Ejercicios De Pau De Representacion De Funciones

Ejercicio 5.1. Murcia. Junio 2008. En una región, un río tiene la forma de la curva y =

1 3 2 x - x + x y es cortada por un 4

camino según el eje OX. Hacer un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento.

Solución: y=

1 3 2 x -x +x 4

Cortes con los ejes coordenados: Eje X: y=0→

1 3 2 1 1 x - x + x = 0 → x • ( x 2 - x + 1) = 0 → x1 = 0, x 2 - x + 1 = 0 → 4 4 4

- (-4) ± (-4) 2 - 4 • 1• 4 4 ± 16 - 16 4± 0 4 = → x - 4x + 4 = 0 → x = = = =2 2 •1 2 2 2 2

x2 = 2 (doble) Por tanto, los puntos de corte con el eje X son: (0,0) y (2,0). Eje Y: x=0→y=

1 3 2 0 -0 +0 = 0 4

Por tanto, el punto de corte con el eje X es: (0,0).

Intervalos de crecimiento:

f´(x) =

=

- (-8) ± (-8) 2 - 4 • 3 • 4 3 2 = x - 2x + 1 = 0 → 3 x 2 - 8x + 4 = 0 → x = 4 2• 3

8 ± 64 - 48 8 ± 16 8±4 2 → x1 = 2 y x2 = = = 6 6 6 3

intervalos f´(x) f(x)

( - ∞, 2/3) + crece

(2/3, 2) – decrece

(2, + ∞) + crece

Extremos relativos: Tiene un máximo en x = 2/3 1 1 8 4 2 8 4 2 • (2 / 3)3 - (2/3) 2 + 2 / 3 = • - + = - + = 4 4 27 9 3 108 9 3 8 - 48 + 72 32 16 8 = = = = 108 108 54 27

calculamos f(2/3) =

Por tanto, (

2 8 , ) es un máximo 3 27

Tiene un mínimo en x = 2 calculamos f(2) =

1 8 • (2) 3 - (2) 2 + 2 = - 4 + 2 = 0 4 4

Por tanto, (2,0) es un mínimo Representación gráfica:

Río

Camino

Ejercicio 5.2. Murcia. Junio 2008. 2x - 1 calcular: x +1 (a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. (b) Las asíntotas. (c) Hacer una representación gráfica de la misma.

Dada la curva y =

Solución: (a) Cortes con los ejes coordenados: Eje X: y=0→

2x - 1 1 = 0 → 2x - 1 = 0 → x = x +1 2

1 Por tanto, el punto de corte con el eje X es: ( ,0). 2 Eje Y: x=0 →y=

2 • 0 -1 -1 = =-1 0 +1 1

Por tanto, el punto de corte con el eje Y es: (0,-1). (b) Asíntotas verticales: lim x → -1

f(x) =

lim

2x - 1 = ± ∞ → x = -1 es una asíntota vertical x → -1 x + 1

Tendencias:

lim

2x - 1 2 • (-1,1) - 1 x → -1= ≈ +∞ (-1,1) + 1 x +1 x = - 1,1

lim

2x - 1 2 • (-0,9) - 1 x → -1+ = ≈ -∞ (-0,9) + 1 x +1 x = -0,9

Asíntotas horizontales: lim

2x - 1 2 = = 2 → y = 2 es una asíntota horizontal 1 x → ±∞ x + 1 Tendencias:

lim x → -∞ x = -100 lim x → +∞ x = +100

2x - 1 2 • (-100) - 1 - 201 = = = 2+ x +1 - 100 + 1 - 99

2x - 1 2 • (100) - 1 199 = = = 2x +1 100 + 1 101

Asíntotas oblicuas: No tiene, porque tiene asíntotas horizontales

(c)

Ejercicio 5.3. Murcia. Septiembre 2008. 1 determinar: 2( x + 1) (a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. (b) Las asíntotas. (c) Hacer una representación gráfica aproximada de la curva.

Dada la curva de ecuación y =

Solución: (a) Cortes con los ejes coordenados: Eje X: y=0→

1 = 0 → 1 = 0 → No tiene solución → No corta al eje. 2( x + 1)

Eje Y: x=0→y=

1 1 = 2 • (0 + 1) 2

Por tanto, el punto de corte con el eje Y es: (0,

1 ). 2

(b) Asíntotas verticales: lim x → -1

f(x) =

lim

1 = ± ∞ → x = -1 es una asíntota vertical x → -1 2( x + 1)

Tendencias:

lim

1 1 x → -1≈ -∞ = 2( x + 1) 2((-1,1) + 1)) x = - 1,1

lim

1 1 x → -1+ = ≈ +∞ 2( x + 1) 2((-0,9) + 1)) x = -0,9

Asíntotas horizontales: lim

0 1 = = 0 → y = 0 es una asíntota horizontal x → ±∞ 2( x + 1) 2

Tendencias:

lim x → -∞ x = -100 lim x → +∞ x = +100

1 1 1 = = = 02( x + 1) 2((-100) + 1) - 198

1 1 1 = = = 0+ 2( x + 1) 2((100) + 1) 202

Asíntotas oblicuas: No tiene, porque tiene asíntotas horizontales

(c)

Ejercicio 5.4. Murcia. Junio 2009. Dada la curva y =

x +1 calcular: x +x-2 2

(a) El dominio. (b) Las asíntotas. (c) Hacer una representación gráfica de la misma.

Solución:

(a)

=

- 1 ± (-1) 2 - 4 • 1• (-2) - 1 ± 1+ 8 - 1 ± 9 x= = = = 2 •1 2 2 - 1+ 3 2 = =1 x1 = 2 2

2

x +x-2=0

- 1± 3 = 2 x2 =

- 1- 3 - 4 = = -2 2 2

Dom f(x) = R – {-2,1} (b) Asíntotas verticales: lim x →1

f(x) =

lim

x +1 = ± ∞ → x = 1 es una asíntota vertical x →1 x +x -2 2

Tendencias:

lim

0,9 + 1 x +1 x → 1= ≈ -∞ 2 2 0,9 + 0,9 - 2 x +x-2 x = 0,9

lim

x +1 1,1+ 1 x → 1+ 2 = 2 ≈ +∞ x + x - 2 1,1 + 1,1 - 2 x = 1,1

lim

x +1 - 2,1+ 1 x → -2 - 2 = ≈ + ∞ 2 x +x-2 (-2,1) + (-2,1) - 2 x = - 2,1

lim

x +1 - 1,9 + 1 x → -2 + 2 = ≈ −∞ 2 x + x - 2 (-1,9) + (-1,9) - 2 x = - 1,9

Asíntotas horizontales: lim

x +1 = 0 → y = 0 es una asíntota horizontal x → ±∞ x + x - 2 2

Tendencias:

lim x → -∞ x = -100 lim x → +∞ x = +100

x +1 - 99 - 100 + 1 = = = 02 x + x - 2 (-100) + (-100) - 2 9898 2

x +1 100 + 1 101 = = = 0+ 2 x + x - 2 100 + 100 - 2 10098 2

Asíntotas oblicuas: No tiene, porque tiene asíntotas horizontales

(c)

Ejercicio 5.5. Valencia. Junio 2008. Dada la función f(x) =

x2 , determina: 4 - x2

(a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (b) Ecuación de sus asíntotas. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos relativos. (e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. Solución: (a) 4 – x² = 0 → x² = 4 → x = ± 2 Dom f(x) = R – {± 2} Cortes con los ejes coordenados: Eje X: x2 y=0→ = 0 → x² = 0 → x = 0 4 - x2 Por tanto, el punto de corte con el eje X es: (0,0). Eje Y: x=0 →y=

0 02 =0 2 = 4 4-0

Por tanto, el punto de corte con el eje Y es: (0,0). (b) Asíntotas verticales: x2 f(x) = 2 = ± ∞ → x = -2 es una asíntota vertical x → -2 x → -2 4 - x

lim

lim

x2 f(x) = 2 = ± ∞ → x = 2 es una asíntota vertical x→2 x → -2 4 - x

lim

lim

Tendencias:

lim -

x → -2 x = - 2,1

x2 (-2,1) 2 = ≈ + ∞ 4 - x2 4 - (-2,1) 2

lim

(-1,9) 2 x2 x → -2 + ≈ -∞ = 4 - x 2 4 - (-1,9) 2 x = - 1,9

lim

x2 1,9 2 x → 2= ≈ + ∞ 4 - x2 4 - (1,9) 2 x = 1,9

lim +

x→2 x = 2,1

x2 2,12 = ≈ −∞ 4 - x2 4 - (2,1) 2

Asíntotas horizontales: x2 2 = -1 → y = -1 es una asíntota horizontal x → ±∞ 4 - x

lim

Tendencias:

lim x → -∞ x = -100

x2 10000 (-100) 2 = = - 12 2 = - 9996 4-x 4 - (-100 )

lim

x2 (100) 2 10000 x→∞ = - 12 = 2 = - 9996 4-x 4 - (100 ) x = 100

Asíntotas oblicuas: No tiene, porque tiene asíntotas horizontales (c) f(x) =

x2 4 - x2

Intervalos de crecimiento: f´(x) =

2x • ( 4 - x 2 ) - x 2 • (-2x) 8 x - 2x 3 + 2x 3 8x = = = 0 → 8x = 0 → x = 0 2 2 2 2 (4 - x ) (4 - x ) (4 - x 2 )2

intervalos f´(x) f(x)

( - ∞, -2) – decrece

(-2, 0) – decrece

(d) Extremos relativos: Tiene un máximo en x = 0 02 =0 calculamos f(0) = 4 - 02 Por tanto, (0, 0) es un máximo (e) Representación gráfica:

(0, 2) + crece

(2, + ∞) + crece

Ejercicio 5.6. Valencia. Septiembre 2008. x3 , se pide: 1- x 2 (a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (b) Ecuación de las asíntotas verticales y horizontales. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos locales. (e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.

Dada la función

Solución: (a) x=± 1

1 – x² = 0

x=±1

Dom (f(x)) = R – {±1} Puntos de corte con el eje X: x3 y=0 =0 1- x 2

x³ = 0 x = 0

(0,0)

Puntos de corte con el eje Y: x=0

03 =0 1- 0 2

(0,0)

(b) Asíntotas verticales: lim x → -1 lim x →1

f(x) =

f(x) =

x3 2 = ± ∞ → x = -1 es una asíntota vertical x → -1 1 - x

lim

x3 2 = ± ∞ → x = 1 es una asíntota vertical x → 1 1- x

lim

Tendencias:

lim

3

( 1,1) 3

x x → -1= ≈ + ∞ 1- x 2 2 1 - ( 1,1) x = -1,1

lim x → -1+

x3 = 1- x 2

x = 0,9

( 0,9) 3 ∞

≈ 1 - ( 0,9)

2

lim

(0,9)3 x3 x → 1= ≈ + ∞ 1- x 2 1 - (0,9) 2 x = 0,9

lim

x3 (1,1)3 x → 1+ = ≈ 1 - x 2 1 - (1,1) 2 x = 1,1

∞

Asíntotas horizontales: x3 2 = x → ±∞ 1 - x

lim

± ∞ → no tiene asíntotas horizontales

Ramas infinitas: ( 100)3

lim x→ ∞

∞

= 1 - ( 100) 2

(100)3 2 = x → ∞ 1 - (100 )

lim

∞

(c) x3 f(x) = 1- x 2 3 x 2 • (1 x 2 ) x 3 • ( 2x ) f´(x) =

3 x 2 2x 4 = 0

=

(1 - x 2 ) 2

x 2 (3 2 x 2 ) = 0

( ∞, f´(x) f(x)

3x 2

3 ) 2

decrece

4 x 4 + 2x 4 =

(1 - x 2 ) 2

x=0

(

3 x 2 2x 4

x= ±

3 , 0) 2 + crece

(1 - x 2 ) 2

=0

3 2

(0,

3 ) 2

+ crece

3 , + ∞) 2 decrece

(0,

(d)

Mínimo en x =

3 2

3 3 ) 2

( y=

1- (

Máximo en x =

(e)

3 2

3 3 ) 2

3 3 3 3 2 2 2 2 = = 2 = 3 1 3 1 ) 2 2 2

3 3 3 3 2 2 2 2 y= = = 2 = 3 1 3 1 1- ( ) 2 2 2 (

3

3

3 2

3 2

(

(

3 3 , 3 ) 2 2

3 3 , 3 ) 2 2