Ejercicios Mate Iv

NOMBRE: CHRISTIAN CAMILO LOZADA ORTIZ EJERCICIOS DE LAPLACE 5. Un contrapeso de 20 lb estira 6 pulg a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se suelta, partiendo del reposo, a 6 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. a) Calcule la posición del contrapeso cuando t = π/12, π/8, π/6, π/4 y 9 π/32 segundos. b) ¿Cuál es la velocidad del contrapeso cuando t = 3 π/16 segundos? ¿Hacia dónde se dirige el contrapeso en ese instante? c) ¿Cuándo pasa el contrapeso por la posición de equilibrio?

SOLUCIÓN Datos conocidos: W = 20 lb

m = Wg = 20

lbf32 ft/s2 = 0.625 = 58slug

S = 6 in X(0) = 6 in* 1 ft12 in = 0.5 ft= 12 ft K = WS = 20 lb6 in * 12 in1 ft=40 lbfft

mx´´+ βx´+ kx=g(t) 58slug x´´+ 40 lbfft x=0 58 x´´+ 40 x=0

TRANSFORMADA DE LAPLACE: 58

x´´ + 40 b x =

0

58 S2xs- Sx0- x´(0)+ 40xs=0

58 S2xs- 516 S+40xs= 0 xs58 S2+ 40 = 516 S xs= 516 S58S2+ 40 xs= 12* SS2+ 40

TRANSFORMADA INVERSA: x(s) = 12

SS2+ 40

58 x´´+ 40 x=0 58 λ2+ 40=0 58 λ2= -40 λ2= -64 λ= ± 64 λ= ± 8 i xt= 12 cos8t

A) Si t= π12 segundos entonces, xt= 12 cos8 (π12) ; xt= - 14 Si t= π8 segundos entonces, xt= 12 cos8 π8 ;xt= - 12 Si t= π6 segundos entonces, xt= 12 cos8π6 ;xt= - 14 Si t= π4 segundos entonces, xt= 12 cos8π4 ;xt= 12 Si t= 9π32 segundos entonces, xt= 12 cos9π32 ;x(t)=0.3535 B)

xt= 12 cos8t ;

x´t= -4 sin8t ;Si t= 3π16

x´t= -4 sin83π16 x´t= 4 fts

C)

xt= 12 cos8t ;

12 cos8t =0 ; cos8t =0 ; cos-10=8t

t= cos-108

Ó

t= 2n+1π16 n=0, 1, 2, ……….

12. Se cuelga una masa de 1 Slug de un resorte cuya constante es 9 lb/ft. Al principio, la masa parte de un punto a 1 ft arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad de 3 ft/s hacia arriba. Determine los momentos en que la masa se dirige hacia abajo con una velocidad de 3 ft/s. SOLUCIÓN Datos conocidos: m=1 Slug

mx´´ + βx´ +kx=g(t)

k=9 lbft x0= -1 ft

x´´+ 9x=0

x´0= - 3 fts

TRANSFORMADA DE LAPLACE: x´´ + 9

x=

0

S2xs- Sx0- x´0+ 9xs=0 S2xs+ S+ 3+ 9xs= 0 S2xs+ 9xs= - 3- S xsS2+ 9= - 3- S

;

xs= - 3- SS2+ 9

xs= -3S2+ 9 - SS2+9

TRANSFORMADA INVERSA: x(s) = -3

1S2+ 9 -

SS2+ 9

xt= - 33 sin3t- cos3t x´t= 23 cos3t+ 4π3

Si x´t= 3 fts

entonces, t= - 7π18+ 2nπ3 y t= - π2+ 2nπ3 ; donde n=1, 2, 3…