Ejercicios Organizados Con Sus Graficas Jesus Acevedo.docx

SISTEMA Y SEÑALES FASE 1

ENTREGADO POR: JESÚS ALBERTO ACEVEDO GÓMEZ GRUPO: 203042_4

ENTREGADO A: Tutor: FREDDY VALDERRAMA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCIÓN

Desde sus inicios, la sociedad humana ha usado diversas maneras o procedimientos para lograr comunicarse entre sí; y para esto ha hecho uso de elementos, materiales y/o herramientas, que generan fenómenos físicos los cuales son percibidos e interpretados por los sentidos en forma de mensajes. Este tipo de fenómenos es lo que comúnmente se denominanseñales. Hoy en día, con sofisticados dispositivos electrónicos y algoritmos de codificación avanzados, se ha conseguido transformar las innumerables formas de onda obtenidas del mundo físico a formas de onda que contienen informació

1.1. Ejercicio 1- operaciones básicas en señales continuas (Desplazamiento, reflexión y amplificación): estudiando en el libro de (Ambardar), para la señal x(t) de la figura 1, obtenga las siguientes señales de forma gráfica (teórica), y posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica): a. 𝑦(𝑡) = −𝑎𝑥(𝑡 + 𝑎)

(ìtem grupal)

b. 𝑠(𝑡) = 𝑥(−𝑏𝑡 − 5)

𝑚=

2−0 2 = =2 −1 − (−2) −1 + 2 𝑦 − (𝑎) = 2(𝑥 − 2) 𝑦 = 2𝑥 − 4 Solución del grafico

𝑥(𝑡) = 2𝑡 − 4 ; 𝑥(𝑡) = 2 ; 𝑥(𝑡) = −1 𝑦(𝑡) = −𝑎𝑡𝑥 − 𝑎2 𝑥 = 𝑥(−𝑎𝑡 − 𝑎2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑦(0) = −𝑎2 𝑥 𝑠(𝑡) = −𝑏𝑥𝑡 = 5𝑥

𝑡 = −2

𝑠(−2) = −𝑏𝑥(−2) − 5𝑥 𝑠(−2) = 2𝑏𝑥 − 5𝑥

𝑡=1 𝑡=2

𝑠(1) = 𝑥(2𝑏 − 5)

𝑠(1) = −𝑏𝑥(1) − 5𝑥 𝑠(1) = −𝑏𝑥 − 5𝑥 𝑠(𝑥) = 𝑥(−𝑏 − 5)

Practico a. 𝑦(𝑡) = −7𝑥(𝑡 + 7) Primero se hace el desplazamiento de la señal. 𝑡 = [−2, −1, 0, 1, 2] 𝑡1 = 𝑡 + 7 = [(−2 − 7), (−1 − 7), (0 − 7), (1 − 7), (2 − 7)] 𝑡1 = [−9, −8, −7, −6, −5]

Ahora se hace la reflexión de la amplitud. 𝑥 = [0,2, −1, 0] −𝑥 = −[0, 2, −1, 0] = [0, −2, 1, 0]

Por último, el escalamiento en amplitud. −𝑥 = [0, −2, 1, 0] (7)(−𝑥) = [0, −14, 7, 0] Y tenemos entonces 𝑦(𝑡) = −7𝑥(𝑡 + 7)

Análisis atraves de octaves %Grafica x(t) – jesus acevedo clc; clear; t=[-2,-1,0,1,1,2,2]; x=[0,2,2,2,-1,-1,0]; subplot(4,1,1) plot(t,x,'c') grid title('Señal Continua x(t) – jesus acevedo ') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-10,3]) ylim([-3,3]) %Desplazamiento - y(t)=x(t+a) %a=7 - último digito del grupo al que pertenezco t1=t-7; subplot(4,1,2) plot(t1,x,'r')

grid title('Señal Continua y(t)=x(t+7) – jesus acevedo ) xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-10,3]) ylim([-3,3]) %Reflexión en amplitud - y(t)=-x(t+a) x1=-x; subplot(4,1,3) plot(t1,x1,'g') grid title('Señal Continua y(t)=-x(t+7) – jesus acevedo ) xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-10,3]) ylim([-3,3]) %Escalamiento en amplitud - y(t)=-ax(t+a) %a=7 - último digito del grupo al que pertenezco x2=x1*7; subplot(4,1,4) plot(t1,x2,'b') grid title('Señal Continua y(t)=-7x(t+7) – jesus acevedo ) xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-10,3]) ylim([-20,10])

𝑏. 𝑠(𝑡) = 𝑥(−𝑏𝑡 − 5) b. 𝑠(𝑡) = 𝑥(−𝑏𝑡 − 5) Primero se hace el desplazamiento de la señal. 𝑡 = [−2, −1, 0, 1, 2] 𝑡1 = 𝑡 + 5 = [(−2 + 5), (−1 + 5), (0 + 5), (1 + 5), (2 + 5)] 𝑡1 = [3, 4, 5,6, 7]

Ahora se hace la reflexión en el tiempo. 𝑡1 = [3, 4, 5,6, 7] −𝑡1 = −[3, 4, 5,6, 7] = [−7, −6, −5, −4, −3]

Por último, el escalamiento en el tiempo. −𝑡1 = [−7, −6, −5, −4, −3] 1 7 5 4 ( ) (−𝑡1) = [− , −2, − , − , −1 ] 3 3 3 3 Y tenemos entonces 𝑠(𝑡) = 𝑥(−3𝑡 − 5)

Simulación %Grafica x(t) - jesus acevedo clc; clear; t=[-2,-1,0,1,1,2,2,]; x=[0,2,2,2,-1,-1,0]; subplot(4,1,1) plot(t,x,'c') grid title('Señal Continua x(t) - jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-8,8]) ylim([-3,3]) %Desplazamiento - s(t)=x(t-5) t1=t+5; subplot(4,1,2) plot(t1,x,'r') grid title('Señal Continua s(t)= x(t-5) - jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-8,8]) ylim([-3,3]) %Reflexion - s(t)=x(-t) t2=-t1; subplot(4,1,3) plot(t2,x,'m') grid title('Señal Continua s(t)= x(-t-5) - jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-8,8])

ylim([-3,3]) %Escalamiento - s(t)=x(bt) %b=3 - último digito del código estudiantil t3=t2/8; subplot(4,1,4) plot(t3,x,'b') grid title('Señal Continua s(t)= x(-3t-5) – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-8,8]) ylim([-3,3])

1.2. Ejercicio 2 - operaciones básicas en señales discretas (Desplazamiento, reflexión y amplificación): estudiando en el libro de (Ambardar), sea 𝑥[𝑛] = {−2,3, 4̌, 3, −4,2} , dibuje las siguientes señales y determine su energía. Posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab u Octave y anexando el resultado junto con el script (práctica)::

a. 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛 − 𝑎] (ìtem grupal) b. 𝑧[𝑛] = −𝑥[−2𝑛 + 𝑏] 𝑛

c. 𝑤[𝑛] = 𝑏. 𝑥 [ 4 − 𝑏] 𝑦(𝑛)

𝑧(𝑛) b

a

-a

n

n

2

-4

𝑦|𝑛| = 𝑥[−𝑛 − 𝑎]

𝑧(𝑛) = −𝑥[−2𝑛 + 𝑏]

𝑤(𝑛)

1 2 b

1

n

𝑛 𝑤(𝑛) = 𝑏𝑥 [ − 𝑏] 4

Practico Se gráfica la señal 𝑥[𝑛] = {−2,3, 4̌, 3, −4,2}

i. 𝑦[𝑛] = 𝑥[−𝑛 − 𝑎] (ítem grupal – a = 7). Primero se hace el desplazamiento de la señal. 𝑛 = [−2, −1, 0, 1, 2, 3] 𝑛1 = 𝑛 + 7 = [(−2 + 7), (−1 + 7), (0 + 7), (1 + 7), (2 + 7), (3 + 5)] 𝑛1 = [5, 6, 7, 8, 9, 10]

Ahora se hace la reflexión en el tiempo. 𝑛1 = [5, 6, 7, 8, 9, 10] −𝑛1 = −[5, 6, 7, 8, 9, 10] = [−10, −9, −8 − 7, −6, −5]

Energía de la señal. ∞

𝐸 = ∑ |𝑦[𝑛]|2 = (2)2 + (−4)2 + (3)2 + (4)2 + (3)2 + (−2)2 𝑛=−∞

𝐸 = 4 + 16 + 9 + 16 + 9 + 4 = 𝟓𝟖𝑱 %Grafica x(t) – jesus acevedo clc; clear; n=[-2,-1,0,1,2,3]; Xn=[-2,3,4,3,-4,2]; subplot(3,1,1) stem(n,Xn,'c') grid title('Señal Discreta x[n] – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-11,11])

%Desplazamiento - y[n]=x[n-a] %a=7 - último digito del grupo al que pertenezco n1=n+7; subplot(3,1,2) stem(n1,Xn,'r') grid title('Señal Discreta y[n]=x[n-7] – jesus acevedo ') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-11,11])

%Reflexión en el tiempo - y[n]=x[-n-a] n2=-n1; subplot(3,1,3) stem(n2,Xn,'g') grid

title('Señal Discreta y[n]=x[-n-7] – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-11,11])

Ejercicio 2 i. 𝑧[𝑛] = −𝑥[−2𝑛 + 𝑏] (b = 3) Primero se hace el desplazamiento de la señal. 𝑛 = [−2, −1, 0, 1, 2, 3] 𝑛1 = 𝑛 − 3 = [(−2 − 3), (−1 − 3), (0 − 3), (1 − 3), (2 − 3), (3 − 3)] 𝑛1 = [−5, −4, −3, −2, −1, 0]

Ahora se hace la reflexión en el tiempo. 𝑛1 = [−5, −4, −3, −2, −1, 0] −𝑛1 = −[−5, −4, −3, −2, −1, 0] = [0, 1, 2, 3, 4, 5]

Ahora el escalamiento en el tiempo. −𝑛1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5] 1 ( ) (−𝑛1) = [0, 1, 2] 2

Por último, reflexión en amplitud. 𝑥 = [2̌, 3, 3] ̌ , −3, −3] −𝑥 = [−2 Y tenemos entonces 𝑧[𝑛] = −𝑥[−2𝑛 + 3]

Energía de la señal. ∞

𝐸 = ∑ |𝑧[𝑛]|2 = (−2)2 + (−3)2 + (−3)2 𝑛=−∞

𝐸 = 4 + 9 + 9 = 𝟐𝟐𝑱

Ejercicio 3

𝑛 4

i. 𝑤[𝑛] = 𝑏. 𝑥 [ − 𝑏] (b = 3) Primero se hace el desplazamiento de la señal. 𝑛 = [−2, −1, 0, 1, 2, 3] 𝑛1 = 𝑛 + 3 = [(−2 + 3), (−1 + 3), (0 + 3), (1 + 3), (2 + 3), (3 + 3)] 𝑛1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

Ahora el escalamiento en el tiempo. 𝑛1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6] 4 ∗ 𝑛1 = [4, 8, 12, 16, 20, 24]

Por último, escalamiento en amplitud. 𝑥 = [−2, 3, 4̌, 3, −4, 2] ̌ , 9, −12, 6] 3 ∗ 𝑥 = [−6, 9, 12 𝑛

Y tenemos entonces 𝑤[𝑛] = 3𝑥 [4 − 3]

Energía de la señal. ∞

𝐸 = ∑ |𝑤[𝑛]|2 = (−6)2 + (9)2 + (12)2 + (9)2 + (−12)2 + (6)2 𝑛=−∞

𝐸 = 36 + 81 + 144 + 81 + 144 + 36 = 𝟓𝟐𝟐𝑱 %Grafica x(t) – jesus acevedo clc; clear; n=[-2,-1,0,1,2,3]; Xn=[-2,3,4,3,-4,2]; subplot(4,1,1) stem(n,Xn,'c') grid title('Señal Discreta x[n] – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-3,25])

%Desplazamiento - w[n]=x[n-b] %b=3 - último digito del código estudiantil

n1=n+8; subplot(4,1,2) stem(n1,Xn,'r') grid title('Señal Discreta w[n]=x[n-3] – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-3,25]) %Escalamiento en el tiempo - w[n]=x[(n/4)-b] n2=n1*4; subplot(4,1,3) stem(n2,Xn,'m') grid title('Señal Discreta w[n]=x[(n/4)-3]) – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-3,25]) %Escalamiento en amplitud - w[n]=bx[(n/4)-b] Xn1=Xn*3; subplot(4,1,4) stem(n2,Xn1,'b') grid title('Señal Discreta w[n]=3x[(n/4)-3] – jesus acevedo') xlabel('Tiempo') ylabel('Amplitud') xlim([-3,25]) ylim([-15,15])

2.3. Ejercicio 3 - Respuesta al impulso de los sistemas LTI:

a. Usando como guía los ejemplos 4.9 de las páginas 83 del libro guía Ambardar y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al impulso del siguiente sistema:

𝑦̈ (𝑡) + 6𝑦̇ (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏 = 5 𝑦̈ (𝑡) + 6𝑦̇ (𝑡) + 5𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝑚2 + 6𝑚 + 5 = 0 (𝑚 + 5)(𝑚 + 1) = 0 𝑚 = 1 𝑦 𝑚 = −5 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 => ℎ(𝑡) = 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 𝑐2 𝑒 −5𝑡 => ℎ(0) = 𝑐1 + 𝑐2

𝑐𝑜𝑛

(1)

ℎ(𝑡) = 0

ℎ´(𝑡) = −𝑐1 𝑒 −𝑡 − 5𝑐2 𝑒 −5𝑡 ℎ´(𝑡) = −𝑐1 − 5𝑐2 = 1

ℎ´(0) = 1 (2)

𝑐1 +𝑐2 =0 −𝑐1 −5𝑐2 =1 4𝑐2 =1

1 4 1 𝑐1 = 4

𝑐1 =

1 1 ℎ(𝑡) = (− 𝑒 −𝑡 + 𝑒 −5𝑡 ) 𝑢. (𝑡) 4 4 ℎ(𝑡) = 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 𝑐2 𝑒 −5𝑡 ℎ´(𝑡) = −𝑐1 𝑒 −𝑡 + 5𝑐2 𝑒 −5𝑡 ℎ´(𝑡) = 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 25𝑐2 𝑒 −5𝑡 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 25𝑐2 𝑒 −5𝑡 + 6(−𝑐1 𝑒 −𝑡 − 5𝑐2 𝑒 −5𝑡 ) + 5(𝑐1 𝑒 −𝑡 + 𝑐2 𝑒 −5𝑡 ) = 𝑐1 𝑒 −𝑡 + 25𝑐2 𝑒 −5𝑡 − 6𝑐1 𝑒 −𝑡 − 30𝑐2 𝑒 −5𝑡 + 5𝑐1 𝑒 −𝑡 + 5𝑐2 𝑒 −5𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡) = 0