Ejercicios Nivelacion Noveno.docx

III PERIODO: 1) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas a. 6𝑥 2 + 𝑥 − 15 = 0 𝑎 = 6; 𝑏 = 1; 𝑐 = −15 Utilizamos la formula cuadrática −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 Reemplazamos 𝑥=

−1 ± √12 − 4(6)(−15) 2(6)

𝑥=

−1 ± √1 + 360 12

𝑥=

−1 ± √361 12

𝑥=

−1 ± 19 12

𝑥=

−1 + 19 18 3 = = 12 12 2

𝑥=

−1 − 19 20 5 =− =− 12 12 3

b. 5𝑥 2 − 7𝑥 + 8 = 0 𝑎 = 5; 𝑏 = −7; 𝑐 = 8 Utilizamos la formula cuadrática 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazamos 𝑥=

−7 ± √(−7)2 − 4(5)(8) 2(5)

𝑥=

−7 ± √49 − 160 10

𝑥=

−7 ± √−111 10

Como el radical es negativo las soluciónes son imaginarias 𝑥=

1 (7 − 𝑖√111) 10

𝑥=

1 (7 + 𝑖√111) 10

c. 36𝑥 2 + 12𝑥 + 1 = 0 𝑎 = 36; 𝑏 = 12; 𝑐 = 1 Utilizamos la formula cuadrática

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazamos −12 ± √122 − 4(36)(1) 𝑥= 2(36)

𝑥=

−12 ± √144 − 144 72

𝑥=

−12 ± √0 72

𝑥=−

12 1 = − = −0.17 72 6

d. 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 0 𝑎 = 1; 𝑏 = −10; 𝑐 = 25 Utilizamos la formula cuadrática

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Reemplazamos 𝑥=

10 ± √(−10)2 − 4(1)(25) 2(1)

𝑥=

10 ± √100 − 100 2

𝑥=

10 ± √0 2

𝑥=

10 =5 2

2) De cuatro ejemplos de variables bidimensioales

3) Racionaliza las siguientes expresiones algebraicas a.

4𝑥 3

√5𝑥

4𝑥 1

(5𝑥)3 1

1

1

Factorizar (5𝑥)3 = 53 𝑥 3 =

4𝑥 1 1

53 𝑥 3 4𝑥

Cancelando

1 1

53 𝑥 3

2

=

4𝑥 3 1

53 b. √𝑥 − √𝑥 − 1 ÷ (√𝑥 + √𝑥 − 1) Se multiplica por el conjugado

√𝑥−√𝑥−1 (√𝑥−√𝑥−1)

(√𝑥 − √𝑥 − 1) (√𝑥 − √𝑥 − 1) ∗ (√𝑥 + √𝑥 − 1) (√𝑥 − √𝑥 − 1) (√𝑥 − √𝑥 − 1)(√𝑥 − √𝑥 − 1) = (√𝑥 − √𝑥 − 1) (√𝑥 + √𝑥 − 1)(√𝑥 − √𝑥 − 1) = 1

(√𝑥 − √𝑥 − 1) 1

2

Aplicando la regla = (√𝑥 − √𝑥 − 1)

c.

√7+3√11 5√7+4√11

2

𝑎 1

=𝑎

2

Se multiplica por el conjugado

.

5√7−4√11 5√7−4√11

(√7 + 3√11)(5√7 − 4√11) (5√7 + 4√11)(5√7 − 4√11) (√7 + 3√11)(5√7 − 4√11) = 11√77 − 97 (5√7 + 4√11)(5√7 − 4√11) = −1 =

11√77 − 97 −1

Aplicar las propiedades de las fracciones =

−𝑎 𝑎 = −𝑏 𝑏

= 11√77 − 97 = −(97 − 11√77) =

97 − 11√77 1

Aplicando la regla

𝑎 1

=𝑎

= 97 − 11√77 4) Extraer la raíz de los siguientes radicales. 𝟑

𝟒 a. √ √𝟐𝟕𝒂𝟑

𝑛

𝑚 = √ √𝑎 =

=

𝑛∗𝑚

√𝑎

3∗4

√27𝑎3

12

= √27𝑎3

6

b. (4√9𝑎3 𝑏 4 )

3

Para introducir un factor en un radical tenemos que multiplicar el exponente del factor que está fuera por el índice del radical. 3

6

( √46 ∗ 9𝑎3 𝑏 4 )

3

6

( √4096 ∗ 9𝑎3 𝑏 4 ) 3

6

( √36864𝑎3 𝑏 4 )

Una raíz elevada a un exponente, es equivalente a que ese exponente estuviera dentro de la raíz elevando al radicando:

𝑛

( √𝑎 )

𝑚

𝑛

= √𝑎𝑚

𝑛

= √𝑎𝑚 3

6

( √36864𝑎3 𝑏 4 ) 6

= √(36864𝑎3 𝑏 4 )3 5) Realiza la operación indicada y expresa la respuesta con signo radical a. 72 ∗ 71/3 ∗ 7−1/3 ∗ 73/2 Se ponen la misma base y se suman o se restan los exponentes = 7(2+1/3−1/3+3/2) = 77/2 = 343√7

b. 𝑛2/3 ÷ 𝑛3/5 =

𝑛2/3 𝑛3/5

= 𝑛(2/3−3/5) = 𝑛1/15

15

= √𝑛

IV PERIODO: 1) Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el método de completacion de cuadrados a) 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 Primero, como el cociente de 𝑥 2 es mayor que 1, dividimos la ecuación por esta cantidad (4) y transponemos el término independiente; 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = 0 4 4𝑥 2 4𝑥 1 0 − + = 4 4 4 4

𝑥2 − 𝑥 = −

1 4

Agregamos el término a ambos lados de la igualdad para formar el trinomio cuadrado perfecto (recuerda que es el cuadrado de la mitad del cociente de x); 1 2 1 2 1 𝑥 −𝑥+( ) =( ) − 2 2 4 2

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto; 1 2 1 1 (𝑥 − ) = − 2 4 4 Extraemos la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad para quitar el cuadrado y resolvemos;

1 2 1 1 √(𝑥 − ) = √ − 2 4 4 𝑥−

1 =0 2

𝑥=

1 2

1

Respuesta: Las raíces de la ecuación 𝑥 = 2

b) 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 36𝑥 2 + 12𝑥 + 1 = 0 36 36𝑥 2 12𝑥 1 0 + + = 36 36 36 36 1 1 𝑥2 + 𝑥 = − 3 36

Agregamos el término a ambos lados de la igualdad para formar el trinomio cuadrado perfecto (recuerda que es el cuadrado de la mitad del cociente de x); 1 1 2 1 2 1 𝑥2 + 𝑥 + ( ) = ( ) − 3 6 6 36 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto; 1 2 1 1 (𝑥 + ) = − 6 36 36 Extraemos la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad para quitar el cuadrado y resolvemos; 1 2 1 1 √(𝑥 + ) = √ − 6 36 36 𝑥+

1 =0 6

𝑥=−

1 6 1

Respuesta: Las raíces de la ecuación 𝑥 = − 6

c) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟖 = 𝟎 5𝑥 2 − 7𝑥 + 8 = 0 5 5𝑥 2 7𝑥 8 0 − + = 5 5 5 5 7 8 𝑥2 − 𝑥 = − 5 5 Agregamos el término a ambos lados de la igualdad para formar el trinomio cuadrado perfecto (recuerda que es el cuadrado de la mitad del cociente de x); 7 7 2 7 2 8 𝑥2 − 𝑥 + ( ) = ( ) − 5 10 10 5 Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto; (𝑥 −

7 2 49 8 ) = − 10 100 5

Extraemos la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad para quitar el cuadrado y resolvemos;

√(𝑥 −

7 2 49 8 ) = ±√ − 10 100 5

𝑥−

7 111 = ±√ − 10 100

𝑥=

1 (7 − 𝑖√111) 10

𝑥=

1 (7 + 𝑖√111) 10

Respuesta: Las raíces de la ecuación son imaginarias

2) Resolver las ecuaciones irracionales y verificar sus raices

𝒂) √𝟑𝒙 + 𝟏 + √𝟓𝒙 = √𝟏𝟔𝒙 + 𝟏 Elevar al cuadrado ambos lados 2

(√3𝑥 + 1 + √5𝑥) = (√16𝑥 + 1 )

2

Desarrollar 2

(√3𝑥 + 1 + √5𝑥) = 8𝑥 + 2√3𝑥 + 1√5𝑥 + 1 Desarrollar 2

(√16𝑥 + 1 ) = 16𝑥 + 1

8𝑥 + 2√3𝑥 + 1√5𝑥 + 1 = 16𝑥 + 1

Restar 8x+1 de ambos lados 8𝑥 + 2√3𝑥 + 1√5𝑥 + 1 − (8𝑥 + 1) = 16𝑥 + 1 − (8𝑥 + 1) 2√3𝑥 + 1√5𝑥 = 8𝑥 Elevar al cuadrado ambos lados 2

(2√3𝑥 + 1√5𝑥) = (8𝑥)2 Desarrollar 2

(2√3𝑥 + 1√5𝑥) = 60𝑥 2 + 20𝑥 Desarrollar (8𝑥)2 = 64𝑥 2 60𝑥 2 + 20𝑥 = 64𝑥 2 Resolviendo 𝑥=0 𝑦 𝑥=5

𝒃) √𝒙 + 𝟑 +

𝟔 √𝒙 + 𝟑

=𝟓

Multiplicando ambos lados por √𝑥 + 3 √𝑥 + 3 +

6 √𝑥 + 3

(√𝑥 + 3) = 5(√𝑥 + 3)

2

(√𝑥 + 3) + 6 = 5√𝑥 + 3 Restar 5√𝑥 + 3 de ambos lados

2

(√𝑥 + 3) + 6 − 5√𝑥 + 3 = 5√𝑥 + 3 − 5√𝑥 + 3 2

(√𝑥 + 3) + 6 − 5√𝑥 + 3 = 0

Factorizar 2

(√𝑥 + 3) + 6 − 5√𝑥 + 3 = (√𝑥 + 3 − 2)(√𝑥 + 3 − 3) (√𝑥 + 3 − 2)(√𝑥 + 3 − 3) = 0 Utilizar el principio de la multiplicación por cero Resolver √𝑥 + 3 − 2 = 0 ; 𝑥 = 1 Resolver √𝑥 + 3 − 3 = 0; 𝑥 = 6

𝑥=1 𝑦 𝑥=6

𝒄) 𝟐√𝒙 = √𝒙 + 𝟕 +

𝟖 √𝒙 + 𝟕

Multiplicando ambos lados por √𝑥 + 7 2√𝑥(√𝑥 + 7) = √𝑥 + 7 (√𝑥 + 7) +

8 √𝑥 + 7

2

2√𝑥(√𝑥 + 7) = (√𝑥 + 7) + 8 Desarrollar 2

(√𝑥 + 7) + 8 = 𝑥 + 15 2√𝑥(√𝑥 + 7) = 𝑥 + 15 Elevar al cuadrado ambos lados 2

(2√𝑥(√𝑥 + 7)) = (𝑥 + 15)2

(√𝑥 + 7)

Desarrollar 2

(2√𝑥(√𝑥 + 7)) = 4𝑥 2 + 28𝑥

Desarrollar (𝑥 + 15)2 = 𝑥 2 + 30𝑥 + 225 4𝑥 2 + 28𝑥 = 𝑥 2 + 30𝑥 + 225 Resolviendo 𝑥=−

25 ;𝑥 = 9 3

Solución 𝑥=9

𝒅) √𝟔 − 𝒙 + √𝒙 + 𝟕 − √𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎

Sumar √12𝑥 + 1 a ambos lados √6 − 𝑥 + √𝑥 + 7 − √12𝑥 + 1 + √12𝑥 + 1 = 0 + √12𝑥 + 1 √6 − 𝑥 + √𝑥 + 7 = √12𝑥 + 1 Elevar al cuadrado ambos lados 2

(√6 − 𝑥 + √𝑥 + 7) = (√12𝑥 + 1)

2

Desarrollar 2

(√6 − 𝑥 + √𝑥 + 7) = 2√6 − 𝑥√𝑥 + 7 + 13

Desarrollar 2

(√12𝑥 + 1) = 12𝑥 + 1 2√6 − 𝑥√𝑥 + 7 + 13 = 12𝑥 + 1 Restar 13 de ambos lados

2√6 − 𝑥√𝑥 + 7 + 13 − 13 = 12𝑥 + 1 − 13

2√6 − 𝑥√𝑥 + 7 = 12𝑥 − 12 Elevar al cuadrado ambos lados 2

(2√6 − 𝑥√𝑥 + 7) = (12𝑥 − 12)2

Desarrollar 2

(2√6 − 𝑥√𝑥 + 7) = −4𝑥 − 4𝑥 2 + 168 Desarrollar (12𝑥 − 12)2 = 144𝑥 2 − 288𝑥 + 144 −4𝑥 − 4𝑥 2 + 168 = 144𝑥 2 − 288𝑥 + 144 Resolviendo 𝑥=−

3 𝑦 𝑥=2 37

Solución 𝑥=2