Ejercicios De Vibracines Mecanicas.docx

VIBRACIONES MECANICAS MEC-2334 “A” 63.- Un péndulo simple esta pivoteado en el punto O como se muestra en la figura 3. Si la masa de la varilla es despreciable y las oscilaciones pequeñas, encuentren la frecuencia natural amortiguada del péndulo. K L1 O L2

c

L

m

 M  I 

Donde

I  mL2   M  mL2

(1)

 Kx1 L1  cx 2 L2  mgLsen  mL2

pero

x1  L1 x2  L2  x2  L2

Reemplazando en (1)  KL12  cL22  mgL  mL2

Ordenando





mL2  cL22  KL12  mgL   0

 

cL22  KL12  mgL   0 mL2 mL2

La solución de esta ecuación de segundo grado es: cL22 2 2  KL12  mgL  1  cL22      D   mL   4 1 2   2 2  mL  mL2   2

D

 KL12  mgL  cL22 1  2cL22      4 2 2   2  2mL  2mL mL2   2

 cL22   KL12  mgL      D   2mL2    2mL2 mL2     cL22

De aquí, la frecuencia circular amortiguada es la raíz, pero cambiando los términos: KL12  mgL  cL22   n    2  mL2  2mL 

2

(2)

64.- Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Pul. y un amortiguador de 0.75 lb-seg/Pul. Si se aplica una velocidad de 4 Pul/seg a la masa en su posición de reposo. ¿Cuál será el desplazamiento al final del primer segundo?

m x K

c

La ecuación diferencial para este caso es: m

mx  cx  Kx  0

x 

c K x  x  0 m m

La solución o primitiva de esta ecuación es: xt   e t  A cos 0t  Bsen0t 



0   1   2

(a)

c 2 m

P t  0 ; xt   0 ; x 0   4

[Pul/seg]

(b)

Reemplazando en (a)





0  e0 A cos 0o  Bsen0o  A  0

Derivando (a) x t   e t  A0 sen0t  B0 cos 0t     e  t  A cos 0t  Bsen0t 







4  e0  A0 sen0o  B0 cos 0o   e0 A cos 0o  Bsen0o

 Pero

4  B0  A

A0B

4

0

Reemplazando en (a)  4  4 t xt   et  sen0t   xt   e sen0t   0  0 

Pero

2 

 p lg   rad  K 25  lb / p lg    384    13.86    2 m 50  lb   seg   seg 

 lb  seg   pul  c 288 c  0.75  384       0.21  2 2m 25013.86  pul   seg   rad    seg 

0   1   2  13.86 1  0.212  0  13.55

Por tanto estos valores reemplazado en (c) x1 

4  0.2113.86 1 e sen13.551 13.55

x1  0.0013 pul 

(c)

66.- Una viga simplemente apoyada tiene una masa concentrada M que actúa en su punto medio. Encuentre la frecuencia natural del sistema, si la masa de la viga es m.

La deflexión en el punto medio de una viga simplemente apoyada, debida a la carga concentrada P en el centro de la viga, esta dada por: P * L3  48 * E * I Para deflexiones pequeñas P 48 * E * I k   L3 Como la masa de la viga esta también en la mitad de la viga, decimos que: 1 masa  M  * m 2 La ecuación de movimiento para esta vibración libre sin amortiguamiento es: masa * x  k * x  0 La solución de esta ecuación diferencial es: k n  masa Reemplazando valores tenemos finalmente:  rad  48 * E * I n   seg  1   3    M  * m * L 2   _

74.- El pistón mostrado en la figura 8 oscila con un movimiento armónico x  A cos   t dentro de un cilindro de masa m el cual es soportado por un resorte de constante K. si entre el pistón y la pared del cilindro hay amortiguamiento viscoso C encuentre la amplitud del movimiento del cilindro y su diferencia de fase con el pistón.

 c( x  y )  Kx  mx mx  cx  Kx  cy Pero y  A cos t  y   A sin t mx  cx  Kx  cA sin t (1)

La solución particular tiene la forma:

x p  C1 sin t  C2 cos t

Derivando se tiene:

x p  C1 cos t  C2 sin t

xp  C1 2 sin t  C2 2 cos t

Reemplazando en (1) se tiene:  mC1 2 sin t  mC2 2 cos t  cC1 cos t  cC 2 sin t  KC1 sin t  KC2 cos t  cA sin t

Factorizando senos y cósenos: (mC1 2  cC 2  KC1 ) sin t  (mC2 2  cC1  KC2 ) cos t  cA sin t

Igualando términos y factorizando las constantes: ( K  m 2 )C1  cC 2  cA cC1  ( K  m 2 )C 2  0

Resolviendo el sistema, se halla las constantes: G1 y G2 a  K  m 2 Sea: b  c

Reemplazando a y b en el sistema aG1  bG2  bA bG1  aG2  0





G1  

abA K  m 2 c A  G   1 2 2 a2  b2 K  m 2  c 

G2 

c  A b2 A  G2  2 2 2 2 a b K  m 2  c 





2





La amplitud

x G2

x  G12  G22  x 

wt x wt

o

x G1

a

2



 b 2 bA

a

2

 b2

x 

La fase:

2



2

 abA2

a

2

 b2



b A

 a 2

2

2

2

 b2



2

b2 A bA  x  2 2 2 a b a  b2 c A

K  m   c  2 2

2

b2 A 2 2 G b   arctag 2  arctag a  b  arctag  abA G1 a 2 2 a b

  arctag

c K  m 2