todas las inversiones de capital en el año 1, hasta $450 000 en el año 2, y así sucesivamente. ALTERNATIVAS DE PRESUPUESTO DEL CAPITAL DE PROTRAC ALTERNATIVA Ampliar la planta en Bélgica Ampliar la capacidad para máquinas pequeñas en Estados Unidos Establecer una nueva planta en Chile Ampliar la capacidad para máquinas grandes en Estados Unidos Capital disponible cada año

CAPITAL REQUERIDO EN EL AÑO POR CADA ALTERNATIVA (MILES $) VALOR PRESENTE DEL RENDIMIENTO NETO 1 2 3 4 (MILES $) 400 100 50 200 100

5 0

700

300

200

100

100

100

800

100

200

270

200

100

1000

200

100

400

200

200

500

450

700

400

300

SOLUCIÓN.Este modelo se puede construir como una PLE en la cual todas las variables corresponden al tipo 0-1. Esto se conoce como una PLE 0-1. En particular, sea xj = 1 si el proyecto i va ser aceptado, y sea xj = 0 si el proyecto i no va ser aceptado. Así, el modelo es el siguiente: Maximizar Z = 400X1 + 700X2 + 800X3+ 1000X4 s.a. 100X1 + 300X2 + 100X3+ 200X4 <= 500 (1) 50X1 + 200X2 + 200X3+ 100X4 <= 450 (1) 200X1 + 100X2 + 270X3+ 400X4 <= 700 (1) 100X1 + 100X2 + 200X3+ 200X4 <= 400 (1) 100X2 + 100X3+ 200X4 <= 300 (1) Xi = 0 o bien 1; i = 1,......,4

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES OPTIMIZACIÓN NO LINEAL PNL CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Considere el siguiente problema: Maximizar Z = X1- X2 s.a. –X12 + X2 = 1 OPTIMIZACIÓN NO LINEAL EJEMPLO DE MODELOS NO LINEALES CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD Gastos óptimos de mercadotecnia.- El presupuesto diario promedio para la publicidad de un restaurante es de $ 100, y se asigna en su totalidad a anuncios en los periódicos y comerciales por la radio. Suponga que: X1 = número promedio de dólares diarios gastados en anuncios en los periódicos X2 = número promedio de dólares diarios gastados en comerciales de radio En términos de estas cantidades, el costo anual total que paga el restaurante por su departamento de publicidad se ha estimado en Costo = C(X1,X2) = 20,000 + 440X1 + 300X2 + 20X12 + 12X22 + X1X2 Encuentre la asignación de presupuesto que minimice este costo anual total. El modelo que vamos a resolver es: Minimizar Z = 20,000 – 440X1 – 300X2 + 20X12 + 12X22 + X1X2 s.a. x1 + x2 = 100 y x1  0, x2  0 OPTIMIZACIÓN NO LINEAL ASTRO Y COSMO UN PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS Una compañía fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 aparatos de TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento, se requiere un ahora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada aparato Cosmo. En la actualidad, puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada modelo Cosmo. Actualmente se pueden asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares,

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Esta información se presenta resumida en el cuadro siguiente:

INFORMACIÓN SOBRE ASTRO Y COSMO MANO DE OBRA POR TELEVISOR (Horas) CAPACIDAD DIARIA Astro Cosmo Disponibilidad total

70 50

GANANCIA POR TELEVISOR Depto. A Depto. B (U.S. $) 1 1 20 2 1 10 120 90

Si la compañía sabe que podrá vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de fabricar, ¿cuál deberá ser el plan de producción por día (es decir, la producción diaria) para cada modelo?. SOLUCIÓN: El modelo simbólico de PL de Astro y Cosmo está dado por: A = producción diaria de aparatos Astro (televisores/día) C = producción diaria de aparatos Cosmo (televisores/día) Maximizar Z = 20A + 10C s.a. A  70 C  50 A + 2C  120 A + C  90 A,C  0

A = 70 Tv. Astro/día C = 20 Tv. Cosmo/día

Cuando planteamos el problema anterior, se suponía que la ganancia unitaria por televisor era constante con todas las combinaciones de producción factibles. Supongamos que en realidad solamente es factible vender más televisores si se reduce el precio de venta; esto significa que las curvas de demanda de los productos de la compañía tienen pendiente descendente. Supongamos también que, para los valor es pertinentes de producción diaria, A y C, esas curvas de demanda sean cuantificadas usando las siguientes ecuaciones: PA = 0.01A2 – 1.9A + 314 PC = -0.14C + 243 Donde:

A = producción diaria de Astro PA = precio de venta de Astro C = producción diaria de Cosmo PC = precio de venta de Cosmo

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES En la expresión anterior, PA es el precio que la compañía debe asignar a las unidades Astro para vender toda su producción de ese modelo. Una interpretación similar se aplica a PC y a Cosmo. En consecuencia, la ganancia unitaria depende ahora de la producción total. Si el costo unitario variable de cada Astro es de $210 y el costo unitario variable de un Cosmo es de $230, entonces la ganancia total es: Ganancia = (PA – 210)A + (PC – 230)C Lo cual nos presenta una función objetivo no lineal. La PNL completa aparece a continuación. Observe que contiene dos restricciones de igualdad que definen el precio de venta de cada producto en términos de su producción. Una de esas restricciones es no lineal. Siendo PA función de A y PC función de C, la función objetivo tampoco es lineal. Maximizar Z = (PA – 210)A + (PC – 230)C s.a. PA = 0.01A2 – 1.9A + 314 (precio de venta de Astro) PC = -0.14C + 243 (precio de venta de Cosmo) A  70 (capacidad de la línea Astro) C  50 (capacidad de la línea Cosmo) A + 2C  120 (horas de trabajo en el departamento A) A + C  90 (horas de trabajo en el departamento B) A,PA,C,PC  0 OPTIMIZACIÓN NO LINEAL INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA (PC) El ejemplo simbólico de la Programación Cuadrática es: Minimizar Z = (X1 – 6)2 + (X2 – 8)2 s.a. X1 7 X2  5 X1 + 2X2  12 X1 + X2  9 X1,X2  0 PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UN PROBLEMA DE RED Joe Cougar vive en la ciudad de Nueva York, pero está pensando en conducir hasta Los Angeles para buscar fama y fortuna. Su dinero es escaso y, por lo tanto, ha decidido pasar cada noche de su viaje en la casa de un amigo. Tiene amigos en Columbus, Nashville, Lousville, Kansas City, Omaha, Dallas, San Antonio y Denver; Joe sabe que después de conducir un día puede alcanzar Columbus, Nashville o Lousville. Después de conducir dos días puede llegar a Kansas City, Omaha o Dallas. Después de tres días de conducir puede llegar a San Antonio o Denver. Por último,

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES después de 4 días de conducir, puede llegar a los Angeles. Para reducir al mínimo el número de millas recorridas, ¿dónde debe pasar cada noche del viaje?. En la figura siguiente se muestra las distancia reales por carretera entre las ciudades mencionadas Figura.- Viaje de Joe por Estados Unidos

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UN PROBLEMA DE RED Debo conducir de Bloomington a Cleveland. En la Figura adjunta se ven varias trayectorias posibles. El número en cada arco es el tiempo que se tarda uno en conducir de una ciudad a otra. Por ejemplo, toma 3 horas manejar de Bloomington a Cincinnati. Avanzando hacia atrás, de termine la trayectoria más corta, en cuanto a tiempo, de Bloomington a Cleveland. (Sugerencia: avance hacia atrás y no se preocupe de las etapas; sólo de los estados).

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UN PROBLEMA DE RED

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES Considere la red de distribución que muestra la figura siguiente. Encuentre el camino más corto desde el nodo 1 hasta el nodo 7. 2

1

4

5 7

3

6

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UNA APLICACIÓN DE LA RUTA MAS CORTA SUSTITUCIÓN DE EQUIPO Un contratista minero está a cargo de conseguir equipo de perforación ligera (Jackleg) para la fase de desarrollo en la Cia. Minera Jupiter. El contratista tiene que escoger entre arrendar nuevo equipo con alto costo de alquiler, pero bajo costo de mantenimiento, o equipo usado con costos de alquiler más bajos, pero con costos de mantenimiento más altos. El contratista deberá considerar un horizonte de cuatro años. Usaremos Cij para denotar el costo del alquilar nuevo equipo al inicio del año i, i=1,2,3,4, y su mantenimiento hasta el inicio del año j, donde j sólo puede tomar los valores 2,3,4,5. Si el equipo solo puede mantenerse hasta el inicio del año j, para j5, habrá que alquilar otra vez nuevo equpo al inicio de j. Por ejemplo, tres políticas factibles alternativas son: 1. Arrendar nuevo equipo al inicio de cada año. Se supone que esa política implicaría los más altos cargos por alquiler y los cargos mínimos por mantenimiento. El costo total (alquiler + mantenimiento) de esta política sería C 12 + C23 + C34 + C45. 2. Arrendar nuevo equipo sólo al inicio del año 1 y pagar su mantenimiento todos los años siguientes. Sin duda ésta sería una política de mínimo costo de alquiler, pero máximo costo de mantenimiento. El costo total (alquiler + mantenimiento) de esta política sería C15. 3. Arrendar equipo nuevo al inicio de los años 1 y 3. El costo total sería C 13 + C35. De todas las políticas factibles, el contratista desea aquella en la cual el costo sea mínimo. La solución para este modelo se obtiene encontrando la ruta más corta (es decir, la que corresponda al costo mínimo en este caso) desde el nodo 1 hasta el nodo 5 de la red ilustrada. Cada nodo de la ruta más corta denota un reemplazo; es decir, un año en el cual habrá que alquilar nuevo equipo.

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Se presenta el modelo de reemplazo de equipo de perforación, suponiendo un costo de $ 1,600 más $500 por mantenimiento durante el año que el equipo es alquilado, y costos anuales de mantenimiento de $1,000, $1,500 y $2,200 por cada año adicional que se conserve el equipo a partir de entonces. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA PROBLEMAS DE REEMPLAZO DE EQUIPO El taller de mantenimiento para automotores de una compañía minera debe tener siempre un analizador de motor disponible. Un analizador nuevo cuesta $ 1,000. El costo mi por el mantenimiento de un analizador durante su i-ésimo año de funcionamiento es como sigue: m1 = $ 60, m2 = $ 80, m3 = $ 120. Un analizador se podrá tener durante 1, 2 o 3 años, y después de usarlo i años (i = 1,2,3) se podrá vender y realizar un pago inicial de uno nuevo. Si se compra un analizador nuevo y se vende el de i años de antigüedad, se obtiene un valor de salvamento (equipo viejo) si, donde s1 = $ 800, s2 = $ 600 y s3 = $ 500. Dado que una máquina nueva se debe comprar hoy (tiempo 0, véase Figura adjunta), el taller desea determinar una política de reemplazo o reposición y de valor de equipo para darlo como pago inicial de uno nuevo que minimice los costos netos = (costos de mantenimiento) + (costos de reposición) – (valor de salvamento o de reventa) durante los siguientes 5 años.

AÑO 1 TIEMPO 0

TIEMPO 1

AÑO 2

AÑO 4

AÑO 3 TIEMPO 2

TIEMPO 3

AÑO 5 TIEMPO 4

TIEMPO 5

Se debe comprobar que la solución de este problema es equivalente a encontrar el trayecto más corto del nudo 0 al nudo 5 en la red de la figura siguiente.

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TIEMPO 01

2

3

4

5

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA EL MODELO DE FLUJO MÁXIMO Gloria Stime está a cargo de la Comisión de Planeación del Desarrollo Urbano (UDPC por sus siglas en inglés), un grupo de estudio ad hoc de interés especial. La responsabilidad actual del grupo consiste en coordinar la construcción del nuevo sistema de vías subterráneas con el departamento de mantenimiento de caminos. En virtud de que el nuevo sistema de vía subterránea se construirá cerca del circuito periférico de la ciudad, el tráfico de éste que se dirige al oriente deberá ser desviado. La desviación planeado es en realidad una red de rutas alternas propuestas por el departamento de mantenimiento de caminos. Los diferentes límites de velocidad y los patrones de tráfico producen distintas capacidades de flujo en los diferentes arcos de la red propuestas, como se aprecia en la figura siguiente. Figura.- Red y capacidades de flujo propuestas (miles de vehículos por hora)

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El nodo 1 indica el inicio de la desviación; es decir, un punto en el cual el tráfico que se dirigía hacia el oriente sale de la vía periférica. El nodo 6 es el punto en el cual el tráfico

desviado entra de nuevo en la vía periférica. Además, en la figura anterior, las capacidades de flujo dependen de la dirección de éste. El símbolo 6 en el arco (1,3) denota una capacidad de 6,000 vehículos por hora en la dirección de 1 a 3. El símbolo 0 en el mismo arco significa que existe una capacidad cero en la dirección de 3 a 1. Es así porque el arco en cuestión (1,3) denota una vía de un solo sentido desde 1 hasta 3. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UN PROBLEMA DE INVENTARIO Una empresa sabe que la demanda de su producto durante cada uno de los cuatro meses siguientes será como sigue: mes 1, 1 unidad; mes 2, 3 unidades; mes 3,2 unidades; mes 4, 4 unidades. Al principio de cada mes, la empresa debe determinar cuántas unidades se deben producir durante ese mes. Durante un mes en el que se produce cualquier número de unidades, se incurre en un costo de preparación (fijo) de 3 dólares. Además, hay un costo variable de 1 dólar por cada unidad producida. Al final de cada mes, se incurre en un costo de 50 centavos de dólar por unidad en inventario. Las limitaciones de capacidad

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES permiten la producción de un máximo de 5 unidades durante cada mes. El tamaño de las bodegas de la empresa restringe el inventario final de cada mes a 4 unidades cuando mucho. La empresa desea determinar un calendario de producción para a cada mes que cumpla a tiempo con las demandas y que reduzca al mínimo la suma de los costos de producción y de almacenamiento durante los cuatro meses. Suponer que hay cero unidades a mano al principio del primer mes. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UN PROBLEMA DE INVENTARIO Una compañía minera tiene contrato para entregar Concentrados de Zinc durante los tres meses siguientes: mes 1, 200 TM; mes 2, 300 TM; mes 3, 300 TM. Por cada TM de concentrado de Zinc que se produce durante los meses 1 y 2, se incurre en un costo variable de 10 dólares; por cada TM de concentrado de Zinc producido durante el mes 3, se incurre en un costo variable de 12 dólares. El costo de almacenamiento en el puerto del Callao es 1,50 dólares por cada TM de concentrado de Zinc en inventario final de un mes. El costo de preparar la producción durante un mes es 250 dólares. Las TM de concentrado de Zn producidos durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno futuro. Suponga que la producción durante cada mes debe ser múltiplo de 100. Dado que el nivel inicial de inventario es cero, utilice Programación Dinámica para determinar un calendario óptimo de producción.

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA UN INVENTARIO PARA PERIODOS MÚLTIPLES Andrew Tan se encarga del montaje final y la distribución de los grandes generadores eléctricos industriales de PROTRAC, alimentados con diesel, en Singapur. Los generadores son ensamblados con partes importadas, se les somete a pruebas en Singapur y se exportan a los clientes asiáticos de PROTRAC. La tabla adjunta muestra el número de generadores que deberán ser entregados en cada uno de los cuatro meses próximos, así como los cálculos estimados de Andrew sobre la capacidad de producción mensual y los costos variables de fabricación de dichos generadores. Estas capacidades y costos varían a causa de la logística del embarque de partes hacia las plantas y por la variabilidad del costo de los materiales básicos, en particular el alambre de cobre. Tabla.- Datos mensuales para la producción de generadores Requerimientos de entrega (Nº Genr/mes) Capacidad de producción (NºGenr/mes) Costos de producción unitarios (miles) (Cost.Variables) Costo de acarreo por unidad de inventario (Almacén)(miles)

JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE 58 36 34 59 60 62 64 66 $28

$27

$27.8

$29

$0.3

$0.3

$0.3

$0.3

En la tabla anterior aparecen también los costos que implica almacenar un generador

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES completo en un almacén comercial, de un mes a otro. Los costos comerciales de almacenaje para grandes generadores son un factor significativo para Andrew, a causa de la extremada escasez de espacio en Singapur. Observe que la posibilidad de mantener el inventario de un mes al siguiente es el factor por el cual el caso de Andrew produce un modelo de inventario para periodos múltiples, mientras que si no hubiera opciones de inventario sería sólo una serie de cuatro modelos estáticos. La tarea de Andrew consiste en fabricar y entregar el número necesario de generadores en el intervalo de cuatro meses, al menor costo total para dichos meses, considerando que al comienzo de julio existen 15 generadores en inventario. Andrew decidió que 7 generadores para el inventario final en abril serían una “buena” condición de inventario inicial para los meses subsecuentes. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA EJEMPLO DE MODELOS DINÁMICOS FAM (Fábrica de Aluminio y Metales) utiliza parte de su capacidad de producción en su planta de Sudamérica para fabricar teteras pintadas a mano. Cada tetera requiere 0.5 hora de trabajo de un pintor. FAM tiene 30 pintores disponibles. La planta se usa para fabricar teteras el jueves, viernes y sábado de cada semana. El resto de la semana, la capacidad productiva se destina a otra línea de productos. No siempre participan los 30 pintores, pero cada uno de los que intervienen está disponible para trabajar cualquier fracción de una jornada laboral de 8 horas, 2 días a la semana. Un pintor puede ser asignado a cualquier programa de 2 días y se le pagan 16 horas de trabajo regular, sin importar qué fracción de ese tiempo dedique realmente a la producción de teteras. Si no hay suficiente producción para tener ocupados durante todo el día a todos los trabajadores asignados a dicha tarea, el tiempo restante (holgura) se dedica a la limpieza de la planta y a otras actividades similares. Si no se toman en cuenta los costos de mano de obra, el ingreso neto (después de descontar otros costos) por la venta de una tetera es $15. La demanda debe satisfacerse el día que se presenta, pues de lo contrario se perderá. La producción en un día determinado puede usarse para satisfacer la demanda de ese día o la que se presente después, durante la semana (es decir, las teteras fabricadas el jueves pueden usarse para satisfacer la demanda del viernes o el sábado). Sin embargo, a causa del cambio en las operaciones de la planta para fabricar estatuas pintadas a mano los lunes, martes y miércoles, todas las teteras fabricadas durante la semana deben embarcarse en el curso de la misma (esto quiere decir que nunca existe un inventario el jueves por la mañana). En virtud del aumento de los costos de manejo, cuesta $0.50 mantener una tetera en el

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES inventario final desde un día hasta el siguiente. Una unidad de demanda perdida se traduce en un costo de penalización total de $1 por unidad los jueves, $3 los viernes y $5 los sábados. La demanda semanal de teteras es de 100 los jueves, 300 los viernes y 600 los sábados. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS Finco tiene 6000 dólares para invertir, y hay disponibles tres inversiones. Si se invierten dj dólares (en miles) en la inversión j, entonces se obtienen un valor presente neto, en miles, igual a rj(dj), donde las rj(dj) son como sigue: r1(d1) = 7d1 + 2 (d1 > 0) r2(d2) = 3d2 + 7 (d2 > 0) r3(d3) = 4d3 + 5 (d3 > 0) r1(0) = r2(0) = r3(0) = 0 La cantidad colocada en cada inversión dj debe ser un múltiplo exacto de 1 000 dólares. Para maximizar el valor presente neto que se obtienen en las inversiones, ¿cómo debe asignar Finco los 6000 dólares? EXPLOTACIÓN MINERA SUBTERRÁNEA CORTE Y RELLENO ASCENDENTE MECANIZADO – PERFORACIÓN BREASTIMG La Compañía Minera ATACOCHA S.A. extrae tres tipos de mineral procedentes de tres tajeos distintos de su mina subterránea que explota por el método de Corte y Relleno Ascendente Mecanizado. Para ello cuenta con tres equipos de perforación (Jumbos) de las siguientes características: CAPACIDAD DE TRABAJO (rendimiento) TM/día TAJEOS

EQUIPO DE PERFORACION

T-1

T-2

T-3

JUMBO J-1 JUMBO J-2 JUMBO J-3

90 65 50

70 80 70

78 65 85

DIAS DE MANTENIMIENTO POR MES (30 días) 5 2 2

Por compromisos contraídos anteriormente, debe arrendarse otra perforadora de las siguientes características: CAPACIDAD DE TRABAJO (rendimiento) TM/día EQUIPO DE PERFORACION JUMBO J-4

T-1 90

TAJEOS T-2 70

T-3 78

Que está disponible los 30 días del mes, pero NO se arrienda por menos de 10 día/mes.

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES No se tienen ninguna restricción relacionada al carguío, extracción y transporte del mineral, desde los tajeos a la Planta Concentradora. La Planta Concentradora que recibe el mineral admite las capacidades siguientes: Mineral Tajeo T-1: 2 500 TM/mes Mineral Tajeo T-2: 2 300 TM/mes Mineral Tajeo T-3: 2 500 TM/mes Los costos de operación que tiene cada perforadora están en el cuadro adjunto ($/día): EQUIPO DE PERFORACION JUMBO J-1 JUMBO J-2 JUMBO J-3 JUMBO J-4

T-1 120 40 90 150

TAJEOS T-2 250 170 100 300

T-3 220 200 210 250

Los gastos es salario y jornales de la mano de obra asociada a cada equipo son:

$/día

EQUIPO DE PERFORACION J-1 J-2 J-3 J-4 220 350 300 400

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES Suponiendo que los tajeos deben explotarse los 30 días del mes, plantee en forma normal el Programa Lineal, de manera que el programa de explotación produzca máximas utilidades. Si el precio de cada tonelada métrica de mineral es de $ 3 500.= PRODUCCIÓN DE APARATOS MECÁNICOS Hay dos empresas que producen aparatos mecánicos. A la primera empresa le cuesta q1 dólares producir q1 aparatos mecánicos, y a la segunda empresa le cuesta 0.5q2 2 dólares producir q2 aparato. Si se produce un total de q aparatos mecánicos, los clientes pagarán 200 dólares – q por cada aparato. Si las dos empresas quieren convivir para maximizar la suma de sus ganancias, ¿cuántos aparatos mecánicos tendría que producir?. 1) Suponga que se ha de llenar una mochila de 10 libras con los artículos que aparecen la Tabla siguiente. Para maximizar el beneficio total, ¿cómo se debe llenar la mochila? Artículo 1 Artículo 2 Artículo 3

PESO 4 lb 3 lb 5 lb

BENEFICIO 11 7 12

PROBLEMAS DE INVERSIÓN MINERA Un empresario minero tiene 4 millones de dólares para invertir en 3 minas metálicas ubicadas en el país. Las utilidades que gana en la mina i (i = 1,2,3) dependen de la cantidad invertida en él (Tabla adjunta). Si se supone que la cantidad invertida en cada mina debe ser múltiplo exacto de 1 millón de dólares, determine con Programación Dinámica una política de inversiones que eleve al máximo las utilidades que gana con sus tres minas. CANTIDAD INVERTIDA (millones de dólares) 0 1 2 3 4

UTILIDADES (millones de dólares) Mina 1 Mina 2 Mina 3 4 3 3 7 6 7 8 10 8 9 12 13 11 14 15

RREMPLAZO DE EQUIPOS MINEROS Un contratista minero está a cargo de conseguir equipo de perforación ligera (Jackleg) para la fase de desarrollo; una perforadora nueva cuesta $ 5 000. El costo mi por el mantenimiento de la perforadora durante su i-ésimo año de funcionamiento es como sigue: m1 = $ 300, m2 = $ 400, m3 = $ 600. Una perforadora se podrá tener durante 1, 2 o 3 años, y después de usarlo i años (i = 1,2,3) se podrá vender y realizar un pago inicial de uno nuevo. Si se compra una perforadora nueva y se vende el de i años de

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES antigüedad, se obtiene un valor de salvamento (equipo viejo) si, donde s1 = $ 400, s2 = $ 300 y s3 = $ 250. Dado que una máquina nueva se debe comprar hoy (tiempo 0, véase Figura Nº 2), el contratista desea determinar una política de reemplazo o reposición y de valor de equipo para darlo como pago inicial de uno nuevo que minimice los costos netos = (costos de mantenimiento) + (costos de reposición) – (valor de salvamento o de reventa) durante los siguientes 5 años. CALENDARIO ÓPTIMO DE PRODUCCIÓN 1) Una empresa minera tiene un contrato para entregar el siguiente tonelaje de concentrados de Zinc durante los tres meses siguientes: Mes de Enero-2009, 200 TM; mes de Febrero-2009, 300 TM y mes de Marzo-2009, 300 TM. Por cada TM de concentrados de Zinc que se produce durante los meses de Enero y Febrero, se incurre en un Costo Variable de 10 dólares; por cada TM de concentrados de Zinc producido durante el mes de Marzo, se incurre en un Costo Variable de 12 dólares. El Costo de Almacenamiento es 1,50 dólares por cada TM de concentrados de Zinc en Inventario Final de un mes. El Costo de Producción durante un mes es 250 dólares. Las TM de concentrados de Zinc que se producen durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno futuro. Suponga que la producción durante cada mes debe ser múltiplo de 100. Dado que el nivel inicial de inventario es cero, utilice programación dinámica para determinar un calendario óptimo de producción. 2)

Una empresa sabe que la demanda de su producto durante cada uno de los cuatro meses siguientes será como sigue: mes 1, 1 unidad; mes 2, 3 unidades; mes 3, 2 unidades; mes 4, 4 unidades. Al principio de cada mes, la empresa debe determinar cuántas unidades se deben producir durante ese mes. Durante un mes en el que se produce cualquier número de unidades, se incurre en un costo de preparación de 3 dólares. Además, hay un costo variable de 1 dólar por cada unidad producida. Al final de cada mes, se incurre en un costo de 50 centavos de dólar por unidad en inventario. Las limitaciones de capacidad permiten la producción de un máximo de 5 unidades durante cada mes. El tamaño de las bodegas de la empresa restringe el inventario final de cada mes a 4 unidades cuando mucho. La empresa desea determinar un calendario de producción para cada mes que cumpla a tiempo con las demandas y que reduzca al mínimo la suma de los costos de producción y de almacenamiento durante los cuatro meses. Suponer que hay 3 unidades al principio del primer mes.

3) Una empresa minera tiene un contrato para entregar el siguiente tonelaje de concentrados de Zinc durante los tres meses siguientes: Mes de Julio-2004, 200

Curso de Actualización en Ingeniería de Minas 2011-II Curso: INVESTIGACION DE OPERACIONES TM; mes de Agosto-2004, 300 TM y mes de Septiembre-2004, 300 TM. Por cada TM de concentrados de Zinc que se produce durante los meses de Julio y Agosto, se incurre en un Costo Variable de 10 dólares; por cada TM de concentrados de Zinc producido durante el mes de Septiembre, se incurre en un Costo Variable de 12 dólares. El Costo de Almacenamiento es 1,50 dólares por cada TM de concentrados de Zinc en Inventario Final de un mes. El Costo de Producción durante un mes es 250 dólares. La TM de concentrados de Zinc que se producen durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno futuro. Suponga que la producción durante cada mes debe ser múltiplo de 100. Dado que el nivel inicial de inventario es cero, utilice programación dinámica para determinar un calendario óptimo de producción. 4) Una compañía minera tiene contrato para entregar Concentrados de Zinc durante los tres meses siguientes: mes 1, 200 TM; mes 2, 300 TM; mes 3, 300 TM. Por cada TM de concentrado de Zinc que se produce durante los meses 1 y 2, se incurre en un costo variable de 10 dólares; por cada TM de concentrado de Zinc producido durante el mes 3, se incurre en un costo variable de 12 dólares. El costo de almacenamiento en el puerto del Callao es 1,50 dólares por cada TM de concentrado de Zinc en inventario final de un mes. El costo de preparar la producción durante un mes es 250 dólares. Las TM de concentrado de Zn producidos durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de ese mes o de alguno futuro. Suponga que la producción durante cada mes debe ser múltiplo de 100. Dado que el nivel inicial de inventario es cero, utilice Programación Dinámica para determinar un calendario óptimo de producción.