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Ejercicios de segundo orden mediante ecuaciones diferenciales

S

α < Wo Subamortiguado

L=0.1H

C=5uF

R=200Ὡ Wo =

1 ξ𝐿𝐶

Wo =1414.2

1414

β= ξ𝑊𝑜 − α2

𝑅

α = 2𝐿

α = 1000

Β= 1000

i(t)= e−αt (A1 COS βt + A2 SEN βt)

t=0

0= A1 COS 1000t + A2 SEN 1000t

0= A1

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

= e−1000t (A1 COS 1000t + A2 SEN 1000t)

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

= e−1000t (A1 COS 1000t) +e−1000t (A2 SEN 1000t)

𝑑𝑖(𝑡)

= e−1000t (A1 COS 1000t) +e−1000t (A2 SEN 1000t)

𝑑𝑡

𝑑𝑖(𝑡)

= (e−1000t )´ (A1 COS 1000t) +(e−1000t )(A1 COS 1000t)´ +

𝑑𝑡 −1000t ´

) (A2 SEN 1000t) + (e−1000t ) (A2 SEN 1000t)´

(e

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

= (−1000e−1000t )(A1 COS 1000t) +(e−1000t )(-A1 SEN

1000t)(1000) + (−1000e−1000t ) (A2 SEN 1000t) + (e−1000t ) (A2 COS 1000t)(1000) t=0

0=

𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

𝐿𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

+ VR + Vc

= -Vc 𝑉𝑐

=-𝐿

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

= -2000

-2000 = 1000 A2 – 1000 A1 A2 = -2 i(t) = -2(e−1000t )SEN 1000t [A]

Ejercicios de segundo orden mediante ecuaciones diferenciales

α > Wo

V

Subreamortiguado

L=0.1H

C=100uF

R=200Ὡ

Wo =

1 ξ𝐿𝐶

Wo =316.22 1414

β= ξ𝑊𝑜2 − α2

𝑅

α = 2𝐿

α = 1000

Β= 948.68

i(t)= A1es1t + A2es2t

S1= - α + β = - 51.32 S1= - α - β = - 1948.68 i(t)= A1e−51.3t + A2e−1948.68t

0= A1 + A2

t=0

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

= - 51.3 A1e−51.3t – 1948.68 A2e−1948.68t

200 = VR + Vc +

𝐿𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

= 2000

2000 = - 51.3 A1 – 1948.68 A2 Aplicando sistema de ecuacines nos queda

A1 = 1.054

A2 = - 1.054

i(t)= 1.054 A1e−51.3t – 1.054 A2e−1948.68t

Ejercicios de segundo orden mediante ecuaciones diferenciales

α = Wo

V

Criticamente

L=0.1H

amortiguado C=100uF

R=200Ὡ 1

𝑊𝑜2 = 𝐿𝐶

1

C = 𝐿𝑊𝑜2

C = 10 uF

𝑅

α = 2𝐿

α = 1000