Ejercicios Diagrama De Fases.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMÍA

DOCENTE: DR. FÉLIX WONG CERVERA CURSO: ECONOMÍA MATEMÁTICA INTEGRANTES: ALBÁN JIMÉNEZ NANCY NANETH CÓRDOVA CÓRDOVA ESTRELLITA MENA TORRES MARÍA DE JESÚS ORTIZ JUAREZ LEILA NATHALY OTOYA CORONADO DORALIZ PINTADO VEGAS ANA DAMARIS

PIURA 2018

EJERCICIOS SOBRE DIAGRAMA DE FASES

1. Ejemplo (Producción y Polución: Sea K el stock de capital de una economía y P el nivel de contaminación de la misma. La producción agregada es dada por Y = Kα donde 0 < a < 1, s > 0 denota la tasa de ahorro que se asume constante y δ>0 es la tasa de depreciación del capital, de modo que la tasa de crecimiento del capital es:

𝐾´ = 𝑠𝑌 − 𝛿𝐾 = 𝑠𝐾 ∝ − 𝛿𝐾 Por su parte un nivel de capital K genera un nivel de contaminación de Kβ con β> 1 que decrece a una tasa constante γ. Así la tasa neta de cambio del stock de contaminación es:

𝑃´ = 𝐾𝛽 − 𝛾𝑃 Por lo que representan K y P, se considera solo el cuadrante positivo del plano KP. Las curvas de fase del sistema son definidas como

P´= 0 1

𝑃 = 𝐾𝛽 𝛾

K´= 0 𝛿

1⁄ 𝛼−1)

𝐾 = ( )( 𝑆

ó𝐾 =0

La primera curva de fase es una curva convexa que parte del origen. Por su parte, existen dos curvas de fase que cumplen con K' = 0. Ambas son líneas verticales (ya que P no es argumento de K'). Así, el sistema tiene dos estados estacionarios: 𝛿 1⁄ 1 𝛿 𝛽⁄ 𝛼−1 ) ; ) 𝛼−1 )) (( 𝑠 𝛾 𝑠

(𝐾 ∗ ; 𝑃∗ ) = ((( )

ó (𝐾 ∗ ; 𝑃∗ ) = (0: 0)

Diagrama de Fases: Producción y polución La curva de fa s e K '= 0 es una línea vertical sobre el nivel de equilibrio de K mientras que la curva de fa s e P '= 0 es una función convexa que parte del origen. El cruce de ambas curvas determina el estado estacionario del sistema que es un nodo estable. Esto es, independientemente de las condiciones iniciales del problema, la solución de largo plazo siempre será ese punto de equilibrio.

1

Figura N°1

K´= 0 𝛿

𝐾 = ( 𝑆 )(

1⁄ 𝛼−1)

P P´= 0 1

𝑃 = 𝐾𝛽 𝛾

P*

K*

K

La figura N°1 muestra el diagrama de fase del sistema. Ignoremos un instante la segunda solución del sistema (donde K = 0). Como se ha discutido, el cruce de las curvas P' = 0 y K' = 0 definen cuatro regiones. Determinemos los signos de K' y P' en cada isosector. Se aprecia que: 𝜕𝐾´ 𝜕𝐾´ 𝜕𝑃´ = 𝑠 ∝ 𝐾 ∝−1 − 𝛿 → = 𝛿(𝛼 − 1) < 0 𝑦 = −𝛾 < 0 𝜕𝐾 𝜕𝐾 𝜕𝑃 La derivada de K' con respecto a K nos dice que conforme K crece (la región derecha de K' = 0) K' es negativo de modo que en las dos regiones a la derecha de K´ = 0 se traza una flecha ← y en las regiones a la izquierda de K' = 0 se traza →. Por otro lado, el signo negativo de

𝜕𝑃´ 𝜕𝑃

nos dice que en el área superior de

P' = 0 (donde P crece) deben trazarse flechas hacia abajo mientras que en los isosectores por debajo de P' = 0 debe trazarse ↑. Este análisis puede resumirse en la siguiente frase: en los isosectores a la derecha (izquierda) de K´= 0 se tiene que K' < 0 (K´>0) mientras que en los isosectores por encima (abajo) de P' = 0, P´ < 0(P´> 0). Una vez dibujadas las flechas que indican la dirección que toma cualquier punto

2

en el plano se aprecia que estas apuntan al estado estacionario. Consecuentemente, el equilibrio del sistema es estable.

2. Extracción de peces: Suponga que la cantidad de peces en un lago varía según

𝑃´ = 𝑃 − 𝑃2 − 𝑋 donde P es la cantidad de peces y x es el total de toneladas de peces extraídos (ambos en el momento t) por una flota que tiene un tonelaje K, de modo que la extracción es dada por:

𝑋 = 𝑃 √𝐾 Asumiremos que la tasa relativa de crecimiento del tonelaje es proporcional al beneficio medio de extraer x peces que se venden p unidades monetarias por toneladas. Asimismo, cada tonelada implica un costo de tonelaje de c de modo que: 𝐾´ 𝐾

=

𝑃𝑋 𝐾−𝐶

Tomando por simplicidad p - c = 1 y eliminando a x del sistema, se tiene: 𝐾´ = 𝐾 (𝑃⁄ ) √𝐾 − 1 𝑃´ = 𝑃(1 − 𝑃 − √𝐾 ) Las curvas de fase del sistema anterior son (asumiendo que K y P son estrictamente positivos para evitar el origen como estado estacionario) 𝑃´ = 𝑂 → 𝑃 = 1 − √𝐾 𝐾´ = 0 → 𝑃 = √𝐾 Diagrama de Fases La curva de fase K = 0 es una función cóncava y creciente mientras que la curva de fase P = 0 es convexa y decreciente. En este modelo, el estado estacionario del sistema es un foco estable. Dado un par de condiciones iniciales, la dinámica del sistema hará que las trayectorias de P y K presenten fluctuaciones amortiguadas alrededor de sus valores de equilibrio. Ciertamente (0,0) y (0,1)

3

satisfacen las condiciones de equilibrio, pero no son considerados por carecer de sentido económico.

Figura N°2 P

1

𝐾´ = 0 → 𝑃 = √𝐾

p*=1/2

𝑃´ = 𝑂 → 𝑃 = 1 − √𝐾 K*= 1/4

1

K

Como puede apreciarse en la Figura N°2, la curva P' = 0 es convexa un decreciente (los puntos (0, 1) y (1,0) son fronteras abiertas de la función, por el supuesto K, P > 0). Por su parte, la curva K' = 0 es creciente y cóncava. La intersección de las curvas de fase se da en (1/4, 1/2). Con el fin de determinar las fuerzas de movimiento en cada isosector, nótese que: 𝜕𝐾´ 𝜕𝐾

= 𝐾⁄ >0𝑌 √𝐾

𝜕𝑃´ 𝜕𝐾

= − 𝑃⁄ <0 √𝐾

Así, en los isosectores por encima de K' = 0 (donde P crece) debe trazarse → mientras que corresponde trazar ←en los isosectores por debajo de K' = 0. Asimismo, los isosectores a la derecha de P' = 0 (donde K crece) deben tener una flecha hacia abajo mientras que en las regiones restantes se traza ↑. Una vez conocida la dirección de los puntos en el plano KP queda calificar el estado estacionario. En primer lugar, sin mayor análisis, puede concluirse que este es estable ya que todas las fuerzas de movimiento apuntan hacia él.

3. Aplicación: modelo IS – LM

4

Consideremos una versión dinámica del conocido modelo IS-LM 𝑌´ = 𝑎(𝐸(𝑌 − 𝑇, 𝑟) + 𝐺 − 𝑌) = 𝑓(𝑌, 𝑟) 𝑀

𝑟´ = 𝑏 (𝐿(𝑌, 𝑟) − 𝑃 ) = 𝑔(𝑌, 𝑟) Donde: Y: es el nivel de producción (ingreso) de la economía, r: es la tasa de interés E: es igual a la suma de gastos en consumo e inversión G: es el gasto público, T: son los pagos netos por concepto de impuestos L: es la función de demanda por dinero, M: es la oferta de dinero nominal y P: es el nivel precios. Las constantes a y b son positivas y representan la velocidad de ajuste del mercado de bienes y del mercado de dinero, respectivamente. Así, si asumimos a G, T, M y P como fijos, el sistema mostrado no es más que un modelo de ajuste: el producto Y varía proporcionalmente con el exceso de demanda agregada mientras que la tasa de interés r se ajusta según los desequilibrios en el mercado de dinero. El equilibrio macroeconómico (Y*, r*) del modelo es el estado estacionario del sistema de EDO que no es más que la intersección de las curvas IS y LM. Es decir: 𝑌´ = 0 (𝐼𝑆)

𝑟´ = 0 (𝐿𝑀)

Las funciones de gastos £ y la demanda por dinero cumplen las siguientes propiedades:

0 < 𝐸𝑦 < 1

𝐸𝑟 < 0 𝐿𝑦 < 0 𝐿𝑟 < 0

para cualquier nivel de Y y r. Dados los supuestos anteriores, puede apreciarse que la curva IS tiene pendiente negativa en el plano Yr mientras que la curva LM tiene pendiente positiva:

𝜕𝑟 𝜕𝑌

=−

𝑓𝑦 𝑓𝑟

=−

𝐸𝑦 −1 𝐸𝑟

< 0 (𝐼𝑆)

𝜕𝑟 𝜕𝑌

=−

𝑔𝑦 𝑔𝑟

=−

𝐿𝑦 𝐿𝑟

< 0 (𝐿𝑀)

5

Por lo que se puede deducir que Y´>0 (Y´ < 0) a la izquierda (derecha) de Y´= 0 mientras que ala derecha (izquierda) de r´= 0, se cumple que r´>0 (r´<0). Así, la dinámica inherente en cada isosector del plano Yr implica, como se muestra en las Figuras No. 3 un equilibrio estable. No obstante, es necesario conocer el sistema linealizado. Este es: 𝑎(𝐸𝑦∗ − 1) 𝑌´ [ ]=[ 𝑏𝐿𝑦∗ 𝑟´

𝑎𝐸𝑟∗ 𝑌 − 𝑌 ∗ ][ ] 𝑏𝐿𝑟∗ 𝑟 − 𝑟 ∗

donde se han evaluado las derivadas parciales en el equilibrio. Luego, se tiene que: 𝑡𝑟(𝐽) = 𝑎(𝐸𝑦∗ − 1) + 𝑏𝐿𝑟∗ < 0 det(𝐽) = 𝑎𝑏[(𝐸𝑦∗ − 1)𝐿𝑟∗ − 𝐸𝑟∗ 𝐿𝑦∗ ] > 0 verificando este resultado con el Cuadro No. 3, se sabe que (Y*, r*) es un punto estable, aunque no se puede determinar sin ambigüedades la calificación de este equilibrio ya que el signo de la discriminante del sistema depende de la magnitud de las derivadas parciales del modelo. En particular, se tiene que el equilibrio...

… . . 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑑𝑜

2

𝑠𝑖 𝑎[(𝐸𝑦∗ − 1) + 𝑏𝐿𝑟∗ ] + 4𝑎𝑏𝐸𝑟∗ 𝐿𝑦∗ > 0 2

… … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑠𝑖 𝑎[(𝐸𝑦∗ − 1) + 𝑏𝐿𝑟∗ ] + 4𝑎𝑏𝐸𝑟∗ 𝐿𝑦∗ < 0

A partir de este resultado puede hacerse una síntesis sobre la interpretación que distintas escuelas dan al modelo IS-LM. En primer lugar, los keynesianos tienden a suponer cierta inelasticidad del consumo e inversión ante la tasa en comparación con la elasticidad tasa de interés de la demanda por dinero (por el motivo especulativo de la demanda por dinero). Bajo esta perspectiva, valores bajos para 𝐸𝑟∗ y altos para 𝐿𝑟∗ , parece más verosímil catalogar al punto de equilibrio como un nodo. Del mismo modo, pueden considerarse dos casos extremos. En primer término, si 𝐸𝑟 = 0 la curva IS es vertical y la inversión es perfectamente insensible a cambios en la tasa de interés; por otro lado, si 𝐿𝑟∗ →ꝏ la curva LM es horizontal ' la demanda por dinero es perfectamente elástica. Esta última situación es conocida como la trampa de la liquidez. Ambos casos son ilustrados en la Figura No. 3.

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Figura N°03. Modelo IS-LM: enfoque Keynesiano (casos extremos)

r

𝑌´ = 0 (𝐼𝑆)

r*

Y*

Y

r 𝑌´ = 0 (𝐼𝑆)

𝑟´ = 0 (𝐿𝑀)

r*

Y*

Y

7

4. (Equilibrio intertemporal) Construir el diagrama de fase de la siguiente ecuación diferencial no lineal: 𝑦̇ = 8𝑦 − 2𝑦 2 Solución: Paso 1: Equilibrio sin presión (𝑦̇ = 0): 𝑦̇ = 8𝑦 − 2𝑦 2 = 0 2𝑦(4 − 𝑦) = 0 𝑦=0 𝑦 = 4 solución de estado estático El diagrama de fases corta al eje horizontal en 𝑦 = 0 y 𝑦 = 4. Paso 2: Donde la función corta al eje horizontal en dos puntos, tiene un punto decisivo. Después determinamos si ese punto es un máximo o un mínimo. 𝑑𝑦̇

𝑦 = 2 es un valor crítico

= 8 − 4𝑦 = 0

𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦̇

𝑑𝑦 2

= −4 < 0

Cóncavo, máximo relativo

Paso 3: Bosquejar el diagrama de fase FIGURA N°4

𝑦̇

y

0

2

4

Paso 4: Calcular los valores de los niveles estáticos 𝑦1 = 0 y 𝑦2 = 4

𝑑𝑦̇ (0) = 8 − 4(0) = 8 > 0 𝑑𝑦

𝑑𝑦̇ (4) = 8 − 4(4) = −8 < 0 𝑑𝑦

𝑦1 = 0 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑦1 = −4 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

8

5. (Equilibrio intertemporal) Construye el diagrama de fases para la siguiente ecuación diferencial no lineal 𝑦̇ = −𝑦 2 + 6𝑦 − 5 y prueba la estabilidad dinámica usando: a) Las flechas de movimiento b) La pendiente de la línea de fase, y c) La prueba de derivada

Solución: Suponiendo 𝑦̇ = 0 descubrimos la solución del equilibrio intertemporal donde el diagrama de fases cruce el eje horizontal. (𝑦 − 1)(−𝑦 + 5) = 0 𝑦1 = 1 𝑦2 = 5 Descubrimos entonces el valor crítico y si esto representa un máximo o mínimo 𝑑𝑦̇ = −2𝑦 + 6 = 0 𝑑𝑦 𝑦=3 𝑑2 𝑦̇ 𝑑𝑦 2

Valor crítico

= −2 < 0

Máximo relativo

Con esta información realizamos nuestro diagrama de fase: FIGURA N°5 𝑦̇

𝑦̇ = −𝑦 2 + 6𝑦 − 5

1

3

5

𝑦

a) Donde las flechas de movimiento apuntan fuera de 𝑦1 = 1 y hacia 𝑦2 = 5, 𝑦1 es inestable en cambio 𝑦2 es un estado de equilibrio intertemporal. b) La pendiente positiva en 𝑦1 = 1 y la pendiente negativa en 𝑦2 = 5 indica que 𝑦1 es un equilibrio inestable y 𝑦2 es un equilibrio estable. c) Tomar la derivada de la ecuación, independientemente del gráfico, y evaluar el valor crítico. 𝑑𝑦̇ = −2𝑦 + 6 𝑑𝑦

9

𝑑𝑦̇ 𝑑𝑦 𝑑𝑦̇ 𝑑𝑦

(1) = −2(1) + 6 = 4 > 0

𝑦1 = 1 es inestable

(5) = −2(5) + 6 = −4 < 0

𝑦2 = 5 es estable

6. (Equilibrio intertemporal) Dada la siguiente ecuación diferencial no lineal: 𝑦̇ − 𝑦 2 + 5𝑦 + 24 = 0 a) Obtenga el valor crítico y demuestre si es un máximo o mínimo b) Obtenga los puntos de estado estacionario y pruebe su estabilidad c) Grafique correctamente el diagrama de fase correspondiente Solución: Suponiendo y=0 descubrimos la solución del equilibrio intertemporal, donde el diagrama de fases cruce el eje horizontal. 𝑦̇ = 0 = (𝑦 − 8)(𝑦 + 3) 𝑦=8 𝑦 = −3

Descubrimos entonces el valor crítico y si esto representa un máximo o un mínimo. 𝑑𝑦̇ = 2𝑦 − 5 𝑑𝑦 𝑦 = 2.5 𝑑2 𝑦̇ 𝑑𝑦 2

=2>0

Valor crítico Mínimo relativo

Tomar la derivada de la ecuación, independientemente del gráfico, y evaluar el valor crítico. 𝑑𝑦̇ = 2𝑦 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑦̇ 𝑑𝑦 𝑑𝑦̇ 𝑑𝑦

(8) = 2(8) − 5 > 0

𝑦1 = 8 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

(−3) = 2(−3) − 5 < 0

𝑦2 = −3 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

Con esta información bosquejar el diagrama de fase:

10

FIGURA N°6 𝑦̇

8 -3

2.5 𝑦

30.25

7. (Equilibrio intertemporal) Construye el diagrama de fases para la siguiente ecuación diferencial no lineal 𝑦̇ = 3𝑦 2 − 18𝑦 y prueba la estabilidad dinámica usando: Solución: Suponiendo 𝑦̇ = 0 descubrimos la solución del equilibrio intertemporal donde el diagrama de fases cruce el eje horizontal. 3𝑦(−𝑦 + 5) = 0 𝑦1 = 0 𝑦2 = 6 Descubrimos entonces el valor crítico y si esto representa un máximo o mínimo 𝑑𝑦̇ = −2𝑦 + 6 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑦̇

= 6𝑦 − 18 = 0

𝑑𝑦 𝑑2 𝑦̇

𝑑𝑦 2

=6>0

𝑦=3

Valor crítico Mínimo relativo

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Con esta información realizamos nuestro diagrama de fase:

𝑦̇

0

FIGURA N°7

3

6 𝑦

a) Arriba del eje horizontal, donde 𝑦̇ > 0, la flecha apunta en movimiento ha cia la derecha; debajo del eje horizontal 𝑦̇ < 0, las flechas de movimiento apuntan hacia la izquierda, donde las flechas de movimiento apuntan hacia 𝑦1 = 0 y fuera 𝑦2 = 6, 𝑦2 debe ser inestable. b) Con la pendiente negativa del diagrama de fase pasa por 𝑦1 = 0 sabemos 𝑦̇ debe ser estable; con una pendiente positiva en 𝑦2 = 6, 𝑦2 es más inestable. c) Tomar la derivada de la ecuación, independientemente del gráfico, y evaluar el valor crítico. 𝑑𝑦̇ = 6𝑦 − 18 𝑑𝑦 𝑑𝑦̇ 𝑑𝑦 𝑑𝑦̇ 𝑑𝑦

(0) = 6(0) − 18 = −18 < 0

𝑦1 = 0 es estable

(6) = 6(6) − 18 = 18 > 0

𝑦2 = 6 es inestable

8. El Financiamiento y la acumulación de capital: La Q de Tobin

La Q de Tobin es una teoría del financiamiento de la inversión a través de la Bolsa de Valores que fue publicada en 1969 por James Tobin en el Journal of Money Credit and Banking. Como mencionaba Keynes en 1936, el rasgo fundamental de la Bolsa de

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valores es hacer líquido al individuo lo que es fijo para la sociedad. Por tal razón el rol de la Bolsa es capturar recursos de ahorro de las familias, que buscan financiar los proyectos de inversión en maquinaria y equipo de las firmas sin comprometer la liquidez de los hogares pues estos pueden transformar en un plazo no muy largo el valor de las acciones en recursos completamente sin que esto acarre una reducción del capital ya acumulado por la firma. En principio la idea de la Q de Tobin es mostrar que la maximización de la riqueza d los hogares expresado en el valor de las acciones que tienen en su poder es equivalente a la maximización del beneficio de la firma. No obstante, la Q es un indicador de la Bolsa que se obtiene a diario en el cual relaciona el valor de capital instalado de Bolsa respecto del valor de reposición de ese mismo capital en mercado de bienes.

1. 𝑞 =

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜

Cuando q > 1 es cuando el mercado de valores anima a las empresas a invertir, y cuando q < 1 es cuando las empresas deberían dejar caer el nivel de inversión. Q de Tobin busca dar un cuerpo teórico a este indicador bursátil tratando de incorporar las decisiones de inversión empresarial, su financiamiento y el impacto de esto sobre la riqueza financiera de los hogares. Lo anterior puede descifrarse en la siguiente condición:

𝛼 𝑒 𝜋𝑡𝑒 − 𝐼𝑡 − 2 𝐼𝑡𝑒 + 𝑞𝑡 (𝐾𝑡 + 𝐼𝑡 ) 𝐷𝑡𝑒 + 𝐷𝑡+1 2. 𝑞 = = 1+𝑟+ϵ 1+𝑟+ϵ

Donde 𝑉𝑡 es el valor de la empresa en la Bolsa, el cual estaría determinado por el precio fundamental de una acción, que de acuerdo con la condición 2, está constituido por el dividendo esperado 𝐷𝑡𝑒 , el valor de la acción esperado en el (t + 1)V(𝑡 + 1)𝑒 , la tasa de interés (r) y una prima de riesgo (ϵ). A su vez, los dividendos esperados se alimentan de los beneficios de la firma (𝐷𝑡𝑒 = 𝜋𝑡𝑒 − 𝐼𝑡 − c(𝐼𝑡 )), y el valor esperado de la acción puede expresarse como una proporción q del valor de capital en el mercado de bienes V(𝑡 + 1)𝑒 , = 𝑞𝑡 K(t + 1). Por tanto, se puede expresar en términos de acumulación K(t + 1) = 𝐾𝑡 + 𝐼𝑡 . La expresión 2 muestra que el precio de la acción dependería de la maximización del beneficio de la firma, de la acumulación futura en proporción 𝑞𝑡 que expresa la valoración presente de ingresos futuros, y todo descontado a un tipo de interés y una prima de riesgo. Así pues, la empresa elegirá el nivel de inversión 𝐼𝑡 que maximiza la riqueza inicial de los propietarios, teniendo en cuenta la valoración de la bolsa de una unidad de capital, 𝑞𝑡 . La condición de primer orden sería entonces que establecería la regla de inversión. Despejando se tiene:

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𝜕𝑉𝑡 𝜕𝐼𝑡

= 0,

3. 𝑞𝑡 = 1 +

𝑑𝑐 𝑑𝐼𝑡

𝑑𝑐

Si 𝑑𝐼 = 𝛼𝐼𝑡 , entonces 𝑡

4. 𝐼𝑡 =

𝑞𝑡 − 1 𝛼

La condición 4 corrobora 𝑞𝑡 > 1, Δ𝐼𝑡 , Δ𝐾𝑡+1 ) y 𝑞𝑡 > 1, Δ𝐼𝑡 , Δ𝐾𝑡+1 . La Q de Tobin puede ser llevada a una representación mediante diagramas de fase. En primer lugar, reconocemos que los incrementos del stock de capital vienen determinados por los cambios de 𝑞𝑡 a través del tiempo, 𝐾 (𝑡) = 𝑓 (𝑞(𝑡)) . Se sabe a partir de 4 que la inversión o la acumulación de capital cambiarán dependiendo del valor de 𝑞𝑡 respecto de 1, lo cual puede obtenerse obteniendo la condición de primer orden del Hamiltoniano respecto de la inversión, que es la variable de control:

5. 𝐻(𝑘(𝑡), 𝐼(𝑡)) = 𝜋(𝐾(𝑡)𝑘(𝑡) − 𝐼 (𝑡) − 𝐶(𝐼(𝑡)) + 𝑞(𝑡)𝐼(𝑡). 6. 𝐻𝐼´ (𝑘(𝑡), 𝐼 (𝑡)) = −1 − 𝐶´ (𝑡) + 𝑞 = 0. 7. 𝐼(𝑡) = 𝑁 (𝐶´)−1 (𝑞 (𝑡) − 1).

La condición 7 es la misma expresión de 4 sabiendo que N es el número de firmas en la economía y (a) está expresada como el costo marginal de instalación de una unidad adicional de capital. Con lo anterior se puede establecer la evolución de la acumulación o desacumulación de capital a través del tiempo:

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Derivando 5 respecto de la variable de estado k se obtiene: 8. 𝜋 (𝐾(𝑡)) = 𝑟𝑞(𝑡) − 𝑞(𝑡). 9. 𝑞(𝑡) = 𝑟𝑞(𝑡) − 𝜋(𝐾(𝑡)). De 8 se puede deducir que el beneficio que reporta a la firma el capital debe cubrir el costo de oportunidad o de financiamiento 𝑟𝑞(𝑡), pero este a su vez es aliviado en la medida que el capital se valorice en la Bolsa 𝑞(𝑡). De 9 se puede encontrar la isoclina correspondiente a q = 0, que resulta en q(t) = π(K(t))∗1/r, donde la pendiente es π′(K(t))∗1/r < 0. Su signo se explica pues se supone que por economías externas el aumento del capital de la industria reduce el beneficio de la firma pues tal incremento en el factor satura el mercado, y si las firmas enfrentan en su conjunto una curva de pendiente negativa la única forma de vender su producción será ofreciéndola a un precio más bajo, lo que acarrea beneficios menores π′(K(t)) < 0. Así, se concluye que la isóclina q = 0 tiene pendiente negativa en el plano (K, q). En 9 se observa que un aumento en el capital conforme el tiempo pasa, reduce los beneficios, lo que implica que ese aumento del capital debe ser financiado de otra manera para que se incremente efectivamente, por lo que esto es solo posible si crece el financiamiento externo en la Bolsa a través del tiempo q(t). Entonces si se parte de q = 0, y se permite que el tiempo aumente y eleve el capital, este superará cierto valor que tendría como resultado un incremento de q(t) a través del tiempo (q > 0), y viceversa.

Luego si combinamos las dos isoclinas tenemos el diagrama de fases completo de la Q de Tobin. El gráfico 3 muestran que solamente las trayectorias de las regiones 1 y 3 son compatibles con el equilibrio estable o punto de silla en E, lo que aseguraría un nivel de K∗ óptimo. Estando en el campo 3 se sabe que conforme el tiempo avance el capital retrocederá incrementando los beneficios. No obstante, en el campo 3 el stock de capital

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es muy elevado por lo que se necesita financiamiento externo y que debería estar creciendo. Entonces, los dos efectos anteriores se retroalimentan, por un lado, la caída del capital reduce la dependencia de financiamiento externo y a su vez q crece conforme se acerca a E, cada vez más despacio por lo que se detienen en el punto de equilibrio.

9. Ejemplo: Supongamos que la demanda para un bien depende de su precio p y la oferta de su precio esperado v las cantidades demandadas y ofertados son 𝐷(𝑝) y 𝑆(𝑣) donde D y S son funciones tal que 𝐷 (𝑝) < 0 𝑦 𝑆(𝑣) = 0. Supongamos que el precio 𝑝 reacciona al desequilibrio del mercado, con su tasa de cambio proporcional a su desequilibrio. Esto es: 𝑑𝑝 𝑑𝑡

= 𝛼(𝐷(𝑝) − 𝑆(𝑣)) , 𝛼 > 0 (constante)

Asumimos que el precio esperado tiene una tasa de cambio proporcional a su adaptación en el mercado. 𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 𝛽(𝑝 − 𝑣) , 𝛽 > 0 (constante)

Bosquejamos el diagrama de fase del sistema: 𝑑𝑝 = 𝛼(𝐷(𝑝) − 𝑆(𝑣)) , 𝛼 > 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝛽(𝑝 − 𝑣) , 𝛽 > 0 𝑑𝑡

a) 𝑝̇ = 𝛼(𝐷(𝑝) − 𝑆(𝑣))

𝛼>0

0 = 𝛼(𝐷(𝑝) − 𝑆(𝑣))

𝛽>0

(Por el teorema de la función implícita)

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∇𝑝̇ = (𝛼𝐷´(𝑝), 𝛼𝑆´(𝑣)) b) 𝑣̇ = 𝛽(𝑝 − 𝑣)

signo

𝑣̇ = 𝛽(𝑝 − 𝑣) ∇𝑝̇ = ( 𝛽

,

+

v=p −𝛽) -

signo

10. Explotación óptima de peces Suponga que una población de “N(t)” peces en un cierto lago, crece a la siguiente tasa: 𝑁´(𝑡) = 𝑎𝑁(𝑡) − 𝑏𝑁 2 (𝑡)

(a,b > 0)

En ausencia de actividades de extracción. En una comunidad cercana al lago se consume una cantidad “C(t)” de pescado, que brinda una utilidad igual “U(C)” (U´(C) > 0, U´´(C) < 0) y altera el crecimiento de la biomasa de la siguiente forma: 𝑁´(𝑡) = 𝑎𝑁(𝑡) − 𝑏𝑁 2 (𝑡) − 𝐶(𝑡)

(a,b > 0)

El objetivo de la comunidad es maximizar las utilidades futuras descontadas a la tasa 𝑝: ∞

𝑉[C ] = ∫ 𝑒−𝑝𝑡 𝑈(𝐶)𝑑𝑡 0

Considerando la población actual de peces 𝑁0 = 𝑎/𝑏, y la ecuación que explica el crecimiento de la población de peces, el problema de cálculo de variaciones a resolver sería el siguiente: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎

∞

𝑉[N ] = ∫0 𝑒−𝑝𝑡 𝑈(𝑎𝑁 − 𝑏𝑁2 − 𝑁´)𝑑𝑡

𝑎

𝑁(0) = 𝑏

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En primer lugar, para elaborar el diagrama de fase que permita obtener una solución cualitativa del problema debemos emplear la ecuación de Euler. Las derivadas que conforman la ecuación son las siguientes: 𝑈𝑁 = 𝑈´(𝐶)

𝑑𝐶 = 𝑈´(𝐶)(𝑎 − 2𝑏𝑁) 𝑑𝑁

𝑈𝑁´ = 𝑈´(𝐶)

𝑑𝐶 = −𝑈´(𝐶) 𝑑𝑁´

𝑑 𝑈 = −𝑈´´(𝐶)𝐶´ 𝑑𝑡 𝑁´ Al reemplazar las derivadas en la ecuación de Euler (18) obtenemos: 𝑈´(𝐶)(𝑎 − 2𝑏𝑁) = −𝑈´´(𝐶)𝐶´ + 𝑝𝑈´(𝐶) La ecuación de Euler y la ecuación de comportamiento de la población de peces, conforman el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no lineal de primer orden: 𝐶´ =

𝑈´(𝐶) (2𝑏𝑁 − 𝑎 + 𝑝) 𝑈´´(𝐶)

𝑁´ = 𝑎𝑁 − 𝑏𝑁 2 − 𝐶 Para construir el diagrama de fase es necesario establecer las curvas de demarcación, que representan el conjunto de puntos para los cuales las variables del problema se mantienen constantes o estacionarias. Estas curvas se obtienen estableciendo las condiciones C´= 0 y N´= 0 en el sistema de ecuaciones diferenciales. Al fijar C´ = 0 en la ecuación de Euler, obtenemos la curva de demarcación: 𝑁=

𝑎−𝑝 2𝑏

Por otra parte, al establecer N´= 0 en la ecuación de comportamiento de la biomasa, obtenemos la otra curva: 𝐶 = 𝑎𝑁 − 𝑏𝑁 2 Ambas ecuaciones de demarcación determinan el diagrama de fase presentado en el Gráfico No. 2.15. Para hallar la dinámica de las dos variables, es necesario analizar su comportamiento en cada una de las cuatro áreas delimitadas por las curvas de demarcación. La dinámica del consumo se obtiene a partir de la derivada parcial de la primera ecuación diferencial (C´) con respecto a la población de peces (N): 𝜕𝐶´ 𝑈´(𝐶) = 2𝑏 < 0 𝜕𝑁 𝑈´´(𝐶)

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Dado que la función de utilidad presenta una utilidad marginal del consumo positiva y decreciente (U´(C) > 0, U´´(C) < 0), el ratio de la primera derivada de la función sobre la segunda derivada será estrictamente negativa, con lo cual la derivada parcial analizada también es negativa. La relación existente entre C´ y N implica que conforme se incremente N, la derivada del consumo con respecto al tiempo (C´) disminuirá, así como el nivel de consumo. En vista de que a lo largo de la curva de demarcación el consumo permanece estacionario, al lado derecho de la curva, con un mayor valor de N, el consumo tendrá un comportamiento decreciente; mientras que, al lado izquierdo, para un menor valor de N, el consumo será creciente. Esta evolución del consumo puede ser representada mediante flechas con una dirección hacia abajo, al lado derecho de la curva (áreas II y IV), y con dirección hacia arriba, al lado izquierdo de la curva (áreas I y III). Por otra parte, la derivada parcial de la segunda ecuación diferencial (N´) con respecto a C es negativa: 𝜕𝑁´ = −1 < 0 𝜕𝐶

Siguiendo el mismo análisis, esta condición implica que, ante un incremento del consumo, la derivada de la población de peces con respecto al tiempo (N') disminuirá y, por ende, lo hará también la población de peces. En este sentido, en la parte superior de la curva de demarcación, para un mayor valor de C, la población de peces disminuirá; y, por el contrario, en el lado inferior de la curva, para un valor menor de C, la población de peces tendrá una trayectoria creciente. La dinámica de la población de peces, en este caso, también puede representarse mediante flechas. En la parte superior de la curva

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(áreas I y II), el comportamiento decreciente de N se indica mediante flechas con dirección a la izquierda; y en la parte inferior de la curva (áreas III y IV), el comportamiento creciente de la población de peces se representa mediante flechas con dirección a la derecha. Considerando de manera conjunta el comportamiento de ambas variables, la dinámica del sistema quedaría determinado por flechas similares a las manecillas del reloj, las que se encuentran incluidas en el Gráfico No. 2.15. El equilibrio descrito en este diagrama de fase se denomina equilibrio inestable, lo cual significa que las variables C y N no siempre convergen al estado estacionario. Si estas variables tuvieran un valor inicial que se ubicara en las áreas I o IV, la dinámica del sistema, representada a través de las flechas, muestra una trayectoria divergente en el tiempo. Por el contrario, si las condiciones iniciales se ubicaran en un conjunto de puntos dentro de las áreas II o III, también denominada senda de ensilladura, las variables convergerían directamente al estado estacionario. El consumo y la población de peces en estado estacionario se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones definido por las ecuaciones de demarcación. De esta forma, ambas variables en el equilibrio toman el siguiente valor:

𝑁∗ =

𝑎−𝑝 2𝑏

𝑎2 − 𝑝2 𝐶 = 4𝑏 ∗

Un aspecto que llama la atención en el problema es el nivel de consumo en estado estacionario. A pesar de que la curva de demarcación determinada a partir de N' = 0 posee un mayor nivel de consumo para N = a/2b, éste no constituye el punto de equilibrio del diagrama de fase. Ello se debe a la existencia de la tasa de descuento. Esta tasa, como se mencionó anteriormente, cumple la función de brindarle una menor ponderación a las utilidades provenientes de las generaciones futuras. En este sentido, como el agente optimizador tiene un mayor bienestar por las utilidades cercanas al presente, la decisión óptima consistirá en acceder a niveles altos de consumo en el presente, lo cual ocasiona una depredación del recurso marino y, por ende, un menor consumo en el largo plazo o estado estacionario. Si la tasa de descuento fuera muy elevada, como por ejemplo 𝑝 = 𝑎, se asignaría una ponderación baja a las utilidades futuras, y el consumo y la población de peces serían iguales a cero en el estado estacionario. Por el contrario, si la tasa de descuento fuera baja, como por ejemplo 𝑝 = 0, se daría igual importancia a las utilidades presentes y futuras, de tal forma que el consumo y la población de peces en el estado estacionario tomarían el máximo valor posible determinado por la curva de marcación.

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11. Ejemplo Considere una economía con capital social de K= K(t) y producción por unidad de tiempo Y= Y(t), donde 𝑌 = 𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 , con a y b constantes. Consumo es C > 0, mientras que 𝑌 − 𝐶 = 𝑎𝐾 2 − 𝑏𝐾 − 𝐶 es inversión. Durante el período [0,∞), el objetivo es maximizar la utilidad total de descuento. Especialmente, el problema es

∞ 1

∫0

1−𝑣

𝐶 1−𝑣 𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡, 𝐾̇ = 𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 − 𝐶, 𝐾(0) = 𝐾0 > 0

Donde, 𝑎 > 𝑟 > 0 y 𝑣 > 0 , y C es la variable de control. Se requiere que lim 𝐾(𝑡) ≥ 0

𝑡→∞

El valor actual Hamiltoniano es 𝐻 𝑐 = interior de 𝐻 𝑐 requiere

𝜕𝐻 𝑐 𝜕𝑐

1 1−𝑣

𝐶 1−𝑣 + 𝜆(𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 − 𝐶). Un máximo

= 0, i.e.

𝐶 −𝑣 = 𝜆

(i)

La ecuación diferencial para 𝜆 = 𝜆(𝑡) es 𝜆̇ = − 𝜆(𝑎 − 2𝑏𝐾) + 𝑟𝜆, o 𝑎−𝑟 𝜆̇ = 𝜆(𝑟 − 𝑎 + 2𝑏𝐾) = 2𝑏𝜆(𝐾 − 2𝑏 )

Ahora (i) implica que 𝐶 = 𝜆 rendimientos de K.

−1⁄ 𝑣,

(ii)

que se insertará en la ecuación diferencial de

−1 𝐾̇ = 𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 − 𝜆 ⁄𝑣

(iii)

La figura 2 presenta un diagrama de fase para el sistema dado por el (ii) y (iii). Vemos que K =0 de 𝜆 = (𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 )−𝑣 , con 𝑣 > 0. Aquí 𝑧 = 𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 representa una parábola cóncava con 𝑧 = 0 para 𝐾 = 0 y para 𝐾 = 𝑎/𝑏. Para 𝑧 = 0, se tiene 𝜆 = ∞.

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La gráfica de 𝐾 = 0 es simétrica respecto al 𝐾 = 𝑎/2𝑏. Nota que 𝜆̇ = 0 cuando 𝐾 = (𝑎 − 𝑟)/ 2𝑏, que da una línea recta paralela al eje de la 𝜆 − 𝑎𝑥𝑖𝑠. Porque 0 < (𝑎 − ̅ , 𝜆̅) del 𝑟)/2𝑏 < 𝑎/2𝑏, el gráfico de 𝜆̇ = 0 será como se sugiere en la figura. La (𝐾 2 2 −𝑣 ̅ ̅ = (𝑎 − 𝑟)/2𝑏 , 𝜆 = [(𝑎 − 𝑏 )/4𝑏] . punto de equilibrio está dada por 𝐾 La figura 2 muestra el 𝐾 𝜆- plano dividido en cuatro partes. Las flechas indican las direcciones de las curvas integrales en cada una de estas cuatro partes. De (ii) vemos que 𝐾 > (𝑎 − 𝑟)/2𝑏 implica 𝜆̇ > 0, mientras que 𝐾 < (𝑎 − 𝑟)/2𝑏 implica 𝜆̇ < 0. −1 También, el lado derecho del (iii), 𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 − 𝜆 ⁄𝑣 , aumenta a medida que 𝜆 aumenta cada 𝐾 fijo, así que 𝐾 > 0 sobre la curva de 𝐾 = 0, y 𝐾 < 0 por debajo de esta curva. La Figura 3 muestra algunas curvas integrales que (𝐾(𝑡), 𝜆(𝑡)) podría seguir a medida ̅ . De particular interés son las que 𝑡 aumenta. En esta figura hemos asumido que 𝐾0 < 𝐾 rutas que comienzan en 𝐾 = 𝐾0 , pero también se dibujan otras curvas, que comienzan con valores más grandes de 𝐾. Tenga en cuenta que, aunque 𝐾0 es conocido, la cantidad 𝜆(0) debe considerarse como un parámetro desconocido. En este problema particular, 𝜆(0) se puede determinar de la siguiente manera: Si 𝜆(0) es grande, el punto (𝐾(𝑡), 𝜆(𝑡)) comienza arriba en la línea 𝐾 = 𝐾0 y se mueve a lo largo de una curva como la marcada con I en la Figura 3. Si 𝜆(0) es pequeño, (𝐾(𝑡), 𝜆(𝑡)) comienza abajo en la línea 𝐾 = 𝐾0 y se mueve a lo largo de una curva como III en la figura. Si 𝜆(0) es aún más pequeño, y (𝐾0 , 𝜆(0)) se encuentra debajo de la curva 𝐾̇ = 0, entonces (𝐾(𝑡), 𝜆(𝑡)) se mueve de manera constante "suroeste", como la curva IV. En algún punto de la línea 𝐾 = 𝐾0 , la continuidad sugiere que debería haber algún valor particular 𝜆∗ (0) de 𝜆(0), de modo que la curva resultante sea del tipo II, que converge ̅ , 𝜆̅). hacia el punto estacionario (𝐾 Aquí hay un argumento más preciso: la curva I se obtuvo usando un valor inicial alto para 𝜆(0). A lo largo de la curva I, el punto (𝐾(𝑡), 𝜆(𝑡)) se desplaza hacia la derecha hasta que alcanza un punto mínimo donde cruza la línea 𝜆̇ = 0. Deje que 𝜆(0) disminuya. Luego la curva me desplazo hacia abajo. Su punto mínimo en la línea 𝜆̇ = 0 ̅ , 𝜆̅). En realidad, 𝜆∗ (0) es luego se desplazará hacia abajo al punto de equilibrio (𝐾 precisamente el valor de 𝜆(0) que hace que este mínimo se produzca en el punto ̅ , 𝜆̅). Este valor inicial 𝜆∗ (0) conduce a un camino especial (𝐾 ∗ (𝑡), 𝜆∗ (𝑡)). Tanto (𝐾 𝐾 ∗ (𝑡), como 𝜆∗ (𝑡) se aproximan a cero cuando 𝑡 → ∞. Para todo 𝑡 finito, el camino ̅ , 𝜆̅) , pero (𝐾 ∗ (𝑡), 𝜆∗ (𝑡)) → (𝐾 ̅ , 𝜆̅) como 𝑡 → ∞. (𝐾 ∗ (𝑡), 𝜆∗ (𝑡)) nunca llega al punto (𝐾 Hasta ahora hemos argumentado que las condiciones del principio máximo se satisfacen ̅y a lo largo de una curva (𝐾 ∗ (𝑡), 𝜆∗ (𝑡)). del tipo II en la Figura 3, donde 𝐾 ∗ (𝑡) → 𝐾 𝜆∗ (𝑡) → 𝜆̅ son 𝑡 → ∞. Probemos que esta solución candidata es óptima. El valor actual del Hamiltoniano 𝐻 𝑐 es cóncavo en función de (𝐾, 𝐶). Con 𝜆(𝑡) dado y −1 𝐶 ∗ (𝑡) = (𝜆(𝑡)) ⁄𝑣 se cumple la condición de primer orden para un máximo de 𝐻 𝑐 , y debido a que 𝐻 𝑐 es cóncavo en C, alcanza un máximo en 𝐶 ∗ (𝑡). Además, (A) en la Nota 9.11.3 también se cumple: 𝜆(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝐾 ∗ (𝑡) → 0 como 𝑡 → ∞ y lim 𝜆(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝐾 ∗ (𝑡) ≥ 0 𝑡→∞

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como lim 𝐾(𝑡) ≥ 0, porque 𝜆(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 es positivo y limitado (incluso se acerca a 0). 𝑡→∞

Estas propiedades implican que

lim 𝜆(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 [𝐾(𝑡) − 𝐾 ∗ (𝑡)] ≥ 0

𝑡→∞

para todos los 𝐾(𝑡) admisibles. Esto verifica todas las condiciones suficientes, por lo que (𝐾 ∗ (𝑡), 𝐶 ∗ (𝑡)) es óptimo. Cualquier solución del sistema (ii) y (iii) dependerá de 𝐾0 y de 𝜆(0) = 𝜆0 , por lo que puede denotarse por 𝐾(𝑡) = 𝐾(𝑡; 𝐾0 ; 𝜆0 ) y 𝜆(𝑡) = 𝜆(𝑡; 𝐾0 ; 𝜆0 ). En este problema, se da 𝐾0 , mientras que 𝜆0se determina por el requisito de que lim 𝜆(𝑡; 𝐾0 , 𝜆0 ) = 𝜆̅. Figura 𝑡→∞ ̅ , 𝜆̅). La solución 3 en realidad muestra dos curvas de tipo II que convergen a (𝐾 ̅ , 𝜆̅) desde el "sureste". Sin alternativa de las ecuaciones diferenciales converge a (𝐾 embargo, esta ruta no resuelve el problema de optimización porque debe comenzar con el valor incorrecto de 𝐾 en el momento 𝑡 = 0. (Sin embargo, resuelve el problema ̅ ). cuando 𝐾0 > 𝐾 ̅ , 𝜆̅) = ((𝑎 − 𝑟)/2𝑏, [(𝑎2 − 𝑟 2 )/4𝑏]−𝑣 es un ejemplo de un El punto de equilibrio (𝐾 punto de silla (consulte la Sección 6.9). Mostramos esto aplicando el teorema 6.9.1. −1 Para hacerlo, defina las funciones 𝑓(𝐾, 𝜆) = 𝑎𝐾 − 𝑏𝐾 2 − 𝜆 ⁄𝑣 y 𝑔(𝐾, 𝜆) = 2𝑏𝜆 (𝐾 − (𝑎 − 𝑟)/2𝑏 ) correspondientes a los lados derechos de (iii) y (ii) respectivamente. ̅ , 𝜆̅) uno tiene 𝜕𝑓⁄𝜕𝐾 = 𝑎 − 2𝑏𝐾 ̅ = 𝑟, 𝜕𝑓⁄𝜕𝜆 = (1/ Luego, en el punto (𝐾 ̅ 1⁄𝑣−1 =, 𝜕𝑔⁄𝜕𝐾 = 2𝑏𝜆̅ = y 𝜕𝑔⁄𝜕𝜆 = 2𝑏(𝐾 ̅ − (𝑎 − 𝑟)/2𝑏) = 𝑂. El determinante 𝑣)𝜆− de la matriz A en el Teorema 6.9.1 es, por lo tanto,

𝑟 | 2𝑏𝜆̅

̅ 1⁄𝑣−1 2𝑏 (1/𝑣)𝜆− ̅ 1⁄𝑣 < 0 | = − 𝑣 (1/𝑣)𝜆− 0

̅ , 𝜆̅) es un punto de silla de montar. Esto confirma que (𝐾

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Orihuela Romero, C. (2009). MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS. Lima: Universidad Agraria La Molina. Zuluoga, B., & Raffo, L. (2008). OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Y MODELOS DE CRECIMIENTO CON CONSUMO ÓPTIMO. Valle de Cauca: Departamento de Economía - Universidad ICESI. Obtenido de OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Y MODELOS DE. Casas Hernández, D. et.al (2007). DIAGRAMAS DE FASE. Universidad de La Salle Blanco del Rosario, A. (2007). UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO. Pontifica Universidad Católica del Perú Bonifaz, J. et.al (2013). OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Y TEORÍA ECONÓMICA. Primera Edición CORREGIDA. Universidad del Pacífico. Centro de Investigación Sydsaeter, K. et.al (2005). FURTHER MATHEMATICS FOR ECONOMIC ANALYSIS.

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ANEXOS: Zuluoga, B., & Raffo, L. (2008). OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Y MODELOS DE CRECIMIENTO CON CONSUMO ÓPTIMO.

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Orihuela Romero, C. (2009). MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS

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Casas Hernández, D. et.al (2007). DIAGRAMAS DE FASE

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Blanco del Rosario, A. (2007). UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO.

Bonifaz, J. et.al (2013). OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Y TEORÍA ECONÓMICA.

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Sydsaeter, K. et.al (2005). FURTHER MATHEMATICS FOR ECONOMIC ANALYSIS.

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