Ejercicios Pau Bloque I

I.I. (1989) a) Dada una matriz cuadrada A, definir la matriz TA, traspuesta de A. b) ¿Cuándo diremos que una matriz es simétrica? c) Si A es una matriz cuadrada de orden 4, demostrar que la matriz B = A + TA es una matriz simétrica.

I. Álgebra


I.I. (1989) a) Sabiendo que toda ecuación lineal en x, y, z representa a un plano en el espacio, ¿es posible que dos ecuaciones lineales en x, y, z representen siempre a una recta? ¿Por qué? b) Dados los planos 5x – 2y – 23 = 0, 4x – 2z – 16 = 0 ¿Determinan una recta? ¿Y los planos 4y – 5z + 6 = 0, –10x + 4y + 46 = 0, representan a la misma recta? Justificar las respuestas.


I.I. (1989) Hallar la matriz X tal que:  1 2 4  ⋅ X =  2 5 2

−6   1  16 −32     − 6 13 

• Sol.: b) Si, si

• Sol.: 


I.I. (1989) Enunciar el teorema fundamental de la Programación Lineal. Poner un ejemplo (gráfico o analítico) de un problema de Programación Lineal que alcance solución optima.
I.I. (1989) i) Define determinante de orden 2. ii) Obtén la fórmula de Sarrus para los determinantes de orden 3, desarrollando los elementos de una línea (fila o columna). iii) Calcula los valores de x tales que:  2 1 x   det  0 x 5  = 12  − 2 2 4   • Sol.: c) 3 y –7


I.I. (1989) Resolver gráficamente el siguiente problema de Programación lineal: Max.F(x1, x2) siendo F(x1, x2) = x1 + x2 − x1 + x 2 ≤ 2   x1 + 2 x 2 ≤ 6   2 x1 + x 2 ≤ 6   x1 ≥ 0  x 2 ≥ 0 


I.I. (1990) a) En el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, definir las operaciones suma y producto de matrices. b) Dadas las matrices:  1 2  −3 2  A=  y B=  2 3   2 −1 Calcular: A +B 2 ; ( A − B) ; A −1 ; B −1 2 • Sol.: b)

A +B 2

 −1 =  2

16 2 2    ; ( A − B) =  1 0

0

; A  16 

−1

 −3 =  2

2

;B  −1

−1

1 =  2

2

  3


I.I. (1990) Hallar la ecuación del plano que pase por los puntos (2,1,–3), (1,2,–1) y (0,–1,–1) y calcular los valores del parámetro m para que la recta, definida como intersección de los planos: Π1 ≡ mx − y = −6 + m Π2 ≡ corte el plano anterior en un punto.

x− z = 0 • Sol.: –3x + y – 2z = 0; m ≠ 5

• Sol.: (2, 2)


I.I. (1989) a) Dada la ecuación ax + by + cz = d, donde a, b, c y d son números reales, ¿representa a los puntos de un plano en el espacio? b) Encontrar la ecuación de un plano que pasa por los puntos (0,0,5), (0,3,0) y (–1,2,2). ¿Pertenece el punto P = (1,-2,4) a dicho plano? ¿Y el P = (15,3,–5)?. Justificar las respuestas. • Sol.: b) x + 5y + 3z – 15 = 0. P1 no; P2 sí


I.I. (1989) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a, y resolverlo en el caso de que sea compatible: ax + y − z = 0   x + 3y + z = 0   3 x + 10 y + 4 z = 0  • Sol.: Si a = 1, sistema compatible indeterminado de soluciones: x = 2λ, y = -λ, z = λ (∀λ∈R); si a≠1, sistema compatible determinado: x = y = z = 0


I.I. (1990) Con el fin de conseguir una dieta equilibrada, un especialista en dietética propone como base de la alimentación, la combinación de dos alimentos con las recomendaciones siguientes: - De la mezcla de los dos alimentos no se deben tomar más de 300 g. ni menos de 120. - La cantidad ingerida del primer alimento debe ser al menos doble que la del segundo. - No se debe tomar más de 150 g. del primer alimento. Cada 100 g. del primer alimento contienen 4g. de proteínas y 2g. de materia grasa y cada 100 g. del segundo contienen 3 g. de proteínas y 2 g. de materia grasa. ¿Cuántos g. se deben tomar de cada tipo de alimento para obtener la dieta más rica en proteínas? ¿y la dieta menos rica en materia grasa? • Sol.: Vértices de la región solución: (120, 0), (150, 0), (150, 75) y (80, 100); 150g de A y 75 g de B; múltiples soluciones, por ejemplo 120 g de A y 0 g de B.


I.I. (1990) Basándose en la interpretación geométrica de los sistemas lineales, responder razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Puede un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tener exactamente dos soluciones? b) ¿Puede un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tener exactamente dos soluciones?, ¿y una sola? c)

¿Puede un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas no tener solución?, ¿y una sola? d) ¿Puede un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tener exactamente dos soluciones?, ¿e infinitas? • Sol.: a) No; b) No; c) Si, No; d) No, Sí


I.I. (1990) a) Definir determinante de orden dos. b) Definir el concepto de determinante de orden tres mediante el desarrollo por los elementos de una línea. c) Dada la matriz:  1 2 m   A = 0 3 5    2 4 4  calcular el determinante de A, y las condiciones para que dicha matriz tenga inversa. • Sol.: c) det(A) = –6m + 12; m ≠ 2


I.I. (1990) a) Definir el concepto de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales. Dados dos sistemas con distinto número de ecuaciones, ¿pueden ser equivalentes?, ¿y con distinto número de incógnitas?. Justificar razonadamente las respuestas. b) Averiguar si son equivalentes los siguientes sistemas: x + 2y = 2  x + y + z = 0   ; 3 x + 2 y + 4 z = −2  y − z = 2  x + 2 z = −2  • Sol.: b) Sí lo son


I.I. (1990) Estudiar, según los valores de a, el sistema: x − 2 y + az = a  x + 4 y + a 2 z = 6 + a  x − 8 y + a 2 z = −6  y resolverlo cuando sea posible. • Sol.: Si a = 0, sistema compatible determinado: x = 2, y = 1; si a = 1 sistema incompatible; si a ≠ 1 y a ≠ 0, sistema compatible


I.I. (1990) Una persona puede invertir hasta 1.000.000 de pts.. Su asesor fiscal le sugiere que invierta en dos tipos de acciones A y B. Las acciones A implican algo de riesgo pero tienen un rendimiento anual del 10%, y las acciones B son más seguras pero producen solo el 7% anual. Después de ciertas consideraciones decide invertir como máximo 600.000 pts en la compra de acciones A y por lo menos 200.000 en la compra de acciones B. Por otra parte decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá realizar su inversión para que sus ganancias anuales sean máximas? • Sol.: 6·105 ptas en acciones A y 4·105 en B


I.I. (1991) Pablo dispone de 12.000 pts. para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de los libros es de 400 pts. y el de los discos es de 1.200 pts. Suponiendo que desea comprar como mucho doble número de libros que de discos, se pide: a) Formular el problema y representarlo gráficamente. b) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo, indicar si gasta todo su presupuesto. c) ¿Puede adquirir 15 libros y 5 discos? ¿Cuánto dinero le sobra? Razonar la respuesta.

• Sol.: b) sí, sí; c) no


I.I. (1991) Cierto supermercado hace el mismo pedido a tres proveedores diferentes A, B y C. Dicho pedido contiene ciertas cantidades de arroz, lentejas y garbanzos (expresadas en Tm). Cada uno de los proveedores marca para los distintos productos los precios recogidos en la tabla siguiente (expresados en cientos de miles de pts/Tm):

PROVEEDOR A PROVEEDOR B PROVEEDOR C

ARROZ 1,5 2 2

LENTEJAS 3 3 3

GARBANZOS 4 3,5 4

El pedido que recibe del proveedor A le cuesta 1.600.000 pts, el que recibe del B le cuesta 50.000 pts más que el anterior y el que recibe del C le cuesta 50.000 pts más que este último. a) Formular el problema y determinar la composición del pedido. b) Definir el concepto de sistema lineal compatible. ¿Cuántos tipos de sistemas compatibles se pueden distinguir? c) El sistema resuelto en el apartado a), ¿de qué tipo es?. Razonar la respuesta. d) ¿Cuándo se dice que un sistema lineal es homogéneo? ¿Un sistema homogéneo es siempre compatible? ¿e indeterminado?. Razonar las respuestas. • Sol.: a) 2 Tm de arroz, 3 de lentejas y 1 de garbanzos


I.I. (1991) Sean las matrices:  4 1 2 2 A= y B=    2 1  1 1 a) Calcular el determinante de cada una. ¿A es una matriz regular? ¿lo es B?. ¿Por qué?. Determinar, si es posible, la matriz inversa correspondiente. b) Sea c = 3, obtener la matriz cA. A partir de las propiedades de los determinantes, deducir el determinante de cA. c) Hallar la matriz producto AB. Sin desarrollar su determinante, justificar que esa matriz no tiene inversa. 1 / 2 −1 / 2 9 9 • Sol.: a) det(A) = 2, det(B) = 0, A −1 =   ; b) det(cA) = 18; c) AB =   2   −1 5 5


I.I. (1991) En un taller artesanal de calzado se fabrican un modelo de zapatos y otro de zapatillas. En el taller trabajan dos personas, cada una de las cuales tarda aproximadamente 4 horas en hacer un par de zapatos y 2 horas en hacer un par de zapatillas. Además trabajan cada semana de lunes a viernes con jornada diaria de 8 horas. Por otra parte, para atender adecuadamente al mercado, deben fabricar al menos doble número de pares de zapatos que de zapatillas. a) ¿Cuántas combinaciones de pares de zapatos y zapatillas podrían hacer?. Formular el problema y representarlo gráficamente. Si sólo fabricasen zapatos, ¿cuántos podrían obtener semanalmente? b) Si la ganancia (expresada en miles de pts) que obtiene el taller con cada par de zapatos es 3 y con cada par de zapatillas 1, encontrar gráficamente el número de pares de cada tipo que deberán hacer para alcanzar la mayor ganancia posible. • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (20, 0) y (16, 8); 20 pares; b) 20 pares de zapatos y 0 de zapatillas


I.I. (1991) Un examen consta de tres pruebas. Cada una de ellas se califica con una puntuación de 0 a 10. No obstante, debido a su diferente nivel de dificultad, cada prueba tiene una ponderación distinta a la hora de determinar la calificación global del examen; las pon-

deraciones son: 0,5 para la prueba 1, 0,3 y 0,2 -respectivamente- para las pruebas 2 y 3. La calificación global se calcula multiplicando la puntuación obtenida en cada prueba por la correspondiente ponderación y sumando estos resultados. Tres alumnos han sacado las puntuaciones siguientes: Alumno \ Prueba 1 2 3 Juan 4 5 8 María 4 3 6 Pablo 8 7 9 a) Obtener, utilizando el calculo matricial, la calificación global de estos alumnos. b) Calcular el determinante de la matriz cuadrada utilizada en el apartado a). c) ¿Es dicha matriz regular? ¿Por qué? Sustituir la primera columna de esa matriz por otra de forma que se obtenga una matriz singular. • Sol.: a) Juan: 5.1, María: 4.1 y Pablo: 7.9; b) 32


I.I. (1991) Un granjero se dedica a la cría de pavos. La dieta de un animal debe contener al menos 1.500 calorías y no más de 2.500; asimismo debe contener por lo menos 5 unidades de hierro. Para componer la dieta el granjero puede comprar dos tipos de pienso (A y B), cuyos contenidos en calorías y hierro (por cada 100 gr.) se indican en la tabla siguiente: Fe(un.) calorías pienso A 1 150 pienso B 4 200 Si el precio del kg de pienso A es 100 pts y el del pienso B 200, ¿Qué cantidad debe utilizar de cada pienso con el fin de que la alimentación de los pavos le resulte lo más barata posible?; ¿cuál es su coste?. a) Formular el problema y resolverlo gráficamente. b) ¿El contenido en hierro de la dieta es el mínimo exigido?; ¿y el contenido en calorías es máximo? Razonar las respuestas.

c) Definir el concepto de matriz inversa. ¿Tiene inversa la matriz del apartado a)? ¿Por qué? d) En la matriz del apartado a) sustituir la última fila por otra de manera que la matriz resultante no tenga inversa. • Sol.: a) 6.50 g de grasa, 9.50 de proteínas y 7.50 de vitaminas; b) –3


I.I.(1992) Un almacén distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 250 gr. y su precio es de 100 pts; la marca B lo envasa en cajas de 500 gr. y su precio es de 180 pts; y la marca C lo hace en cajas de 1 kg a un precio de 330 pts. El almacén vende a un cliente 2,5 kg de este producto por un importe de 890 pts: Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, se pide: a) Calcular cuántos envases de cada tipo se han comprado. b) El sistema de ecuaciones resuelto en el apartado a), ¿de qué tipo es? • Sol.: a) 2 de A, 2 de B y 1 de C


I.I. (1992) Dada la matriz: 1  M= 2  m

2 4

−1  m  −1

2 donde m es un parámetro real. a) Determina el rango de M según los distintos valores de m. b) Calcula la matriz inversa de M si m = 3. c) Dar un valor de m para que la matriz M sea singular (no sea inversible).  −1 / 2 0 1/ 2    • Sol.: a) Si m = 1 ó m = –2, rg(M) = 2; si m ≠ 1 y m ≠ –2, rg(M) = 3; b) M−1 = 11 / 20 1 / 10 −1 / 4  ; c) m = 1 ó m = –2   0   −2 / 5 1 / 5

• Sol.: a) 1 kg de pienso A y 0 de B, 100 ptas; b) no, no


I.I. (1991) Sea el sistema: ax − 3 y = 1  − x + (a − 2)y = −1 / 3  donde a es un parámetro real. Se pide: i) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores de a y resolverlo cuando sea posible. ii) Interpretar geométricamente los distintos casos determinados en el apartado i), indicando asimismo el conjunto de soluciones correspondiente. • Sol.: i) Si a = 3 sistema compatible indeterminado: x = λ + 1/3, y = λ (∀λ∈R); si a = –1 sistema incompatible; si a ≠ 3 y –1 sistema compatible determinado: x = 1/(a + 1), y = –1/3(a + 1)


I.I. (1991) Una dieta para criar pollos se obtiene mezclando tres tipos de pienso en las cantidades siguientes: 100 gr. del pienso A, 200 gr. del pienso B y 150 gr. del C. Cada tipo de pienso contiene grasas, proteínas y vitaminas según las proporciones que se indican en la tabla siguiente por cada 100 gr.: Grasas(gr.) Proteínas(gr.) Vitaminas(Unid.) pienso A 1 2 1 pienso B 2 3 1 pienso C 1 1 3 a) Utilizando el calculo matricial, calcular el contenido total de grasas, proteínas y vitaminas que tiene la dieta. b) Calcular el determinante de la matriz cuadrada obtenida en el apartado anterior.


I.I. (1992) Se han comprado tres fincas (A, B y C). La finca B tiene 100 m más de extensión que la finca A, y la extensión de C es igual a la de A y B juntas. El precio pagado por m2 fue de 10000 pts en A, 15000 pts en B y 12000 pts en C, y la compra ha supuesto en total un desembolso de 7600000 pts. a) Calcular la extensión de cada una de las fincas. b) El sistema de ecuaciones resuelto en el apartado a), ¿de qué tipo es?. Obtener la matriz asociada a dicho sistema y proponer un sistema homogéneo que tenga su misma matriz asociada: ¿tiene solución este ultimo sistema?  1 −1 0    • Sol.: a) A: 100 m2, B: 200 y C: 300; b) M =  1 1 −1   10 15 12


I.I. (1992) Una fábrica se dedica a elaborar lápices y bolígrafos. El coste de fabricación de cada lápiz es de 5 pts y el de cada bolígrafo de 8 pts. Además debe fabricar al menos 100 lápices y dispone de un máximo de 900 pts para hacer frente a todo el proceso de fabricación. Los precios de venta son de 25 pts por lápiz y de 33 pts por bolígrafo. a) ¿Puede fabricar 120 lápices y 40 bolígrafos? b) Si sólo fabricase bolígrafos, ¿cuántos podría obtener como máximo? ¿Y si sólo fabricase lápices, cuántos? c) Si el empresario quiere maximizar sus beneficios, esto es, la diferencia entre sus ingresos por ventas y los costes de fabricación, encontrar gráficamente el número de lápices y bolígrafos que debe fabricar. • Sol.: a) no; b) 112 bolígrafos y 180 lápices; c) 180 lápices y 0 bolígrafos


I.I. (1992) Un distribuidor de material escolar ha clasificado 120 lápices en cajas de tres tamaños: 3 de tipo pequeño, 5 mediano y 2 grande. Una vez clasificados han sobrado 6 lápices. Además se sabe que las cajas medianas contienen el doble que las pequeñas y las grandes el triple. Se pide: a) Calcular el número de lápices que contiene cada tipo de caja. b) Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales. ¿A qué tipo pertenece el sistema resuelto en a)? • Sol.: a) Pequeña: 6 lápices, mediana: 12, grande: 18


I.I. (1992) Una empresa elabora tres tipos de productos (A, B y C) combinando madera, plástico y pintura. La composición de una unidad de cada tipo de producto es la siguiente: Producto Madera(gr.) Plástico(gr.) Pintura(gr.) A 150 100 50 B 100 150 25 C 200 80 30 Durante la semana pasada la empresa ha elaborado 3 unidades de producto A, 2 de producto B y 5 de producto C. a) Utilizando el calculo matricial, obtener la cantidad total de madera, plástico y pintura utilizadas. b) Calcular el determinante de la matriz construida en a). ¿Tiene inversa dicha matriz? ¿Por qué? c) En la matriz calculada en a) sustituir la primera columna por otra de forma que la matriz resultante no tenga inversa. • Sol.: a) 1 650 g de madera, 1 000 de plástico y 350 de pintura; b) –525 000


I.I. (1992) Una empresa ha contratado personal de las tres categorías siguientes: especialistas, administrativos y maestros de taller. El número de especialistas contratado es doble que el número de administrativos y maestros de taller juntos. El número total de personas contratadas es 9. El sueldo anual de un especialista es de 1500000, el de un administrativo 2000000, y el de un maestro de taller de 2300000 pts. El coste anual del personal contratado asciende a 15300000 pts. a) Calcular el número de personas contratadas de cada categoría. b) Escribir la matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales resuelto en a). c) ¿A qué tipo de sistemas de ecuaciones pertenece?. ¿Se puede proponer otro sistema que tenga su misma matriz asociada y sea incompatible? Razona la respuesta. d) Proponer un sistema homogéneo que tenga la misma matriz asociada que la del apartado b): ¿tiene solución este último sistema?  1  • Sol.: a) 6 especialistas, 2 administrativos y 1 maestro; b) M* =  1   . 15

−2

−2

1

1

2

2.3

0   9    15.3 


I.I. (1992) Se quiere invertir dinero en dos tipos de acciones (A, B). El precio de una acción A es de 200 pts y el de una tipo B 400 pts. Por otro lado, la ganancia media mensual de una acción tipo A es de 100 pts y la de una tipo B de 150 pts, y se quiere garantizar una ganancia media mensual global de, al menos, 4000 pts. Además se quieren comprar como mínimo 20 acciones de tipo B. a) ¿Se pueden comprar 2 acciones de A y 22 de B? ¿Y 7 acciones de A y 30 de B? b) Si se pretende invertir la menor cantidad posible de dinero, determinar gráficamente cuál es la combinación óptima de acciones que se deben adquirir. • Sol.: a) no, sí; b) 10 acciones de A y 20 de B


I.I. (1992) La granja "Santa Eva" comercializa los productos de su huerta: fresa, melocotón y ciruela. Cada uno de ellos lo envasa como mermelada, en dos versiones: normal y ligera en calorías. El pasado año el número de tarros normales envasados fue 400 de fresa, 300 de melocotón y 250 de ciruela; el número de tarros ligeros fue 250 de fresa, 250 de melocotón y 200 de ciruela. Por otra parte, en cada uno de esos tarros se introduce azúcar y edulcorante en diferentes proporciones para los productos normales y los ligeros; así los normales contienen 100 gr. de azúcar y 20 de edulcorante y los ligeros contienen 25 gr. de azúcar y 150 de edulcorante. a) Representar en una matriz la información sobre el número de tarros envasados de cada tipo y en otra la composición de azúcar y edulcorante de los tarros. Utilizando el calculo matricial determinar: b) la cantidad de azúcar que se necesita para producir toda la mermelada de fresa. c) la cantidad de edulcorante que se usa en la fabricación de toda la mermelada de ciruela. d) Representar en una matriz las cantidades de azúcar y edulcorante que se precisa para obtener las mermeladas (con independencia del tipo: normal o ligero).  400 250  100   25  125    100 20  • Sol.: a)  300 250  y   = +  ; b) 46250 g; c) 35 kg; d)   20  150   350     25 150   250 200 


I.I. (1992) Sea el sistema: 2 x + ay = 4   (a − 1)x + y = 2  donde a es un parámetro real. Se pide: a) Discutir la compatibilidad del sistema según los valores de a y resolverlo cuando sea posible. b) Representar gráficamente los distintos casos examinados en el apartado a), señalando asimismo el conjunto de soluciones correspondientes. • Sol.: a) Si a = 2 sistema compatible indeterminado: x = 2 – λ, y = λ (∀λ∈R); si a = –1 sistema incompatible; si a ≠ 2 y –1 sistema compatible determinado: x = 2/(a + 1) e y = 4/(a + 1)


I.I. (1993) María distribuye su tiempo de ocio entre discoteca y cine. Cada vez que va a la discoteca gasta por término medio 600 ptas., mientras que si va al cine su gasto es de 400 ptas. En cierto mes su presupuesto para ocio asciende a 12000 ptas. y desea ir a la discoteca al menos tantas veces como al cine. a) ¿Cuántas veces puede ir a cada sitio? Plantear el problema algebraicamente y dar su representación gráfica. b) ¿Puede ir 10 veces a cada uno de los sitios? ¿Gasta todo su presupuesto? c) Si decide ir a la discoteca solamente, ¿cuántas veces podrá hacerlo como máximo? d) Si María quiere maximizar el número total de veces que puede acudir a divertirse, determinar gráficamente cuántas veces irá a la discoteca y cuántas al cine. • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (20, 0) y (12, 12); b) si, no; c) 20; d) 12 veces a cada sitio


I.I. (1993) En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 200, 150 y 400 ptas./kg, respectivamente. En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a 570000 ptas. Además se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresar matricialmente el problema. c) ¿Cuántos kg se vendieron de cada tipo? d) Calcular el determinante de la matriz asociada al sistema. e) ¿Qué rango tiene la matriz ampliada? • Sol.: c) 1100 kg de pollo, 1000 de pavo y 500 de perdiz; d) –22; e) 3


I.I. (1993) Sean las matrices siguientes:  2 1  2 6 −1  1 1 −1     A = 1 0 ; B =   : C =  1 a −1 0 4 1       1 1 a 5 0  a) Calcular el producto AxB. b) ¿Se puede obtener la matriz BxA? ¿Por qué? c) Calcular el valor del parámetro a para que se dé la igualdad AxB = C. d) Calcular el determinante de la matriz C. ¿Para qué valores del parámetro a dicha matriz resulta singular, es decir, no admite inversa? Razonar la respuesta. 2 6 

− 1 

 1 5

 0

• Sol.: a)  1 1 − 1 ; b) sí; c) a = 1; d) a = 5 ó 1


I.I. (1993) En una confitería elaboran tres tipos de tarta (A, B y C) cuyos ingredientes básicos son harina, almendras y azúcar. Una tarta de tipo A contiene 100 gr. de harina, 200 gr. de almendra y 100 gr. de azúcar; una de la variedad B contiene 150, 120 y 80 gr. de cada ingrediente respectivamente. Una tarta de tipo C contiene 200 gr. de harina, 150 gr. de almendra y 90 gr. de azúcar. Cierto día se consumieron en la elaboración de las tartas 10 kg de harina, 8.9 kg de almendra y 5.3 kg de azúcar. a) Plantear un sistema para determinar el número de tartas elaboradas. b) Expresar este sistema matricialmente. c) ¿Cuántas tartas se elaboraron ese día de cada variedad. d) ¿Cuándo se dice que un sistema de ecuaciones lineales es incompatible? ¿El sistema planteado es de ese tipo? ¿Por qué? • Sol.: c) 10 tipo A, 20 tipo B y 30 tipo C


I.I. (1994) Un fabricante de coches ha lanzado al mercado tres nuevos modelos (A, B y C). El precio de venta de cada modelo es 1,5; 2 y 3 millones de ptas, respectivamente, ascendiendo el importe total de los coches vendidos durante el primer mes a 250 millones. Por otra parte, los costes de fabricación son de 1 millón por coche para el modelo A, de 1,5 para el modelo B y de 2 para el C. El coste total de fabricación de los coches vendidos en ese mes fue de 175 millones y el número total de coches vendidos 140. a) Plantear un sistema para determinar el número de coches vendidos de cada modelo. b) Resolver el problema. • Sol.: b) 80 del tipo A, 50 del B y 10 del C


I.I. (1994) Diego desea repartir su tiempo de vacaciones entre dos lugares (A y B). El día de estancia en A le cuesta 10000 ptas mientras que en B 20000 ptas. Su presupuesto global para todas las vacaciones son 200000 ptas. y no desea pasar más de 10 días en A. a) ¿Cuántos días puede pasar en cada sitio? Plantear algebraicamente el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si desea disfrutar del mayor número de días de vacaciones posible, ¿cuántos pasará en cada uno de los lugares? ¿Agotará su presupuesto? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (10, 0), (10, 5) y (0, 10); b) 10 en A y 5 en B


I.I. (1994) Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número

igualaría al de hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema. • Sol.: b) 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños


I.I. (1994) Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de ptas. y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 millones. a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos?; ¿cuál es su importe?. • Sol.: a) Vértices de la región solución: (4, 0), (20, 0), (20, 10), (10, 10) y (7/4, 7/4); b) 20 de A y 10 de B; 50 millones ptas.


I.I. (1994) Cierto estudiante obtuvo en un examen que constaba de tres preguntas una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó 2 puntos más que en la primera y 1 punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el problema. • Sol.: b) 1 punto en la 1ª, 3 en la 2ª y 4 en la 3ª


I.I. (1994) Sea A la matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes:  a −2  4 A=  ; B=   a a − 1 4 a) Plantear algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas. b) Discutir su compatibilidad e interpretar los resultados obtenidos. • Sol.: b) Si a = 0 sistema incompatible; si a = –1 sistema compatible indeterminado; en los demás casos sistema compatible determinado


I.I. (1995) Un ama de casa adquirió en el mercado cierta cantidad de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas./kg respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg y además compró 1 kg más de naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema. • Sol.: b) 2 kg de patatas, 3 de manzanas y 4 de naranjas


I.I. (1995) Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 1 millón de ptas y el del modelo de lujo 1,5 disponiendo para esta operación de lanzamiento de un presupuesto de 60 millones. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 45 coches del básico. a) ¿Cuántos coches puede fabricar de cada modelo? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos le interesa si su objetivo es maximizar el número total fabricado?; ¿agota el presupuesto disponible? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (45, 0), (45, 10) y (24, 24); b) 45 del básico y 10 de lujo; si


I.I. (1995) La matriz de coeficientes (A) asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales así como la de sus términos independientes (B) son las siguientes: 1 1 1  12      A =  2 −1 1  ; B =  6       5 1 −2  2 a) Deducir las ecuaciones del sistema indicando las operaciones matriciales hechas. b) Obtener, si es posible, la inversa de las matrices A y B. Razonar las respuestas. • Sol.: b) A

−1

 1 / 17  =  9 / 17    7 / 17

3 / 17 −7 / 17 4 / 17

2 / 17   1 / 17    −3 / 17 

x – 2y + 2z = 5 2x – y + z = 11 a) Obtener su matriz de coeficientes. b) Calcular el determinante de la matriz anterior. c) Sin resolver el sistema, razonar si tendrá una única solución. • Sol.: b) 6


I.I. (1996) Una agencia de viajes realiza a 20 clientes las siguientes ofertas: un viaje a la ciudad A por 50.000 ptas. u otro a la ciudad B por 75.000 (cada cliente podrá elegir, si le interesa, solamente una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita reunir al menos 8 y no más de 12 clientes interesados en el viaje a la ciudad B. a) ¿Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos clientes deberán estar interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos?; ¿a cuánto ascenderán éstos? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 8), (12, 8), (8, 12) y (0, 12); b) 8 en el A y 12 en el B, 1 300 000 ptas.


I.I. (1995) Un agricultor estima que el cuidado de cada m2 plantado de lechugas requiere semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m2 de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras, queriendo plantar al menos 3 m2 más de repollo que de lechuga. El m2 de lechuga le reporta un beneficio de 500 ptas mientras que el de repollo 650, planificando obtener en conjunto al menos 10.000 ptas de beneficio. a) ¿Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado sea mínimo? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (7, 10), (18.5, 21.5), (0, 40) y (0, 200/13); b) 200/13 m2 de repollo y 0 de lechuga


I.I. (1996) En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg de bombones son 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas.: a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. b) Resolver el sistema. • Sol.: b) 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes


I.I. (1996) Cierta persona dispone de 10 millones de ptas. como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B. a) ¿Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B, ¿qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?; ¿a cuánto ascenderá? • Sol.: a) dos cantidades iguales en cada tipo: desde 2 millones a 5; b) 5 millones en cada tipo, 1 050 000 ptas.


I.I. (1996) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x+y+z=6


I.I. (1997) En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El propietario consulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la siguiente información: el número total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio del paquete A 500 ptas. y el importe total de la oferta 440.000 ptas., pero en sus anotaciones no aparece reflejado claramente el precio del paquete B. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar el número de paquetes vendidos de cada marca. Discutir su compatibilidad. b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 ó 408 ptas. ¿Cuántos paquetes se vendieron? • Sol.: a) Sistema compatible si el precio del paquete B no es 500 ptas.; b) 400 ptas.; 400 paquetes de A y 600 de B


I.I. (1997) Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 1.750 y 1.800 ptas., respectivamente, siendo editadas 1.500 copias del disco más caro. Par cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato. a) ¿Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos? ¿Cuál será su importe? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 500), (250, 250), (1500, 1500) y (0, 1500); b) 1500 copias de cada tipo, 5 325 000 ptas.


I.55 (1997) La matriz de coeficientes ampliada asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:  1 1 1 2   A∗ =  2 −1 4 0     −1 1 2 5  a) Obtener las ecuaciones del sistema. b) Calcular la inversa de la matriz formada por los coeficientes del sistema.

c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qué número.  6 / 13 1 / 13 −5 / 13    • Sol.: b) A −1 =  8 / 13 −3 / 13 2 / 13    3 / 13   −1 / 13 2 / 13


I.56 (1997) En una granja dedicada a la cría de cerdos, la dieta alimenticia de los animales consiste en dos tipos de pienso, cuyo precio (ptas./kg) es 100 para el pienso A y 150 para el pienso B. Un animal debe consumir diariamente al menos 2 kg de pienso. Por otra parte, debido a su valor energético, es aconsejable que coma al menos medio kg de la variedad B. Además, el coste de la dieta no puede superar las 300 ptas. por día. a) ¿Qué cantidades de cada tipo de pienso pueden ser utilizadas para componer la dieta? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si se desea que la dieta resulte lo más barata posible, ¿cuáles serán las cantidades adecuadas?; ¿qué coste tiene esa dieta? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (1.5, 0.5), (2.25, 0.5) y (0, 2); b) 1.5 kg de A y 0.5 de B, 225 ptas.


I.57 (1998) Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en 2 unidades al doble de los matriculados en la tercera. (a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. (b) Calcular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. ¿Se puede asegurar que el sistema tiene una única solución? (c) Calcular la inversa, si es posible, de la matriz de coeficientes del sistema. 4/7 

1/ 7

  1/ 7

2/ 7

4/7  

• Sol.: b) 7, Si; c)  2 / 7 − 3 / 7 − 5 / 7   1/ 7 


I.58 (1998) Una confitería es famosa por sus 2 especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 1.200 ptas. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 1.500 ptas. Debido a una mala previsión se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y azúcar, y elaborados ya todos los demás productos que ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas. (a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas? ¿A cuánto asciende dicho ingreso? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 0), (15, 0), (10, 5) y (0, 10); b) 10 de imperial y 5 de lima; 19 500 ptas.


I.59 (1998)  1 a La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es   , y la de a + 1 2 2 los términos independientes es   .  −2 (a) Plantear las ecuaciones del sistema.

(b) Estudiar su compatibilidad en función de los valores de a. ¿En qué casos tiene solución única? (c) Resolverlo si a = 2. • Sol.: b) Si a = –2 sistema compatible indeterminado; si a = 1 sistema incompatible.; si a ≠ 1 y –2 sistema compatible determinado (solución única); c) x = –2; y = 2


I.60 (1998) Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es 760 ptas., y el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere las 94.500 ptas. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unidades. (a) ¿De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo ¿de cuántas unidades de cada tipo ha de constar el pedido? ¿cuál es entonces el coste del pedido? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (40, 80), (100, 50) y (63, 126); b) 40 estrenos y 80 novedades; 60 000 ptas.


I.61 (1999) 1  z   1   x        1 Sean las matrices A =  2x − 1 , B =   , C =  2z  , D =  0  , donde x, y, z son y    1/ 3  − x 1   − z       desconocidos. (a) Calcular las matrices (A x B) + C y 3D. (b) Sabiendo que (A x B) + C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z. (c) Estudiar la compatibilidad del sistema. ¿Cuántas soluciones tiene? (d) Encontrar, si es posible, una solución.  x+y+z   

3  

  −x + y−z

   1

• Sol.: a)  2x − y + 2z  y  0  ; c) infinitas; d) x = 0, y = 2, z = 1


I.62 (1999) Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de ptas. por anuncio, y unas cuñas radiofónicas, con un coste estimado de 100 000 ptas. por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 100 millones de ptas. para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 10 000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en 2 000 copias por cuña radiofónica emitida. (a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias posible? ¿Se llegan a gastar los 100 millones de ptas.? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (0, 50), (95, 50), (90, 100) y (0, 100);b) 100 cuñas y 90 anuncios; Si


I.63 (1999) En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tres estaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 120 ptas./litro y el precio en B de 118 ptas./litro, pero ha olvidado el precio en C (supongamos que son m ptas./litro, con m desconocido). También recuerda que:

•

La suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B superó en 4 680 ptas. al gasto en C. • El número de litros consumidos en B fue el mismo que en C. • El gasto en litros en A superó al de B en 1 260 ptas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera. (b) Estudiar la compatibilidad del sistema en función de m. ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en C? • Sol.: b) Si m ≠ 2 sistema compatible determinado, si m = 2 sistema incompatible ; 2 ptas./litro


I.64 (1999) Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor de una lengua es de 200 000 ptas., y de 300 000 a los que son de más de una lengua. Como poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La política de selección de personal de la compañía obliga también a contratar al menos tantos traductores de una lengua como de más de una. Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 12 millones de pesetas, y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de 400 000 ptas./traductor, y de 800 000 ptas./traductor los de más de una lengua: (a) ¿Cuántos traductores de cada tipo puede contratar? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántos contratará para minimizar el gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales tendrá la empresa en este caso? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (28, 1), (49, 1), (25, 25) y (10, 10);b) 10 de cada tipo; 12 millones ptas.


I.65 (2000) Sea 6 A + 2 I = B una expresión matricial, donde B denota una matriz cuadrada de 6 1   e I la matriz unidad de orden correspondiente. orden 2 x 2, tal que: B =   3 − 1 a) ¿Qué dimensión tiene la matriz A? b) Determine los elementos que integran la matriz A, esto es, a ij ∈ A pxq .

c) Calcule A + 2 I. 2 / 3 1/ 6  8 / 3 1/ 6   ; c)   • Sol.: a) 2x2; b)   1 / 2 − 1 / 2  1/ 2 3 / 2

1   − 1 2 1 −1 x Sean A =   y B =  3 z x + z  dos matrices de orden 2 x 3, en las que x,   y 3 5  z e y denotan valores numéricos desconocidos. a) Determine, razonadamente, los valores de x, y, z ∈ R de manera que A = B. b) ¿Es posible el cálculo de A x B? Razónese la respuesta. • Sol.: a) x = 2, y = 3, z = 3; b) No


I.68 (2000) Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una partida de tela de 5.000 metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela, y uno para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confeccionar al menos el doble de pantalones que de faldas. a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas faldas y pantalones puede ofertar? c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 5.000 pesetas y cada falda a 3.000 pesetas, ¿cuántas faldas y pantalones debe vender para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo que puede obtener? • Sol.: b) Vértices de la región solución: (0, 0), (1 000, 2 000) y (0, 2 500);c) 1 000 faldas y 2 000 pantalones; 13 millones de ptas.


I.69 (2000) propuesto en la PAU de COU Un producto puede ser adquirido mediante tres procedimientos: o bien por compra directa en el establecimiento (a un precio de 1.000 ptas.), o bien por correo mediante un catálogo que se distribuye por los domicilios (a un precio de 1.250 ptas.), o bien por Internet (a un precio de m ptas.). Se sabe además que este mes: • Por la venta del producto se ha obtenido un total de 157.500 ptas. • El número de unidades vendidas por Internet es 5 veces el de unidades vendidas directamente en el establecimiento. • Por las ventas en Internet se obtuvieron 80.000 ptas. más que por las ventas directas en el establecimiento. a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para averiguar el número de unidades del producto que se han vendido este mes por cada procedimiento. b) Basándote en el estudio de la compatibilidad del sistema, ¿es posible que el precio por Internet haya sido 750 ptas.? ¿Y 200 ptas.? c) Resuelve el sistema si m = 1.000 ptas. • Sol.: b) Si, no; c) x = 20, y = 30, z = 100


I.66 (2000) Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, “clásico” (C) y “funcional” (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar? c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación Bo = 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?


I.70 (2000) propuesto en la PAU de COU Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en blanco y negro y en color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: 1 pta. por copia para las de blanco y negro, y 3 ptas. por copia para las de color. Asimismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de 2 ptas. y cada una en color un beneficio de 10. El número de copias en blanco y negro por día es como mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al menos 100 en color. Además, por razones técnicas, no puede incurrir en unos costes mayores de 6.000 ptas. por día. a) ¿Cuántas copias de cada clase se pueden hacer al día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios diarios? ¿Cuál es el máximo beneficio diario?

• Sol.: b) Vértices de la región solución: (0, 0), (5, 0), (4, 3) y (0, 5); c) 4 muebles C y 3 F, 18

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (100, 100), (5 700, 100) y (1 500, 1 500); b) 1 500 de cada tipo, 18 000 ptas.


I.67 (2000)


I.71 (2000) propuesto en la PAU de COU Una empresa manda sus pedidos por correo ordinario o bien utilizando un servicio de mensajeros. Cada paquete enviado por correo ordinario supone un coste a la empresa

de 20 ptas., y el coste de cada paquete enviado por mensajero es una cantidad A que establece el servicio de mensajeros cada mes. Cierto mes el número total de paquetes enviados fue de 1.200 y el coste total de los mismos fue de 33.000 ptas. a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar el número de paquetes enviados por correo ordinario y el número de los enviados por mensajero. b) Estudia su compatibilidad. Si se sabe que el coste por mensajero es superior al coste por correo, ¿el sistema tiene solución única? c) Resuelve el sistema si A = 35 ptas. • Sol.: b) Si A ≠ 20, sistema compatible determinado; si A = 20, sistema incompatible / Si. C) se han enviado 600 paquetes por cada procedimiento.


I.72 (2000) propuesto en la PAU de COU Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este año 2 tipos de modelos. El modelo D–12, cuya venta le proporcionaría unos ingresos de 100 millones de ptas. por unidad, y el C–15, que le proporcionaría 120 millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente como mucho a una producción total de 100 unidades, pero sabe que del modelo D–12 habrá una demanda de al menos 20 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir más unidades del C–15 que del D–12. a) ¿Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los mayores ingresos posibles caso de vender toda la producción? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (20, 0), (100, 0), (50, 50), y (20, 20); b) 50 unidades de cada tipo; 11 000 millones de ptas.


I.73 (2001) Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 ptas. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler. Este mes el número total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en 200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de operaciones de cada tipo realizadas (en función del valor desconocido de la prima de alquiler). (b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan pagado los alquileres. (c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan pagado los alquileres. (d) Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas., ¿cuántas operaciones de cada tipo se realizaron? • Sol.: b) 120 000 ptas./piso. c) Múltiples soluciones, por ej.: 1pta, 2ptas y 3 ptas. d) 1 piso nuevo, 2 pisos usados y 2 alquilados.


I.74 (2001) La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y exterior. El precio que ha de pagar al proveedor de cada planta de interior es de 100 ptas. y de 200 por cada una de exterior. Al día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes que son de 60 ptas. por cada planta de interior y de 80 ptas. por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen las 4.800 ptas. por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 60 ptas. por cada planta de interior que venda y 50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo lo pedido sean de al menos 3.000 ptas.

(a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido: ¿cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir?; ¿cuánto deberá pagar al proveedor?; ¿cuáles serán los costes de transporte? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (25, 30), (40, 30), (20, 45r) y (20, 36); b) 25 de interior y 30 de exterior; 8 500 ptas.; 3 900 ptas.


I.75 (2001)  a 1  1 z        x Sean las matrices: A =  1 a  ; B =   ; C =  1  ; D =  z  .  y  1 0 0 z       (a) Sabiendo que AB = 2C – D, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) donde a es cierto valor desconocido. (b) Si se supiera que el sistema tiene solución ¿podríamos descartar algún valor de a? (c) Si se supiera que el sistema tiene solución única ¿podríamos descartar algún valor de a? (d) ¿Hay algún valor de a para el que el sistema tenga más de una solución? ax + y + z = 2 

• Sol.: a)  x + ay + z = 2 . b) a = 0. c) a = 0 y a = 1. d) a = 1.

 

x+z=0


I.76 (2001) Una gestoría financiera que ofrecía hasta ahora tan sólo préstamos personales pretende añadir a su cartera de productos los préstamos hipotecarios y se ve en la necesidad de rediseñar su política de firmas mensuales en base a los siguientes requerimientos: Debe firmar mensualmente al menos 2 préstamos hipotecarios, pero por las dificultades que genera la introducción de ese producto no puede superar las 8 firmas mensuales de dichos préstamos. Por la misma razón, el número de firmas mensuales de préstamos hipotecarios ha de ser como máximo la mitad de las firmas mensuales de préstamos personales. Por otro lado, los costes de gestión son de 15.000 ptas. para cada firma de préstamo personal y de 30.000 ptas. para cada una de hipotecario, no pudiéndose superar las 600.000 ptas. de gastos mensuales totales de gestión. Si la comisión a percibir por la firma de cada préstamo personal es de 40.000 ptas. y de 100.000 para cada hipotecario, (a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que puede firmar mensualmente cumpliendo los requerimientos de su nueva política de firmas. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Si un mes firma 10 personales y 8 hipotecarios ¿cumple esos requerimientos? (b) Calcula las unidades de cada producto que ha de firmar un mes para maximizar la comisión total y cumplir todos los requerimientos de su política. ¿A cuánto asciende dicha comisión? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (4, 2), (36, 2), (24, 8) y (16, 8); No. b) 24 créditos personales y 8 hipotecarios; 1 760 000 ptas.


I.77 (2002) En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en

ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades de anticaspa y ninguna de los demás. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú. (b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema? (c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2. • Sol.: b) ha de valer 3 €; c) 14 del normal y 8 de vitaminas


I.78 (2002) Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio técnico, tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a los objetivos marcados por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos 20 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo el doble que de empresas. Además, por razones de eficiencia del servicio post-venta, tiene estipulado un límite global de 90 clientes anuales. Finalmente, cada empresa le produce 286 euros de ingresos anuales y cada particular 179 euros. (a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (20, 40), (30, 60) y (20, 70); b) 30 empresas y 60 particulares; 19 320 €


I.79 (2002)  − 1 2 − 1 0  0       Sean las matrices A =  1 1 2  , B =  a  , C =  0  , donde a es desconocido.  3 −3 a  a  0       (a) Sea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B. ¿Puede para algún valor de a no tener solución este sistema? ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única? (b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de los términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga más de una solución y calcula dos de ellas. • Sol.: a) no; si a ≠ 4 ; b) no; a = 4; solución genérica: x = −

5 λ λ; y = − ; z = λ (∀λ ∈ R ) 3 3


I.80 (2002) Un representante comercial del sector de las comunicaciones se plantea maximizar la comisión total que obtenga este mes por la venta de dos productos: teléfono móvil con contrato de alta y teléfono móvil con tarjeta. La comisión es de 15 euros por cada móvil con alta y 10 euros por cada uno con tarjeta. La política comercial de la empresa exige que el número de teléfonos vendidos con alta cada mes no puede ser superior al número de teléfonos vendidos con tarjeta. Así mismo, la venta de cada teléfono lleva asociados unos costes administrativos de 1 euro, y la empresa también obliga a cada representante a que el coste total por ventas no supere los 100 euros al mes. Finalmente, la empresa obtiene unos beneficios de 6 euros por cada venta de teléfono con alta y de 2 euros por cada venta de teléfono con tarjeta, y pide a cada representante que los beneficios totales obtenidos por la venta de teléfonos con alta cada mes supere en al menos 120 euros a los beneficios totales obtenidos por la venta de teléfonos con tarjeta.

(a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que puede vender este mes aunque no maximice la comisión total. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría vender 60 unidades de cada producto? (b) Calcula las unidades de cada producto que ha de vender para maximizar la comisión. ¿A cuánto asciende dicha comisión? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (30, 30), (50, 50) y (40, 60); No. b) 50 de cada tipo; 1250 €


I.81 (2003) Las matrices de coeficientes de un sistema y de términos independientes son, respec1 2 1   1      tivamente: 1 a a  y  1  . 1 4a 1   2a      (a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución? (b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a? ¿Tenía más soluciones el sistema? (c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga una única solución y, para dicho valor, resuélvelo. • Sol.: a) 1; b) 1/2, si; c) por ej. a = 0 ⇒ x = 1, y = 1/2, z = -1
I.82 (2003) Una tienda de moda está preparando su pedido de trajes para la próxima temporada. Para que cierto proveedor le haga unos precios especiales, el pedido debe incluir al menos 10 trajes de fabricación nacional y no sobrepasar los 20 trajes de ese tipo. Además, el número de trajes de fabricación nacional debería ser al menos una tercera parte del número de trajes de importación. Por otro lado, el beneficio que la tienda obtendría por la venta de cada traje de fabricación nacional sería de 120 euros y de 200 euros por la venta de uno de importación, y la tienda quiere que el beneficio total que se pueda alcanzar vendiendo todo el pedido sea como mínimo de 3 600 euros. (a) Se pretende calcular las unidades de cada producto que se pueden pedir al proveedor cumpliendo todos los requerimientos anteriores. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría pedir 12 trajes de fabricación nacional y 45 de importación? (b) Calcula las unidades de cada producto que se han de pedir para minimizar además el número total de trajes pedidos. Con ese pedido ¿qué beneficio obtendría si se venden todas las unidades? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (10, 12), (20, 6), (20, 60) y (10, 30); No. b) 10 de fabricación nacional y 12 de importación, 3 600 €


I.83 (2003) 0   1 1 x 0 1 0          x 0 z  , C =  0 − y − z  , D = 1 , E =  a  . Sean las matrices A =  0 0  , B =   0 y 0    1 1 0 0 1 a 0         (a) Sabiendo que ( AB − C) D = 2E , plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) en función de a. (b) ¿Para algún valor de a el sistema tiene solución única? (c) Para a = 0 encuentra una solución del sistema con z ≠ 0 . y + z = 0  • Sol.: a) y + z = 2a b) No; c) por ejemplo: x = 0, y = -1, z = 1 x + y + z = 2a 


I.84 (2003) Un equipo de fútbol quiere poner a disposición de sus socios al menos 450 plazas entre autobuses y microbuses, con el fin de facilitar los desplazamientos para el próximo

encuentro. El equipo contratará los vehículos con una empresa que le ofrece un máximo de 16 autobuses y de 10 microbuses, y que le exige que el número de microbuses que puede contratar sea al menos un 20% del total de vehículos que contrate. Cada autobús tiene una capacidad de 50 plazas y cada microbús de 25. (a) ¿Qué combinaciones de vehículos de cada tipo se pueden contratar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si quiere contratar el menor número posible de vehículos en total ¿cuántos de cada tipo ha de contratar? ¿Cuál será el número máximo de socios que se podrán desplazar en ese caso?

Una empresa quiere decidir cuántos ordenadores portátiles y cuántos de sobremesa comprará. Dispone de hasta 88.000 euros y ha aceptado la oferta de un proveedor que le exige comprar por lo menos 30 ordenadores y que al menos un 10% de los que compre sean portátiles. Cada ordenador portátil le sale por 2.000 euros y cada uno de sobremesa por 1.000. (a) ¿Qué combinaciones de ordenadores de cada tipo puede comprar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) Si se quiere comprar el mayor número posible de ordenadores, ¿cuántos de cada tipo ha de comprar? ¿Y si lo que se quiere es comprar el menor número posible de portátiles, cuántos de cada tipo tendría que comprar?

• Sol.: a) Vértices de la región solución: (8, 2), (16, 4), (16, 10) y (4, 10); b) 8 autobuses y 2 microbuses; 450 socios

• Sol.: (a) Vértices de la región solución: (3, 27), (30, 0), (44, 0) y (8, 72); (b) 8 port. y 72 de sobr., 3 port. y 27 de sobr.


I.85 (2004) Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0´20 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24 fotografías que le han ocupado un total de 9´2 megabytes de memoria. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema. (b) ¿Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima? (c) La semana pasada también hizo 24 fotos y ocupó 9´2 megabytes de memoria total. ¿Es posible que el número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana? • Sol.: a) Si a ≠ 0.20 sistema compatible determinado, si a = 0.20 sistema incompatible; b) Sí, 0.20 megabytes; c) No


I.86 (2004) El jefe de seguridad de un museo estudia combinar dos nuevos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente se tiene un presupuesto máximo de 36.000 euros, y cada cámara cuesta 1.000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros. (a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas? (b) Si el objetivo es colocar el máximo número de dispositivos entre cámaras y alarmas, ¿cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso, cuál será el coste total? • Sol.: a) Vértices de la región solución: (6, 6), (15, 6), (15, 42) y (6, 60); Si. b) 6 cámaras y 60 alarmas; 36 000 €


I.87 (2004) x 2  5  0   1  , B =   , C =   , D = 10  , E = (3 m) . Sean las matrices A =  0 m y 10 x  m (a) Calcula cada uno de los tres productos AB, DE, EB. (b) Si AB + C = D , plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Es siempre única?  5x + 2y   30 10m   , DE =   , EB = (15 + my ) ; (b) m ≠ 4 , sí • Sol.: (a) AB =  2  my   30m 10m 


I.88 (2004)


I.89 (2005)  x y a y  6 − ay   , B =   , C =   , D =   . Sean las matrices: A =  0 y  1  ay   1− a  (a) Si AB − C = D , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función de a. (b) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución? ¿es siempre única? Encuentra una solución para a = 1 con y ≠ 1 . • Sol.: (a)

ax + ay = 6  ; (b) ∀a ;es única si: a ≠ 1 ; infinitas soluciones, p.e.: x = 0, y = 6. (1 − a) y = 1 − a


I.90 (2005) En la despensa de una cafetería se pueden guardar un máximo de 210 paquetes de café. En estos momentos la despensa está vacía. Se va a añadir una nueva remesa de paquetes, de forma que finalmente en la despensa el número de paquetes de café descafeinado sea al menos un 20% del de paquetes de café normal, y el número de paquetes de café normal sea al menos el doble del de paquetes de café descafeinado. (a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se pueden añadir? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. (b) Calcula los paquetes de cada tipo que hay que añadir para que además la despensa tenga el máximo número posible de paquetes de café descafeinado. ¿Y si lo que queremos es tener el máximo número posible de paquetes de café normal? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (0, 0), (70, 140) y (35, 175); (b) 70 descafeinado y 140 normal; 35 y 175 respectivamente.


I.91 (2005)  x 1  m 0  1  2   , B =   , C =   , D =   , E = (3 2 ) . Sean las matrices A =   − y 0  − m 1  2  3 − 2y  (a) Calcula los productos AB, EA, CE. (b) Si ( AB ) C = D , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿es siempre única? mx = m   mx − m 1  3 2  , EA = (3x − 2y 3) , CE =   ; (b) • Sol.: (a) AB =   , m ≠ 0 y 2 , Si (2 − m) y = 3  − my 0  6 4


I.92 (2005) En una empresa se está discutiendo la composición del comité para negociar los sueldos con la dirección. En el comité habrá sindicalistas e independientes. El número total de miembros no deberá ser inferior a 10 ni superior a 20. Al menos un 40% del comité serán sindicalistas. El número de independientes será como poco una cuarta parte del de sindicalistas.

(a) ¿Qué combinaciones de miembros de cada tipo puede tener el comité? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Puede haber 4 sindicalistas y 16 independientes? (b) Si se quiere que el número de independientes sea el mayor posible, ¿cuál será la composición del comité? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (4, 6), (8, 2) y (16, 4) y (8, 12), No; (b) 8 sindicalistas y 12 independientes.

 1   y − 2  3x  x 1 Sean las matrices A =   , B =  − y  , C =  − m  , D =  4 x  , E = (1 4 ) .        x m (a) Calcula cada uno de los tres productos AB, ED, DE. (b) Si C − 2AB = −D , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿es siempre única?


I.93 (2006) 3  1  1  − y + 2m + 2   . Sean las matrices A =   , B = (x m ) , C =   , D =   , E =   1 5 9  − 2x − my + 5  (a) Si ( AB) ( 2C − D) = E , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x, y) en función de m. (b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? Resuelve el sistema si m = 4. 3 x + y + m − 2 = 0 • Sol.: (a)  ; (b) m ≠ 1; x = −1, y = 1 . 3 x + my + m − 5 = 0


I.94 (2006) En la remodelación de un centro de enseñanza se quiere habilitar un mínimo de 8 nuevas aulas, entre pequeñas (con capacidad para 60 alumnos) y grandes (con capacidad para 120). Como mucho, un 25% de las aulas podrán ser grandes. Además, el centro necesita que se habilite al menos un aula grande, y no más de 15 pequeñas. (a) ¿Qué combinaciones de aulas de cada tipo se pueden habilitar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Cuál es el número mínimo de aulas pequeñas que se pueden habilitar? Si se quiere que la capacidad total conseguida con las aulas habilitadas sea la mayor posible, ¿cuántas tendría que haber de cada tipo? ¿Cuántos alumnos cabrían en total? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (6, 2), (15, 5), (15, 1) y (7, 1); (b) 6 aulas pequeñas; 15 aulas pequeñas y 5 grandes; 1 500 alumnos.

 x−y   3x 12 x  x + 3 y = 2  , (19 x ) y   respectivamente; (b)  • Sol.: (a)  ; m ≠ 3 ; Si.  x − my   4 x 16 x  2x + 2my = m


I.98 (2007) Una empresa está seleccionando empleados con contrato eventual por un año y con contrato fijo. El sueldo anual (en miles de euros) de cada empleado eventual es 8 y de cada empleado fijo 15. La empresa tiene un tope máximo de 480 (miles de euros) para pagar los sueldos anuales de los empleados que contrate. Los empleados fijos han de ser por lo menos 10, y no más de 24. Además, el número de eventuales no puede superar en más de 14 al de fijos. (a) ¿Qué combinaciones de empleados fijos y eventuales se pueden contratar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría contratar a 24 fijos y ningún eventual? (b) Si el objetivo es contratar al mayor número total de empleados, ¿cuántos ha de contratar de cada tipo? ¿Y si el objetivo es contratar el mayor número de eventuales? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (15, 24), (38, 24) y (30, 16); No; (b) 38 eventuales y 24 fijos, en ambos casos.


I.99 (2007) x y  5  0   1  , B =   , C =   , D =   . Sean las matrices: A =   x 2y  m  y − 3 3 (a) Si AB = C + 4D , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x, y) en función de m. (b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única?


I.95 (2006) 1  x+m   my   x  , E =   . Sean las matrices A =   , B = (m 1) , C =   ; D =  1  my + m   2 y + 1  y (a) Si ( AB)C = D − E , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (x, y) en función de m. (b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? mx + my = m • Sol.: (a)  ; (b) ∀m ∈ R , si m ≠ 0 . 3 y = m − 1


I.96 (2006) Una empresa de excavaciones y movimientos de tierras va a realizar un pedido de gasóleo A para sus vehículos de transporte (a un precio de 0´90 euros el litro) y B para la maquinaria (a 0´70 euros el litro). Como poco, se necesitan 1000 litros de gasóleo A, y como mucho 3600 de gasóleo B. En total, entre ambos tipos de gasóleo, no se debe pedir más de 5000 litros. Además, se quiere pedir por lo menos 1000 litros más de gasóleo B que de gasóleo A. (a) ¿Cuántos litros de cada tipo de gasóleo se pueden pedir? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. (b) ¿Cuál es la composición del pedido más barato? ¿Y la del más caro? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (1000, 3000), (1000, 2000), (2000, 3000) y (1400, 3600); (b) Más barato: 1000 l de A y 2000 l de B, más caro: 2000 l de A y 3000 l de B.


I.97 (2007)

• Sol.: (a)

5x + my = 4  ; (b) m ≠ 1 ; Siempre (para cada m ≠ 1 ). 5x + (2m − 1)y = 9


I.100 (2007) Un restaurante quiere adecuar, en parte o en su totalidad, una superficie de 1100 m2 para aparcamiento y área recreativa infantil. La superficie de área recreativa ha de ser de al menos 150 m2. El aparcamiento ha de tener como poco 300 m2 más que el área recreativa, y como mucho 700 m2 más que la misma. El aparcamiento le cuesta 15 euros por m2, y el área recreativa 45 euros por m2. (a) ¿Qué combinaciones de m2 dedicados a cada tipo de servicio se pueden adecuar? Plantea el problema y representa gráficamente las soluciones. (b) ¿Cuál es la combinación más cara? ¿Coincide con la que dedica más espacio al aparcamiento? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (700, 400), (450, 150), (850, 150) y (900, 200); (b) La de 700 m2 de aparcamiento y 400 m2 de área infantil; No.


I.101 (2008)  2  2 Calcula los productos: (1 3 ) ·   , y el   · (1 3 ) . 5 5 (b) Estudia para qué valores de m, el sistema, con incógnitas representadas por x e y, dado por:

(a)

mx − m − 2 = 0   mx + (m − 1)y − 2m − 1 = 0 tiene solución, y cuando es única. Encuentra dos soluciones para m = 1. • Sol.: (a) ; (b).


I.102 (2008) Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de una ciudad, se quiere colocar al menos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20% de las piezas que se coloquen sean jardineras. (a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. (b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (); (b) La de; .


I.103 (2008) Una empresa ofrece cierto producto a minoristas (a un precio de 400 euros por unidad) y mayoristas (a un precio por unidad desconocido, y que puedes llamar m). Con las ventas de este mes se han obtenido en total 270.000 euros. Por otra parte, la cantidad obtenida con las ventas a minoristas es la misma que la que se habría obtenido vendiendo 480 unidades del producto a los mayoristas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas (x, y) sean el número de unidades vendidas a cada tipo de cliente. Basándote sólo en un estudio de la compatibilidad del sistema ¿es posible que el precio para los mayoristas sea de 562´5 euros por unidad? (b) Resuelve el sistema para m = 562´5. En base a esto, si se vendió alguna unidad a los mayoristas ¿es posible que fuera a un precio de 562´5 euros? • Sol.: (a) ; (b).


I.104 (2008) Una promotora pretende diseñar una urbanización con a lo sumo 15 edificaciones, entre chalets y bloques de pisos. Los bloques de pisos no deberían ser más de un 40% de las edificaciones que se construyan. La urbanización tendría como mucho 12 chalets y como poco 2 bloques de pisos. (a) ¿Qué combinaciones de cada tipo de vivienda son posibles? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría construir 10 chalets y 4 bloques de pisos? (b) ¿Qué combinación hace mayor la diferencia entre el número de chalets y de bloques de pisos? • Sol.: (a) Vértices de la región solución: (, ),; (b) La de.