Ejercicios De Pau De Programacion Lineal

Ejercicio 3.1. Madrid. Junio 2008. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo. Solución: x = número de toneladas de aceite de almazara A y = número de toneladas de aceite de almazara B F(x, y) = 2000x + 3000y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 2≤x≤7 2≤y≤7 x+y≥6 x ≤ 2y x+y = 6 y=7

A B

D Región factible C

y=2

E

x = 2y x=2

Vértice A = (2, 7) → F(A) = 2000•2 + 3000•7 = 4000 + 21000 = 25000 Vértice B = (2, 4) → F(B) = 2000•2 + 3000•4 = 4000 + 12000 = 16000 Vértice C = (4, 2) → F(C) = 2000•4 + 3000•2 = 8000 + 6000 = 14000

x=7

Vértice D = (7, 7) → F(C) = 2000•7 + 3000•7 = 14000 + 21000 = 35000 Vértice E = (7; 3,5) → F(C) = 2000•7 + 3000•3,5 = 14000 + 10500 = 24500 El mínimo se alcanza en el vértice C, por tanto, la cantidad de aceite será de 4 toneladas de la almazara A y 2 toneladas de la almazara B.

Ejercicio 3.2. Murcia. Junio 2008. Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total. (a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) Suponiendo que se vende toda la producción ¿Cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos? Solución: x = número de unidades de sortijas sencillas y = número de unidades de sortijas adornadas F(x, y) = 4,5x + 6y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 x ≤ 400 y ≤ 300 x + y ≤ 500

x+y = 500

x = 400 B

y = 300

Región factible C

A

Vértice A: x = 400

→ A = (400, 300) → F(A) = 4,5•400 + 6•300 = 1800 + 1800 = 3600 y = 300 Vértice B: x + y = 500

→ B = (200, 300) → F(B) = 4,5•200 + 6•300 = 900 + 1800 = 2700 y = 300 Vértice C: x = 400

→ C = (400, 100) → F(C) = 4,5•400 + 6•100 = 1800 + 600 = 2400 x + y = 500

El máximo se alcanza en el vértice A, por tanto, el número de sortijas será de 400 sencillas y 300 adornadas.

Ejercicio 3.3. Murcia. Septiembre 2008. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15000 € y el modelo B a un precio de 20000 €. La oferta está limitada por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos, tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos, de 60000 €. (a) Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe? Solución: x = número de coches del modelo A y = número de coches del modelo B F(x, y) = 15000x + 20000y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 x ≤ 20 y ≤ 10 x≥y 15000x + 20000y ≥ 60000 → 15x + 20y ≥ 60 → 3x + 4y ≥ 12

x = 20 3x + 4y = 12 y = 10

C

D

Región factible

A

B

E

x–y=0

Vértice A: x–y=0

→ A = (12/7, 12/7) → F(A) = 15000•12/7 + 20000•12/7 = 25714,28 3x + 4y = 12

+ 34285,71 = 60000

Vértice B: 3x + 4y = 12

→ B = (4, 0) → F(B) = 15000•4 + 20000•0 = 60000 y=0 Vértice C: x–y=0

→ C = (10, 10) → F(C) = 15000•10 + 20000•10 = 150000 + 200000 = y = 10

350000

Vértice D: x = 20

→ D = (20, 10) → F(D) = 15000•20 + 20000•10 = 300000 + 200000 = y = 10

500000

Vértice E: x = 20

→ E = (20, 0) → F(E) = 15000•20 + 20000•0 = 300000 y=0 El máximo se alcanza en el vértice D, por tanto, el número de coches será de 20 del modelo A y 10 del modelo B, con un importe de 500000 €.

Ejercicio 3.4. Castilla La Mancha. Junio 2008. Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de “Consumo razonable” y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada mensaje SMS y 25 céntimos por cada minuto de conversación incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: (a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido en 3. (b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27. (1) Dibuja la región factible. (2) Determina el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. (3) ¿Cuál es ese beneficio máximo? Solución: x = número de mensajes y = número de llamadas F(x, y) = 0,15x + 0,25y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 x–3≤y≤x+3 5x + y ≤ 27 5x + y = 27 C B

A

D Región factible E

y=x+3

x–3=y

Vértice A: (0, 0) → F(A) = 0,15•0 + 0,25•0 = 0

Vértice B: (0, 3) → F(B) = 0,15•0 + 0,25•3 = 0,75 Vértice C: 5x + y = 27

→ C = (4, 7) → F(C) = 0,15•4 + 0,25•7 = 0,6 + 1,75 = 2,35 x+3=y Vértice D: 5x + y = 27

→ D = (5, 2) → F(D) = 0,15•5 + 0,25•2 = 0,75 + 0,5 = 1,25 x–3=y Vértice E: (3, 0) → F(B) = 0,15•3 + 0,25•0 = 0,45 El máximo se alcanza en el vértice C, por tanto, el número de mensajes será de 4 y el número de llamadas de 7, con un importe de 2,35 €.

Ejercicio 3.5. Murcia. Junio 2009. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2, que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:

P1 P2

A 4 1

B 1 6

C 6 10

Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 € y el de un bote del producto P2 es de 160 €, averiguar: (a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? (b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible? Solución: x = número de botes del producto P1 y = número de botes del producto P2 F(x, y) = 100x + 160y función objetivo Restricciones: x≥0 y≥0 4x + y ≥ 4 x + 6y ≥ 6 6x+10y ≥ 23

4x + y = 4

6x + 10y = 23

A B

x + 6y = 6

Región factible C

D

Vértice A: (0, 4) → F(A) = 100•0 + 160•4 = 640 Vértice B: 4x + y = 4

→ B = (0,5; 2) → F(C) = 100•0,5 + 160•2 = 50 + 320 = 370 6x + 10y = 23 Vértice C: 6x + 10y = 23

→ C = (3; 0,5) → F(D) = 100•3 + 160•0,5 = 300 + 80 = 380 x + 6y = 6 Vértice D: (6, 0) → F(D) = 100•3 + 160•0 = 300 El máximo se alcanza en el vértice D, por tanto, el número de botes del producto P1 será de 6 y el número de botes del producto P2 será de 0. La cantidad de cada vitamina es: 24 de A, 6 de B y 36 de C.

Ejercicio 3.6. Valencia. Junio 2008. (a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: 3x + 2y ≥ 5 x – 2y ≥ – 1 5x + 4y ≤ 16 x–y≤5 (b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior. (c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función F(x, y) = 3x – y en dicha región. Determina dicho valor mínimo. Solución: (a) 5x + 4y = 16 3x + 2y = 5

x - 2y = -1

B

A

Región factible C

D

x-y=5

(b) Vértice A: 5x + 4y = 16

5x + 4y = 16

→ x - 2y = -1

→ 7x = 14 → x = 2 → y = 8/5 2x – 4y = - 2

Por tanto el vértice A es (2, 8/5)

Vértice B: 3x + 2y = 5

→ 4x = 4 → x = 1 → y = 1 x - 2y = -1 Por tanto el vértice B es (1, 1) Vértice C: 3x + 2y = 5

3x + 2y = 5

→ x-y=5

→ 5x = 15 → x = 3 → y = - 2 2x - 2y = 10

Por tanto el vértice C es (3, -2) Vértice D: 5x + 4y = 16

5x + 4y = 16

→ x-y=5

→ 9x = 36 → x = 4 → y = - 1 4x - 4y = 20

Por tanto el vértice D es (4, -1) (c) F(x, y) = 3x – y función objetivo

8 = A = (2, 8/5) → F(A) = 3•2 – 5

30 8 5

=

22 5

B = (1, 1) → F(B) = 3•1 – 1 = 3 – 1 = 2 C = (3, -2) → F(C) = 3•3 – (– 2) = 9 + 4 = 13 D = (4, -1) → F(D) = 3•4 – (– 1) = 12 + 1 = 13 El mínimo se alcanza en el vértice B y ese mínimo vale 2.

Ejercicio 3.7. Valencia. Septiembre 2008. Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan las 30 toneladas (Tm). Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y, además, esta última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 €/Kg y el de la merluza 10 €/Kg, ¿Qué cantidades de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos?

Solución: x = número de Tm de rape y = número de Tm de merluza F(x, y) = 15x + 10y función objetivo restricciones: x≥0 y≥0 x + y ≤ 30 x ≤ 3y y ≤ 18 y = 18 B

C

x + y = 30 Región factible

A

D

x = 3y

Vértice C: y = 18

→ x + 18 = 30 → x = 12 x + y = 30 Por tanto el vértice C es (12, 18) Vértice D: x + y = 30

→ 3y + y = 30 → 4y = 30 → y = 7,5 → x = 3•7,5 = 22,5 x = 3y Por tanto el vértice D es (22,5; 7,5)

F(x, y) = 15x + 10y función objetivo A = (0; 0) → F(A) = 15•0 + 10•0 = 0 B = (0; 18) → F(B) = 15•0 + 10•18 = 180 C = (12; 18) → F(C) = 15•12 + 10•18 = 180 + 180 = 360 D = (22,5; 7,5) → F(D) = 15•22,5 + 10•7,5 = 180 + 180 = 412,5 El máximo se alcanza en el vértice D, por tanto, el número de Tm de rape será de 22,5 y el número de Tm de merluza de 7,5.

Ejercicio 3.8. Castilla La Mancha. Septiembre 2008. Un camión para el transporte de electrodomésticos cobra 25 euros por cada frigorífico de 0,6 m2 de base y 22 euros por cada lavavajillas de 0,5 m2 de base. El camión dispone de 9 m2 como máximo para este tipo de carga. Por necesidades de demanda el número de lavavajillas no puede superar al 60% del número de frigoríficos. Se deben transportar como mínimo 5 frigoríficos. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de electrodomésticos de cada clase para que el beneficio obtenido con el transporte sea lo más grande posible. 3) Calcula el beneficio máximo. Solución: x = número de frigoríficos y = número de lavavajillas F(x, y) = 25x + 22y función objetivo restricciones: x≥0 y≥0 0,6x + 0,5y ≤ 9 y ≤ 0,6x x≤5

0,6x + 0,5y = 9

x=5

C B Región factible

y = 0,6x D

A

Vértice B: y = 0,6x

→ y = 0,6•5 → y = 3 x=5 Por tanto el vértice B es (5, 3) Vértice C: 0,6x + 0,5y = 9 0,6x + 0,5•0,6x = 9 → 0,9x = 9 → x = 10 → y = 6 y = 0,6x Por tanto el vértice C es (10, 6)

f(x, y) = 25x + 22y función objetivo A = (0, 0) → F(A) = 25•0 + 22•0 = 0 B = (5, 3) → F(B) = 25•5 + 22•3 = 125 + 66 = 191 C = (10, 6) → F(C) = 25•10 + 22•6 = 250 + 132 = 382 D = (15, 0) → F(D) = 25•15 + 22•0 = 375 + 0 = 375 El máximo se alcanza en el vértice C, por tanto, el número de electrodomésticos será de 10 frigoríficos y 6 lavavajillas. El beneficio será de 382 €.

Ejercicio 3.9. Madrid. Septiembre 2008. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros, distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese dicha ganancia máxima. Solución: x = inversión en acciones del tipo A y = inversión en acciones del tipo B F(x, y) = 0,1x + 0,05y función objetivo Restricciones: x≥0 y≥0 x + y ≤ 125000 30000 ≤ x ≤ 81000 y ≥ 25000 y ≤ 3x

C B

x + y = 125000 Región factible

y = 25000 A

D

E

y = 3x

x = 30000

x = 81000

Vértice B: y = 3x

→ y = 3•30000 → y = 90000 x = 30000 Por tanto el vértice B es (30000, 90000)

Vértice C: x + y = 125000 y = 3x

x + 3x = 125000 → 4x = 125000 → x = 31250 → 31250 + y = 125000 → y = 125000 – 31250 = 93750

Por tanto el vértice C es (31250, 93750)

Vértice D: x + y = 125000 81000 + y = 125000 → y = 125000 – 81000 = 44000 x = 81000 Por tanto el vértice D es (81000, 44000)

F(x, y) = 0,1x + 0,05y función objetivo A = (30000, 25000) → F(A) = 0,1•30000 + 0,05•25000 = 3000 + 1250 = 4250 B = (30000, 90000) → F(B) = 0,1•30000 + 0,05•90000 = 3000 + 4500 = 7500 C = (31250, 93750) → F(C) = 0,1•31250 + 0,05•93750 = 3125 + 4687,5 = 7812,5 D = (81000, 44000) → F(D) = 0,1•81000 + 0,05•44000 = 8100 + 2200 = 10300 E = (81000, 25000) → F(E) = 0,1•81000 + 0,05•25000 = 8100 + 1250 = 9350 El máximo se alcanza en el vértice D, por tanto, la distribución de la inversión será de 81000 € en A y 44000 € en B. El beneficio será de 10300 €.

Ejercicio 3.10. Madrid. Junio 2009. Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 euros y 400 euros por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo. Solución: x = número de toneladas de petróleo de tipo A y = número de toneladas de petróleo de tipo B F(x, y) = 350x + 400y función objetivo Restricciones: x≥0 y≥0 0,1x + 0,05y ≥ 10 0,35x + 0,55y ≥ 50 x ≤ 100 y ≤ 100

0,35x + 0,55y = 50

0,1x + 0,05y = 10 x = 100 B

y = 100

C Región factible A

D

Vértice A: 0,35x + 0,55y = 50

0,35x + 0,55y = 50

→ 0,1x + 0,05y = 10

→ 0,375y = 15 → y = 40 –0,35x – 0,175y = –35

0,1x + 0,05y = 10

→ 0,1x + 0,05•40 = 10→ 0,1x + 2 = 10 → 0,1y = 8 → x = 80 y = 40 Por tanto el vértice A es (80, 40)

Vértice B: 0,1x + 0,05y = 10

→ 0,1x + 0,05•100 = 10 → 0,1x = 5 → x = 50 y = 100 0,1x + 0,05y = 10

→ 0,1•50 + 0,05y = 10 → 0,05y = 5 → y = 100 x = 50 Por tanto el vértice B es (50, 100)

Vértice D: 0,35x + 0,55y = 50

→ 0,35•100 + 0,55y = 50 → 0,55y = 15 → y = 27,27 x = 100 Por tanto el vértice D es (100; 27,27)

F(x, y) = 350x + 400y función objetivo A = (80, 40) → F(A) = 350•80 + 400•40 = 44000 B = (50, 100) → F(B) = 350•50 + 400•100 = 57500 C = (100, 100) → F(C) = 350•100 + 400•100 = 75000 D = (100; 27,27) → F(D) = 350•100 + 400•27,27 = 45909 El mínimo se alcanza en el vértice A, por tanto, el número de toneladas de cada tipo será de 80 del tipo A y 40 del tipo de B. El coste será de 44000 €.