Ejercicios Ecuacion Difrencial.docx

Ejercicios 1. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo). 𝐲 ´´´ − 𝟒𝐲 ´´ − 𝟓𝐲 ´ = 𝟎 𝐲 𝟑 − 𝟒𝐲 𝟐 − 𝟓𝐲 = 𝟎 𝐝 𝐝𝐱

𝐝 = y3 𝐝𝐱 𝐝 = 3y 3−1 𝐝𝐱 𝐝 = 𝟑𝐲 𝟐 𝐝𝐱

= 𝐲 𝟑 − 𝟒𝐲 𝟐 − 𝟓𝐲 𝐝 = 4y 2 𝐝𝐱

𝐝 = 5y1 𝐝𝐱 𝐝 = 5y1−1 𝐝𝐱 𝐝 =𝟓 𝐝𝐱

𝐝 = 2 ∗ 4y 2−1 𝐝𝐱 𝐝 = 𝟖𝐲 𝟏 𝐝𝐱 𝟑𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 − 𝟓 = 𝟎 𝒚=

𝐲𝟏 =

−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

−8 + √82 − 4 ∗ 3 ∗ 5 2∗3

𝐲𝟏 =

𝐲𝟐 =

−8 + √64 − 60 10

−8 − √82 − 4 ∗ 3 ∗ 5 2∗3

𝐲𝟐 =

−8 + √4 6 −8 + 2 𝐲𝟏 = 6 −6 𝐲𝟏 = 6

−8 − √64 − 60 10

−8 − √4 6 −8 − 2 𝐲𝟐 = 6 −8 𝐲𝟐 = 6 𝟒 𝐲𝟐 = − = −𝟏, 𝟑 𝟑

𝐲𝟏 =

𝐲𝟐 =

𝐲𝟏 = −𝟏

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas. Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). 𝐲 ´´ − 𝐲 ´ = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐲 𝟐 − 𝐲 = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐝

= 𝐲𝟐 − 𝐲 𝐝𝐱

𝐝 𝐝𝐱

= 𝐬𝐞𝐜 𝐱

𝐝 = y2 − y 𝐝𝐱

𝐝 = sec x 𝐝𝐱

𝐝 = 2y 2−1 − y1−1 𝐝𝐱 𝐝 = 𝟐𝐲 − 𝟏 𝐝𝐱

𝐝 = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝐱 𝐝𝐱

𝟐𝐲 − 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝐱 𝟐𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝐱 + 𝟏 𝒚=

𝐬𝐞𝐜 𝐱 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝐱 + 𝟏 𝟐

Ejercicios 3. Ecuaciones de Cauchy - Euler. Solucionar a la siguiente ecuación de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). 𝐱 𝟑 𝐲 ´´´ + 𝟒𝐱 𝟐 𝐲 ´´ − 𝟐𝐲 = 𝟎 𝐱 𝟑 𝐲 𝟑 + 𝟒𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 − 𝟐𝐲 = 𝟎 𝐝 𝐝𝐲

= 𝐱 𝟑 𝐲 𝟑 + 𝟒𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 − 𝟐𝐲

𝐝 = x3 y3 𝐝𝐲

𝐝 = 4x 2 y 2−1 𝐝𝐲

𝐝 = 2y1 𝐝𝐲

𝐝 = 3x 3 y 3−1 𝐝𝐲

𝐝 = 2 ∗ 4x 2 y 2 𝐝𝐲

𝐝 = 2y1−1 𝐝𝐲

𝐝 = 𝟑𝐱 𝟑 𝐲 𝟐 𝐝𝐲

𝐝 = 𝟖𝐱 𝟐 𝐲 𝟏 𝐝𝐲

𝐝 =𝟐 𝐝𝐲

𝟑𝐱 𝟑 𝐲 𝟐 + 𝟖𝐱 𝟐 𝐲 − 𝟐 = 𝟎 𝐲 ∗ (𝟑𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 + 𝟖𝐱𝐲 − 𝟐) = 𝟎 𝒚= 𝐲𝟏 =

−8 + √82 − 4 ∗ 3 ∗ 2 2∗3

𝐲𝟏 =

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝐲𝟐 =

−8 + √64 − 24 6

−8 − √82 − 4 ∗ 3 ∗ 2 2∗5

𝐲𝟐 =

−8 − √64 − 24 6

−8 + √40 6 −8 + 6,32 𝐲𝟏 = 6 −2,32 𝐲𝟏 = 6

−8 − √40 10 −8 − 6,32 𝐲𝟐 = 6 −14,32 𝐲𝟐 = 6

𝐲𝟏 = −𝟎, 𝟑𝟖

𝐲𝟐 = −𝟐, 𝟑𝟖

𝐲𝟏 =

𝐲𝟐 =

Ejercicio 4. Situación Problema. A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura.

𝟏

Se suelta desde el reposo a 𝐍

𝟐

unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de

𝟏 𝟓

𝐤𝐠 y la

constante elástica es 𝐤 = 𝟐 𝐦. El movimiento es amortiguado (β=1,2) y está siendo impulsado por una 𝛑

fuerza periódica externa (𝐭 = 𝟐 𝐬), comenzado en t=0. Dicha fuerza está definida como 𝒇𝒙 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕. para esta situación, la solución corresponde a: En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎

De Acuerdo Al Problema Planteado Se Tiene Un Movimiento Forzado Con Amortiguamiento. En Concordancia Con La Ley Anterior: m

d2 x dx = −kx − β + f(t) 2 dt dt

Donde La Aceleración Y La Velocidad Están Dadas Por 𝐚 =

d2 x dt2

Transponiendo Términos En La Ecuación: d2 x

dx

m dt2 + β dt + kx = f(t) Y Reemplazando Los Valores Dados En Esta Se Tiene: 1 d2 x dx 1 + 1,2 + 2x = 5 cos 4t 𝐱𝟎 = 2 5 dt dt 2 Equivalente A: 1 5 =5∗1= 5= 1 1 5∗1 5 5 1,2 1,2 1,2 ∗ 5 6 = 1 = = =6 1 1 1∗1 1 5 5 2 2 2 ∗ 5 10 =1= = = 10 1 1 1∗1 1 5 5

𝐱𝟎 = 0

y𝐯=

dx dt

5 5 5 ∗ 5 25 =1= = = 25 1 1 1∗1 1 5 5 d2 x dx 1 2 + 6 + 10x = 25 cos 4t dt dt Y Reemplazando Los Valores Dados En Esta Se Tiene: 1 d2 x dx + 1,2 + 2x = 5 cos 4t 2 5 dt dt

𝐱(𝟎) =

1 2

𝐱 ´ (𝟎) = 0

Equivalente a: d2 x dx + 4 + 5x = 25 cos 4t 2 dt dt Multiplicamos X 5 Obteniendo: d2 x dx + 6 + 10x = 25 cos 4t 2 dt dt Se hace f(x) = 0 para convertir la ecuación a una homogénea: d2 x dx + 4 + 5x = 0 dt 2 dt d2 x dx + 6 + 10x = 0 2 dt dt Se escribe la ecuación característica y se resuelve: 𝑚2 + 4𝑚 + 5 = 0 𝑚2 + 6𝑚 + 10 = 0 Se Puede Decir Que a=1, b=6 y c=10. 𝐦𝟏,𝟐 = 𝐦𝟏,𝟐 =

−b ± √b 2 − 4ac 2a

−6 ± √62 − 4 ∗ 1 ∗ 10 2∗1

𝐦𝟏,𝟐 =

−6 ± √36 − 40 2 −6 ± √−4 2 −6 ± 2i = 2

𝐦𝟏,𝟐 = 𝐦𝟏,𝟐

𝐦𝟏 = −3 + i 𝐦𝟐 = −3 − i Solucionándola Por Fórmula Cuadrática Se Tienen Las Siguientes Soluciones: 𝐦𝟏 = −2 + i,

𝐦𝟐 = −2 − i

Cuando Las Raíces Son Complejas, La Solución Se Escribe Como: 𝐲𝐜 = e−3t (C1 cos t + C2 sin t)

𝐲𝐡 = C1 e−3t cos t + C2 e−3t sin t Con El Método De Coeficientes Indeterminados, Se Supone Una Solución Particular De La Forma: 𝐲𝐩 = A cos 4t + B sin 4t 𝐲𝐩 ´ = −4A sin 4t + 4B cos 4t 𝐲𝐩 ´´ = −16A cos 4t − 16B sin 4t d2 x dx + 6 + 10x = 25cos4t dt 2 dt −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sin 4𝑡 + 6(−4𝐴 sin 4𝑡 + 4𝐵 cos 4 𝑡) + 10(𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 sin 4𝑡) = 25 cos 4𝑡 −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sin 4𝑡 − 24𝐴 sin 4𝑡 + 24𝐵 cos 4 𝑡 + 10𝐴 cos 4𝑡 + 10𝐵 sin 4𝑡 = 25 cos 4𝑡 Reuniendo Términos Semejantes: −6A cos 4t − 6B sin 4t − 24A sin 4t + 24B cos 4 t = 25 cos 4t Factorizando: cos 4t(𝟐𝟒𝐁 − 𝟔𝐀) − sin 4t(𝟔𝐁 + 𝟐𝟒𝐀) = 25 cos 4t −6𝐵 − 24𝐴 = 0 −6𝐵 = 24𝐴 6𝐵 =

24𝐴 6

𝑩 = 𝟒𝑨 24𝐵 − 6𝐴 = 25 24(4𝐴) − 6𝐴 = 25 96𝐴 − 6𝐴 = 25 90𝐴 = 25 25 90 5 𝑨= 18 5 𝑩= 4∗ 18 20 𝐁= 18 10 𝑩= 9 𝑨=

d2 x dx + 4 + 5x = 0 dt 2 dt −16A cos 4t − 16B sin 4t + 4(−4A sin 4t + 4B cos 4 t) + 5(A cos 4t + B sin 4t) = 25 cos 4t −16 Acos 4t − 16B sin 4t − 16A sin 4t + 16B cos 4t + 5A cos 4t + 5B sin 4t = 25 cos 4t

Reuniendo Términos Semejantes: −11A cos 4t − 11B sin 4t − 16A sin 4t + 16B cos 4t = 25 cos 4t Factorizando: (−𝟏𝟏𝐀 + 𝟏𝟔𝐁) cos 4t + (−𝟏𝟔𝐀 − 𝟏𝟏𝐁) sin 4t = 25 cos 4t El Sistema De Ecuaciones Resultante: −11𝐴 + 16𝐵 = 25 −16𝐴 − 11𝐵 = 0 25

50

Se Cumple Que: 𝐀 = − 102 y 𝐁 = 51 Reescribiendo: 𝐲𝐩 = A cos 4t + B sin 4t 25 50 cos 4t + sin 4t 102 51 5 10 𝐲𝐩 = cos 4t + sin 4t 18 9

𝐲𝐩 = −

La Solución Es: 𝐲 = yc + yp 25 50 cos 4t + sin 4t 102 51 5 10 y = C1 e−3t cos t + C2 e−3t sin t + cos 4t + sin 4t 18 9 y = e−2t (C1 cos t + C2 sin t) −

Haciendo 𝐭 = 𝟎 1

Inicial 𝐲(𝟎) = 2 1 5 10 = C1 e−3(0) cos t + C2 e−3(0) sin 0 + cos 4(0) + sin 4(0) 2 18 9 1 5 = C1 + 2 18 5 1 𝐂𝟏 = − + 18 2 2 𝐂𝟏 = 9 25 50 y(0) = e−3(0) [C1 cos(0) + C2 sin(0)] − cos 4(0) + sin 4(0) 102 51 1 25 50 = e−3(0) [C1 cos(0) + C2 sin(0)] − cos 4(0) + sin 4(0) 2 102 51 1 25 𝐂𝟏 = + 2 102 38 𝐂𝟏 = 51 𝐲′(𝟎) = 0 𝐲 = C1 e−3t cos t + C2 e−3t sin t +

5 10 cos 4t + sin 4t 18 9

´ 𝟓 𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟎 (− 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝐭) ∗ 𝟒 = − ( 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭) = 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝐭 = − 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝐭 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟗 ´ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟒𝟎 (𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭) ∗ 𝟒 = ( 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐭) = 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭 𝟗 𝟗 𝟗

10 40 sin 4t + cos 4t 9 9 10 40 0 = −3C1 e−3(0) cos( 0) − C1 e−3(0) sen(0) − 3C2 e−3(0) sin(0) + C2 e−3(0) cos(0) − sin 4(0) + cos 4(0) 9 9 40 0 = −3C1 + C2 + 9 2 𝐂𝟏 = 9 2 40 0 = −3 ∗ + C2 + 9 9 34 𝐂𝟐 = − 9 𝐲 ′ = −3C1 e−3t cos t − C1 e−3t sen t − 3C2 e−3t sin t + C2 e−3t cos t −

Derivando La Expresión Y Haciendo 𝐭 = 𝟎 𝐂𝟐 = −

86 51

Por Lo Tanto La Ecuación De Movimiento Es: 38 86 25 50 cos t − sin t) − cos 4t + sin 4t 51 51 102 51 2 34 5 10 y(t) = e−3t cos t − e−3t sin t + cos 4t + sin 4t 9 9 18 9 𝐲 = e−3t (

𝟑𝟖

𝟖𝟔

𝟐𝟓

𝟓𝟎

𝟑𝟖

𝟖𝟔

𝟐𝟓

𝟓𝟎

A. 𝐲 = 𝐞𝟑𝐭 (𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝐭 − 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝐭) − 𝟏𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭 + 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐭 B. 𝐲 = 𝐞𝟑𝐭 (𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝐭 + 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝐭) + 𝟏𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭 − 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐭 𝟑𝟖

𝟖𝟔

𝟐𝟓

𝟓𝟎

𝟑𝟖

𝟖𝟔

𝟐𝟓

𝟓𝟎

C. 𝐲 = 𝐞−𝟑𝐭 (𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝐭 − 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝐭) − 𝟏𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭 + 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐭 D. 𝐲 = 𝐞−𝟑𝐭 (𝟓𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝐭 + 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝐭) + 𝟏𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐭 − 𝟓𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐭 Ejercicio 5. Análisis Y Evaluación De La Solución De Una Situación Planteada. A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación problema: Se conecta en serie un resistor de R=12 Ω, un capacitor de C=0.1F, un inductor de L=2H y una fuente de voltaje V=20V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

La Carga Q (t) Sobre El Capacitor Es 𝐋 𝟐

𝐝𝟐 𝐐 𝐝𝐐 𝐐 +𝐑 𝟐+ =𝐕 𝟐 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝐂

𝐝𝟐 𝐐 𝐝𝐐 𝐐 + 𝟏𝟐 𝟐 + = 𝟐𝟎 𝟐 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝟎, 𝟏

Que Se Puede Escribir Como: 𝐝𝟐 𝐐 𝐝𝐐 + 𝟔 + 𝟓𝐐 = 𝟏𝟎 𝐝𝐭 𝟐 𝐝𝐭 𝟐 𝐝𝟐 𝐐 𝐝𝐐 + 𝟔 + 𝟓(𝐐 − 𝟐) = 𝟏𝟎 𝐝𝐭 𝟐 𝐝𝐭 𝟐 Esta Ecuación Se Transforma En Una Homogénea De Coeficientes Constantes Con Sólo Hacer El Cambio De Variable 𝒒 = 𝑸 − 𝟐; Tenemos Entonces Que 𝒒´ = 𝑸´ & 𝒒´´ = 𝑸´´. Al sustituir se obtiene 𝐝𝟐 𝐪 𝐝𝐪 + 𝟔 𝟐 + 𝟓𝐪 = 𝟎 𝟐 𝐝𝐭 𝐝𝐭 La Ecuación Característica 𝐫 𝟐 + 𝟔𝐫 + 𝟓 = 𝟎 (𝐫 + 𝟏)(𝐫 + 𝟓) = 𝟎 Las Raíces Son Entonces 𝒓𝟏 = −𝟏 & 𝒓𝟐 = −𝟓. La Solución General Es. 𝐪(𝐭) = 𝒄𝟏 𝐞−𝐭 + 𝒄𝟐 𝐞−𝟓𝐭 Pero 𝒒 = 𝑸 − 𝟐 → 𝑸 = 𝒒 + 𝟐 → 𝑸(𝒕) = 𝟐 + 𝒒(𝒕). Por Lo Que La Carga Es 𝐐(𝐭) = 𝟐 + 𝒄𝟏 𝐞−𝐭 + 𝒄𝟐 𝐞−𝟓𝐭 Derivando Tenemos La Corriente 𝐈(𝐭) = −𝒄𝟏 𝐞−𝐭 − 𝟓𝒄𝟐 𝐞−𝟓𝐭 Si Ahora Usamos Las Condiciones Iniciales 𝑸(𝟎) = 𝟎 & 𝑰(𝟎) = 𝟎, Obtenemos El Sistema De Ecuaciones 𝟐 + 𝒄𝟏 +𝒄𝟐 = 𝟎 −𝒄𝟏 −𝟓𝒄𝟐 = 𝟎 De La Segunda Ecuación Tenemos 𝑪𝟏 = −𝟓𝑪𝟐. Si Usamos Este Resultado En La Primera Ecuación −𝟓𝑪𝟐 + 𝑪𝟐 = −𝟐 → 𝟒𝑪𝟐 = 𝟐 → 𝑪𝟐 =

𝟏 𝟓 & 𝑪𝟏 = − 𝟐 𝟐

Finalmente, La Carga Sobre El Capacitor Es 𝟓 𝟏 𝐐(𝐭) = 𝟐 − 𝐞−𝐭 + 𝐞−𝟓𝐭 𝟐 𝟐 La corriente que circula sobre el circuito esta dada por 𝟓

𝟓

𝐈(𝐭) = 𝟐 𝐞−𝐭 − 𝟐 𝐞−𝟓𝐭 A.